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三、解答题
9 已知一组数据:6、3、4、7、6、3、5、6。
(1) 求这组数据的平均数、中位数。
(2) 求这组数据中每个数据的离差,以及这组数据的方差。
9 已知一组数据:6、3、4、7、6、3、5、6。
(1) 求这组数据的平均数、中位数。
(2) 求这组数据中每个数据的离差,以及这组数据的方差。
答案
9 (1) 平均数：$\frac{6+3+4+7+6+3+5+6}{8}=5$；数据从小到大排序为3、3、4、5、6、6、6、7，中位数为5.5。
(2) 离差分别为:1、-2、-1、2、1、-2、0、1，
这组数据的方差为$s^2=\frac{1}{8} × [1^2 + (-2)^2 + (-1)^2 + 2^2 + 1^2 + (-2)^2 + 0^2 + 1^2]=2$。
(2) 离差分别为:1、-2、-1、2、1、-2、0、1，
这组数据的方差为$s^2=\frac{1}{8} × [1^2 + (-2)^2 + (-1)^2 + 2^2 + 1^2 + (-2)^2 + 0^2 + 1^2]=2$。
解析
【分析】
（1）求解平均数时，根据平均数的定义，先计算所有数据的总和，再除以数据的总个数即可；求解中位数时，首先要将这组数据按照从小到大的顺序排列，由于本组数据共8个，为偶数个，因此中位数为排序后第4个和第5个数据的平均值。
（2）离差是每个数据与平均数的差值，用每个数据依次减去（1）中求出的平均数，即可得到每个数据的离差；方差是各个离差的平方的平均数，将所有离差分别平方后求和，再除以数据总个数，就能得到这组数据的方差。
【解析】
（1）平均数计算：
这组数据的总和为$6+3+4+7+6+3+5+6=40$，数据总个数为8，
因此平均数$\bar{x}=\frac{40}{8}=5$。
将数据从小到大排序为：3、3、4、5、6、6、6、7，
排序后第4个数据是5，第5个数据是6，
因此中位数为$\frac{5+6}{2}=5.5$。
（2）离差计算：每个数据减去平均数5，可得：
$6-5=1$，$3-5=-2$，$4-5=-1$，$7-5=2$，$6-5=1$，$3-5=-2$，$5-5=0$，$6-5=1$，
即离差分别为1、-2、-1、2、1、-2、0、1。
方差计算：
$s^2=\frac{1}{8}×[1^2+(-2)^2+(-1)^2+2^2+1^2+(-2)^2+0^2+1^2]$
$=\frac{1}{8}×(1+4+1+4+1+4+0+1)$
$=\frac{1}{8}×16=2$。
【答案】
（1）平均数为5，中位数为5.5；
（2）离差分别为1、-2、-1、2、1、-2、0、1，方差为2。
【知识点】
平均数的计算；中位数的计算；方差与离差的计算
【点评】
本题是统计类基础题型，核心考查对平均数、中位数、离差、方差基本概念的理解和运用，解题时只要严格按照对应定义逐步计算，注意排序和计算的准确性，就能顺利得出结果。
【难度系数】
0.85
（1）求解平均数时，根据平均数的定义，先计算所有数据的总和，再除以数据的总个数即可；求解中位数时，首先要将这组数据按照从小到大的顺序排列，由于本组数据共8个，为偶数个，因此中位数为排序后第4个和第5个数据的平均值。
（2）离差是每个数据与平均数的差值，用每个数据依次减去（1）中求出的平均数，即可得到每个数据的离差；方差是各个离差的平方的平均数，将所有离差分别平方后求和，再除以数据总个数，就能得到这组数据的方差。
【解析】
（1）平均数计算：
这组数据的总和为$6+3+4+7+6+3+5+6=40$，数据总个数为8，
因此平均数$\bar{x}=\frac{40}{8}=5$。
将数据从小到大排序为：3、3、4、5、6、6、6、7，
排序后第4个数据是5，第5个数据是6，
因此中位数为$\frac{5+6}{2}=5.5$。
（2）离差计算：每个数据减去平均数5，可得：
$6-5=1$，$3-5=-2$，$4-5=-1$，$7-5=2$，$6-5=1$，$3-5=-2$，$5-5=0$，$6-5=1$，
即离差分别为1、-2、-1、2、1、-2、0、1。
方差计算：
$s^2=\frac{1}{8}×[1^2+(-2)^2+(-1)^2+2^2+1^2+(-2)^2+0^2+1^2]$
$=\frac{1}{8}×(1+4+1+4+1+4+0+1)$
$=\frac{1}{8}×16=2$。
【答案】
（1）平均数为5，中位数为5.5；
（2）离差分别为1、-2、-1、2、1、-2、0、1，方差为2。
【知识点】
平均数的计算；中位数的计算；方差与离差的计算
【点评】
本题是统计类基础题型，核心考查对平均数、中位数、离差、方差基本概念的理解和运用，解题时只要严格按照对应定义逐步计算，注意排序和计算的准确性，就能顺利得出结果。
【难度系数】
0.85
⑩ 现有A、B两个班级，每个班级各有45人参加一次测验，每名参加者可获得0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这几种不同的分值中的一种，A班的成绩如下表所示，B班的成绩如图所示。
（1）由观察计算可知，
（2）若两个班合计共有60人合格，则参加者最少获
（1）由观察计算可知，
A
班的平均分较高；A
班的方差较大。（2）若两个班合计共有60人合格，则参加者最少获
4
分才可以合格。答案
10 (1) 由题意计算可得，$\bar{x}_A \approx 4.53$，$\bar{x}_B \approx 3.84$，所以可得A班平均分较高。由观察可知，B班的数据更多分布在平均数附近，所以A班的方差较大。
(2) 两个班共有90人，合格的有60人，所以不合格的有30人。得分是0分、1分、2分、3分的共有$1+3+5+7+3+3+8=30$(人)，所以最少获得4分才可以合格。
(2) 两个班共有90人，合格的有60人，所以不合格的有30人。得分是0分、1分、2分、3分的共有$1+3+5+7+3+3+8=30$(人)，所以最少获得4分才可以合格。
解析
【分析】
（1）比较平均分需用加权平均数公式，分别计算两个班的总分除以总人数，再比较大小即可；方差反映数据的离散程度，数据越分散、波动越大，方差越大，通过观察两个班成绩的分布情况就能判断方差大小。
（2）找最低合格分数线时，先算出不合格总人数，再从最低分值开始累计两个班的人数，累计人数刚好等于不合格人数时，对应的最高分值就是不合格的上限，下一个分值就是最低合格分。
【解析】
（1）根据加权平均数公式计算：
$\bar{x}_A=\frac{\sum(对应分数×该分数人数)}{45}\approx4.53$，$\bar{x}_B=\frac{\sum(对应分数×该分数人数)}{45}\approx3.84$
因为$4.53＞3.84$，所以A班平均分更高。
观察成绩分布可知，B班成绩更多集中在平均值附近，离散程度更小，A班成绩分布更分散，因此A班的方差更大。
（2）两个班总人数为$45+45=90$人，合格共60人，因此不合格人数为$90-60=30$人。
从最低分开始累计人数：得分0、1、2、3分的总人数为$1+3+5+7+3+3+8=30$人，即3分及以下的刚好共30名不合格人员，因此最少获得4分才可以合格。
【答案】
（1）A；A （2）4
【知识点】
加权平均数计算，方差的意义，频数统计
【点评】
本题结合实际测验场景考查统计核心知识点，既需要掌握平均数、方差的计算方法和意义，也需要梳理数据解决实际问题，计算过程中要细心统计人数，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
（1）比较平均分需用加权平均数公式，分别计算两个班的总分除以总人数，再比较大小即可；方差反映数据的离散程度，数据越分散、波动越大，方差越大，通过观察两个班成绩的分布情况就能判断方差大小。
（2）找最低合格分数线时，先算出不合格总人数，再从最低分值开始累计两个班的人数，累计人数刚好等于不合格人数时，对应的最高分值就是不合格的上限，下一个分值就是最低合格分。
【解析】
（1）根据加权平均数公式计算：
$\bar{x}_A=\frac{\sum(对应分数×该分数人数)}{45}\approx4.53$，$\bar{x}_B=\frac{\sum(对应分数×该分数人数)}{45}\approx3.84$
因为$4.53＞3.84$，所以A班平均分更高。
观察成绩分布可知，B班成绩更多集中在平均值附近，离散程度更小，A班成绩分布更分散，因此A班的方差更大。
（2）两个班总人数为$45+45=90$人，合格共60人，因此不合格人数为$90-60=30$人。
从最低分开始累计人数：得分0、1、2、3分的总人数为$1+3+5+7+3+3+8=30$人，即3分及以下的刚好共30名不合格人员，因此最少获得4分才可以合格。
【答案】
（1）A；A （2）4
【知识点】
加权平均数计算，方差的意义，频数统计
【点评】
本题结合实际测验场景考查统计核心知识点，既需要掌握平均数、方差的计算方法和意义，也需要梳理数据解决实际问题，计算过程中要细心统计人数，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
11 数据 $x_1, x_2, \dots, x_5$ 的平均数为2，这组数据的平方和80。求这组数据的方差。
答案
11 由题意得$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 10$，$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 = 80$，
这组数据的方差$s^2=\frac{1}{5}[(x_1 - 2)^2 + (x_2 - 2)^2 + (x_3 - 2)^2 + (x_4 - 2)^2 + (x_5 - 2)^2]$
$=\frac{1}{5}[(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2) - 4(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) + 20] = 12$。
这组数据的方差$s^2=\frac{1}{5}[(x_1 - 2)^2 + (x_2 - 2)^2 + (x_3 - 2)^2 + (x_4 - 2)^2 + (x_5 - 2)^2]$
$=\frac{1}{5}[(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2) - 4(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) + 20] = 12$。
解析
【分析】
要求这组数据的方差，首先回忆方差的计算公式：方差是一组数据中各数据与平均数的差的平方的平均数。本题已知数据的平均数、数据个数和平方和，不需要求出每个数据的具体值：第一步先根据平均数的定义算出5个数据的总和；第二步将方差公式中的完全平方项展开，整理为包含数据平方和、数据总和的形式；第三步代入已知数值整体计算即可得到结果。
【解析】
由平均数的定义可得，这组数据的总和为：$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 2×5=10$，
已知这组数据的平方和为：$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 = 80$，
根据方差公式：
$s^2=\frac{1}{5}[(x_1 - 2)^2 + (x_2 - 2)^2 + (x_3 - 2)^2 + (x_4 - 2)^2 + (x_5 - 2)^2]$
将完全平方展开并整理得：
$=\frac{1}{5}[(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2) - 4(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) + 5×4]$
代入数值计算：
$=\frac{1}{5}×(80 - 4×10 + 20)=\frac{1}{5}×60=12$
【答案】
12
【知识点】
平均数的计算，方差的计算公式，完全平方公式
【点评】
本题是统计计算的基础题型，重点考查方差公式的灵活运用，无需计算每个数据的具体值，采用整体代入的思想即可快速求解，是方差相关考点的常见考法。
【难度系数】
0.8
要求这组数据的方差，首先回忆方差的计算公式：方差是一组数据中各数据与平均数的差的平方的平均数。本题已知数据的平均数、数据个数和平方和，不需要求出每个数据的具体值：第一步先根据平均数的定义算出5个数据的总和；第二步将方差公式中的完全平方项展开，整理为包含数据平方和、数据总和的形式；第三步代入已知数值整体计算即可得到结果。
【解析】
由平均数的定义可得，这组数据的总和为：$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 2×5=10$，
已知这组数据的平方和为：$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 = 80$，
根据方差公式：
$s^2=\frac{1}{5}[(x_1 - 2)^2 + (x_2 - 2)^2 + (x_3 - 2)^2 + (x_4 - 2)^2 + (x_5 - 2)^2]$
将完全平方展开并整理得：
$=\frac{1}{5}[(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2) - 4(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) + 5×4]$
代入数值计算：
$=\frac{1}{5}×(80 - 4×10 + 20)=\frac{1}{5}×60=12$
【答案】
12
【知识点】
平均数的计算，方差的计算公式，完全平方公式
【点评】
本题是统计计算的基础题型，重点考查方差公式的灵活运用，无需计算每个数据的具体值，采用整体代入的思想即可快速求解，是方差相关考点的常见考法。
【难度系数】
0.8
12 已知样本99、100、101、x、y(x ＞ y)的平均数为100，方差为2，求x和y的值。
答案
12 由题意得
$\begin{cases}\frac{1}{5}(x + y + 100 + 101 + 99) = 100,\\\frac{1}{5}[(x - 100)^2 + (y - 100)^2 + 1^2 + 1^2] = 2,\end{cases}$
解得$\begin{cases} x_1=102,\\ y_1=98 \end{cases}$ 或$\begin{cases} x_2=98,\\ y_2=102。 \end{cases}$ 因为$x ＞ y$，所以可得$\begin{cases} x=102,\\ y=98。 \end{cases}$
$\begin{cases}\frac{1}{5}(x + y + 100 + 101 + 99) = 100,\\\frac{1}{5}[(x - 100)^2 + (y - 100)^2 + 1^2 + 1^2] = 2,\end{cases}$
解得$\begin{cases} x_1=102,\\ y_1=98 \end{cases}$ 或$\begin{cases} x_2=98,\\ y_2=102。 \end{cases}$ 因为$x ＞ y$，所以可得$\begin{cases} x=102,\\ y=98。 \end{cases}$
解析
【分析】
解题时首先回忆平均数和方差的定义公式，题目给出了5个数据的平均数和方差，且有两个未知数x、y，因此可以分别利用平均数公式、方差公式列出两个关于x、y的方程，联立得到二元方程组，求解方程组后再结合题目给出的x＞y的限制条件，舍去不符合要求的解，即可得到最终的x、y的值。
【解析】
解：根据平均数和方差的定义，可列方程组：
$\begin{cases}\frac{99 + 100 + 101 + x + y}{5} = 100 \\ \frac{(99-100)^2 + (100-100)^2 + (101-100)^2 + (x-100)^2 + (y-100)^2}{5} = 2\end{cases}$
化简第一个方程：
$300 + x + y = 500$，即$x + y = 200$ ①
化简第二个方程：
$\frac{1 + 0 + 1 + (x-100)^2 + (y-100)^2}{5} = 2$
$2 + (x-100)^2 + (y-100)^2 = 10$，即$(x-100)^2 + (y-100)^2 = 8$ ②
将①变形为$y=200-x$代入②得：
$(x-100)^2 + (100-x)^2 = 8$
$2(x-100)^2 = 8$，即$(x-100)^2=4$
解得$x=102$或$x=98$，对应$y=98$或$y=102$
结合$x＞y$的条件，舍去$x=98,y=102$的解。
【答案】
$\begin{cases} x=102 \\ y=98 \end{cases}$
【知识点】
平均数公式，方差公式，二元方程组求解
【点评】
本题是统计与代数结合的基础题，核心考查平均数、方差公式的灵活应用，解题时需注意题干给出的未知数大小关系，避免多解漏选，熟练掌握统计基本公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平均数和方差的定义公式，题目给出了5个数据的平均数和方差，且有两个未知数x、y，因此可以分别利用平均数公式、方差公式列出两个关于x、y的方程，联立得到二元方程组，求解方程组后再结合题目给出的x＞y的限制条件，舍去不符合要求的解，即可得到最终的x、y的值。
【解析】
解：根据平均数和方差的定义，可列方程组：
$\begin{cases}\frac{99 + 100 + 101 + x + y}{5} = 100 \\ \frac{(99-100)^2 + (100-100)^2 + (101-100)^2 + (x-100)^2 + (y-100)^2}{5} = 2\end{cases}$
化简第一个方程：
$300 + x + y = 500$，即$x + y = 200$ ①
化简第二个方程：
$\frac{1 + 0 + 1 + (x-100)^2 + (y-100)^2}{5} = 2$
$2 + (x-100)^2 + (y-100)^2 = 10$，即$(x-100)^2 + (y-100)^2 = 8$ ②
将①变形为$y=200-x$代入②得：
$(x-100)^2 + (100-x)^2 = 8$
$2(x-100)^2 = 8$，即$(x-100)^2=4$
解得$x=102$或$x=98$，对应$y=98$或$y=102$
结合$x＞y$的条件，舍去$x=98,y=102$的解。
【答案】
$\begin{cases} x=102 \\ y=98 \end{cases}$
【知识点】
平均数公式，方差公式，二元方程组求解
【点评】
本题是统计与代数结合的基础题，核心考查平均数、方差公式的灵活应用，解题时需注意题干给出的未知数大小关系，避免多解漏选，熟练掌握统计基本公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
