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1 某工厂对一个生产小组的零件进行为期10天的抽样调查，在此过程中，每天抽出的次品数如下(单位:个):0、2、0、2、3、0、2、3、1、2。那么，在这10天中，这个小组生产零件所出的次品数的以下说法中，正确的是(
A.平均数是2
B.众数是3
C.中位数是1.5
D.方差是1.25
D
)。A.平均数是2
B.众数是3
C.中位数是1.5
D.方差是1.25
答案
1.D
解析
【分析】
本题需要逐一验证四个选项对应统计量的正确性，解题思路如下：首先将10天的次品数按从小到大排序，再分别依据平均数、众数、中位数、方差的定义计算对应数值，最后将计算结果和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
先将这组数据从小到大排序：0，0，0，1，2，2，2，2，3，3。
1. 计算平均数：
数据总和 = $0×3 + 1×1 + 2×4 + 3×2 = 15$，平均数 = $15÷10 = 1.5$，因此A选项错误。
2. 判断众数：
数据中2出现的次数最多（共4次），所以众数是2，因此B选项错误。
3. 计算中位数：
共10个数据（偶数个），中位数为第5个和第6个数据的平均数，即$(2+2)÷2=2$，因此C选项错误。
4. 计算方差：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，其中平均数$\bar{x}=1.5$，数据个数$n=10$：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{10}[3×(0-1.5)^2 + 1×(1-1.5)^2 + 4×(2-1.5)^2 + 2×(3-1.5)^2]\\&=\frac{1}{10}(3×2.25 + 0.25 + 4×0.25 + 2×2.25)\\&=\frac{1}{10}×12.5\\&=1.25\end{aligned}$
因此D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
平均数计算；众数与中位数；方差计算
【点评】
本题是统计部分的基础题型，主要考查各常见统计量的定义和计算方法，只要熟练掌握相关规则、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
本题需要逐一验证四个选项对应统计量的正确性，解题思路如下：首先将10天的次品数按从小到大排序，再分别依据平均数、众数、中位数、方差的定义计算对应数值，最后将计算结果和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
先将这组数据从小到大排序：0，0，0，1，2，2，2，2，3，3。
1. 计算平均数：
数据总和 = $0×3 + 1×1 + 2×4 + 3×2 = 15$，平均数 = $15÷10 = 1.5$，因此A选项错误。
2. 判断众数：
数据中2出现的次数最多（共4次），所以众数是2，因此B选项错误。
3. 计算中位数：
共10个数据（偶数个），中位数为第5个和第6个数据的平均数，即$(2+2)÷2=2$，因此C选项错误。
4. 计算方差：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，其中平均数$\bar{x}=1.5$，数据个数$n=10$：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{10}[3×(0-1.5)^2 + 1×(1-1.5)^2 + 4×(2-1.5)^2 + 2×(3-1.5)^2]\\&=\frac{1}{10}(3×2.25 + 0.25 + 4×0.25 + 2×2.25)\\&=\frac{1}{10}×12.5\\&=1.25\end{aligned}$
因此D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
平均数计算；众数与中位数；方差计算
【点评】
本题是统计部分的基础题型，主要考查各常见统计量的定义和计算方法，只要熟练掌握相关规则、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
2 甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩(单位:个)如图所示,下列判断正确的是(
A.甲的成绩比乙稳定
B.甲的最好成绩比乙好
C.甲的成绩的平均数比乙大
D.甲的成绩的中位数比乙大
A
)。A.甲的成绩比乙稳定
B.甲的最好成绩比乙好
C.甲的成绩的平均数比乙大
D.甲的成绩的中位数比乙大
答案
2.A
解析
【分析】
首先从折线统计图中分别提取甲、乙两名同学的五次引体向上测试成绩，再分别计算两人成绩的平均数、中位数、方差，同时确定两人的最高成绩，最后逐一核对四个选项的描述是否正确，即可得到正确答案。
【解析】
先从图中提取两人成绩：
甲的五次成绩依次为：8，9，8，7，8，按从小到大排序为：7，8，8，8，9；
乙的五次成绩依次为：6，7，10，8，9，按从小到大排序为：6，7，8，9，10。
逐一分析选项：
A. 稳定性由方差判断，方差越小越稳定：
甲的平均数$\overline{x}_甲=\frac{7+8+8+8+9}{5}=8$，
甲方差$s^2_甲=\frac{1}{5}[(7-8)^2+3×(8-8)^2+(9-8)^2]=\frac{1}{5}×(1+0+1)=0.4$；
乙的平均数$\overline{x}_乙=\frac{6+7+8+9+10}{5}=8$，
乙方差$s^2_乙=\frac{1}{5}[(6-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2]=\frac{1}{5}×(4+1+0+1+4)=2$。
因为$s^2_甲＜s^2_乙$，所以甲的成绩比乙稳定，A正确。
B. 甲的最好成绩是9个，乙的最好成绩是10个，乙的最好成绩更好，B错误。
C. 由计算可知$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙=8$，两人平均数相等，C错误。
D. 甲的中位数是排序后第3个数据，为8；乙的中位数是排序后第3个数据，为8，两人中位数相等，D错误。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
折线统计图，方差，统计量计算
【点评】
本题结合折线统计图考查统计相关知识，需要考生具备从图表中准确提取数据的能力，熟练掌握平均数、中位数、方差的计算方法和意义即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
首先从折线统计图中分别提取甲、乙两名同学的五次引体向上测试成绩，再分别计算两人成绩的平均数、中位数、方差，同时确定两人的最高成绩，最后逐一核对四个选项的描述是否正确，即可得到正确答案。
【解析】
先从图中提取两人成绩：
甲的五次成绩依次为：8，9，8，7，8，按从小到大排序为：7，8，8，8，9；
乙的五次成绩依次为：6，7，10，8，9，按从小到大排序为：6，7，8，9，10。
逐一分析选项：
A. 稳定性由方差判断，方差越小越稳定：
甲的平均数$\overline{x}_甲=\frac{7+8+8+8+9}{5}=8$，
甲方差$s^2_甲=\frac{1}{5}[(7-8)^2+3×(8-8)^2+(9-8)^2]=\frac{1}{5}×(1+0+1)=0.4$；
乙的平均数$\overline{x}_乙=\frac{6+7+8+9+10}{5}=8$，
乙方差$s^2_乙=\frac{1}{5}[(6-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2]=\frac{1}{5}×(4+1+0+1+4)=2$。
因为$s^2_甲＜s^2_乙$，所以甲的成绩比乙稳定，A正确。
B. 甲的最好成绩是9个，乙的最好成绩是10个，乙的最好成绩更好，B错误。
C. 由计算可知$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙=8$，两人平均数相等，C错误。
D. 甲的中位数是排序后第3个数据，为8；乙的中位数是排序后第3个数据，为8，两人中位数相等，D错误。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
折线统计图，方差，统计量计算
【点评】
本题结合折线统计图考查统计相关知识，需要考生具备从图表中准确提取数据的能力，熟练掌握平均数、中位数、方差的计算方法和意义即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
3 甲、乙两个合唱队队员的平均身高都是175 cm，离差平方和分别是$S_{甲}^{2}$、$S_{乙}^{2}$，且$S_{甲}^{2} ＞ S_{乙}^{2}$，那么关于甲、乙两个队的队员的身高的说法中正确的是(
A.甲队比较整齐
B.乙队比较整齐
C.甲、乙两队一样整齐
D.不能确定
一 二 三 四 五 次序
D
)。A.甲队比较整齐
B.乙队比较整齐
C.甲、乙两队一样整齐
D.不能确定
一 二 三 四 五 次序
答案
3.D
解析
【分析】
要判断两个队队员身高谁更整齐，核心是比较两队身高的方差大小：方差越小，身高波动越小，队伍越整齐。首先回忆方差与离差平方和的关系：方差等于离差平方和除以队员总人数。题目仅给出了两队离差平方和的大小关系，未告知两队的队员人数，因此需要先明确缺少样本容量这一必要条件，无法计算方差，进而无法判断整齐程度。
【解析】
1. 衡量一组数据整齐程度的统计量是方差，方差越小，数据的波动越小，身高越整齐。
2. 方差的计算公式为：$\mathrm{方差}=\frac{\mathrm{离差平方和}}{n}$，其中$n$是该组数据的总个数（即本题中合唱队的队员人数）。
3. 题目仅说明$S_{甲}^{2} ＞ S_{乙}^{2}$（$S_{甲}^{2}$、$S_{乙}^{2}$为离差平方和），但未给出甲、乙两队的队员人数$n_甲$、$n_乙$的大小关系，因此无法计算并比较两队方差的大小，故无法确定哪队队员的身高更整齐。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 方差的意义
2. 离差平方和
3. 数据波动判断
【点评】
本题容易出现惯性思维错误，很多同学会直接将题干中的$S_{甲}^{2}$、$S_{乙}^{2}$误当作方差进行比较，从而错选B。解题时要注意审题，明确题目给出的统计量的定义，结合公式判断是否有足够的条件进行计算比较。
【难度系数】
0.3
要判断两个队队员身高谁更整齐，核心是比较两队身高的方差大小：方差越小，身高波动越小，队伍越整齐。首先回忆方差与离差平方和的关系：方差等于离差平方和除以队员总人数。题目仅给出了两队离差平方和的大小关系，未告知两队的队员人数，因此需要先明确缺少样本容量这一必要条件，无法计算方差，进而无法判断整齐程度。
【解析】
1. 衡量一组数据整齐程度的统计量是方差，方差越小，数据的波动越小，身高越整齐。
2. 方差的计算公式为：$\mathrm{方差}=\frac{\mathrm{离差平方和}}{n}$，其中$n$是该组数据的总个数（即本题中合唱队的队员人数）。
3. 题目仅说明$S_{甲}^{2} ＞ S_{乙}^{2}$（$S_{甲}^{2}$、$S_{乙}^{2}$为离差平方和），但未给出甲、乙两队的队员人数$n_甲$、$n_乙$的大小关系，因此无法计算并比较两队方差的大小，故无法确定哪队队员的身高更整齐。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 方差的意义
2. 离差平方和
3. 数据波动判断
【点评】
本题容易出现惯性思维错误，很多同学会直接将题干中的$S_{甲}^{2}$、$S_{乙}^{2}$误当作方差进行比较，从而错选B。解题时要注意审题，明确题目给出的统计量的定义，结合公式判断是否有足够的条件进行计算比较。
【难度系数】
0.3
4 已知一个样本的方差为$s^2=\frac{1}{20}[(x_1 - 3)^2 + (x_2 - 3)^2 + \dots + (x_{20} - 3)^2]$，那么这个样本的样本容量是
20
，平均数是3
。答案
4. 样本容量是20，平均数是3
解析
【分析】
解题时首先回忆方差的标准计算公式，明确公式中每一部分对应的含义：公式中分母的数值就是样本容量，括号内减去的常数就是样本的平均数，再将题目给出的方差表达式与标准公式逐一对照，即可直接得出所求的两个量。
【解析】
根据方差的定义，一组数据的方差计算公式为：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
其中$n$为样本容量，$\overline{x}$为这组数据的平均数。
将题干给出的$s^2=\frac{1}{20}[(x_1 - 3)^2 + (x_2 - 3)^2 + \dots + (x_{20} - 3)^2]$与上述公式对比可得：
分母$n=20$，即样本容量为20；括号内减去的常数$\overline{x}=3$，即样本平均数为3。
【答案】
20；3
【知识点】
方差的定义；样本容量；平均数
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对方差计算公式的识记，只要清楚公式中各参数的意义就能快速得到答案，是方差相关内容的基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆方差的标准计算公式，明确公式中每一部分对应的含义：公式中分母的数值就是样本容量，括号内减去的常数就是样本的平均数，再将题目给出的方差表达式与标准公式逐一对照，即可直接得出所求的两个量。
【解析】
根据方差的定义，一组数据的方差计算公式为：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
其中$n$为样本容量，$\overline{x}$为这组数据的平均数。
将题干给出的$s^2=\frac{1}{20}[(x_1 - 3)^2 + (x_2 - 3)^2 + \dots + (x_{20} - 3)^2]$与上述公式对比可得：
分母$n=20$，即样本容量为20；括号内减去的常数$\overline{x}=3$，即样本平均数为3。
【答案】
20；3
【知识点】
方差的定义；样本容量；平均数
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对方差计算公式的识记，只要清楚公式中各参数的意义就能快速得到答案，是方差相关内容的基础题型。
【难度系数】
0.9
5 已知一组数据2、3、4、5、6、7、8，那么这组数据的平均数为
5
，离差平方和为28
，方差为4
。答案
5. 平均数为5，离差平方和为28，方差为4
解析
【分析】
解题时可按照“先求平均数→再求离差平方和→最后求方差”的顺序逐步计算：①平均数根据算术平均数的定义计算，即所有数据的和除以数据的总个数；②离差平方和是每个数据与平均数的差的平方之和，先算出每个数据和平均数的差，分别平方后再相加即可；③方差是离差平方和除以数据总个数，用第二步算出的离差平方和除以数据个数就能得到方差。
【解析】
1. 计算平均数：
这组数据共有7个，数据总和为$2+3+4+5+6+7+8=35$，
根据平均数公式$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，得平均数$\bar{x}=\frac{35}{7}=5$。
2. 计算离差平方和：
离差平方和公式为$\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$，代入数据得：
$(2-5)^2+(3-5)^2+(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2+(7-5)^2+(8-5)^2$
$=9+4+1+0+1+4+9=28$。
3. 计算方差：
方差公式为$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$，代入离差平方和与数据个数得：
$s^2=\frac{28}{7}=4$。
【答案】
5；28；4
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算；方差计算
【点评】
本题属于基础概念类计算题，核心考察三个统计量的基本计算公式，只要牢记各公式的运算规则，仔细计算即可得分。
【难度系数】
0.9
解题时可按照“先求平均数→再求离差平方和→最后求方差”的顺序逐步计算：①平均数根据算术平均数的定义计算，即所有数据的和除以数据的总个数；②离差平方和是每个数据与平均数的差的平方之和，先算出每个数据和平均数的差，分别平方后再相加即可；③方差是离差平方和除以数据总个数，用第二步算出的离差平方和除以数据个数就能得到方差。
【解析】
1. 计算平均数：
这组数据共有7个，数据总和为$2+3+4+5+6+7+8=35$，
根据平均数公式$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，得平均数$\bar{x}=\frac{35}{7}=5$。
2. 计算离差平方和：
离差平方和公式为$\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$，代入数据得：
$(2-5)^2+(3-5)^2+(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2+(7-5)^2+(8-5)^2$
$=9+4+1+0+1+4+9=28$。
3. 计算方差：
方差公式为$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$，代入离差平方和与数据个数得：
$s^2=\frac{28}{7}=4$。
【答案】
5；28；4
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算；方差计算
【点评】
本题属于基础概念类计算题，核心考察三个统计量的基本计算公式，只要牢记各公式的运算规则，仔细计算即可得分。
【难度系数】
0.9
⑥已知一个样本1、3、2、5、x的平均数为3，那么这个样本的离差平方和是
10
。答案
6. 离差平方和是10
解析
【分析】
要解这道题需分两步思考：第一步，根据平均数的定义，已知平均数和其余4个样本数据，可列方程求出未知数据x的值；第二步，结合离差平方和的概念，计算每个样本数据与平均数差值的平方和，即可得到最终结果。
【解析】
第一步：求未知数据x的值
根据平均数计算公式：$\bar{x}=\frac{数据总和}{数据个数}$，代入已知条件得：
$\frac{1+3+2+5+x}{5}=3$
计算已知数据的和：$1+3+2+5=11$，因此方程可化为：
$11+x=3×5$
解得$x=4$。
第二步：计算离差平方和
离差平方和是所有样本数据与平均数的差的平方之和，代入数值计算：
$\begin{aligned}离差平方和&=(1-3)^2+(3-3)^2+(2-3)^2+(5-3)^2+(4-3)^2\\&=(-2)^2+0^2+(-1)^2+2^2+1^2\\&=4+0+1+4+1\\&=10\end{aligned}$
【答案】
10
【知识点】
平均数计算，离差平方和
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是先通过平均数公式求出未知数据，再代入离差平方和的定义式计算，熟练掌握相关概念就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
要解这道题需分两步思考：第一步，根据平均数的定义，已知平均数和其余4个样本数据，可列方程求出未知数据x的值；第二步，结合离差平方和的概念，计算每个样本数据与平均数差值的平方和，即可得到最终结果。
【解析】
第一步：求未知数据x的值
根据平均数计算公式：$\bar{x}=\frac{数据总和}{数据个数}$，代入已知条件得：
$\frac{1+3+2+5+x}{5}=3$
计算已知数据的和：$1+3+2+5=11$，因此方程可化为：
$11+x=3×5$
解得$x=4$。
第二步：计算离差平方和
离差平方和是所有样本数据与平均数的差的平方之和，代入数值计算：
$\begin{aligned}离差平方和&=(1-3)^2+(3-3)^2+(2-3)^2+(5-3)^2+(4-3)^2\\&=(-2)^2+0^2+(-1)^2+2^2+1^2\\&=4+0+1+4+1\\&=10\end{aligned}$
【答案】
10
【知识点】
平均数计算，离差平方和
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是先通过平均数公式求出未知数据，再代入离差平方和的定义式计算，熟练掌握相关概念就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
7 一次数学测试，某小组五名同学的成绩如下表所示(有两个数据被遮盖):
答案
解：
由五名同学的平均成绩为80，可得五人总成绩为 $ 5 × 80 = 400 $
因此丙的得分为：
$ 400 - 81 - 79 - 80 - 82 = 78 $
根据方差计算公式，该组数据的方差为：
$\begin{aligned}s^2 &= \frac{1}{5}[(81-80)^2 + (79-80)^2 + (78-80)^2 + (80-80)^2 + (82-80)^2] \\&= \frac{1}{5}(1 + 1 + 4 + 0 + 4) \\&= 2\end{aligned}$
答：被遮盖的丙的成绩为78，被遮盖的方差为2。
由五名同学的平均成绩为80，可得五人总成绩为 $ 5 × 80 = 400 $
因此丙的得分为：
$ 400 - 81 - 79 - 80 - 82 = 78 $
根据方差计算公式，该组数据的方差为：
$\begin{aligned}s^2 &= \frac{1}{5}[(81-80)^2 + (79-80)^2 + (78-80)^2 + (80-80)^2 + (82-80)^2] \\&= \frac{1}{5}(1 + 1 + 4 + 0 + 4) \\&= 2\end{aligned}$
答：被遮盖的丙的成绩为78，被遮盖的方差为2。
解析
【分析】
解题分两步思考：第一步求丙的成绩，已知五人的平均成绩，根据“总成绩=平均成绩×总人数”先算出五人总成绩，再减去其余四名同学的已知成绩，即可得到丙的得分；第二步求方差，得到所有五人的成绩后，代入方差计算公式，算出每个数据与平均数差值的平方的平均值，就能得到方差的值。
【解析】
首先计算五名同学的总成绩：
$\mathrm{总成绩}=5×80=400$
因此丙的得分为：
$400-81-79-80-82=78$
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$（其中$\overline{x}$为平均数，$n$为数据个数）计算方差：
$\begin{aligned}s^2 &= \frac{1}{5}[(81-80)^2 + (79-80)^2 + (78-80)^2 + (80-80)^2 + (82-80)^2] \\&= \frac{1}{5}(1 + 1 + 4 + 0 + 4) \\&= 2\end{aligned}$
【答案】
被遮盖的丙的成绩为78，被遮盖的方差为2。
【知识点】
平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题是基础统计计算题，核心是熟练掌握平均数和方差的定义及计算公式，先通过平均数反推未知数据，再代入公式求解即可，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
解题分两步思考：第一步求丙的成绩，已知五人的平均成绩，根据“总成绩=平均成绩×总人数”先算出五人总成绩，再减去其余四名同学的已知成绩，即可得到丙的得分；第二步求方差，得到所有五人的成绩后，代入方差计算公式，算出每个数据与平均数差值的平方的平均值，就能得到方差的值。
【解析】
首先计算五名同学的总成绩：
$\mathrm{总成绩}=5×80=400$
因此丙的得分为：
$400-81-79-80-82=78$
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$（其中$\overline{x}$为平均数，$n$为数据个数）计算方差：
$\begin{aligned}s^2 &= \frac{1}{5}[(81-80)^2 + (79-80)^2 + (78-80)^2 + (80-80)^2 + (82-80)^2] \\&= \frac{1}{5}(1 + 1 + 4 + 0 + 4) \\&= 2\end{aligned}$
【答案】
被遮盖的丙的成绩为78，被遮盖的方差为2。
【知识点】
平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题是基础统计计算题，核心是熟练掌握平均数和方差的定义及计算公式，先通过平均数反推未知数据，再代入公式求解即可，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
那么被遮盖的两个数据依次是
78
，2
。答案
7. 被遮盖的两个数据依次是78，2
解析
【分析】
解题分两步完成：第一步，先利用算术平均数的计算公式，结合已知的平均数和其余已知数据，求出第一个被遮盖的原始数据；第二步，将求得的原始数据代入方差计算公式，即可算出第二个被遮盖的数据。
【解析】
设被遮盖的第一个数据为$a$，已知该组数据的平均数为78：
1. 求第一个被遮盖数据：
根据算术平均数公式$\overline{x}=\frac{\mathrm{所有数据之和}}{\mathrm{数据总个数}}$，可得所有数据的总和为“数据总个数×78”，用总和减去其余已知数据的和，计算得$a=78$。
2. 求第二个被遮盖数据：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，将$a=78$和其余已知数据代入，计算各数据与平均数78的差的平方和，再除以数据总个数，最终求得方差为2，即第二个被遮盖的数据为2。
【答案】
78，2
【知识点】
平均数计算，方差计算
【点评】
本题是统计类基础计算题，解题核心是熟练掌握平均数和方差的计算公式，按照先求未知原始数据、再求统计量的顺序计算即可。
【难度系数】
0.8
解题分两步完成：第一步，先利用算术平均数的计算公式，结合已知的平均数和其余已知数据，求出第一个被遮盖的原始数据；第二步，将求得的原始数据代入方差计算公式，即可算出第二个被遮盖的数据。
【解析】
设被遮盖的第一个数据为$a$，已知该组数据的平均数为78：
1. 求第一个被遮盖数据：
根据算术平均数公式$\overline{x}=\frac{\mathrm{所有数据之和}}{\mathrm{数据总个数}}$，可得所有数据的总和为“数据总个数×78”，用总和减去其余已知数据的和，计算得$a=78$。
2. 求第二个被遮盖数据：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，将$a=78$和其余已知数据代入，计算各数据与平均数78的差的平方和，再除以数据总个数，最终求得方差为2，即第二个被遮盖的数据为2。
【答案】
78，2
【知识点】
平均数计算，方差计算
【点评】
本题是统计类基础计算题，解题核心是熟练掌握平均数和方差的计算公式，按照先求未知原始数据、再求统计量的顺序计算即可。
【难度系数】
0.8
8 若$x_1, x_2, \dots, x_n$的平均数为3，$x_1^2, x_2^2, \dots, x_n^2$的平均数为16，则$3x_1, 3x_2, \dots, 3x_n$的方差为
63
。答案
8. 63 [提示:由题意得$x_1 + x_2 + \dots + x_n = 3n$，$x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 = 16n$，$s^2=\frac{1}{n}[(3x_1 - 9)^2 + (3x_2 - 9)^2 + \dots + (3x_n - 9)^2]=\frac{1}{n}[9(x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2) - 54(x_1 + x_2 + \dots + x_n) + 81n]=63。]$
解析
【分析】
要计算$3x_1,3x_2,\dots,3x_n$的方差，首先需要明确方差的计算逻辑：方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数。第一步先求新数据的平均数：根据平均数的性质，原数据每个数扩大3倍，平均数也扩大3倍，可得新数据的平均数为$3×3=9$；第二步写出新数据的方差定义式，将完全平方展开后，会出现$x_i$的和、$x_i^2$的和这两个量，而题目给出的原数据平均数、原数据平方的平均数刚好可以求出这两个总量，整体代入化简即可得到结果。
【解析】
解：① 先求新数据的平均数：
已知$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为3，因此$3x_1,3x_2,\dots,3x_n$的平均数$\overline{x'}=3×3=9$，且由题意得：
$x_1+x_2+\dots+x_n = 3n$，$x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2=16n$。
② 根据方差的定义，新数据的方差为：
$\begin{aligned}s'^2&=\frac{1}{n}[(3x_1 - 9)^2+(3x_2 - 9)^2+\dots+(3x_n - 9)^2]\\&=\frac{1}{n}[(9x_1^2 - 54x_1 + 81)+(9x_2^2 - 54x_2 + 81)+\dots+(9x_n^2 - 54x_n + 81)]\\&=\frac{1}{n}[9(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2) - 54(x_1+x_2+\dots+x_n) + 81n]\end{aligned}$
③ 代入已知条件计算：
$\begin{aligned}s'^2&=\frac{1}{n}(9×16n -54×3n +81n)\\&=\frac{1}{n}(144n -162n +81n)\\&=\frac{63n}{n}\\&=63\end{aligned}$
【答案】
63
【知识点】
平均数的性质；方差的计算；完全平方公式
【点评】
本题考查方差的基础计算，解题的关键是熟练掌握方差的定义式，结合平均数的性质得到所需的总量，通过整体代入的方法化简计算，不需要单独求解每个$x_i$的值，能有效提升计算效率。
【难度系数】
0.7
要计算$3x_1,3x_2,\dots,3x_n$的方差，首先需要明确方差的计算逻辑：方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数。第一步先求新数据的平均数：根据平均数的性质，原数据每个数扩大3倍，平均数也扩大3倍，可得新数据的平均数为$3×3=9$；第二步写出新数据的方差定义式，将完全平方展开后，会出现$x_i$的和、$x_i^2$的和这两个量，而题目给出的原数据平均数、原数据平方的平均数刚好可以求出这两个总量，整体代入化简即可得到结果。
【解析】
解：① 先求新数据的平均数：
已知$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为3，因此$3x_1,3x_2,\dots,3x_n$的平均数$\overline{x'}=3×3=9$，且由题意得：
$x_1+x_2+\dots+x_n = 3n$，$x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2=16n$。
② 根据方差的定义，新数据的方差为：
$\begin{aligned}s'^2&=\frac{1}{n}[(3x_1 - 9)^2+(3x_2 - 9)^2+\dots+(3x_n - 9)^2]\\&=\frac{1}{n}[(9x_1^2 - 54x_1 + 81)+(9x_2^2 - 54x_2 + 81)+\dots+(9x_n^2 - 54x_n + 81)]\\&=\frac{1}{n}[9(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2) - 54(x_1+x_2+\dots+x_n) + 81n]\end{aligned}$
③ 代入已知条件计算：
$\begin{aligned}s'^2&=\frac{1}{n}(9×16n -54×3n +81n)\\&=\frac{1}{n}(144n -162n +81n)\\&=\frac{63n}{n}\\&=63\end{aligned}$
【答案】
63
【知识点】
平均数的性质；方差的计算；完全平方公式
【点评】
本题考查方差的基础计算，解题的关键是熟练掌握方差的定义式，结合平均数的性质得到所需的总量，通过整体代入的方法化简计算，不需要单独求解每个$x_i$的值，能有效提升计算效率。
【难度系数】
0.7
