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13.已知$x=2^m +1$，$y=3+4^m$，试用含$x$的代数式表示$y$.
答案
13.$y=(x-1)^2+3$
解析
【分析】
要想用含x的代数式表示y，首先要找到两个式子中关联的公共部分，也就是含m的幂次项。观察已知条件，x的表达式包含$2^m$，y的表达式包含$4^m$，而$4^m$可通过幂的乘方法则转化为$(2^m)^2$，因此先从x的表达式中解出$2^m$，再代入y的表达式化简即可得到结果。
【解析】
1. 整理x的表达式，分离出含m的幂项：
由$x=2^m +1$，移项可得$2^m = x - 1$。
2. 变形y的表达式中的幂次项：
根据幂的乘方法则，$4^m=(2^2)^m=(2^m)^2$，代入y的原式得：$y=3 + (2^m)^2$。
3. 代入消去m：
将$2^m = x - 1$代入$y=3 + (2^m)^2$，可得$y=3 + (x-1)^2$，即$y=(x-1)^2 + 3$。
【答案】
$y=(x-1)^2+3$
【知识点】
幂的乘方运算、代数式变形、代入消元
【点评】
本题重点考查幂的运算性质的灵活应用，解题核心是发现$4^m$和$2^m$的平方关系，通过消去参数m实现代数式的转化，属于基础类代数变形题，熟练掌握幂的相关运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要想用含x的代数式表示y，首先要找到两个式子中关联的公共部分，也就是含m的幂次项。观察已知条件，x的表达式包含$2^m$，y的表达式包含$4^m$，而$4^m$可通过幂的乘方法则转化为$(2^m)^2$，因此先从x的表达式中解出$2^m$，再代入y的表达式化简即可得到结果。
【解析】
1. 整理x的表达式，分离出含m的幂项：
由$x=2^m +1$，移项可得$2^m = x - 1$。
2. 变形y的表达式中的幂次项：
根据幂的乘方法则，$4^m=(2^2)^m=(2^m)^2$，代入y的原式得：$y=3 + (2^m)^2$。
3. 代入消去m：
将$2^m = x - 1$代入$y=3 + (2^m)^2$，可得$y=3 + (x-1)^2$，即$y=(x-1)^2 + 3$。
【答案】
$y=(x-1)^2+3$
【知识点】
幂的乘方运算、代数式变形、代入消元
【点评】
本题重点考查幂的运算性质的灵活应用，解题核心是发现$4^m$和$2^m$的平方关系，通过消去参数m实现代数式的转化，属于基础类代数变形题，熟练掌握幂的相关运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.7
14.已知$(a^3 · a^{5x})^m = a^{56}$，当$x=5$时，$m$等于（
A.29
B.3
C.2
D.5
C
）A.29
B.3
C.2
D.5
答案
14.C
解析
【分析】
解题时先回忆幂的相关运算法则：第一步先计算括号内的同底数幂乘法，底数不变指数相加；第二步计算幂的乘方，底数不变指数相乘，得到左边幂的指数表达式；第三步将x=5代入，再利用“同底数幂相等时，指数也相等”的性质列关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
第一步：计算括号内的同底数幂乘法
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$a^3 · a^{5x} = a^{3+5x}$
第二步：计算幂的乘方
根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得：
$(a^{3+5x})^m = a^{m(3+5x)}$
第三步：根据等式列方程
已知等式左右两边均为以a为底的幂，所以指数相等，即：
$m(3+5x) = 56$
第四步：代入x=5求解m
把$x=5$代入上式得：
$m×(3+5×5)=56$
$28m=56$
解得$m=2$
【答案】
C
【知识点】
同底数幂乘法、幂的乘方运算、一元一次方程求解
【点评】
本题是幂运算的基础应用题型，核心考查幂运算的基本法则，运算过程中注意区分同底数幂乘法和幂的乘方的指数运算规则，避免混淆。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆幂的相关运算法则：第一步先计算括号内的同底数幂乘法，底数不变指数相加；第二步计算幂的乘方，底数不变指数相乘，得到左边幂的指数表达式；第三步将x=5代入，再利用“同底数幂相等时，指数也相等”的性质列关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】
第一步：计算括号内的同底数幂乘法
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$a^3 · a^{5x} = a^{3+5x}$
第二步：计算幂的乘方
根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得：
$(a^{3+5x})^m = a^{m(3+5x)}$
第三步：根据等式列方程
已知等式左右两边均为以a为底的幂，所以指数相等，即：
$m(3+5x) = 56$
第四步：代入x=5求解m
把$x=5$代入上式得：
$m×(3+5×5)=56$
$28m=56$
解得$m=2$
【答案】
C
【知识点】
同底数幂乘法、幂的乘方运算、一元一次方程求解
【点评】
本题是幂运算的基础应用题型，核心考查幂运算的基本法则，运算过程中注意区分同底数幂乘法和幂的乘方的指数运算规则，避免混淆。
【难度系数】
0.8
15.若$x^n=2$，$y^n=3$，则$(xy)^{3n}$等于（
A.12
B.16
C.18
D.216
D
）A.12
B.16
C.18
D.216
答案
15.D
解析
【分析】
本题考查幂的运算性质的应用，解题思路如下：首先观察所求式子$(xy)^{3n}$的形式，先利用积的乘方运算性质展开括号，将其转化为$x^{3n}· y^{3n}$；再利用幂的乘方运算的逆用，把$x^{3n}$变形为$(x^n)^3$，$y^{3n}$变形为$(y^n)^3$；最后把已知的$x^n=2$、$y^n=3$代入计算，即可得到结果。
【解析】
解：根据积的乘方运算性质$(ab)^m=a^m b^m$，可得：
$(xy)^{3n}=x^{3n}· y^{3n}$
再根据幂的乘方运算性质的逆用$a^{mn}=(a^m)^n$，可得：
$x^{3n}=(x^n)^3$，$y^{3n}=(y^n)^3$
将$x^n=2$，$y^n=3$代入上式计算：
原式$=(x^n)^3×(y^n)^3=2^3×3^3=8×27=216$
因此答案选D。
【答案】D
【知识点】积的乘方运算，幂的乘方运算
【点评】本题是幂运算的基础应用题，核心是熟练掌握幂的相关运算性质，并且能够灵活运用其逆变形代入已知条件求解，是幂运算章节的常见考查题型。
【难度系数】0.8
本题考查幂的运算性质的应用，解题思路如下：首先观察所求式子$(xy)^{3n}$的形式，先利用积的乘方运算性质展开括号，将其转化为$x^{3n}· y^{3n}$；再利用幂的乘方运算的逆用，把$x^{3n}$变形为$(x^n)^3$，$y^{3n}$变形为$(y^n)^3$；最后把已知的$x^n=2$、$y^n=3$代入计算，即可得到结果。
【解析】
解：根据积的乘方运算性质$(ab)^m=a^m b^m$，可得：
$(xy)^{3n}=x^{3n}· y^{3n}$
再根据幂的乘方运算性质的逆用$a^{mn}=(a^m)^n$，可得：
$x^{3n}=(x^n)^3$，$y^{3n}=(y^n)^3$
将$x^n=2$，$y^n=3$代入上式计算：
原式$=(x^n)^3×(y^n)^3=2^3×3^3=8×27=216$
因此答案选D。
【答案】D
【知识点】积的乘方运算，幂的乘方运算
【点评】本题是幂运算的基础应用题，核心是熟练掌握幂的相关运算性质，并且能够灵活运用其逆变形代入已知条件求解，是幂运算章节的常见考查题型。
【难度系数】0.8
16.若$n$为正整数，且$x^{2n}=7$，则$(3x^{3n})^2 - 4(x^2)^{2n}$的值是（
A.833
B.2 891
C.3 283
D.1 225
B
）A.833
B.2 891
C.3 283
D.1 225
答案
16.B
解析
【分析】
本题需要利用幂的运算性质，将所求代数式转化为含有已知条件$x^{2n}=7$的形式，再代入计算即可。解题思路如下：第一步，根据积的乘方和幂的乘方法则，分别化简代数式中的两项；第二步，把化简后的式子的指数变形为$2n$的倍数，转化为用$x^{2n}$表示的形式；第三步，将$x^{2n}=7$代入化简后的式子，计算出最终结果匹配选项即可。
【解析】
首先利用幂的运算性质化简原式：
1. 化简$(3x^{3n})^2$：根据积的乘方法则$(ab)^m=a^mb^m$，可得$(3x^{3n})^2=3^2· (x^{3n})^2=9x^{6n}$；再根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$x^{6n}=(x^{2n})^3$，因此$(3x^{3n})^2=9(x^{2n})^3$。
2. 化简$4(x^2)^{2n}$：根据幂的乘方法则，$(x^2)^{2n}=x^{4n}=(x^{2n})^2$，因此$4(x^2)^{2n}=4(x^{2n})^2$。
将$x^{2n}=7$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=9×(x^{2n})^3 - 4×(x^{2n})^2\\&=9×7^3 - 4×7^2\\&=9×343 - 4×49\\&=3087 - 196\\&=2891\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方运算、积的乘方运算、整体代入求值
【点评】
本题核心考查幂的运算公式的灵活运用，需要熟练掌握幂的乘方、积的乘方的运算规则，通过变形将所求代数式和已知条件建立联系，运用整体代入思想求解，计算过程中要注意指数转换和数值运算的准确性。
【难度系数】
0.7
本题需要利用幂的运算性质，将所求代数式转化为含有已知条件$x^{2n}=7$的形式，再代入计算即可。解题思路如下：第一步，根据积的乘方和幂的乘方法则，分别化简代数式中的两项；第二步，把化简后的式子的指数变形为$2n$的倍数，转化为用$x^{2n}$表示的形式；第三步，将$x^{2n}=7$代入化简后的式子，计算出最终结果匹配选项即可。
【解析】
首先利用幂的运算性质化简原式：
1. 化简$(3x^{3n})^2$：根据积的乘方法则$(ab)^m=a^mb^m$，可得$(3x^{3n})^2=3^2· (x^{3n})^2=9x^{6n}$；再根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$x^{6n}=(x^{2n})^3$，因此$(3x^{3n})^2=9(x^{2n})^3$。
2. 化简$4(x^2)^{2n}$：根据幂的乘方法则，$(x^2)^{2n}=x^{4n}=(x^{2n})^2$，因此$4(x^2)^{2n}=4(x^{2n})^2$。
将$x^{2n}=7$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=9×(x^{2n})^3 - 4×(x^{2n})^2\\&=9×7^3 - 4×7^2\\&=9×343 - 4×49\\&=3087 - 196\\&=2891\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方运算、积的乘方运算、整体代入求值
【点评】
本题核心考查幂的运算公式的灵活运用，需要熟练掌握幂的乘方、积的乘方的运算规则，通过变形将所求代数式和已知条件建立联系，运用整体代入思想求解，计算过程中要注意指数转换和数值运算的准确性。
【难度系数】
0.7
17. 对于正整数$n$,计算$(-3)^{2n+1} + 3×(-3)^{2n}$的结果是（
A.$3^{4n+1}$
B.$2×3^{2n+1}$
C.$-2×3^{2n+1}$
D.$0$
D
）A.$3^{4n+1}$
B.$2×3^{2n+1}$
C.$-2×3^{2n+1}$
D.$0$
答案
17.D
解析
【分析】
解题时首先根据n是正整数，判断出指数2n是偶数、2n+1是奇数，再结合负数乘方的符号规律：负数的偶次幂为正，奇次幂为负，将原式中的两个乘方项转化为底数为3的形式，最后合并同类项即可算出结果。
【解析】
解：
∵n是正整数，
∴2n为偶数，2n+1为奇数，
∴$(-3)^{2n}=3^{2n}$，$(-3)^{2n+1}=-3×3^{2n}$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}(-3)^{2n+1}+3×(-3)^{2n}&=-3×3^{2n}+3×3^{2n}\\&=0\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
乘方的符号法则、同底数幂运算、合并同类项
【点评】
本题侧重考查乘方的基本性质和整式的基础运算，解题的核心是先根据指数的奇偶性确定乘方结果的符号，再进行化简合并，掌握相关基础规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据n是正整数，判断出指数2n是偶数、2n+1是奇数，再结合负数乘方的符号规律：负数的偶次幂为正，奇次幂为负，将原式中的两个乘方项转化为底数为3的形式，最后合并同类项即可算出结果。
【解析】
解：
∵n是正整数，
∴2n为偶数，2n+1为奇数，
∴$(-3)^{2n}=3^{2n}$，$(-3)^{2n+1}=-3×3^{2n}$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}(-3)^{2n+1}+3×(-3)^{2n}&=-3×3^{2n}+3×3^{2n}\\&=0\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
乘方的符号法则、同底数幂运算、合并同类项
【点评】
本题侧重考查乘方的基本性质和整式的基础运算，解题的核心是先根据指数的奇偶性确定乘方结果的符号，再进行化简合并，掌握相关基础规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
18.若$9^m · 27^m = 27^5$，则$m=$
3
答案
18.3
解析
【分析】
首先观察等式两边的底数9、27都可以转化为以3为底的幂，先将左右两边的幂统一为同底数幂，再根据同底数幂的乘法法则计算左侧结果，最后利用“同底数幂相等时，对应指数相等”的性质列一元一次方程求解m的值即可。
【解析】
第一步：将各幂转化为以3为底的幂
因为$9=3^2$，$27=3^3$，所以等式左边可改写为：
$9^m · 27^m=(3^2)^m · (3^3)^m$
第二步：根据幂的乘方法则$(a^b)^c=a^{bc}$化简：
$(3^2)^m · (3^3)^m=3^{2m} · 3^{3m}$
第三步：根据同底数幂的乘法法则$a^b · a^c=a^{b+c}$计算左边：
$3^{2m} · 3^{3m}=3^{2m+3m}=3^{5m}$
第四步：化简等式右边：
$27^5=(3^3)^5=3^{3×5}=3^{15}$
此时等式变为$3^{5m}=3^{15}$，根据同底数幂相等则指数相等，可得：
$5m=15$
解得$m=3$
【答案】
3
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法、解一元一次方程
【点评】
本题是幂运算的基础题型，解题核心是将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合幂的运算性质建立方程求解，掌握幂的相关运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先观察等式两边的底数9、27都可以转化为以3为底的幂，先将左右两边的幂统一为同底数幂，再根据同底数幂的乘法法则计算左侧结果，最后利用“同底数幂相等时，对应指数相等”的性质列一元一次方程求解m的值即可。
【解析】
第一步：将各幂转化为以3为底的幂
因为$9=3^2$，$27=3^3$，所以等式左边可改写为：
$9^m · 27^m=(3^2)^m · (3^3)^m$
第二步：根据幂的乘方法则$(a^b)^c=a^{bc}$化简：
$(3^2)^m · (3^3)^m=3^{2m} · 3^{3m}$
第三步：根据同底数幂的乘法法则$a^b · a^c=a^{b+c}$计算左边：
$3^{2m} · 3^{3m}=3^{2m+3m}=3^{5m}$
第四步：化简等式右边：
$27^5=(3^3)^5=3^{3×5}=3^{15}$
此时等式变为$3^{5m}=3^{15}$，根据同底数幂相等则指数相等，可得：
$5m=15$
解得$m=3$
【答案】
3
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法、解一元一次方程
【点评】
本题是幂运算的基础题型，解题核心是将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合幂的运算性质建立方程求解，掌握幂的相关运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
19.解下列各题：
(1)$(-x^5)^4 + (-x^4)^5$；
(2)$(-x^3)^2(-x^2)^3$；
(3)$(-\dfrac{1}{2}ab^2)^3$；
(4)$(-2ab^2)^3 · (-a) - (-2a^2b^3)^2 + (-3a^2)^2 · (-b^2)^3 + 6a^4b^6$。
(1)$(-x^5)^4 + (-x^4)^5$；
(2)$(-x^3)^2(-x^2)^3$；
(3)$(-\dfrac{1}{2}ab^2)^3$；
(4)$(-2ab^2)^3 · (-a) - (-2a^2b^3)^2 + (-3a^2)^2 · (-b^2)^3 + 6a^4b^6$。
答案
19.(1)0
(2)$-x^{12}$
(3)$-\frac{1}{8}a^3b^6$
(4)$a^4b^6$
(2)$-x^{12}$
(3)$-\frac{1}{8}a^3b^6$
(4)$a^4b^6$
解析
【分析】
这4道题均考查幂的相关运算及整式混合运算，解题思路遵循整式运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有同类项的要合并同类项。运算时注意：①幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；②积的乘方法则：把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；③同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加；④负数的偶次幂为正，奇次幂为负，要准确处理每一步的符号。
【解析】
(1) 先分别计算两个幂的乘方：
$(-x^5)^4 = (-1)^4 · (x^5)^4 = x^{5×4} = x^{20}$
$(-x^4)^5 = (-1)^5 · (x^4)^5 = -x^{4×5} = -x^{20}$
再合并同类项：原式$=x^{20} - x^{20} = 0$
(2) 先分别计算两个幂的乘方：
$(-x^3)^2 = (-1)^2 · (x^3)^2 = x^{3×2} = x^6$
$(-x^2)^3 = (-1)^3 · (x^2)^3 = -x^{2×3} = -x^6$
再计算同底数幂乘法：原式$=x^6 · (-x^6) = -x^{6+6} = -x^{12}$
(3) 按积的乘方法则展开计算：
原式$=(-\frac{1}{2})^3 · a^3 · (b^2)^3 = -\frac{1}{8}a^3 · b^{2×3} = -\frac{1}{8}a^3b^6$
(4) 按运算顺序逐项计算后合并同类项：
① 计算第一项：$(-2ab^2)^3 · (-a) = (-2)^3a^3(b^2)^3 · (-a) = -8a^3b^6 · (-a) = 8a^4b^6$
② 计算第二项：$-(-2a^2b^3)^2 = -[(-2)^2(a^2)^2(b^3)^2] = -4a^4b^6$
③ 计算第三项：$(-3a^2)^2 · (-b^2)^3 = (-3)^2(a^2)^2 · (-1)^3(b^2)^3 = 9a^4 · (-b^6) = -9a^4b^6$
④ 加上第四项$6a^4b^6$，合并同类项：
原式$=8a^4b^6 - 4a^4b^6 - 9a^4b^6 + 6a^4b^6 = (8-4-9+6)a^4b^6 = a^4b^6$
【答案】
(1)$0$；(2)$-x^{12}$；(3)$-\dfrac{1}{8}a^3b^6$；(4)$a^4b^6$
【知识点】
幂的乘方运算、积的乘方运算、整式混合运算
【点评】
本题是整式幂运算的常规题型，核心考查幂的运算法则的应用与符号处理能力，运算时需严格遵循运算顺序，尤其要注意负数乘方的符号判断，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.7
这4道题均考查幂的相关运算及整式混合运算，解题思路遵循整式运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有同类项的要合并同类项。运算时注意：①幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；②积的乘方法则：把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；③同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加；④负数的偶次幂为正，奇次幂为负，要准确处理每一步的符号。
【解析】
(1) 先分别计算两个幂的乘方：
$(-x^5)^4 = (-1)^4 · (x^5)^4 = x^{5×4} = x^{20}$
$(-x^4)^5 = (-1)^5 · (x^4)^5 = -x^{4×5} = -x^{20}$
再合并同类项：原式$=x^{20} - x^{20} = 0$
(2) 先分别计算两个幂的乘方：
$(-x^3)^2 = (-1)^2 · (x^3)^2 = x^{3×2} = x^6$
$(-x^2)^3 = (-1)^3 · (x^2)^3 = -x^{2×3} = -x^6$
再计算同底数幂乘法：原式$=x^6 · (-x^6) = -x^{6+6} = -x^{12}$
(3) 按积的乘方法则展开计算：
原式$=(-\frac{1}{2})^3 · a^3 · (b^2)^3 = -\frac{1}{8}a^3 · b^{2×3} = -\frac{1}{8}a^3b^6$
(4) 按运算顺序逐项计算后合并同类项：
① 计算第一项：$(-2ab^2)^3 · (-a) = (-2)^3a^3(b^2)^3 · (-a) = -8a^3b^6 · (-a) = 8a^4b^6$
② 计算第二项：$-(-2a^2b^3)^2 = -[(-2)^2(a^2)^2(b^3)^2] = -4a^4b^6$
③ 计算第三项：$(-3a^2)^2 · (-b^2)^3 = (-3)^2(a^2)^2 · (-1)^3(b^2)^3 = 9a^4 · (-b^6) = -9a^4b^6$
④ 加上第四项$6a^4b^6$，合并同类项：
原式$=8a^4b^6 - 4a^4b^6 - 9a^4b^6 + 6a^4b^6 = (8-4-9+6)a^4b^6 = a^4b^6$
【答案】
(1)$0$；(2)$-x^{12}$；(3)$-\dfrac{1}{8}a^3b^6$；(4)$a^4b^6$
【知识点】
幂的乘方运算、积的乘方运算、整式混合运算
【点评】
本题是整式幂运算的常规题型，核心考查幂的运算法则的应用与符号处理能力，运算时需严格遵循运算顺序，尤其要注意负数乘方的符号判断，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.7
20.正方体的棱长是$3× 10^{2}$mm，求它的表面积和它的体积.
答案
20.$S=5.4×10^5\ \mathrm{mm}^2,V=2.7×10^7\ \mathrm{mm}^3$
解析
【分析】
解题时首先回忆正方体表面积和体积的计算公式：正方体表面积是6个相同正方形面的面积和，即$S=6a^2$（$a$为棱长）；正方体体积是棱长的立方，即$V=a^3$。接下来把题目中给出的棱长（科学计数法形式）代入公式，按照积的乘方、幂的乘方法则计算，最后把结果整理为规范的科学计数法形式即可。
【解析】
已知正方体棱长$a=3×10^2\ \mathrm{mm}$
1. 计算表面积：
根据正方体表面积公式$S=6a^2$，代入棱长得：
$\begin{aligned}S&=6×(3×10^2)^2\\&=6×[3^2×(10^2)^2]\\&=6×(9×10^4)\\&=54×10^4\\&=5.4×10^5\ \mathrm{mm}^2\end{aligned}$
2. 计算体积：
根据正方体体积公式$V=a^3$，代入棱长得：
$\begin{aligned}V&=(3×10^2)^3\\&=3^3×(10^2)^3\\&=27×10^6\\&=2.7×10^7\ \mathrm{mm}^3\end{aligned}$
【答案】
表面积为$5.4×10^5\ \mathrm{mm}^2$，体积为$2.7×10^7\ \mathrm{mm}^3$
【知识点】
正方体表面积与体积计算、幂的乘方运算、科学计数法
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查几何公式的应用和代数运算能力，计算时要注意幂的运算法则的正确使用，同时保证最终科学计数法的表达符合规范（$1≤ a＜10$）。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆正方体表面积和体积的计算公式：正方体表面积是6个相同正方形面的面积和，即$S=6a^2$（$a$为棱长）；正方体体积是棱长的立方，即$V=a^3$。接下来把题目中给出的棱长（科学计数法形式）代入公式，按照积的乘方、幂的乘方法则计算，最后把结果整理为规范的科学计数法形式即可。
【解析】
已知正方体棱长$a=3×10^2\ \mathrm{mm}$
1. 计算表面积：
根据正方体表面积公式$S=6a^2$，代入棱长得：
$\begin{aligned}S&=6×(3×10^2)^2\\&=6×[3^2×(10^2)^2]\\&=6×(9×10^4)\\&=54×10^4\\&=5.4×10^5\ \mathrm{mm}^2\end{aligned}$
2. 计算体积：
根据正方体体积公式$V=a^3$，代入棱长得：
$\begin{aligned}V&=(3×10^2)^3\\&=3^3×(10^2)^3\\&=27×10^6\\&=2.7×10^7\ \mathrm{mm}^3\end{aligned}$
【答案】
表面积为$5.4×10^5\ \mathrm{mm}^2$，体积为$2.7×10^7\ \mathrm{mm}^3$
【知识点】
正方体表面积与体积计算、幂的乘方运算、科学计数法
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查几何公式的应用和代数运算能力，计算时要注意幂的运算法则的正确使用，同时保证最终科学计数法的表达符合规范（$1≤ a＜10$）。
【难度系数】
0.8
21. 观察以下等式：
$(x+1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1$
$(x+3)(x^2 - 3x + 9) = x^3 + 27$
$(x+6)(x^2 - 6x + 36) = x^3 + 216$
…
按以上等式的规律，发现：$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$。
(1) 利用多项式乘多项式的法则，验证$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$成立；
(2) 已知$a + b = 1$，$ab = -1$，求$a^3 + b^3$的值；
(3) 已知$(x - 2023)^2 + (2025 - x)^2 = 20$，求$(x - 2023)^3 - (2025 - x)^3$的值。
$(x+1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1$
$(x+3)(x^2 - 3x + 9) = x^3 + 27$
$(x+6)(x^2 - 6x + 36) = x^3 + 216$
…
按以上等式的规律，发现：$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$。
(1) 利用多项式乘多项式的法则，验证$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$成立；
(2) 已知$a + b = 1$，$ab = -1$，求$a^3 + b^3$的值；
(3) 已知$(x - 2023)^2 + (2025 - x)^2 = 20$，求$(x - 2023)^3 - (2025 - x)^3$的值。
答案
21.(1)略
(2)4
(3)$\pm72$
(2)4
(3)$\pm72$
解析
【分析】
(1) 验证等式成立需依据多项式乘多项式法则，将左边两个多项式逐项相乘，再合并同类项，判断结果是否等于右边的$a^3+b^3$即可。
(2) 求$a^3+b^3$可直接利用题干给出的立方和公式，先通过完全平方公式的变形求出$a^2-ab+b^2$的值，再代入$a+b$、$ab$的数值计算即可。
(3) 先通过换元法简化代数式，设$m=x-2023$，$n=2025-x$，先求出$m+n$的值，再结合已知的$m^2+n^2=20$，利用完全平方公式先后求出$mn$、$m-n$的值，再由立方和公式推导得到立方差公式，代入数值计算即可，注意开平方时存在正负两种结果，不要漏解。
【解析】
(1) 左边$\begin{aligned}[t]&=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\&=a· a^2 - a· ab + a· b^2 + b· a^2 - b· ab + b· b^2\\&=a^3 -a^2b +ab^2 +a^2b -ab^2 +b^3\\&=a^3 +b^3\end{aligned}$
左边等于右边，故等式成立。
(2) 由完全平方公式变形可得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，
将$a+b=1$，$ab=-1$代入得：$a^2+b^2=1^2-2×(-1)=3$，
则$a^2-ab+b^2=3 - (-1)=4$，
根据立方和公式$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$，
代入得$a^3+b^3=1×4=4$。
(3) 设$m=x-2023$，$n=2025-x$，
则$m+n=(x-2023)+(2025-x)=2$，且已知$m^2+n^2=20$，
由$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，代入得$2^2=20+2mn$，解得$mn=-8$，
由$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，代入得$(m-n)^2=20-2×(-8)=36$，故$m-n=\pm6$，
将立方和公式中$b$替换为$-b$，可得立方差公式：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$，
则所求式子$m^3-n^3=(m-n)(m^2+mn+n^2)$，
其中$m^2+mn+n^2=20+(-8)=12$，
代入得$m^3-n^3=\pm6×12=\pm72$，即$(x-2023)^3-(2025-x)^3=\pm72$。
【答案】
(1) 等式成立；(2) $\boldsymbol{4}$；(3) $\boldsymbol{\pm72}$
【知识点】
多项式乘多项式，完全平方公式，立方和差公式
【点评】
本题围绕整式乘法的公式应用展开，既考查基础的多项式运算和公式变形能力，第三问通过换元法降低计算复杂度，需要注意开平方时的正负两种情况，避免漏解，对公式的灵活应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 验证等式成立需依据多项式乘多项式法则，将左边两个多项式逐项相乘，再合并同类项，判断结果是否等于右边的$a^3+b^3$即可。
(2) 求$a^3+b^3$可直接利用题干给出的立方和公式，先通过完全平方公式的变形求出$a^2-ab+b^2$的值，再代入$a+b$、$ab$的数值计算即可。
(3) 先通过换元法简化代数式，设$m=x-2023$，$n=2025-x$，先求出$m+n$的值，再结合已知的$m^2+n^2=20$，利用完全平方公式先后求出$mn$、$m-n$的值，再由立方和公式推导得到立方差公式，代入数值计算即可，注意开平方时存在正负两种结果，不要漏解。
【解析】
(1) 左边$\begin{aligned}[t]&=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\&=a· a^2 - a· ab + a· b^2 + b· a^2 - b· ab + b· b^2\\&=a^3 -a^2b +ab^2 +a^2b -ab^2 +b^3\\&=a^3 +b^3\end{aligned}$
左边等于右边，故等式成立。
(2) 由完全平方公式变形可得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，
将$a+b=1$，$ab=-1$代入得：$a^2+b^2=1^2-2×(-1)=3$，
则$a^2-ab+b^2=3 - (-1)=4$，
根据立方和公式$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$，
代入得$a^3+b^3=1×4=4$。
(3) 设$m=x-2023$，$n=2025-x$，
则$m+n=(x-2023)+(2025-x)=2$，且已知$m^2+n^2=20$，
由$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，代入得$2^2=20+2mn$，解得$mn=-8$，
由$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，代入得$(m-n)^2=20-2×(-8)=36$，故$m-n=\pm6$，
将立方和公式中$b$替换为$-b$，可得立方差公式：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$，
则所求式子$m^3-n^3=(m-n)(m^2+mn+n^2)$，
其中$m^2+mn+n^2=20+(-8)=12$，
代入得$m^3-n^3=\pm6×12=\pm72$，即$(x-2023)^3-(2025-x)^3=\pm72$。
【答案】
(1) 等式成立；(2) $\boldsymbol{4}$；(3) $\boldsymbol{\pm72}$
【知识点】
多项式乘多项式，完全平方公式，立方和差公式
【点评】
本题围绕整式乘法的公式应用展开，既考查基础的多项式运算和公式变形能力，第三问通过换元法降低计算复杂度，需要注意开平方时的正负两种情况，避免漏解，对公式的灵活应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
