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11.如图4，直线AB//CD，∠A=52°，∠C=32°，则∠E等于 （
A.20°
B.30°
C.40°
D.50°
A
）A.20°
B.30°
C.40°
D.50°
答案
11.A
解析
【分析】
解题思路：我们可以先设EA与CD的交点为F，首先利用平行线的性质得到∠EFD和∠A的关系，再结合三角形外角的性质，找到∠E、∠C和∠EFD的等量关系，代入已知角度数值即可求出∠E的度数。思考逻辑是：先借助平行线转化相等的角，再用外角性质建立待求角和已知角的关系，最后计算得结果。
【解析】
设线段EA与直线CD交于点F。
1. 因为AB//CD，∠A=52°，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠EFD=∠A=52°。
2. 观察可知∠EFD是△EFC的外角，根据三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此∠EFD=∠C+∠E。
3. 已知∠C=32°，代入得∠E=∠EFD - ∠C = 52° - 32° = 20°。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是平行线与三角形角度计算的基础综合题，解题的核心是找到平行线对应的相等同位角，再结合外角性质建立角度关系即可求解，是几何角度计算的常见考法。
【难度系数】
0.8
解题思路：我们可以先设EA与CD的交点为F，首先利用平行线的性质得到∠EFD和∠A的关系，再结合三角形外角的性质，找到∠E、∠C和∠EFD的等量关系，代入已知角度数值即可求出∠E的度数。思考逻辑是：先借助平行线转化相等的角，再用外角性质建立待求角和已知角的关系，最后计算得结果。
【解析】
设线段EA与直线CD交于点F。
1. 因为AB//CD，∠A=52°，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠EFD=∠A=52°。
2. 观察可知∠EFD是△EFC的外角，根据三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此∠EFD=∠C+∠E。
3. 已知∠C=32°，代入得∠E=∠EFD - ∠C = 52° - 32° = 20°。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是平行线与三角形角度计算的基础综合题，解题的核心是找到平行线对应的相等同位角，再结合外角性质建立角度关系即可求解，是几何角度计算的常见考法。
【难度系数】
0.8
12.对于整数$a,b,c,d$,符号$\begin{vmatrix}a&b\\d&c\end{vmatrix}$表示运算$ac-bd$,已知$1＜\begin{vmatrix}1&b\\d&4\end{vmatrix}＜3$,则$bd$的取值范围是（ ）
A.$1＜bd＜3$
B.$2＜bd＜5$
C.$3＜bd＜5$
D.$4＜bd＜5$
A.$1＜bd＜3$
B.$2＜bd＜5$
C.$3＜bd＜5$
D.$4＜bd＜5$
答案
12.A
解析
【分析】
首先要读懂题目给出的新运算规则，将题中给出的行列式按照规则转化为关于$bd$的代数式，再根据给出的取值范围列出不等式，利用不等式的性质变形求解，就能得到$bd$的取值范围。
【解析】
根据题中给出的新运算规则$\begin{vmatrix}a&b\\d&c\end{vmatrix}=ac-bd$，代入对应数值计算：
$\begin{vmatrix}1&b\\d&4\end{vmatrix}=1×4 - b× d=4 - bd$
已知$1＜\begin{vmatrix}1&b\\d&4\end{vmatrix}＜3$，代入可得不等式：
$1 ＜ 4 - bd ＜ 3$
不等式三边同时减去4，不等号方向不变：
$1-4 ＜ 4 - bd -4 ＜ 3-4$
计算得：$-3 ＜ -bd ＜ -1$
不等式三边同时乘$-1$，不等号方向改变：
$3 ＞ bd ＞ 1$，即$1 ＜ bd ＜ 3$
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，不等式的性质，解不等式
【点评】
本题属于新定义题型，解题的关键是正确理解新运算的代入规则，运算过程中要注意不等式两边同时乘负数时，不等号方向需要改变，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.7
首先要读懂题目给出的新运算规则，将题中给出的行列式按照规则转化为关于$bd$的代数式，再根据给出的取值范围列出不等式，利用不等式的性质变形求解，就能得到$bd$的取值范围。
【解析】
根据题中给出的新运算规则$\begin{vmatrix}a&b\\d&c\end{vmatrix}=ac-bd$，代入对应数值计算：
$\begin{vmatrix}1&b\\d&4\end{vmatrix}=1×4 - b× d=4 - bd$
已知$1＜\begin{vmatrix}1&b\\d&4\end{vmatrix}＜3$，代入可得不等式：
$1 ＜ 4 - bd ＜ 3$
不等式三边同时减去4，不等号方向不变：
$1-4 ＜ 4 - bd -4 ＜ 3-4$
计算得：$-3 ＜ -bd ＜ -1$
不等式三边同时乘$-1$，不等号方向改变：
$3 ＞ bd ＞ 1$，即$1 ＜ bd ＜ 3$
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，不等式的性质，解不等式
【点评】
本题属于新定义题型，解题的关键是正确理解新运算的代入规则，运算过程中要注意不等式两边同时乘负数时，不等号方向需要改变，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.7
13. 下列多项式:①$16x^5 - x$;②$(x-1)^2 -4(x-1)+4$;③$(x+1)^2 -4x(x+1)+4x^2$;④$-4x^2 -1 +4x$. 分解因式后,结果含有相同因式的是 (
A.①④
B.②④
C.③④
D.②③
A
)A.①④
B.②④
C.③④
D.②③
答案
13.A
解析
【分析】
要判断哪两个多项式分解因式后含有相同因式，解题思路为：先分别对四个多项式进行因式分解，分解时先判断是否有公因式可提取，再判断是否可利用平方差公式或完全平方公式继续分解，直到不能分解为止，最后对比四个分解结果，找出含有相同因式的组合，匹配对应选项即可。
【解析】
逐个对4个多项式因式分解：
1. 分解①$16x^5 - x$：
先提取公因式$x$，得：$16x^5 - x = x(16x^4 - 1)$
$16x^4-1$符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，继续分解：$16x^4 -1=(4x^2+1)(4x^2 -1)$
$4x^2-1$仍符合平方差公式，继续分解：$4x^2-1=(2x+1)(2x-1)$
最终①的分解结果：$16x^5 -x = x(4x^2+1)(2x+1)(2x-1)$
2. 分解②$(x-1)^2 -4(x-1)+4$：
把$(x-1)$看作整体，式子符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x-1$，$b=2$，所以：
$(x-1)^2 -4(x-1)+4 = [(x-1)-2]^2=(x-3)^2$
3. 分解③$(x+1)^2 -4x(x+1)+4x^2$：
把$(x+1)$看作整体，式子符合完全平方公式，其中$a=x+1$，$b=2x$，所以：
$(x+1)^2 -4x(x+1)+4x^2 = [(x+1)-2x]^2=(1-x)^2=(x-1)^2$
4. 分解④$-4x^2 -1 +4x$：
先整理式子并提取负号，得：$-4x^2 +4x -1=-(4x^2-4x+1)$
括号内符合完全平方公式，分解得：$4x^2-4x+1=(2x-1)^2$
最终④的分解结果：$-4x^2 -1 +4x=-(2x-1)^2$
对比分解结果可知：①和④都含有相同因式$(2x-1)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的综合应用，解题的核心是熟练掌握提公因式法和公式法分解因式的步骤，注意因式分解要彻底，直到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
要判断哪两个多项式分解因式后含有相同因式，解题思路为：先分别对四个多项式进行因式分解，分解时先判断是否有公因式可提取，再判断是否可利用平方差公式或完全平方公式继续分解，直到不能分解为止，最后对比四个分解结果，找出含有相同因式的组合，匹配对应选项即可。
【解析】
逐个对4个多项式因式分解：
1. 分解①$16x^5 - x$：
先提取公因式$x$，得：$16x^5 - x = x(16x^4 - 1)$
$16x^4-1$符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，继续分解：$16x^4 -1=(4x^2+1)(4x^2 -1)$
$4x^2-1$仍符合平方差公式，继续分解：$4x^2-1=(2x+1)(2x-1)$
最终①的分解结果：$16x^5 -x = x(4x^2+1)(2x+1)(2x-1)$
2. 分解②$(x-1)^2 -4(x-1)+4$：
把$(x-1)$看作整体，式子符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x-1$，$b=2$，所以：
$(x-1)^2 -4(x-1)+4 = [(x-1)-2]^2=(x-3)^2$
3. 分解③$(x+1)^2 -4x(x+1)+4x^2$：
把$(x+1)$看作整体，式子符合完全平方公式，其中$a=x+1$，$b=2x$，所以：
$(x+1)^2 -4x(x+1)+4x^2 = [(x+1)-2x]^2=(1-x)^2=(x-1)^2$
4. 分解④$-4x^2 -1 +4x$：
先整理式子并提取负号，得：$-4x^2 +4x -1=-(4x^2-4x+1)$
括号内符合完全平方公式，分解得：$4x^2-4x+1=(2x-1)^2$
最终④的分解结果：$-4x^2 -1 +4x=-(2x-1)^2$
对比分解结果可知：①和④都含有相同因式$(2x-1)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的综合应用，解题的核心是熟练掌握提公因式法和公式法分解因式的步骤，注意因式分解要彻底，直到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
14.如图5,8块相同的长方形地砖拼成一个长方形,每块长方形地砖的长为
45 cm
,宽为15 cm
.答案
14.45 cm 15 cm
解析
【分析】
解题时先观察拼接图形的边长特征，找到两个等量关系：①竖直方向上，小长方形的长+小长方形的宽=大长方形的宽60cm；②从图中中间横放的3块小长方形可以看出，小长方形的长=3倍的小长方形的宽。接下来我们就可以设未知数，根据等量关系列方程求解。
【解析】
设每块长方形地砖的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 60 \\x = 3y\end{cases}$
将$x=3y$代入$x+y=60$，得：
$3y + y = 60$
$4y=60$
解得$y=15$
把$y=15$代入$x=3y$，得$x=3×15=45$
即每块地砖的长为45cm，宽为15cm。
【答案】
45 cm；15 cm
【知识点】
二元一次方程组的应用；图形等量关系分析
【点评】
本题是代数与几何结合的基础应用题，解题核心是从拼接图形中准确提取未知量之间的等量关系，再通过解方程得到结果，需要同学们具备一定的读图分析能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察拼接图形的边长特征，找到两个等量关系：①竖直方向上，小长方形的长+小长方形的宽=大长方形的宽60cm；②从图中中间横放的3块小长方形可以看出，小长方形的长=3倍的小长方形的宽。接下来我们就可以设未知数，根据等量关系列方程求解。
【解析】
设每块长方形地砖的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 60 \\x = 3y\end{cases}$
将$x=3y$代入$x+y=60$，得：
$3y + y = 60$
$4y=60$
解得$y=15$
把$y=15$代入$x=3y$，得$x=3×15=45$
即每块地砖的长为45cm，宽为15cm。
【答案】
45 cm；15 cm
【知识点】
二元一次方程组的应用；图形等量关系分析
【点评】
本题是代数与几何结合的基础应用题，解题核心是从拼接图形中准确提取未知量之间的等量关系，再通过解方程得到结果，需要同学们具备一定的读图分析能力。
【难度系数】
0.7
15.如图6，已知$AB// CD$，则$∠1+∠2+∠3+\dots+∠2n=$
$180(2n-1)$
度.答案
15.$180(2n-1)$
解析
【分析】
解决平行线间的多折线角度求和问题，首先用这类题的常规辅助线作法：过每个折点作AB的平行线。利用平行公理的推论，所有辅助线都和AB、CD互相平行，再根据“两直线平行，同旁内角互补”，每两条相邻平行线之间会形成一对和为180°的同旁内角。我们可以通过简单情况找规律：当总共有2个角时，角度和为1×180°；当总共有4个角时，角度和为3×180°，可见角的总个数为2n时，同旁内角的组数为(2n-1)组，由此就能求出总角度和。
【解析】
解：过∠2、∠3、……、∠2n-1的所有顶点分别作AB的平行线。
∵$AB// CD$，根据平行公理的推论，所作的所有辅助线互相平行，且都与CD平行。
根据“两直线平行，同旁内角互补”，每两条相邻平行线之间的一组同旁内角和为180°。
观察可知总共有$(2n-1)$组这样的同旁内角，因此：
$∠1+∠2+∠3+\dots+∠2n = 180°×(2n-1)$
【答案】
$180(2n-1)$
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，规律探究
【点评】
本题是平行线性质的拓展应用题型，核心解题技巧是作辅助线构造同旁内角，结合从特殊到一般的归纳方法即可找到规律求解，重点考查对平行线性质的灵活运用能力和规律归纳能力。
【难度系数】
0.6
解决平行线间的多折线角度求和问题，首先用这类题的常规辅助线作法：过每个折点作AB的平行线。利用平行公理的推论，所有辅助线都和AB、CD互相平行，再根据“两直线平行，同旁内角互补”，每两条相邻平行线之间会形成一对和为180°的同旁内角。我们可以通过简单情况找规律：当总共有2个角时，角度和为1×180°；当总共有4个角时，角度和为3×180°，可见角的总个数为2n时，同旁内角的组数为(2n-1)组，由此就能求出总角度和。
【解析】
解：过∠2、∠3、……、∠2n-1的所有顶点分别作AB的平行线。
∵$AB// CD$，根据平行公理的推论，所作的所有辅助线互相平行，且都与CD平行。
根据“两直线平行，同旁内角互补”，每两条相邻平行线之间的一组同旁内角和为180°。
观察可知总共有$(2n-1)$组这样的同旁内角，因此：
$∠1+∠2+∠3+\dots+∠2n = 180°×(2n-1)$
【答案】
$180(2n-1)$
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，规律探究
【点评】
本题是平行线性质的拓展应用题型，核心解题技巧是作辅助线构造同旁内角，结合从特殊到一般的归纳方法即可找到规律求解，重点考查对平行线性质的灵活运用能力和规律归纳能力。
【难度系数】
0.6
16. 如图7，△ABC绕点A旋转后能与△ADE重合.
(1)AC=5.7,AB=2.7,求CD的长；
(2)延长ED交BC于点M，∠BAC=70°,求∠CME的度数.
(1)AC=5.7,AB=2.7,求CD的长；
(2)延长ED交BC于点M，∠BAC=70°,求∠CME的度数.
答案
16. (1)3 (2)$∠ CME=70°$
解析
【分析】
(1) 首先根据旋转的性质可知旋转前后的两个三角形全等，对应边AB与AD相等，CD的长度可通过AC减去AD得到，代入已知长度计算即可。
(2) 由旋转全等可得对应角∠C和∠E相等、∠BAC和∠DAE相等，再结合对顶角相等，利用三角形内角和为180°，即可推出∠CME和∠DAE相等，进而求出角度。
【解析】
(1)
∵△ABC绕点A旋转后能与△ADE重合
∴△ABC≌△ADE，对应边AD=AB
已知AB=2.7，AC=5.7，因此AD=2.7
∴CD=AC-AD=5.7-2.7=3
(2)
∵△ABC≌△ADE
∴∠C=∠E，∠DAE=∠BAC=70°
在△ADE和△MDC中：
∠E=∠C，∠ADE=∠MDC（对顶角相等）
根据三角形内角和为180°，可得：
∠DAE=180°-∠E-∠ADE，∠CME=180°-∠C-∠MDC
∴∠CME=∠DAE=70°
【答案】
(1) 3；(2) $∠ CME=70°$
【知识点】
旋转的性质、全等三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于旋转性质的基础应用题，解题核心是准确找到旋转前后的对应边、对应角，结合三角形内角和、对顶角等基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据旋转的性质可知旋转前后的两个三角形全等，对应边AB与AD相等，CD的长度可通过AC减去AD得到，代入已知长度计算即可。
(2) 由旋转全等可得对应角∠C和∠E相等、∠BAC和∠DAE相等，再结合对顶角相等，利用三角形内角和为180°，即可推出∠CME和∠DAE相等，进而求出角度。
【解析】
(1)
∵△ABC绕点A旋转后能与△ADE重合
∴△ABC≌△ADE，对应边AD=AB
已知AB=2.7，AC=5.7，因此AD=2.7
∴CD=AC-AD=5.7-2.7=3
(2)
∵△ABC≌△ADE
∴∠C=∠E，∠DAE=∠BAC=70°
在△ADE和△MDC中：
∠E=∠C，∠ADE=∠MDC（对顶角相等）
根据三角形内角和为180°，可得：
∠DAE=180°-∠E-∠ADE，∠CME=180°-∠C-∠MDC
∴∠CME=∠DAE=70°
【答案】
(1) 3；(2) $∠ CME=70°$
【知识点】
旋转的性质、全等三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于旋转性质的基础应用题，解题核心是准确找到旋转前后的对应边、对应角，结合三角形内角和、对顶角等基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
17. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x - y = 1 + 2a, \\x + 4y = 2 + a.\end{cases}$
(1)若此方程组的解满足$-1 ＜ x + y ≤ 3$，求$a$的取值范围；
(2)在(1)的条件下，若关于$m$的不等式$2am - m ＞ 2a -1$的解集为$m＜1$，求满足条件的$a$的整数值。
(1)若此方程组的解满足$-1 ＜ x + y ≤ 3$，求$a$的取值范围；
(2)在(1)的条件下，若关于$m$的不等式$2am - m ＞ 2a -1$的解集为$m＜1$，求满足条件的$a$的整数值。
答案
17. (1)$-2＜a≤2$ (2)$-1,0$
解析
【分析】
(1) 要求a的取值范围，已知x+y的取值范围，可先将方程组的两个方程相加，直接得到x+y关于a的表达式，再代入已知的不等关系，解一元一次不等式组即可求出a的范围。
(2) 先整理关于m的不等式，根据解集不等号方向改变的特点，结合不等式的性质可判断含a的系数为负，求出a的限制条件，再结合(1)中a的范围，找出满足条件的整数a即可。
【解析】
(1) 记方程组$\begin{cases}2x - y = 1 + 2a&① \\x + 4y = 2 + a&②\end{cases}$
将①+②，得：$3x + 3y = 3 + 3a$
两边同时除以3，得：$x + y = 1 + a$
∵ $-1 ＜ x + y ≤ 3$
∴ $-1 ＜ 1 + a ≤ 3$
不等式各边同时减1，得：$-2 ＜ a ≤ 2$
(2) 整理不等式$2am - m ＞ 2a -1$，提取公因式得：
$m(2a - 1) ＞ 2a - 1$
∵ 该不等式的解集为$m＜1$，不等号方向发生改变
∴ 不等式两边同时除以的系数$2a - 1 ＜ 0$
解得：$a ＜ \frac{1}{2}$
结合(1)的结果$-2 ＜ a ≤ 2$，可得a的取值范围为$-2 ＜ a ＜ \frac{1}{2}$
则满足条件的整数a为$-1, 0$
【答案】
(1)$-2＜a≤2$；(2)$-1,0$
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的解法，不等式的基本性质
【点评】
本题综合考查方程组与不等式的结合应用，第一问可利用整体思想简化计算，也可通过分别求解x、y得到x+y的表达式，第二问重点考查对不等式性质的理解，需要根据解集的变化判断系数的正负，是较为典型的代数综合基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 要求a的取值范围，已知x+y的取值范围，可先将方程组的两个方程相加，直接得到x+y关于a的表达式，再代入已知的不等关系，解一元一次不等式组即可求出a的范围。
(2) 先整理关于m的不等式，根据解集不等号方向改变的特点，结合不等式的性质可判断含a的系数为负，求出a的限制条件，再结合(1)中a的范围，找出满足条件的整数a即可。
【解析】
(1) 记方程组$\begin{cases}2x - y = 1 + 2a&① \\x + 4y = 2 + a&②\end{cases}$
将①+②，得：$3x + 3y = 3 + 3a$
两边同时除以3，得：$x + y = 1 + a$
∵ $-1 ＜ x + y ≤ 3$
∴ $-1 ＜ 1 + a ≤ 3$
不等式各边同时减1，得：$-2 ＜ a ≤ 2$
(2) 整理不等式$2am - m ＞ 2a -1$，提取公因式得：
$m(2a - 1) ＞ 2a - 1$
∵ 该不等式的解集为$m＜1$，不等号方向发生改变
∴ 不等式两边同时除以的系数$2a - 1 ＜ 0$
解得：$a ＜ \frac{1}{2}$
结合(1)的结果$-2 ＜ a ≤ 2$，可得a的取值范围为$-2 ＜ a ＜ \frac{1}{2}$
则满足条件的整数a为$-1, 0$
【答案】
(1)$-2＜a≤2$；(2)$-1,0$
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的解法，不等式的基本性质
【点评】
本题综合考查方程组与不等式的结合应用，第一问可利用整体思想简化计算，也可通过分别求解x、y得到x+y的表达式，第二问重点考查对不等式性质的理解，需要根据解集的变化判断系数的正负，是较为典型的代数综合基础题。
【难度系数】
0.7
