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1. 在一个不透明的布袋中装有1个红球，2个白球和3个黑球，它们除颜色外完全相同. 瑶瑶从袋中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
C
）A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查等可能条件下的概率计算，解题思路如下：首先明确等可能事件的概率计算公式：概率=所求事件对应的情况数÷所有等可能的总情况数。第一步先计算布袋中球的总个数，第二步统计符合条件的白球的个数，第三步用白球个数除以总球数，化简得到概率后匹配对应选项即可。
【解析】
解：先计算布袋中球的总数量：$1+2+3=6$（个）
由于所有球除颜色外完全相同，因此任意摸出一个球时，每个球被摸到的可能性相等，属于等可能事件。
其中白球的数量为2个，根据概率公式可得：
$P(\mathrm{摸出白球})=\frac{\mathrm{白球的数量}}{\mathrm{球的总数量}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
概率计算公式；等可能事件
【点评】
本题是概率板块的基础常考题，主要考查对等可能事件概率公式的运用，只要准确统计总情况数和所求事件的对应情况数即可正确求解，难度较低。
【难度系数】
0.85
本题考查等可能条件下的概率计算，解题思路如下：首先明确等可能事件的概率计算公式：概率=所求事件对应的情况数÷所有等可能的总情况数。第一步先计算布袋中球的总个数，第二步统计符合条件的白球的个数，第三步用白球个数除以总球数，化简得到概率后匹配对应选项即可。
【解析】
解：先计算布袋中球的总数量：$1+2+3=6$（个）
由于所有球除颜色外完全相同，因此任意摸出一个球时，每个球被摸到的可能性相等，属于等可能事件。
其中白球的数量为2个，根据概率公式可得：
$P(\mathrm{摸出白球})=\frac{\mathrm{白球的数量}}{\mathrm{球的总数量}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
概率计算公式；等可能事件
【点评】
本题是概率板块的基础常考题，主要考查对等可能事件概率公式的运用，只要准确统计总情况数和所求事件的对应情况数即可正确求解，难度较低。
【难度系数】
0.85
2. 随机掷一枚质地均匀的硬币两次，两次落地后反面都朝上的概率为 （
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{2}{3}$
C
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这个概率问题，首先明确掷质地均匀的硬币时，每次出现正面、反面的可能性相等，属于等可能事件。解题思路为：第一步先列举出掷两次硬币所有可能出现的等可能结果，第二步统计两次均为反面朝上的结果数量，最后代入等可能事件的概率公式计算即可得到结果。
【解析】
解：随机掷一枚质地均匀的硬币两次，所有等可能的结果共有4种，分别为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）。
其中满足两次落地后反面都朝上的结果只有1种，即（反，反）。
根据等可能事件的概率公式$P=\frac{事件发生的结果数}{所有等可能的结果总数}$，可得两次反面都朝上的概率为$P=\frac{1}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
列举法求概率，等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的关键是不重不漏地列出所有等可能的试验结果，这类题型是概率板块的常考基础题，需要熟练掌握列举法的应用。
【难度系数】
0.8
要解决这个概率问题，首先明确掷质地均匀的硬币时，每次出现正面、反面的可能性相等，属于等可能事件。解题思路为：第一步先列举出掷两次硬币所有可能出现的等可能结果，第二步统计两次均为反面朝上的结果数量，最后代入等可能事件的概率公式计算即可得到结果。
【解析】
解：随机掷一枚质地均匀的硬币两次，所有等可能的结果共有4种，分别为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）。
其中满足两次落地后反面都朝上的结果只有1种，即（反，反）。
根据等可能事件的概率公式$P=\frac{事件发生的结果数}{所有等可能的结果总数}$，可得两次反面都朝上的概率为$P=\frac{1}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
列举法求概率，等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的关键是不重不漏地列出所有等可能的试验结果，这类题型是概率板块的常考基础题，需要熟练掌握列举法的应用。
【难度系数】
0.8
3.(2025·徐州沛县二模)一个小球在如图所示的地面上自由滚动,小球停在阴影区域的概率为
$\frac{1}{4}$
.答案
3.$\frac{1}{4}$
解析
【分析】
本题属于几何概率计算问题，解题思路很清晰：几何概率的本质是对应区域的面积比，要求小球停在阴影区域的概率，只需要计算出阴影部分的总面积和整个大正方形地面的总面积，二者的比值就是所求概率。解题时可以用割补法拼接阴影图形简化面积计算，不用单独计算每个阴影的面积。
【解析】
解：观察图形，我们可以通过割补法对阴影部分进行拼接：4个阴影等腰直角三角形，每2个可以拼成1个边长与小方格边长相等的小正方形，因此4个阴影三角形总共可以拼成2个全等的小正方形。
再看整个大正方形，总共可以分割为8个上述的全等小正方形。
根据几何概率的计算公式：
$P(\mathrm{停在阴影区域})=\frac{\mathrm{阴影部分面积}}{\mathrm{总区域面积}}=\frac{2\mathrm{个小正方形面积}}{8\mathrm{个小正方形面积}}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
几何概率计算、图形割补、等可能事件概率
【点评】
本题是几何概率的基础题型，核心是理解几何概率等于对应区域面积与总区域面积的比值，借助割补法计算阴影面积可以大幅提升解题效率，避免复杂的面积计算。
【难度系数】
0.7
本题属于几何概率计算问题，解题思路很清晰：几何概率的本质是对应区域的面积比，要求小球停在阴影区域的概率，只需要计算出阴影部分的总面积和整个大正方形地面的总面积，二者的比值就是所求概率。解题时可以用割补法拼接阴影图形简化面积计算，不用单独计算每个阴影的面积。
【解析】
解：观察图形，我们可以通过割补法对阴影部分进行拼接：4个阴影等腰直角三角形，每2个可以拼成1个边长与小方格边长相等的小正方形，因此4个阴影三角形总共可以拼成2个全等的小正方形。
再看整个大正方形，总共可以分割为8个上述的全等小正方形。
根据几何概率的计算公式：
$P(\mathrm{停在阴影区域})=\frac{\mathrm{阴影部分面积}}{\mathrm{总区域面积}}=\frac{2\mathrm{个小正方形面积}}{8\mathrm{个小正方形面积}}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
几何概率计算、图形割补、等可能事件概率
【点评】
本题是几何概率的基础题型，核心是理解几何概率等于对应区域面积与总区域面积的比值，借助割补法计算阴影面积可以大幅提升解题效率，避免复杂的面积计算。
【难度系数】
0.7
4.如图是一个正方形及其内切圆，正方形的边长为a.随机地往正方形内投一粒米，不落在圆内的概率是
$1-\frac{π}{4}$
.答案
4.$1-\frac{π}{4}$
解析
【分析】
本题属于几何概型概率计算问题，解题思路如下：首先明确随机投米时，米落在正方形内任意位置的可能性相等，因此所求概率等于“不落在圆内的区域面积”与“正方形总面积”的比值。第一步先计算正方形的面积，第二步根据正方形内切圆的直径等于正方形边长，求出圆的半径进而计算圆的面积，第三步求出不落在圆内的区域面积，最后用面积比计算出概率即可。
【解析】
解：已知正方形的边长为$a$，
1. 计算正方形的面积：$S_{\mathrm{正方形}} = a × a = a^2$
2. 计算内切圆的面积：正方形内切圆的直径等于正方形的边长$a$，因此圆的半径$r=\frac{a}{2}$，根据圆的面积公式可得$S_{\mathrm{圆}} = π r^2 = π × (\frac{a}{2})^2 = \frac{π a^2}{4}$
3. 计算不落在圆内的区域面积：$S_{\mathrm{所求}} = S_{\mathrm{正方形}} - S_{\mathrm{圆}} = a^2 - \frac{π a^2}{4}$
4. 计算概率：随机投米时所有可能结果对应的区域为正方形，符合条件的结果对应不落在圆内的区域，因此概率$P = \frac{S_{\mathrm{所求}}}{S_{\mathrm{正方形}}} = \frac{a^2 - \frac{π a^2}{4}}{a^2} = 1 - \frac{π}{4}$
【答案】
$1-\frac{π}{4}$
【知识点】
几何概型概率计算，正方形面积计算，圆的面积计算
【点评】
本题是几何概型的基础应用题，解题核心是理解几何概型中概率等于对应区域的面积之比，只要正确掌握正方形和圆的面积公式，明确正方形内切圆的直径与正方形边长的关系，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
本题属于几何概型概率计算问题，解题思路如下：首先明确随机投米时，米落在正方形内任意位置的可能性相等，因此所求概率等于“不落在圆内的区域面积”与“正方形总面积”的比值。第一步先计算正方形的面积，第二步根据正方形内切圆的直径等于正方形边长，求出圆的半径进而计算圆的面积，第三步求出不落在圆内的区域面积，最后用面积比计算出概率即可。
【解析】
解：已知正方形的边长为$a$，
1. 计算正方形的面积：$S_{\mathrm{正方形}} = a × a = a^2$
2. 计算内切圆的面积：正方形内切圆的直径等于正方形的边长$a$，因此圆的半径$r=\frac{a}{2}$，根据圆的面积公式可得$S_{\mathrm{圆}} = π r^2 = π × (\frac{a}{2})^2 = \frac{π a^2}{4}$
3. 计算不落在圆内的区域面积：$S_{\mathrm{所求}} = S_{\mathrm{正方形}} - S_{\mathrm{圆}} = a^2 - \frac{π a^2}{4}$
4. 计算概率：随机投米时所有可能结果对应的区域为正方形，符合条件的结果对应不落在圆内的区域，因此概率$P = \frac{S_{\mathrm{所求}}}{S_{\mathrm{正方形}}} = \frac{a^2 - \frac{π a^2}{4}}{a^2} = 1 - \frac{π}{4}$
【答案】
$1-\frac{π}{4}$
【知识点】
几何概型概率计算，正方形面积计算，圆的面积计算
【点评】
本题是几何概型的基础应用题，解题核心是理解几何概型中概率等于对应区域的面积之比，只要正确掌握正方形和圆的面积公式，明确正方形内切圆的直径与正方形边长的关系，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
5.如图，电路图上有A，B，C，D4个开关和1个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可以使小灯泡发亮。任意闭合其中1个开关，小灯泡发亮的概率是
$\frac{1}{4}$
。答案
5.$\frac{1}{4}$
解析
【分析】
解题时首先明确题目要求是“任意闭合其中1个开关”，先梳理所有等可能的闭合情况总数，再结合小灯泡发亮的条件筛选出符合要求的情况数，最后代入等可能事件的概率公式计算即可。首先4个开关，任意闭1个共有4种等可能的结果；再看发亮条件：仅闭合1个开关时，只有闭合D能让灯亮（同时闭A、B、C才亮的情况不符合“仅闭1个”的前提），因此符合要求的结果只有1种，用1除以4就是所求概率。
【解析】
解：任意闭合其中1个开关，共有闭合A、闭合B、闭合C、闭合D4种等可能的结果。
由题意可知，仅闭合1个开关时，只有闭合开关D可使小灯泡发亮，即满足小灯泡发亮的结果有1种。
根据等可能事件概率公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$
代入得：$P=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
等可能事件概率、概率公式应用
【点评】
本题结合简单电路知识考查概率的计算，解题核心是仔细审题，抓住“任意闭合1个开关”的限制条件，准确计数符合要求的事件数，难度不大，属于概率的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目要求是“任意闭合其中1个开关”，先梳理所有等可能的闭合情况总数，再结合小灯泡发亮的条件筛选出符合要求的情况数，最后代入等可能事件的概率公式计算即可。首先4个开关，任意闭1个共有4种等可能的结果；再看发亮条件：仅闭合1个开关时，只有闭合D能让灯亮（同时闭A、B、C才亮的情况不符合“仅闭1个”的前提），因此符合要求的结果只有1种，用1除以4就是所求概率。
【解析】
解：任意闭合其中1个开关，共有闭合A、闭合B、闭合C、闭合D4种等可能的结果。
由题意可知，仅闭合1个开关时，只有闭合开关D可使小灯泡发亮，即满足小灯泡发亮的结果有1种。
根据等可能事件概率公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$
代入得：$P=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
等可能事件概率、概率公式应用
【点评】
本题结合简单电路知识考查概率的计算，解题核心是仔细审题，抓住“任意闭合1个开关”的限制条件，准确计数符合要求的事件数，难度不大，属于概率的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
6.(2025·南京鼓楼区一模)从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率.
(1)甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是
(2)任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率.(用画树状图或列表的方法求解)
(1)甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是
$\frac{1}{3}$
；(2)任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率.(用画树状图或列表的方法求解)
答案
6.(1)$\frac{1}{3}$
(2)解:树状图如答图.
一共有12种等可能的结果,其中一定有乙的结果有6种,
故一定有乙的概率是$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
（1）已知甲一定参加比赛，只需从剩余乙、丙、丁3名学生中选取1人，所有等可能的选取结果共3种，其中选中丙的结果只有1种，直接利用概率公式即可计算。
（2）本题为两步不放回的等可能概率问题，可通过树状图列举出所有选取2名学生的等可能结果，再统计出包含乙的结果数，最后根据“概率=所求事件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
（1）甲确定参赛后，可选的学生为乙、丙、丁共3名，所有等可能的选取情况有3种，恰好选中丙的情况有1种，因此所求概率为$\frac{1}{3}$。
（2）根据题意画出树状图：
由树状图可得，一共有12种等可能的结果，其中选取的2名学生中一定有乙的结果有6种，因此所求概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$
(2)解:树状图如答图.
一共有12种等可能的结果,其中一定有乙的结果有6种,
故一定有乙的概率是$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
【知识点】
概率公式，树状图法，等可能事件概率
【点评】
本题是概率基础题，第一问为一步概率问题，难度较低；第二问考查两步不放回试验的概率求解，核心是掌握用树状图或列表法不重不漏地列举所有等可能结果，是概率部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
（1）已知甲一定参加比赛，只需从剩余乙、丙、丁3名学生中选取1人，所有等可能的选取结果共3种，其中选中丙的结果只有1种，直接利用概率公式即可计算。
（2）本题为两步不放回的等可能概率问题，可通过树状图列举出所有选取2名学生的等可能结果，再统计出包含乙的结果数，最后根据“概率=所求事件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
（1）甲确定参赛后，可选的学生为乙、丙、丁共3名，所有等可能的选取情况有3种，恰好选中丙的情况有1种，因此所求概率为$\frac{1}{3}$。
（2）根据题意画出树状图：
由树状图可得，一共有12种等可能的结果，其中选取的2名学生中一定有乙的结果有6种，因此所求概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$
(2)解:树状图如答图.
一共有12种等可能的结果,其中一定有乙的结果有6种,
故一定有乙的概率是$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
【知识点】
概率公式，树状图法，等可能事件概率
【点评】
本题是概率基础题，第一问为一步概率问题，难度较低；第二问考查两步不放回试验的概率求解，核心是掌握用树状图或列表法不重不漏地列举所有等可能结果，是概率部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
