8.用数字0,1,2,3组成个位数字与十位数字不同的两位数,其中是偶数的概率为

8.$\frac{5}{9}$

【分析】
要计算所求概率，需先明确概率公式：$P=\mathrm{符合条件的情况数}÷\mathrm{所有等可能的总情况数}$。解题分两步：第一步先找出用0、1、2、3组成的、个位与十位不同的两位数的总个数，注意两位数的十位不能为0；第二步找出其中是偶数的两位数的个数，最后代入公式计算即可。
【解析】
首先计算所有符合要求的两位数总个数：
两位数的十位不能为0，因此十位可选1、2、3，共3种选择；选定十位数字后，个位数字需与十位不同，可从剩余的3个数字中任选，因此总共有$3×3=9$个符合要求的两位数，分别为：10、12、13、20、21、23、30、31、32。
再计算其中是偶数的个数：
偶数的个位为0或2，分类计数：
① 个位为0时，十位可选1、2、3，对应的数为10、20、30，共3个；
② 个位为2时，十位不能为0且不能等于个位的2，因此可选1、3，对应的数为12、32，共2个。
因此符合条件的偶数共有$3+2=5$个。
代入概率公式得：$P=\frac{5}{9}$。
【答案】
$\frac{5}{9}$
【知识点】
概率计算；偶数的特征；列举法计数
【点评】
本题是概率基础应用类题目，解题时要注意两位数的十位不能为0，分类计数时要做到不重复、不遗漏，避免因多算或漏算情况数导致结果错误。
【难度系数】
0.7

9.(2025·徐州铜山区三模)我市某校组织九年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学活动，策划了四条研学线路供学生选择：A.淮海战役烈士纪念塔；B.徐州会战纪念馆；C.“小萝卜头”纪念馆；D.运河支队抗日纪念馆.每名学生只能任意选择一条线路.
(1)小刚选择线路A的概率为；
(2)请用画树状图或列表的方法，求小刚和小红选择同一线路的概率.

9.(1)$\frac{1}{4}$
(2)解:列表如下:
| | A | B | C | D |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | (D,D) |
共有16种等可能的结果,其中小刚和小红选择同一线路的结果有4种,
∴小刚和小红选择同一线路的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.

【分析】
(1) 本题为单步等可能事件概率计算问题，首先明确共有4条研学线路，小刚选择任意一条线路的可能性相等，符合条件的选择线路A的情况仅1种，根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”即可求解。
(2) 本题为两步独立事件的概率问题，小刚和小红各自选线路互不影响，每人都有4种选择，可通过列表法列举出两人选择线路的所有等可能结果，再从中筛选出两人选择同一线路的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 共有4条研学线路，每名学生选择任意一条线路的可能性相等，小刚选择线路A的情况只有1种，因此小刚选择线路A的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 列表如下：
| 小刚\小红 | A | B | C | D |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | (D,D) |
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中小刚和小红选择同一线路的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)、(D,D)共4种，
∴小刚和小红选择同一线路的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{1}{4}$
【知识点】
简单概率计算；列表法求概率
【点评】
本题是概率基础应用题型，第一问考查单步等可能事件的概率计算，难度较低；第二问考查两步等可能事件的概率求解，掌握列表或画树状图列举所有等可能结果的方法是解题核心，此类题型是概率部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8

10.在3张相同的小纸条上分别写有“石头”“剪子”“布”.将这3张小纸条做成3支签,放在不透明的盒子中搅匀.
(1)从盒子中任意抽出1支签,抽到“石头”的概率是;
(2)甲、乙两人通过抽签分胜负,规定:“石头”胜“剪子”,“剪子”胜“布”,“布”胜“石头”.甲先从盒子中任意抽出1支签(不放回),乙再从余下的2支签中任意抽出1支签,求甲取胜的概率.

10.(1)$\frac{1}{3}$
(2)解:列表如下:
| | 石头 | 剪子 | 布 |
| --- | --- | --- | --- |
| 石头 | | (石头,剪子) | (石头,布) |
| 剪子 | (剪子,石头) | | (剪子,布) |
| 布 | (布,石头) | (布,剪子) | |
由表格可知,共有6种等可能的结果,其中甲取胜的结果有3种,
∴甲取胜的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

【分析】
(1) 第一问为一步概率计算，首先明确抽取签的所有等可能结果共3种，其中抽到“石头”的结果只有1种，直接利用“概率=所求情况数÷总情况数”的公式即可求解。
(2) 第二问是不放回的两步抽取试验，解题思路为：①由于是不放回抽取，甲、乙不可能抽到相同的签，可通过列表法清晰列举出所有等可能的结果；②根据“石头胜剪子、剪子胜布、布胜石头”的胜负规则，筛选出所有甲取胜的结果；③用甲取胜的结果数除以总等可能结果数，即可得到甲取胜的概率。
【解析】
(1) 盒子中共有3支被抽到的可能性相等的签，其中写有“石头”的签有1支，
因此抽到“石头”的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 甲先抽取且不放回，乙再从剩余签中抽取，所有可能的结果列表如下：
| 甲\乙 | 石头 | 剪子 | 布 |
| --- | --- | --- | --- |
| 石头 | / | (石头,剪子) | (石头,布) |
| 剪子 | (剪子,石头) | / | (剪子,布) |
| 布 | (布,石头) | (布,剪子) | / |
由表格可知，共有6种等可能的结果，其中甲取胜的结果有3种，分别是(石头,剪子)、(剪子,布)、(布,石头)，
因此甲取胜的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{3}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
概率公式，列表法求概率，不放回抽样概率
【点评】
本题是概率模块的基础题型，第一问直接考查单一事件的概率计算，第二问重点考查用列表法梳理不放回试验的所有等可能结果，解题时要格外注意“不放回”的条件，避免出现重复计数的错误。
【难度系数】
0.8

11.(2025·徐州睢宁县三模)如图,有四张背面完全相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别画有四个不同的几何图形,将这四张纸牌背面朝上洗匀.
(1)从中随机摸出一张,摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是;
(2)先由小明随机摸出一张纸牌,不放回,再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张,求摸出的两张牌面图形都是轴对称图形的概率.

11.(1)$\frac{3}{4}$
(2)解:由轴对称图形的定义可知,正三角形、正方形和矩形是轴对称图形,列表如下:
| | A | B | C | D |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| A | | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | |
由表格可知,摸出的两张牌面图形都是轴对称图形的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.

【分析】
(1)先根据中心对称图形的定义，判断四张牌对应的图形中是中心对称图形的数量，再结合概率公式“概率=所求情况数与总情况数之比”计算即可；
(2)首先根据轴对称图形的定义，筛选出牌面是轴对称图形的纸牌，再通过列表法列举出不放回摸两张牌的所有等可能结果，统计出两张牌都为轴对称图形的结果数，最后代入概率公式求解。
【解析】
(1)中心对称图形是指在平面内，绕某一点旋转180°后能与自身重合的图形。四个图形中，正方形、平行四边形、矩形是中心对称图形，共3个，总共有4张纸牌，因此摸出的牌面图形是中心对称图形的概率为$\frac{3}{4}$。
(2)解：轴对称图形是指沿一条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合的图形，可知正三角形、正方形、矩形是轴对称图形（即牌A、B、D为轴对称图形，C不是）。
不放回摸两张牌，所有等可能的结果列表如下：
| | A | B | C | D |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| A | | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | |
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中摸出的两张牌面图形都是轴对称图形的结果有6种：(A,B)、(A,D)、(B,A)、(B,D)、(D,A)、(D,B)，因此所求概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$\frac{3}{4}$；(2)$\frac{1}{2}$
【知识点】
中心对称图形识别，轴对称图形识别，等可能事件概率计算
【点评】
本题是几何图形性质与概率计算的结合类题目，解题的核心是准确掌握中心对称、轴对称图形的判定，同时使用列表法或树状图法不重不漏地列举出所有等可能的事件，是概率章节的基础常规题型。
【难度系数】
0.7