4.如图,在△ABC中,AB=AC=BD,∠ADE=∠B,求证:△ADE是等腰三角形.

证明:
∵AB=BD,
∴∠BAD=∠BDA.
∵∠ADE=∠B,∠ADE+∠BAD+∠AED=180°,
∠B+∠BDA+∠BAD=180°,
∴∠AED=∠BAD,
∴ED=AD,
∴△ADE是等腰三角形.

【分析】
要证明△ADE是等腰三角形，根据等腰三角形的判定规则，只需证明该三角形有两个内角相等或者两条边相等即可。首先从已知条件AB=BD出发，利用等边对等角的性质可得∠BAD=∠BDA；再结合已知∠ADE=∠B，利用三角形内角和为180°的定理，分别列出△ADE和△ABD的内角和等式，通过等量代换即可推导出△ADE中存在相等的内角，从而完成证明。
【解析】
证明：
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA。
∵三角形内角和为180°，∠ADE=∠B，
∴在△ADE中有∠ADE+∠BAD+∠AED=180°，在△ABD中有∠B+∠BDA+∠BAD=180°，
将已知角的等量关系代入，可推得∠AED=∠BAD，
∴ED=AD，即△ADE是等腰三角形。
【答案】
证明:
∵AB=BD,
∴∠BAD=∠BDA.
∵∠ADE=∠B,∠ADE+∠BAD+∠AED=180°,
∠B+∠BDA+∠BAD=180°,
∴∠AED=∠BAD,
∴ED=AD,
∴△ADE是等腰三角形.
【知识点】
等边对等角，三角形内角和定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形性质与判定的基础应用题，解题核心是通过等边对等角性质和三角形内角和定理完成角的等量代换，找到待证三角形的等角关系，属于等腰三角形章节的典型基础考题。
【难度系数】
0.75

5.如图,在△ABC中,AB=BC,AB的垂直平分线DE分别交AB,BC于点D,E.
(1)若∠C=72°,求∠B,∠1的度数;
(2)若BD=6,AC=7,求△AEC的周长.

解:(1)
∵AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,
∴BE=AE,∠ADE=∠BDE=90°.
∵AB=BC,
∴∠BAC=∠C=72°,
∴∠B=180°-∠C-∠BAC=180°-72°-72°=36°,
∴∠EAB=∠B=36°,
∴∠1=90°-∠EAB=54°.
(2)
∵BD=6,
∴AB=2BD=2×6=12,
∴BC=12.
∵AE=BE,
∴AE+CE+AC=BC+AC=12+7=19,
即△AEC的周长为19.

【分析】
(1)解题先从已知条件入手：首先AB=BC，说明△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质，可先求出∠BAC的度数，再结合三角形内角和为180°就能算出∠B的度数；之后利用线段垂直平分线的性质可得AE=BE，所以∠EAB=∠B，最后在直角三角形ADE中，两个锐角互余，用90°减去∠EAB的度数即可得到∠1的度数。
(2)第二问求△AEC的周长，先根据垂直平分线的性质，D是AB中点，已知BD长度可求出AB的长，也就得到了BC的长；再利用AE=BE的等量关系，把△AEC的周长AE+CE+AC转化为BE+CE+AC，也就是BC+AC，代入数值就能直接计算出结果。
【解析】
(1)
∵AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,
∴BE=AE,∠ADE=∠BDE=90°.
∵AB=BC,
∴∠BAC=∠C=72°,
∴∠B=180°-∠C-∠BAC=180°-72°-72°=36°,
∴∠EAB=∠B=36°,
∴∠1=90°-∠EAB=54°.
(2)
∵BD=6,
∴AB=2BD=2×6=12,
∴BC=AB=12.
∵AE=BE,
∴AE+CE+AC=BE+CE+AC=BC+AC=12+7=19,
即△AEC的周长为19.
【答案】
(1)∠B=36°，∠1=54°；(2)△AEC的周长为19
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形和线段垂直平分线性质的综合基础题，解题的关键是熟练掌握相关性质，通过等量转化简化计算，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.75

6. 如图,在△ABC中,∠A=40°,点D,E分别在边AB,AC上,BD=BC=CE,连接CD,BE.
(1)若∠ABC=80°,求∠BDC,∠ABE的度数;
(2)写出∠BEC与∠BDC之间的关系,并说明理由.

解:(1)
∵∠ABC=80°,BD=BC,
∴∠BDC=∠BCD=$\frac{1}{2}$×(180°-80°)=50°.
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠A=40°,
∴∠ACB=180°-40°-80°=60°.
∵CE=BC,
∴△BCE是等边三角形,
∴∠EBC=60°,
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=20°.
(2)∠BEC+∠BDC=110°.理由如下:
设∠BEC=α,∠BDC=β,则
α=∠A+∠ABE=40°+∠ABE.
∵CE=BC,
∴∠CBE=∠BEC=α,
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠A+2∠ABE=40°+2∠ABE.
∵BD=BC,
∴∠BDC=∠BCD=β,
∴∠BDC+∠BCD+∠DBC=2β+40°+2∠ABE=180°,
∴β=70°-∠ABE,
∴α+β=40°+∠ABE+70°-∠ABE=110°,
∴∠BEC+∠BDC=110°.

【分析】
(1)求∠BDC时，先观察到BD=BC，即△BDC为等腰三角形，已知顶角∠ABC的度数，根据等腰三角形两底角相等结合三角形内角和即可求解；求∠ABE时，先根据△ABC内角和算出∠ACB的度数，再由CE=BC且∠ACB=60°判定△BCE为等边三角形，得到∠EBC的度数，用∠ABC减去∠EBC即可得到∠ABE的度数。
(2)探究∠BEC和∠BDC的关系时，可设两个角分别为α、β，利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和、外角性质，用同一个中间角表示出α和β，相加后消去中间角即可得到两个角的数量关系。
【解析】
(1)
∵∠ABC=80°，BD=BC，
∴△BDC为等腰三角形，∠BDC=∠BCD，
根据三角形内角和为180°，得$∠ BDC=\frac{1}{2}×(180°-∠ ABC)=\frac{1}{2}×(180°-80°)=50°$。
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，已知∠A=40°，∠ABC=80°，
∴$∠ ACB=180°-40°-80°=60°$，
又
∵CE=BC，∠ACB=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴$∠ EBC=60°$，
∴$∠ ABE=∠ ABC-∠ EBC=80°-60°=20°$。
(2)$∠ BEC+∠ BDC=110°$，理由如下：
设$∠ BEC=α$，$∠ BDC=β$，
根据三角形外角的性质，∠BEC是△ABE的外角，故$α=∠ A+∠ ABE=40°+∠ ABE$，
∵CE=BC，
∴$∠ CBE=∠ BEC=α$，
∴$∠ ABC=∠ ABE+∠ CBE=∠ ABE+α=40°+2∠ ABE$，
∵BD=BC，
∴$∠ BDC=∠ BCD=β$，
在△BDC中，$∠ BDC+∠ BCD+∠ DBC=180°$，即$2β+∠ ABC=180°$，
代入∠ABC的表达式得：$2β+40°+2∠ ABE=180°$，化简得$β=70°-∠ ABE$，
∴$α+β=(40°+∠ ABE)+(70°-∠ ABE)=110°$，即$∠ BEC+∠ BDC=110°$。
【答案】
(1)$∠ BDC=50°$，$∠ ABE=20°$；
(2)$∠ BEC+∠ BDC=110°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题属于等腰三角形性质的综合应用题型，解题的关键是灵活运用等边对等角、三角形内角和及外角性质梳理角之间的等量关系，第二问通过设参数消去中间角的方法是探究角的数量关系的常用技巧，有助于简化推导过程。
【难度系数】
0.7