4.如图,在△ABC中,AB=AC=BD,∠ADE=∠B,求证:△ADE是等腰三角形.

证明:
∵AB=BD,
∴∠BAD=∠BDA.
∵∠ADE=∠B,∠ADE+∠BAD+∠AED=180°,
∠B+∠BDA+∠BAD=180°,
∴∠AED=∠BAD,
∴ED=AD,
∴△ADE是等腰三角形.

5.如图,在△ABC中,AB=BC,AB的垂直平分线DE分别交AB,BC于点D,E.
(1)若∠C=72°,求∠B,∠1的度数;
(2)若BD=6,AC=7,求△AEC的周长.

解:(1)
∵AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,
∴BE=AE,∠ADE=∠BDE=90°.
∵AB=BC,
∴∠BAC=∠C=72°,
∴∠B=180°-∠C-∠BAC=180°-72°-72°=36°,
∴∠EAB=∠B=36°,
∴∠1=90°-∠EAB=54°.
(2)
∵BD=6,
∴AB=2BD=2×6=12,
∴BC=12.
∵AE=BE,
∴AE+CE+AC=BC+AC=12+7=19,
即△AEC的周长为19.

6. 如图,在△ABC中,∠A=40°,点D,E分别在边AB,AC上,BD=BC=CE,连接CD,BE.
(1)若∠ABC=80°,求∠BDC,∠ABE的度数;
(2)写出∠BEC与∠BDC之间的关系,并说明理由.

解:(1)
∵∠ABC=80°,BD=BC,
∴∠BDC=∠BCD=$\frac{1}{2}$×(180°-80°)=50°.
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠A=40°,
∴∠ACB=180°-40°-80°=60°.
∵CE=BC,
∴△BCE是等边三角形,
∴∠EBC=60°,
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=20°.
(2)∠BEC+∠BDC=110°.理由如下:
设∠BEC=α,∠BDC=β,则
α=∠A+∠ABE=40°+∠ABE.
∵CE=BC,
∴∠CBE=∠BEC=α,
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠A+2∠ABE=40°+2∠ABE.
∵BD=BC,
∴∠BDC=∠BCD=β,
∴∠BDC+∠BCD+∠DBC=2β+40°+2∠ABE=180°,
∴β=70°-∠ABE,
∴α+β=40°+∠ABE+70°-∠ABE=110°,
∴∠BEC+∠BDC=110°.