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1. 等腰三角形两边的长分别为5和7，则其周长为
17或19
.答案
1. 17或19
解析
【分析】
首先明确等腰三角形的特点是两条腰长度相等，题目仅给出两边长为5和7，未说明哪条是腰、哪条是底边，因此需要分两种情况讨论；其次要注意三角形三边需满足“任意两边之和大于第三边”，因此每种情况讨论后都要验证是否能构成三角形，最后分别计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
本题需分两种情况计算：
1. 当腰长为5时，三角形的三边长分别为5，5，7
验证三边关系：$5+5=10＞7$，满足三角形三边关系，可以构成三角形
此时周长为：$5+5+7=17$
2. 当腰长为7时，三角形的三边长分别为7，7，5
验证三边关系：$7+5=12＞7$，满足三角形三边关系，可以构成三角形
此时周长为：$7+7+5=19$
综上，该等腰三角形的周长为17或19。
【答案】
17或19
【知识点】
等腰三角形的定义；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础题型，易错点是忽略腰和底边的分类讨论，或是未通过三边关系验证排除不符合的情况，解题时要养成分类讨论后逐一验证的习惯，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
首先明确等腰三角形的特点是两条腰长度相等，题目仅给出两边长为5和7，未说明哪条是腰、哪条是底边，因此需要分两种情况讨论；其次要注意三角形三边需满足“任意两边之和大于第三边”，因此每种情况讨论后都要验证是否能构成三角形，最后分别计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
本题需分两种情况计算：
1. 当腰长为5时，三角形的三边长分别为5，5，7
验证三边关系：$5+5=10＞7$，满足三角形三边关系，可以构成三角形
此时周长为：$5+5+7=17$
2. 当腰长为7时，三角形的三边长分别为7，7，5
验证三边关系：$7+5=12＞7$，满足三角形三边关系，可以构成三角形
此时周长为：$7+7+5=19$
综上，该等腰三角形的周长为17或19。
【答案】
17或19
【知识点】
等腰三角形的定义；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础题型，易错点是忽略腰和底边的分类讨论，或是未通过三边关系验证排除不符合的情况，解题时要养成分类讨论后逐一验证的习惯，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
南京模拟)等腰三角形两边的长分别为5和11,则其周长为
27
。答案
2. 27
解析
【分析】
已知等腰三角形两边长为5和11，未明确腰和底边，因此需先分两种情况讨论：①腰长为5，底边长为11；②腰长为11，底边长为5。再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断两种情况是否能构成三角形，排除不成立的情况后，计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 若等腰三角形的腰长为5，底边长为11，则三边长为5，5，11。
∵5+5=10＜11，不符合三角形三边关系，
∴该情况不成立，舍去。
2. 若等腰三角形的腰长为11，底边长为5，则三边长为11，11，5。
∵11+5=16＞11，11+11=22＞5，满足三角形三边关系，
∴此时三角形周长为11+11+5=27。
【答案】
27
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形边长计算的常考题型，解题的易错点是忽略分类讨论后对三边关系的验证，直接计算两种情况的周长得到错解，做题时要注意养成分类讨论后验证合理性的习惯。
【难度系数】
0.6
已知等腰三角形两边长为5和11，未明确腰和底边，因此需先分两种情况讨论：①腰长为5，底边长为11；②腰长为11，底边长为5。再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断两种情况是否能构成三角形，排除不成立的情况后，计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 若等腰三角形的腰长为5，底边长为11，则三边长为5，5，11。
∵5+5=10＜11，不符合三角形三边关系，
∴该情况不成立，舍去。
2. 若等腰三角形的腰长为11，底边长为5，则三边长为11，11，5。
∵11+5=16＞11，11+11=22＞5，满足三角形三边关系，
∴此时三角形周长为11+11+5=27。
【答案】
27
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形边长计算的常考题型，解题的易错点是忽略分类讨论后对三边关系的验证，直接计算两种情况的周长得到错解，做题时要注意养成分类讨论后验证合理性的习惯。
【难度系数】
0.6
3.若等腰三角形的一个角为$70°$,则其顶角的度数为
70°或40°
.答案
3. 70°或40°
解析
【分析】
等腰三角形的两个底角相等，题目仅给出一个角为70°，未明确该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：①若已知角是顶角，可直接得到顶角度数；②若已知角是底角，结合三角形内角和为180°计算顶角度数，最后验证两种情况均符合三角形内角和要求即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当70°的角为等腰三角形的顶角时，顶角的度数为70°；
2. 当70°的角为等腰三角形的底角时，根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，可得顶角的度数为：$180° - 70°×2 = 40°$。
两种情况均满足三角形内角和定理，均成立。
【答案】
$70°$或$40°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题，易错点是忽略已知角未明确类型的前提，未进行分类讨论导致漏解，解题后要注意验证结果是否符合三角形的基本性质。
【难度系数】
0.7
等腰三角形的两个底角相等，题目仅给出一个角为70°，未明确该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：①若已知角是顶角，可直接得到顶角度数；②若已知角是底角，结合三角形内角和为180°计算顶角度数，最后验证两种情况均符合三角形内角和要求即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当70°的角为等腰三角形的顶角时，顶角的度数为70°；
2. 当70°的角为等腰三角形的底角时，根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，可得顶角的度数为：$180° - 70°×2 = 40°$。
两种情况均满足三角形内角和定理，均成立。
【答案】
$70°$或$40°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题，易错点是忽略已知角未明确类型的前提，未进行分类讨论导致漏解，解题后要注意验证结果是否符合三角形的基本性质。
【难度系数】
0.7
若等腰三角形的一个角为$100°$,则其底角的度数为
40°
.答案
4. 40°
解析
【分析】
解题时首先回忆等腰三角形“两底角相等”的性质与三角形内角和为180°的定理。由于题目未说明100°的角是顶角还是底角，需先分类讨论两种情况，再结合三角形内角和定理排除不符合的情况，最后计算正确的底角度数：①先假设100°为底角，验证是否符合内角和要求；②若100°为顶角，利用内角和与等腰三角形性质计算底角。
【解析】
已知等腰三角形的一个角为100°，分两种情况讨论：
1. 若100°的角为底角：
∵等腰三角形两底角相等，
∴两个底角的和为$100° × 2 = 200°$
又
∵三角形内角和为$180°$，$200° ＞ 180°$，不符合三角形内角和定理，故该情况舍去；
2. 若100°的角为顶角：
则底角的度数为$(180° - 100°) ÷ 2 = 40°$
综上，该等腰三角形底角的度数为40°。
【答案】
$40°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础题，解题关键是要对已知角的类型进行分类讨论，同时注意结合三角形内角和定理验证结果的合理性，避免出现违背定理的错误答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆等腰三角形“两底角相等”的性质与三角形内角和为180°的定理。由于题目未说明100°的角是顶角还是底角，需先分类讨论两种情况，再结合三角形内角和定理排除不符合的情况，最后计算正确的底角度数：①先假设100°为底角，验证是否符合内角和要求；②若100°为顶角，利用内角和与等腰三角形性质计算底角。
【解析】
已知等腰三角形的一个角为100°，分两种情况讨论：
1. 若100°的角为底角：
∵等腰三角形两底角相等，
∴两个底角的和为$100° × 2 = 200°$
又
∵三角形内角和为$180°$，$200° ＞ 180°$，不符合三角形内角和定理，故该情况舍去；
2. 若100°的角为顶角：
则底角的度数为$(180° - 100°) ÷ 2 = 40°$
综上，该等腰三角形底角的度数为40°。
【答案】
$40°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础题，解题关键是要对已知角的类型进行分类讨论，同时注意结合三角形内角和定理验证结果的合理性，避免出现违背定理的错误答案。
【难度系数】
0.8
6.(秦淮区期末)若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$50°$,则其底角的度数为
70°或20°
.答案
6. 70°或20°
解析
【分析】
本题未明确等腰三角形的形状，需结合腰上高的位置分两种情况讨论：①当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部；②当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部。先根据直角三角形两锐角互余求出顶角的度数，再利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°计算底角即可。
【解析】
分两种情况求解：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时：
腰上的高在三角形内部，高与另一腰的夹角为50°，结合高的定义可知高与腰的夹角为90°，因此顶角为 $ 90° - 50° = 40° $。
根据等腰三角形两底角相等，底角度数为 $ \frac{180° - 40°}{2} = 70° $。
2. 当等腰三角形为钝角三角形时：
腰上的高在三角形外部，高与另一腰的延长线夹角为50°，同理可得顶角的邻补角为 $ 90° - 50° = 40° $，因此顶角为 $ 180° - 40° = 140° $。
此时底角度数为 $ \frac{180° - 140°}{2} = 20° $。
综上，底角的度数为70°或20°。
【答案】
$ 70° $或$ 20° $
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略等腰三角形为钝角三角形的情况，未分类讨论导致漏解，解题时要注意三角形的高可能在内部、外部或边上，需结合三角形形状判断。
【难度系数】
0.6
本题未明确等腰三角形的形状，需结合腰上高的位置分两种情况讨论：①当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部；②当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部。先根据直角三角形两锐角互余求出顶角的度数，再利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°计算底角即可。
【解析】
分两种情况求解：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时：
腰上的高在三角形内部，高与另一腰的夹角为50°，结合高的定义可知高与腰的夹角为90°，因此顶角为 $ 90° - 50° = 40° $。
根据等腰三角形两底角相等，底角度数为 $ \frac{180° - 40°}{2} = 70° $。
2. 当等腰三角形为钝角三角形时：
腰上的高在三角形外部，高与另一腰的延长线夹角为50°，同理可得顶角的邻补角为 $ 90° - 50° = 40° $，因此顶角为 $ 180° - 40° = 140° $。
此时底角度数为 $ \frac{180° - 140°}{2} = 20° $。
综上，底角的度数为70°或20°。
【答案】
$ 70° $或$ 20° $
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略等腰三角形为钝角三角形的情况，未分类讨论导致漏解，解题时要注意三角形的高可能在内部、外部或边上，需结合三角形形状判断。
【难度系数】
0.6
若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为$35°$,则此等腰三角形的顶角度数为
70°
.答案
7. 70°
解析
【分析】
首先画出等腰三角形的示意图，腰上的高与底边、腰的下半部分可构成直角三角形，已知高与底边的夹角为35°，结合直角三角形两锐角互余的性质，可先求出等腰三角形的底角度数；再根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，就能计算出顶角的度数，本题中夹角是高与底边的夹角，无需额外分类讨论。
【解析】
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB=AC$，$BD$为腰$AC$上的高，即$BD⊥ AC$，$∠ BDC=90°$。
由题可知腰上的高与底边的夹角$∠ DBC=35°$，
在$Rt△ BDC$中，根据直角三角形两锐角互余可得：
底角$∠ C = 90° - ∠ DBC = 90° - 35° = 55°$
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ C=55°$
根据三角形内角和为$180°$，顶角$∠ A = 180° - ∠ ABC - ∠ C = 180° - 55°×2 = 70°$
【答案】
$70°$
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题侧重考查三角形基础性质的综合应用，解题核心是通过高构造的直角三角形推导底角的度数，解题时要注意审题，明确夹角的对应边，避免混淆夹角类型导致分类错误。
【难度系数】
0.7
首先画出等腰三角形的示意图，腰上的高与底边、腰的下半部分可构成直角三角形，已知高与底边的夹角为35°，结合直角三角形两锐角互余的性质，可先求出等腰三角形的底角度数；再根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，就能计算出顶角的度数，本题中夹角是高与底边的夹角，无需额外分类讨论。
【解析】
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB=AC$，$BD$为腰$AC$上的高，即$BD⊥ AC$，$∠ BDC=90°$。
由题可知腰上的高与底边的夹角$∠ DBC=35°$，
在$Rt△ BDC$中，根据直角三角形两锐角互余可得：
底角$∠ C = 90° - ∠ DBC = 90° - 35° = 55°$
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ C=55°$
根据三角形内角和为$180°$，顶角$∠ A = 180° - ∠ ABC - ∠ C = 180° - 55°×2 = 70°$
【答案】
$70°$
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题侧重考查三角形基础性质的综合应用，解题核心是通过高构造的直角三角形推导底角的度数，解题时要注意审题，明确夹角的对应边，避免混淆夹角类型导致分类错误。
【难度系数】
0.7
8.在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AB$的垂直平分线与边$AC$所在的直线相交所得的锐角为$50°$，则$∠ C$的度数为________.
答案
8. 20°或70°
解析
【分析】
本题需注意AB的垂直平分线是与AC所在的直线相交，不是仅与线段AC相交，因此要分两种情况讨论：①△ABC为锐角三角形，垂直平分线与线段AC相交；②△ABC为钝角三角形，垂直平分线与CA的延长线相交。先结合垂直平分线的直角性质求出顶角∠BAC的度数，再利用等腰三角形两底角相等的性质计算底角∠C的度数即可。
【解析】
设AB的垂直平分线为DE，D为AB的中点，DE与AC所在直线交于点E，由题可知相交所得锐角∠AED=50°。
情况1：当交点E在线段AC上时：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠ADE=90°。
在Rt△ADE中，∠BAC=90°-∠AED=90°-50°=40°。
又
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
根据三角形内角和为180°，得∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-40°)÷2=70°。
情况2：当交点E在线段CA的延长线上时：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠ADE=90°。
在Rt△ADE中，∠EAD=90°-∠AED=90°-50°=40°。
此时∠BAC=180°-∠EAD=180°-40°=140°。
又
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
根据三角形内角和为180°，得∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-140°)÷2=20°。
综上，∠C的度数为20°或70°。
【答案】
20°或70°
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略“AC所在直线”的条件，仅考虑交点在线段AC上的情况导致漏解，解题时要仔细审题，结合图形分类讨论，避免遗漏情况。
【难度系数】
0.6
本题需注意AB的垂直平分线是与AC所在的直线相交，不是仅与线段AC相交，因此要分两种情况讨论：①△ABC为锐角三角形，垂直平分线与线段AC相交；②△ABC为钝角三角形，垂直平分线与CA的延长线相交。先结合垂直平分线的直角性质求出顶角∠BAC的度数，再利用等腰三角形两底角相等的性质计算底角∠C的度数即可。
【解析】
设AB的垂直平分线为DE，D为AB的中点，DE与AC所在直线交于点E，由题可知相交所得锐角∠AED=50°。
情况1：当交点E在线段AC上时：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠ADE=90°。
在Rt△ADE中，∠BAC=90°-∠AED=90°-50°=40°。
又
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
根据三角形内角和为180°，得∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-40°)÷2=70°。
情况2：当交点E在线段CA的延长线上时：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠ADE=90°。
在Rt△ADE中，∠EAD=90°-∠AED=90°-50°=40°。
此时∠BAC=180°-∠EAD=180°-40°=140°。
又
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
根据三角形内角和为180°，得∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-140°)÷2=20°。
综上，∠C的度数为20°或70°。
【答案】
20°或70°
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略“AC所在直线”的条件，仅考虑交点在线段AC上的情况导致漏解，解题时要仔细审题，结合图形分类讨论，避免遗漏情况。
【难度系数】
0.6
9.已知$△ ABC$是等腰三角形，过$△ ABC$的一个顶点的一条直线，把$△ ABC$分成两个小三角形，如果这两个小三角形也是等腰三角形，试求出$△ ABC$各内角的度数.（写出所有的情况）
答案
9.解:一共有4种情况.分别求解如下：
如答图①,△ABC是等腰三角形,AB=AC,线段AD过顶点A.根据题意,知△ABD,△ACD是等腰三角形,且AD=BD,AD=CD,那么∠B=∠BAD=∠CAD=∠C,利用三角形内角和定理,可知
∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°,
解得∠B=∠BAD=∠CAD=∠C=45°,∠BAC=90°.
如答图②,AB=AC=CD,AD=BD.
设∠B=x,则∠BAD=∠ACB=x,
∴∠ADC=2x.
∵AC=CD,
∴∠CAD=2x,
∴∠BAC=3x,
∴x+3x+x=180°,解得x=36°,
∴∠B=∠C=36°,∠BAC=108°.
如答图③,AB=AC,AD=BD=BC.
设∠A=x,则∠ABD=x,
∴∠BDC=2x.
∵BD=BC,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=∠BDC=2x,
∴x+2x+2x=180°,
∴x=36°,
∴∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.
如答图④,AB=AC,BC=CD,AD=BD.
设∠A=x,则∠ABD=x,∠BDC=∠DBC=2x,
∴∠ABC=∠ACB=3x,
∴x+3x+3x=180°,
∴x=180°/7,
∴∠A=180°/7,∠ABC=∠C=540°/7.
解析
【分析】
本题为等腰三角形分割类问题，需结合图形分类讨论求解：①首先明确原△ABC为等腰三角形，对过不同顶点的分割线、分割后小等腰三角形的腰的情况分别讨论；②设最小角为未知数，利用等腰三角形“等边对等角”的性质，将所有相关内角用含未知数的代数式表示；③结合三角形内角和为180°列方程求解，最后验证所求角度符合三角形内角的取值要求即可，注意不要漏解。
【解析】
共分4种情况求解：
1. 对应题图①：原△ABC中AB=AC，AD过顶点A，△ABD、△ACD均为等腰三角形，且AD=BD，AD=CD。
由等边对等角得∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，结合AB=AC得∠B=∠C，故∠B=∠BAD=∠CAD=∠C。
根据三角形内角和定理：$∠ B+∠ BAD+∠ CAD+∠ C=180°$，即$4∠ B=180°$，解得$∠ B=∠ C=45°$，$∠ BAC=90°$。
2. 对应题图②：原△ABC中AB=AC，AD过顶点A，且AB=AC=CD，AD=BD。
设$∠ B=x$，由AD=BD得$∠ BAD=∠ B=x$，结合AB=AC得$∠ ACB=∠ B=x$。
∠ADC为△ABD的外角，故$∠ ADC=∠ B+∠ BAD=2x$，由AC=CD得$∠ CAD=∠ ADC=2x$，因此$∠ BAC=∠ BAD+∠ CAD=3x$。
△ABC内角和为$x+3x+x=180°$，解得$x=36°$，即$∠ B=∠ C=36°$，$∠ BAC=108°$。
3. 对应题图③：原△ABC中AB=AC，BD过顶点B，且AD=BD=BC。
设$∠ A=x$，由AD=BD得$∠ ABD=∠ A=x$，∠BDC为△ABD的外角，故$∠ BDC=∠ A+∠ ABD=2x$。
由BD=BC得$∠ C=∠ BDC=2x$，结合AB=AC得$∠ ABC=∠ C=2x$。
△ABC内角和为$x+2x+2x=180°$，解得$x=36°$，即$∠ A=36°$，$∠ ABC=∠ C=72°$。
4. 对应题图④：原△ABC中AB=AC，BD过顶点B，且BC=CD，AD=BD。
设$∠ A=x$，由AD=BD得$∠ ABD=∠ A=x$，∠BDC为△ABD的外角，故$∠ BDC=∠ A+∠ ABD=2x$。
由BC=CD得$∠ DBC=∠ BDC=2x$，因此$∠ ABC=∠ ABD+∠ DBC=3x$，结合AB=AC得$∠ ACB=∠ ABC=3x$。
△ABC内角和为$x+3x+3x=180°$，解得$x=\frac{180°}{7}$，即$∠ A=\frac{180°}{7}$，$∠ ABC=∠ C=\frac{540°}{7}$。
【答案】
一共有4种情况.分别求解如下：
如答图①,△ABC是等腰三角形,AB=AC,线段AD过顶点A.根据题意,知△ABD,△ACD是等腰三角形,且AD=BD,AD=CD,那么∠B=∠BAD=∠CAD=∠C,利用三角形内角和定理,可知
∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°,
解得∠B=∠BAD=∠CAD=∠C=45°,∠BAC=90°.
如答图②,AB=AC=CD,AD=BD.
设∠B=x,则∠BAD=∠ACB=x,
∴∠ADC=2x.
∵AC=CD,
∴∠CAD=2x,
∴∠BAC=3x,
∴x+3x+x=180°,解得x=36°,
∴∠B=∠C=36°,∠BAC=108°.
如答图③,AB=AC,AD=BD=BC.
设∠A=x,则∠ABD=x,
∴∠BDC=2x.
∵BD=BC,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=∠BDC=2x,
∴x+2x+2x=180°,
∴x=36°,
∴∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.
如答图④,AB=AC,BC=CD,AD=BD.
设∠A=x,则∠ABD=x,∠BDC=∠DBC=2x,
∴∠ABC=∠ACB=3x,
∴x+3x+3x=180°,
∴x=180°/7,
∴∠A=180°/7,∠ABC=∠C=540°/7.
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型分类讨论题，解题的关键是结合图形明确分割后两个小等腰三角形的边的相等关系，利用等边对等角将角度关系转化为方程求解，解题时要注意不漏情况，保证所求角度符合三角形内角的取值要求。
【难度系数】
0.3
本题为等腰三角形分割类问题，需结合图形分类讨论求解：①首先明确原△ABC为等腰三角形，对过不同顶点的分割线、分割后小等腰三角形的腰的情况分别讨论；②设最小角为未知数，利用等腰三角形“等边对等角”的性质，将所有相关内角用含未知数的代数式表示；③结合三角形内角和为180°列方程求解，最后验证所求角度符合三角形内角的取值要求即可，注意不要漏解。
【解析】
共分4种情况求解：
1. 对应题图①：原△ABC中AB=AC，AD过顶点A，△ABD、△ACD均为等腰三角形，且AD=BD，AD=CD。
由等边对等角得∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，结合AB=AC得∠B=∠C，故∠B=∠BAD=∠CAD=∠C。
根据三角形内角和定理：$∠ B+∠ BAD+∠ CAD+∠ C=180°$，即$4∠ B=180°$，解得$∠ B=∠ C=45°$，$∠ BAC=90°$。
2. 对应题图②：原△ABC中AB=AC，AD过顶点A，且AB=AC=CD，AD=BD。
设$∠ B=x$，由AD=BD得$∠ BAD=∠ B=x$，结合AB=AC得$∠ ACB=∠ B=x$。
∠ADC为△ABD的外角，故$∠ ADC=∠ B+∠ BAD=2x$，由AC=CD得$∠ CAD=∠ ADC=2x$，因此$∠ BAC=∠ BAD+∠ CAD=3x$。
△ABC内角和为$x+3x+x=180°$，解得$x=36°$，即$∠ B=∠ C=36°$，$∠ BAC=108°$。
3. 对应题图③：原△ABC中AB=AC，BD过顶点B，且AD=BD=BC。
设$∠ A=x$，由AD=BD得$∠ ABD=∠ A=x$，∠BDC为△ABD的外角，故$∠ BDC=∠ A+∠ ABD=2x$。
由BD=BC得$∠ C=∠ BDC=2x$，结合AB=AC得$∠ ABC=∠ C=2x$。
△ABC内角和为$x+2x+2x=180°$，解得$x=36°$，即$∠ A=36°$，$∠ ABC=∠ C=72°$。
4. 对应题图④：原△ABC中AB=AC，BD过顶点B，且BC=CD，AD=BD。
设$∠ A=x$，由AD=BD得$∠ ABD=∠ A=x$，∠BDC为△ABD的外角，故$∠ BDC=∠ A+∠ ABD=2x$。
由BC=CD得$∠ DBC=∠ BDC=2x$，因此$∠ ABC=∠ ABD+∠ DBC=3x$，结合AB=AC得$∠ ACB=∠ ABC=3x$。
△ABC内角和为$x+3x+3x=180°$，解得$x=\frac{180°}{7}$，即$∠ A=\frac{180°}{7}$，$∠ ABC=∠ C=\frac{540°}{7}$。
【答案】
一共有4种情况.分别求解如下：
如答图①,△ABC是等腰三角形,AB=AC,线段AD过顶点A.根据题意,知△ABD,△ACD是等腰三角形,且AD=BD,AD=CD,那么∠B=∠BAD=∠CAD=∠C,利用三角形内角和定理,可知
∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°,
解得∠B=∠BAD=∠CAD=∠C=45°,∠BAC=90°.
如答图②,AB=AC=CD,AD=BD.
设∠B=x,则∠BAD=∠ACB=x,
∴∠ADC=2x.
∵AC=CD,
∴∠CAD=2x,
∴∠BAC=3x,
∴x+3x+x=180°,解得x=36°,
∴∠B=∠C=36°,∠BAC=108°.
如答图③,AB=AC,AD=BD=BC.
设∠A=x,则∠ABD=x,
∴∠BDC=2x.
∵BD=BC,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=∠BDC=2x,
∴x+2x+2x=180°,
∴x=36°,
∴∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.
如答图④,AB=AC,BC=CD,AD=BD.
设∠A=x,则∠ABD=x,∠BDC=∠DBC=2x,
∴∠ABC=∠ACB=3x,
∴x+3x+3x=180°,
∴x=180°/7,
∴∠A=180°/7,∠ABC=∠C=540°/7.
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型分类讨论题，解题的关键是结合图形明确分割后两个小等腰三角形的边的相等关系，利用等边对等角将角度关系转化为方程求解，解题时要注意不漏情况，保证所求角度符合三角形内角的取值要求。
【难度系数】
0.3
10.已知$△ ABC$中，$∠ A=80°$，过$△ ABC$的顶点$B$的直线将$△ ABC$分割成两个等腰三角形，求$∠ C$的度数.(请画图分析)
答案
10.解:如答图①,
∵AB=BD=CD,∠A=80°,
∴∠ADB=∠A=80°,∠DBC=∠C.
∵∠ADB=∠DBC+∠C,
∴∠C=1/2∠ADB=40°.
如答图②,
∵AB=AD,CD=BD,∠A=80°,
∴∠ADB=∠ABD=1/2(180°−∠A)=50°,∠DBC=∠C.
∵∠ADB=∠DBC+∠C,
∴∠C=1/2∠ADB=25°.
如答图③,
∵AD=BD=CD,
∴∠A=∠DBA=80°,
∴∠C=∠DBC=(180°−2×80°)/2=10°.
综上所述,∠C的度数为40°或25°或10°.
解析
【分析】
要解决该问题，首先明确过点B的直线交AC于点D，将△ABC分为△ABD和△BCD两个等腰三角形，需分类讨论两个等腰三角形的腰的对应关系，共存在3种不同的等腰构成情况。每种情况结合等腰三角形“等边对等角”的性质、三角形外角性质或三角形内角和定理，逐步推导即可求出∠C的度数，注意分类时不要漏解。
【解析】
分以下三种情况讨论：
1. 如答图①，当$AB=BD=CD$时：
∵$AB=BD$，$∠A=80°$，
∴$∠ADB=∠A=80°$（等腰三角形等边对等角）。
又
∵$BD=CD$，
∴$∠DBC=∠C$。
∵$∠ADB$是$△ BCD$的外角，
∴$∠ADB=∠DBC+∠C=2∠C$，
∴$∠C=\frac{1}{2}∠ADB=\frac{1}{2}×80°=40°$。
2. 如答图②，当$AB=AD$，$CD=BD$时：
∵$AB=AD$，$∠A=80°$，
∴$∠ADB=∠ABD=\frac{1}{2}(180°−∠A)=\frac{1}{2}×(180°−80°)=50°$。
又
∵$BD=CD$，
∴$∠DBC=∠C$。
∵$∠ADB$是$△ BCD$的外角，
∴$∠ADB=∠DBC+∠C=2∠C$，
∴$∠C=\frac{1}{2}∠ADB=\frac{1}{2}×50°=25°$。
3. 如答图③，当$AD=BD=CD$时：
∵$AD=BD$，
∴$∠DBA=∠A=80°$（等腰三角形等边对等角）。
又
∵$BD=CD$，
∴$∠DBC=∠C$。
在$△ ABC$中，由三角形内角和为180°可得：
$∠A+∠ABD+∠DBC+∠C=180°$，
代入得$80°+80°+∠C+∠C=180°$，解得$∠C=10°$。
【答案】
$∠C$的度数为$40°$或$25°$或$10°$。
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型分类讨论题型，解题核心是根据“分割后两个三角形均为等腰三角形”的条件，梳理出所有可能的腰相等的情况，结合三角形角度相关性质计算，易错点是分类不全导致漏解。
【难度系数】
0.4
要解决该问题，首先明确过点B的直线交AC于点D，将△ABC分为△ABD和△BCD两个等腰三角形，需分类讨论两个等腰三角形的腰的对应关系，共存在3种不同的等腰构成情况。每种情况结合等腰三角形“等边对等角”的性质、三角形外角性质或三角形内角和定理，逐步推导即可求出∠C的度数，注意分类时不要漏解。
【解析】
分以下三种情况讨论：
1. 如答图①，当$AB=BD=CD$时：
∵$AB=BD$，$∠A=80°$，
∴$∠ADB=∠A=80°$（等腰三角形等边对等角）。
又
∵$BD=CD$，
∴$∠DBC=∠C$。
∵$∠ADB$是$△ BCD$的外角，
∴$∠ADB=∠DBC+∠C=2∠C$，
∴$∠C=\frac{1}{2}∠ADB=\frac{1}{2}×80°=40°$。
2. 如答图②，当$AB=AD$，$CD=BD$时：
∵$AB=AD$，$∠A=80°$，
∴$∠ADB=∠ABD=\frac{1}{2}(180°−∠A)=\frac{1}{2}×(180°−80°)=50°$。
又
∵$BD=CD$，
∴$∠DBC=∠C$。
∵$∠ADB$是$△ BCD$的外角，
∴$∠ADB=∠DBC+∠C=2∠C$，
∴$∠C=\frac{1}{2}∠ADB=\frac{1}{2}×50°=25°$。
3. 如答图③，当$AD=BD=CD$时：
∵$AD=BD$，
∴$∠DBA=∠A=80°$（等腰三角形等边对等角）。
又
∵$BD=CD$，
∴$∠DBC=∠C$。
在$△ ABC$中，由三角形内角和为180°可得：
$∠A+∠ABD+∠DBC+∠C=180°$，
代入得$80°+80°+∠C+∠C=180°$，解得$∠C=10°$。
【答案】
$∠C$的度数为$40°$或$25°$或$10°$。
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型分类讨论题型，解题核心是根据“分割后两个三角形均为等腰三角形”的条件，梳理出所有可能的腰相等的情况，结合三角形角度相关性质计算，易错点是分类不全导致漏解。
【难度系数】
0.4
