1.如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD⊥BC于点D,过点B作BE⊥AC于点E,AD与BE交于点F,连接CF.
(1)求证:∠ABF=∠ACF;
(2)若∠BAC=48°,求∠CFE的度数.

(1)证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BF=CF,
∴∠CBF=∠BCF,
∴∠ABC-∠CBF=∠ACB-∠BCF,
即∠ABF=∠ACF.
(2)解:
∵AB=AC,∠BAC=48°,
∴∠ABC=∠ACB=66°.
∵BE⊥AC,
∴∠ABF=90°-∠BAC=42°,
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=24°.
由(1)得∠CBF=∠BCF,
∴∠BCF=∠CBF=24°,
∴∠CFE=∠CBF+∠BCF=48°.

【分析】
（1）要证明∠ABF=∠ACF，首先根据已知AB=AC，可得△ABC是等腰三角形，底角∠ABC=∠ACB；再结合AD⊥BC，由等腰三角形三线合一的性质可知AD是BC的垂直平分线，点F在AD上，因此可得BF=CF，进而推出∠CBF=∠BCF；最后用两个相等的底角分别减去相等的∠CBF和∠BCF，即可得到要证的结论。
（2）求∠CFE的度数时，先根据等腰三角形顶角的度数计算出底角∠ABC、∠ACB的度数；再由BE⊥AC，在直角三角形ABE中利用两锐角互余算出∠ABF的度数，进而得到∠CBF的度数；结合（1）的结论可知∠BCF=∠CBF，最后利用三角形外角等于不相邻两内角和的性质，即可求出∠CFE的度数。
【解析】
(1)证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BF=CF,
∴∠CBF=∠BCF,
∴∠ABC-∠CBF=∠ACB-∠BCF,
即∠ABF=∠ACF.
(2)解:
∵AB=AC,∠BAC=48°,
∴∠ABC=∠ACB=(180°-48°)÷2=66°.
∵BE⊥AC,
∴∠ABF=90°-∠BAC=42°,
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=66°-42°=24°.
由(1)得∠CBF=∠BCF,
∴∠BCF=∠CBF=24°,
∴∠CFE=∠CBF+∠BCF=24°+24°=48°.
【答案】
(1) ∠ABF=∠ACF得证；
(2) ∠CFE=48°
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质应用的常规题型，解题核心是利用等腰三角形三线合一的性质得到线段相等，进而实现角的等量转化，解题过程中需要注意角的和差运算的准确性，整体考查基础的几何推理能力。
【难度系数】
0.7

2. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD⊥ BC$，垂足为$D$，$CE⊥ AB$，垂足为$E$，$AE=CE$。
求证:(1)$△ AEF≌△ CEB$；
(2)$AF=2CD$。

证明:(1)
∵AD⊥BC,
∴∠B+∠BAD=90°.
∵CE⊥AB,
∴∠B+∠BCE=90°,
∴∠EAF=∠ECB.
在△AEF和△CEB中,$\begin{cases} ∠AEF=∠CEB, \\ AE=CE, \\ ∠EAF=∠ECB, \end{cases}$
∴△AEF≌△CEB(ASA).
(2)
∵△AEF≌△CEB,
∴AF=CB.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴CD=BD,
∴BC=2CD,
∴AF=2CD.

【分析】
(1) 要证明△AEF≌△CEB，先梳理已知条件：CE⊥AB可得∠AEF=∠CEB=90°，且已知AE=CE，还缺少一组角相等的条件；结合AD⊥BC、CE⊥AB的垂直关系，可推出∠BAD和∠BCE都是∠B的余角，根据同角的余角相等可得∠EAF=∠ECB，刚好满足ASA的全等判定条件，即可完成证明。
(2) 要证明AF=2CD，首先由(1)的全等结论可得AF=BC，因此只需证明BC=2CD即可；已知AB=AC且AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，可得D是BC的中点，即BC=2CD，通过等量代换即可得到要证的结论。
【解析】
(1) 证明：
∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠B+∠BCE=90°，
∴∠EAF=∠ECB。
在△AEF和△CEB中，
$\begin{cases}∠AEF=∠CEB, \\AE=CE, \\∠EAF=∠ECB,\end{cases}$
∴△AEF≌△CEB(ASA)。
(2) 证明：
∵△AEF≌△CEB，
∴AF=CB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴CD=BD，即BC=2CD，
∴AF=2CD。
【答案】
(1) 已证△AEF≌△CEB；
(2) 已证AF=2CD，证明过程见上述解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，同角的余角相等
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是建立前后设问的关联，第一问的全等结论是第二问线段等量代换的桥梁，同时要熟练运用等腰三角形三线合一的性质，快速得到线段的倍分关系。
【难度系数】
0.7

3.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$BP$，$CQ$是$△ ABC$两腰上的高，$BP$与$CQ$交于点$O$。求证：$△ BCO$是等腰三角形。

证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵BP,CQ是△ABC两腰上的高,
∴∠BQC=∠CPB=90°.
∵∠OBC=90°-∠ACB,∠OCB=90°-∠ABC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴OB=OC,
∴△BCO是等腰三角形.

【分析】
要证明△BCO是等腰三角形，可通过证明它的两个底角相等推导边相等，优先考虑证∠OBC=∠OCB。首先由已知AB=AC，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠ABC=∠ACB；再结合BP、CQ是三角形两腰上的高，可知∠BQC和∠CPB均为直角，利用直角三角形两锐角互余的性质，可分别用∠ACB、∠ABC表示出∠OBC和∠OCB，结合∠ABC=∠ACB即可推出∠OBC=∠OCB，最后根据等角对等边得到OB=OC，即可证得△BCO为等腰三角形。
【解析】
证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵BP,CQ是△ABC两腰上的高,
∴∠BQC=∠CPB=90°.
∵∠OBC=90°-∠ACB,∠OCB=90°-∠ABC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴OB=OC,
∴△BCO是等腰三角形.
【答案】
△BCO是等腰三角形
【知识点】
等腰三角形的性质、等腰三角形的判定、直角三角形的性质
【点评】
本题属于等腰三角形相关的基础证明题，解题核心是灵活运用等腰三角形“等边对等角”和“等角对等边”的性质与判定，结合高的性质推导角的等量关系，是等腰三角形章节的常考题型，熟练掌握相关性质定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8