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7. 如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E。如果AD=1，BC=6，那么CE的长为
4
。答案
7.4
8.如图,在△ABC中,CD是中线,且$CD=\frac{1}{2}AB$.求证:△ABC是直角三角形.
答案
8. 证明:
∵CD是中线,
∴AD=BD=$\frac{1}{2}AB$.
∵CD=$\frac{1}{2}AB$,
∴AD=BD=CD.
∴∠A=∠DCA,∠B=∠DCB.
又
∵∠A+∠DCA+∠B+∠DCB=180°,
∴∠DCA+∠DCB=90°,
∴∠ACB=90°.
即△ABC是直角三角形.
∵CD是中线,
∴AD=BD=$\frac{1}{2}AB$.
∵CD=$\frac{1}{2}AB$,
∴AD=BD=CD.
∴∠A=∠DCA,∠B=∠DCB.
又
∵∠A+∠DCA+∠B+∠DCB=180°,
∴∠DCA+∠DCB=90°,
∴∠ACB=90°.
即△ABC是直角三角形.
9.(鼓楼区期末)如图,在△ABC中,BD,CE分别是AC,AB边上的高,F是BC的中点.
(1)求证:△DEF是等腰三角形;
(2)若∠A=60°,DE=2,求BC的长.
(1)求证:△DEF是等腰三角形;
(2)若∠A=60°,DE=2,求BC的长.
答案
9.(1)证明:
∵BD,CE分别是AC,AB边上的高,
∴∠BDC=∠CEB=90°,
∴△BCD,△BCE为直角三角形.
∵F是BC的中点,
∴EF=DF=BF=CF=$\frac{1}{2}BC$,
∴△DEF是等腰三角形.
(2)解:
∵EF=DF=BF=CF=$\frac{1}{2}BC$,
∴∠BEF=∠ABC,∠CDF=∠ACB.
∵∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=120°,
∴∠BFE+∠CFD=360°-2(∠ABC+∠ACB)=120°,
∴∠EFD=60°,
∴△DEF是等边三角形,
∴BC=2DE=4.
∵BD,CE分别是AC,AB边上的高,
∴∠BDC=∠CEB=90°,
∴△BCD,△BCE为直角三角形.
∵F是BC的中点,
∴EF=DF=BF=CF=$\frac{1}{2}BC$,
∴△DEF是等腰三角形.
(2)解:
∵EF=DF=BF=CF=$\frac{1}{2}BC$,
∴∠BEF=∠ABC,∠CDF=∠ACB.
∵∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=120°,
∴∠BFE+∠CFD=360°-2(∠ABC+∠ACB)=120°,
∴∠EFD=60°,
∴△DEF是等边三角形,
∴BC=2DE=4.
10.(上海期末)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ B=15°$,边AB的垂直平分线交边BC于点E,垂足为D,取线段BE的中点F,连接DF.求证:$AC=DF$.
答案
10. 证明:如答图,连接AE.
∵DE是AB的垂直平分线,
∴AE=BE,∠EDB=90°,
∴∠EAB=∠EBA=15°,
∴∠AEC=30°.
∵在Rt△EDB中,F是BE的中点,
∴DF=$\frac{1}{2}BE$.
∵在Rt△ACE中,∠AEC=30°,
∴AC=$\frac{1}{2}AE$,
∴AC=DF.
第10题答图