7. 如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E。如果AD=1，BC=6，那么CE的长为。

7.4

【分析】
解题时首先观察△ABC的内角特征，已知∠B=∠C=60°，可先判定△ABC为等边三角形，从而得到AC与BC相等，求出AC的长度；再看Rt△ADE，结合∠A=60°推出∠AED=30°，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质求出AE的长度，最后用AC减去AE即可得到CE的长度。
【解析】
解：在△ABC中，
∵∠B=∠C=60°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=6。
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°，
在Rt△ADE中，∠A=60°，
∴∠AED=90°-∠A=30°，
∴AE=2AD=2×1=2（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴CE=AC-AE=6-2=4。
【答案】
4
【知识点】
等边三角形的判定与性质；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是先根据三角形内角特征判断出等边三角形，再结合直角三角形的特殊性质计算线段长度，熟练掌握相关几何性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8

8.如图,在△ABC中,CD是中线,且$CD=\frac{1}{2}AB$.求证:△ABC是直角三角形.

8. 证明:
∵CD是中线,
∴AD=BD=$\frac{1}{2}AB$.
∵CD=$\frac{1}{2}AB$,
∴AD=BD=CD.
∴∠A=∠DCA,∠B=∠DCB.
又
∵∠A+∠DCA+∠B+∠DCB=180°,
∴∠DCA+∠DCB=90°,
∴∠ACB=90°.
即△ABC是直角三角形.

【分析】
解题时从已知条件逐步推导：第一步，根据三角形中线的定义，可得CD将AB分成相等的两段，即$AD=BD=\frac{1}{2}AB$；第二步，结合已知$CD=\frac{1}{2}AB$，可推出$AD=BD=CD$，进而得到两个等腰三角形$△ ADC$、$△ BDC$，利用等腰三角形等边对等角的性质，得到$∠ A=∠ DCA$，$∠ B=∠ DCB$；第三步，要证明$△ ABC$是直角三角形，即证明$∠ ACB=90°$，结合三角形内角和为$180°$，将角进行等量代换，即可推出$∠ ACB$的度数为$90°$，完成证明。
【解析】
证明：
∵CD是中线，
∴$AD=BD=\frac{1}{2}AB$。
∵$CD=\frac{1}{2}AB$，
∴$AD=BD=CD$，
∴$∠ A=∠ DCA$，$∠ B=∠ DCB$。
又
∵$∠ A+∠ DCA+∠ B+∠ DCB=180°$，
∴$2(∠ DCA+∠ DCB)=180°$，即$∠ DCA+∠ DCB=90°$，
∴$∠ ACB=90°$，
即$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
$△ ABC$是直角三角形
【知识点】
三角形中线的定义；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形性质的综合基础题，解题核心是将线段的等量关系转化为角的等量关系，结合内角和定理推导得到直角，本题的结论也可作为判定直角三角形的常用依据。
【难度系数】
0.8

9.(鼓楼区期末)如图,在△ABC中,BD,CE分别是AC,AB边上的高,F是BC的中点.
(1)求证:△DEF是等腰三角形;
(2)若∠A=60°,DE=2,求BC的长.

9.(1)证明:
∵BD,CE分别是AC,AB边上的高,
∴∠BDC=∠CEB=90°,
∴△BCD,△BCE为直角三角形.
∵F是BC的中点,
∴EF=DF=BF=CF=$\frac{1}{2}BC$,
∴△DEF是等腰三角形.
(2)解:
∵EF=DF=BF=CF=$\frac{1}{2}BC$,
∴∠BEF=∠ABC,∠CDF=∠ACB.
∵∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=120°,
∴∠BFE+∠CFD=360°-2(∠ABC+∠ACB)=120°,
∴∠EFD=60°,
∴△DEF是等边三角形,
∴BC=2DE=4.

【分析】
(1)要证明△DEF是等腰三角形，需证一组邻边相等。已知BD、CE是三角形的高，可得△BCE和△BCD都是直角三角形，结合F是BC中点，可利用直角三角形斜边上的中线性质推导EF和DF的数量关系，即可完成证明。
(2)已知∠A=60°，先由三角形内角和求出∠ABC+∠ACB的度数，再结合EF=BF、DF=CF，利用等边对等角推导角度关系，得到∠EFD的度数，结合第一问的结论可判定△DEF为等边三角形，最后根据DE的长度和EF与BC的数量关系求出BC的长。
【解析】
(1)证明：
∵BD，CE分别是AC，AB边上的高，
∴∠BDC=∠CEB=90°，即△BCD、△BCE均为直角三角形。
∵F是BC的中点，
∴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得$EF=\frac{1}{2}BC$，$DF=\frac{1}{2}BC$，
∴EF=DF，
∴△DEF是等腰三角形。
(2)解：
由(1)可知$EF=DF=BF=CF=\frac{1}{2}BC$，
∴∠BEF=∠ABC，∠CDF=∠ACB（等边对等角）。
∵在△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°，
∴∠BFE=180°-2∠ABC，∠CFD=180°-2∠ACB，
∴∠BFE+∠CFD=360°-2(∠ABC+∠ACB)=360°-2×120°=120°，
∴∠EFD=180°-(∠BFE+∠CFD)=60°，
又
∵△DEF是等腰三角形，
∴△DEF是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴EF=DE=2，
又
∵$EF=\frac{1}{2}BC$，
∴BC=2EF=2×2=4。
【答案】
(1)△DEF是等腰三角形，证明成立；
(2)BC的长为4。
【知识点】
直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形部分的典型习题，侧重考查直角三角形特殊性质和特殊三角形的判定，解题关键是灵活运用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质，结合三角形内角和完成角度推导，难度不大，属于常考基础题。
【难度系数】
0.7

10.(上海期末)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ B=15°$,边AB的垂直平分线交边BC于点E,垂足为D,取线段BE的中点F,连接DF.求证:$AC=DF$.

10. 证明:如答图,连接AE.
∵DE是AB的垂直平分线,
∴AE=BE,∠EDB=90°,
∴∠EAB=∠EBA=15°,
∴∠AEC=30°.
∵在Rt△EDB中,F是BE的中点,
∴DF=$\frac{1}{2}BE$.
∵在Rt△ACE中,∠AEC=30°,
∴AC=$\frac{1}{2}AE$,
∴AC=DF.
第10题答图

【分析】
要证明AC=DF，需通过等量代换建立两条线段的关联。首先观察到DE是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可连接辅助线AE得到AE=BE，结合∠B=15°，利用三角形外角的性质可推出∠AEC=30°；在Rt△ACE中，根据30°角所对直角边是斜边一半的性质，可得AC=$\frac{1}{2}$AE。再看DF，它是Rt△EDB斜边BE上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质，可得DF=$\frac{1}{2}$BE，结合AE=BE即可证明AC=DF。
【解析】
证明:如答图,连接AE.
∵DE是AB的垂直平分线,
∴AE=BE,∠EDB=90°,
∴∠EAB=∠EBA=15°,
∴∠AEC=∠EAB+∠EBA=30°.
∵在Rt△EDB中,F是BE的中点,
∴DF=$\frac{1}{2}BE$.
∵在Rt△ACE中,∠AEC=30°,∠ACB=90°,
∴AC=$\frac{1}{2}AE$,
又
∵AE=BE,
∴AC=DF.
【答案】
10. 证明:如答图,连接AE.
∵DE是AB的垂直平分线,
∴AE=BE,∠EDB=90°,
∴∠EAB=∠EBA=15°,
∴∠AEC=30°.
∵在Rt△EDB中,F是BE的中点,
∴DF=$\frac{1}{2}BE$.
∵在Rt△ACE中,∠AEC=30°,
∴AC=$\frac{1}{2}AE$,
∴AC=DF.
第10题答图
【知识点】
线段垂直平分线的性质；直角三角形30°角的性质；直角三角形斜边上中线的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题关键是正确添加辅助线AE，结合垂直平分线、直角三角形的相关性质，通过等量代换完成线段相等的证明，是对几何基础性质应用的典型考查。
【难度系数】
0.7