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1 [2024贵州]小星通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4.下列说法正确的是
（
A.小星定点投篮1次，不一定能投中
B.小星定点投篮1次，一定可以投中
C.小星定点投篮10次，一定投中4次
D.小星定点投篮4次，一定投中1次
（
A
）A.小星定点投篮1次，不一定能投中
B.小星定点投篮1次，一定可以投中
C.小星定点投篮10次，一定投中4次
D.小星定点投篮4次，一定投中1次
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先要明确用频率估计得到的概率的含义：概率反映的是随机事件发生的可能性大小，不是确定性的结果，不能认为投篮若干次就一定会出现和概率数值完全匹配的投中次数。接下来我们逐个判断四个选项的正误即可得到正确答案。
【解析】
已知通过大量重复试验用频率估计得到小星定点投篮投中的概率为0.4，该数值表示小星每次投篮投中的可能性为40%，属于随机事件的可能性，不代表必然发生固定次数的投中结果。
对各选项逐一分析：
A. 小星定点投篮1次，投中是随机事件，有可能投中也有可能投不中，因此不一定能投中，该说法正确；
B. 投篮1次投中的概率仅为0.4，不是必然事件，“一定可以投中”的说法错误；
C. 投篮10次的投中次数是随机的，可能为0~10之间的任意整数，不是一定投中4次，该说法错误；
D. 投篮4次的投中次数是随机的，可能为0~4之间的任意整数，不是一定投中1次，该说法错误。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
用频率估计概率、概率的意义
【点评】
本题考查对概率统计意义的理解，易错点是误将概率反映的可能性当成确定性的结果，只要明确概率仅表示事件发生的可能性大小，即可快速判断选项正误。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确用频率估计得到的概率的含义：概率反映的是随机事件发生的可能性大小，不是确定性的结果，不能认为投篮若干次就一定会出现和概率数值完全匹配的投中次数。接下来我们逐个判断四个选项的正误即可得到正确答案。
【解析】
已知通过大量重复试验用频率估计得到小星定点投篮投中的概率为0.4，该数值表示小星每次投篮投中的可能性为40%，属于随机事件的可能性，不代表必然发生固定次数的投中结果。
对各选项逐一分析：
A. 小星定点投篮1次，投中是随机事件，有可能投中也有可能投不中，因此不一定能投中，该说法正确；
B. 投篮1次投中的概率仅为0.4，不是必然事件，“一定可以投中”的说法错误；
C. 投篮10次的投中次数是随机的，可能为0~10之间的任意整数，不是一定投中4次，该说法错误；
D. 投篮4次的投中次数是随机的，可能为0~4之间的任意整数，不是一定投中1次，该说法错误。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
用频率估计概率、概率的意义
【点评】
本题考查对概率统计意义的理解，易错点是误将概率反映的可能性当成确定性的结果，只要明确概率仅表示事件发生的可能性大小，即可快速判断选项正误。
【难度系数】
0.9
2 在一个不透明的袋中装有若干个材质、大小完全相同的红球，小明在袋中放入3个黑球（每个黑球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出1个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出红球的频率稳定在0.85左右，由此可估计袋中红球有
17
个。答案
2. 17
解析
【分析】
解题时首先要明确：大量重复摸球试验中，摸出红球的频率稳定在0.85，说明摸出红球的概率约为0.85。我们可以设袋中红球有x个，那么袋中球的总个数为（x+3）个，再结合概率公式“摸出红球的概率=红球个数÷总球数”列方程求解即可。
【解析】
设袋中原有红球x个，放入3个黑球后，袋中球的总个数为(x+3)个。
∵大量重复试验后，摸出红球的频率稳定在0.85左右，
∴摸出红球的概率约为0.85，根据概率公式可得：
$\frac{x}{x+3}=0.85$
解方程：
$x=0.85(x+3)$
$x=0.85x+2.55$
$x-0.85x=2.55$
$0.15x=2.55$
$x=17$
经检验，x=17是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
17
【知识点】
用频率估计概率；概率公式；分式方程的应用
【点评】
本题是概率估算的基础题型，核心是理解频率和概率的关系，结合概率公式建立方程求解，解题时要注意总球数是红球加黑球的总数，不要漏算放入的黑球。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确：大量重复摸球试验中，摸出红球的频率稳定在0.85，说明摸出红球的概率约为0.85。我们可以设袋中红球有x个，那么袋中球的总个数为（x+3）个，再结合概率公式“摸出红球的概率=红球个数÷总球数”列方程求解即可。
【解析】
设袋中原有红球x个，放入3个黑球后，袋中球的总个数为(x+3)个。
∵大量重复试验后，摸出红球的频率稳定在0.85左右，
∴摸出红球的概率约为0.85，根据概率公式可得：
$\frac{x}{x+3}=0.85$
解方程：
$x=0.85(x+3)$
$x=0.85x+2.55$
$x-0.85x=2.55$
$0.15x=2.55$
$x=17$
经检验，x=17是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
17
【知识点】
用频率估计概率；概率公式；分式方程的应用
【点评】
本题是概率估算的基础题型，核心是理解频率和概率的关系，结合概率公式建立方程求解，解题时要注意总球数是红球加黑球的总数，不要漏算放入的黑球。
【难度系数】
0.8
3 [2025泗洪期中]某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表：
|射击次数|20|80|100|200|400|800|1 000|
|----|----|----|----|----|----|----|----|
|射中九环以上的次数|18|68|
|166|330|664|832|
|射中九环以上的频率|0.90|0.85|0.82|0.83|0.825|0.83|0.832|
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是
|射击次数|20|80|100|200|400|800|1 000|
|----|----|----|----|----|----|----|----|
|射中九环以上的次数|18|68|
|166|330|664|832||射中九环以上的频率|0.90|0.85|0.82|0.83|0.825|0.83|0.832|
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是
0.83
（精确到0.01）。答案
3. 0.83
解析
【分析】
解决本题首先要明确频率估计概率的原理：大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生概率的估计值。接下来观察表格数据，随着射击次数不断增加，射中九环以上的频率逐渐趋于稳定，取这个稳定值并按要求精确到0.01即可。
【解析】
根据频率估计概率的规则，大量重复试验中，事件频率的稳定值即为概率的估计值。
观察表格中射中九环以上的频率：射击次数从20次增加到1000次时，频率依次为0.90、0.85、0.82、0.83、0.825、0.83、0.832，可见频率逐渐稳定在0.83附近，精确到0.01，因此估计射击一次“射中九环以上”的概率是0.83。
【答案】
0.83
【知识点】
频率估计概率；频率的稳定性
【点评】
本题考查频率与概率的关系应用，核心是理解大量重复试验下频率稳定值等于概率估计值的规律，题目结合实际场景，考查对基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.85
解决本题首先要明确频率估计概率的原理：大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生概率的估计值。接下来观察表格数据，随着射击次数不断增加，射中九环以上的频率逐渐趋于稳定，取这个稳定值并按要求精确到0.01即可。
【解析】
根据频率估计概率的规则，大量重复试验中，事件频率的稳定值即为概率的估计值。
观察表格中射中九环以上的频率：射击次数从20次增加到1000次时，频率依次为0.90、0.85、0.82、0.83、0.825、0.83、0.832，可见频率逐渐稳定在0.83附近，精确到0.01，因此估计射击一次“射中九环以上”的概率是0.83。
【答案】
0.83
【知识点】
频率估计概率；频率的稳定性
【点评】
本题考查频率与概率的关系应用，核心是理解大量重复试验下频率稳定值等于概率估计值的规律，题目结合实际场景，考查对基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.85
4 在4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品.
（1）从这4件产品中随机抽1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率.
（2）从这4件产品中随机抽2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率.
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽1件进行检测，然后放回.多次重复这个试验，发现抽到合格品的频率稳定在0.95左右，请由此推算x的值.
（1）从这4件产品中随机抽1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率.
（2）从这4件产品中随机抽2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率.
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽1件进行检测，然后放回.多次重复这个试验，发现抽到合格品的频率稳定在0.95左右，请由此推算x的值.
答案
4.（1）$P$(抽到的是不合格品)$=\frac{1}{4}$
（2）画树状图如图所示
. 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的2件都是合格品的结果有6种，$\therefore P$(抽到的都是合格品)$=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$（3）根据题意，得$\frac{3+x}{4+x}=0.95$，解得$x=16$. 经检验，$x=16$是原分式方程的解，且符合题意. $\therefore x$的值是16
解析
【分析】
（1）第一问为基础古典概型计算，直接套用概率公式：事件发生概率=对应事件的等可能结果数÷所有等可能结果总数，找到不合格品数量和总产品数量代入即可。
（2）第二问是两步不放回抽取的概率计算，采用树状图或列表法列举所有等可能的抽取结果，再统计出2件均为合格品的结果数，代入概率公式计算即可，列举时注意不要出现重复抽取同一件产品的情况。
（3）第三问应用频率估计概率的结论：大量重复试验时，频率的稳定值可作为概率的估计值，因此可得此时抽到合格品的概率约为0.95，结合加入x件合格品后的合格品总数、产品总数量列分式方程求解，注意分式方程需要检验解是否符合题意。
【解析】
（1）4件产品中共有1件不合格品，随机抽取1件的所有等可能结果共4种，其中抽到不合格品的结果有1种，
因此$P$(抽到的是不合格品)$=\frac{\mathrm{不合格品数}}{\mathrm{总产品数}}=\frac{1}{4}$。
（2）将3件合格品记为$A_1、A_2、A_3$，1件不合格品记为$B$，随机抽取2件的树状图如下：
由树状图可得，共有12种等可能的结果，其中抽到2件都是合格品的结果有6种，
因此$P$(抽到的都是合格品)$=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
（3）多次重复试验后抽到合格品的频率稳定在0.95，因此估计抽到合格品的概率为0.95。
加入x件合格品后，合格品总数为$(3+x)$件，产品总数量为$(4+x)$件，列方程得：
$\frac{3+x}{4+x}=0.95$
两边同乘$(4+x)$得：$3+x=0.95×(4+x)$
展开整理得：$0.05x=0.8$
解得$x=16$。
检验：当$x=16$时，$4+x=20≠0$，因此$x=16$是原分式方程的解，且符合实际意义，故x的值为16。
【答案】
4.（1）$P$(抽到的是不合格品)$=\frac{1}{4}$
（2）画树状图如图所示. 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的2件都是合格品的结果有6种，$\therefore P$(抽到的都是合格品)$=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
（3）根据题意，得$\frac{3+x}{4+x}=0.95$，解得$x=16$. 经检验，$x=16$是原分式方程的解，且符合题意. $\therefore x$的值是16
【知识点】
古典概型计算，列举法求概率，频率估计概率
【点评】
本题梯度设置合理，覆盖了概率模块的基础考点，既考查了基础的概率计算能力，也考查了用列举法分析概率问题、结合方程解决概率实际应用的能力，解题时需注意列举结果时不重不漏，分式方程求解后要检验。
【难度系数】
0.8
（1）第一问为基础古典概型计算，直接套用概率公式：事件发生概率=对应事件的等可能结果数÷所有等可能结果总数，找到不合格品数量和总产品数量代入即可。
（2）第二问是两步不放回抽取的概率计算，采用树状图或列表法列举所有等可能的抽取结果，再统计出2件均为合格品的结果数，代入概率公式计算即可，列举时注意不要出现重复抽取同一件产品的情况。
（3）第三问应用频率估计概率的结论：大量重复试验时，频率的稳定值可作为概率的估计值，因此可得此时抽到合格品的概率约为0.95，结合加入x件合格品后的合格品总数、产品总数量列分式方程求解，注意分式方程需要检验解是否符合题意。
【解析】
（1）4件产品中共有1件不合格品，随机抽取1件的所有等可能结果共4种，其中抽到不合格品的结果有1种，
因此$P$(抽到的是不合格品)$=\frac{\mathrm{不合格品数}}{\mathrm{总产品数}}=\frac{1}{4}$。
（2）将3件合格品记为$A_1、A_2、A_3$，1件不合格品记为$B$，随机抽取2件的树状图如下：
由树状图可得，共有12种等可能的结果，其中抽到2件都是合格品的结果有6种，
因此$P$(抽到的都是合格品)$=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
（3）多次重复试验后抽到合格品的频率稳定在0.95，因此估计抽到合格品的概率为0.95。
加入x件合格品后，合格品总数为$(3+x)$件，产品总数量为$(4+x)$件，列方程得：
$\frac{3+x}{4+x}=0.95$
两边同乘$(4+x)$得：$3+x=0.95×(4+x)$
展开整理得：$0.05x=0.8$
解得$x=16$。
检验：当$x=16$时，$4+x=20≠0$，因此$x=16$是原分式方程的解，且符合实际意义，故x的值为16。
【答案】
4.（1）$P$(抽到的是不合格品)$=\frac{1}{4}$
（2）画树状图如图所示
. 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的2件都是合格品的结果有6种，$\therefore P$(抽到的都是合格品)$=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$（3）根据题意，得$\frac{3+x}{4+x}=0.95$，解得$x=16$. 经检验，$x=16$是原分式方程的解，且符合题意. $\therefore x$的值是16
【知识点】
古典概型计算，列举法求概率，频率估计概率
【点评】
本题梯度设置合理，覆盖了概率模块的基础考点，既考查了基础的概率计算能力，也考查了用列举法分析概率问题、结合方程解决概率实际应用的能力，解题时需注意列举结果时不重不漏，分式方程求解后要检验。
【难度系数】
0.8
5 在一个不透明的袋子中装有若干个白球.为估计白球的个数,小何向其中投入8个黑球,搅拌均匀后随机摸出1个球,记下颜色,再把它放入袋子中,不断重复摸球400次,其中88次摸出黑球,则估计袋子中白球有（
A.18个
B.28个
C.36个
D.42个
B
）A.18个
B.28个
C.36个
D.42个
答案
5. B
解析
【分析】
本题属于概率应用类估算问题，解题核心是利用“大量重复试验中，事件发生的频率近似等于该事件发生的概率”这一原理。首先可设白球个数为未知数，先计算摸出黑球的频率，再根据概率公式写出摸出黑球的概率表达式，令频率与概率相等建立方程，解方程即可求出白球的估计值。
【解析】
设袋子中白球有$ x $个，则袋子中球的总个数为$ x+8 $个。
大量重复摸球试验中，摸出黑球的频率近似等于摸出黑球的概率：
摸出黑球的频率为$ \frac{88}{400} $，摸出黑球的概率为$ \frac{8}{x+8} $，因此可列方程：
$\frac{8}{x+8} = \frac{88}{400}$
交叉相乘得：$ 88(x+8) = 8×400 $
计算得：$ 88x + 704 = 3200 $
移项化简得：$ 88x = 2496 $
解得：$ x\approx28 $
即估计袋子中白球有28个。
【答案】
B
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 概率公式
3. 分式方程应用
【点评】
本题是概率在实际估算中的基础应用，解题的关键是掌握频率与概率的关系，准确找到等量关系列方程求解，能够考查学生对概率基础知识的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
本题属于概率应用类估算问题，解题核心是利用“大量重复试验中，事件发生的频率近似等于该事件发生的概率”这一原理。首先可设白球个数为未知数，先计算摸出黑球的频率，再根据概率公式写出摸出黑球的概率表达式，令频率与概率相等建立方程，解方程即可求出白球的估计值。
【解析】
设袋子中白球有$ x $个，则袋子中球的总个数为$ x+8 $个。
大量重复摸球试验中，摸出黑球的频率近似等于摸出黑球的概率：
摸出黑球的频率为$ \frac{88}{400} $，摸出黑球的概率为$ \frac{8}{x+8} $，因此可列方程：
$\frac{8}{x+8} = \frac{88}{400}$
交叉相乘得：$ 88(x+8) = 8×400 $
计算得：$ 88x + 704 = 3200 $
移项化简得：$ 88x = 2496 $
解得：$ x\approx28 $
即估计袋子中白球有28个。
【答案】
B
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 概率公式
3. 分式方程应用
【点评】
本题是概率在实际估算中的基础应用，解题的关键是掌握频率与概率的关系，准确找到等量关系列方程求解，能够考查学生对概率基础知识的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
