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7 如图，有四张背面完全相同的纸牌A,B,C,D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀.
（1）从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率.
（2）小明和小亮做游戏，其规则为先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张.若摸出的两张纸牌的牌面图形都是轴对称图形，则小明获胜，否则小亮获胜.这个游戏公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由（纸牌用A,B,C,D表示）.
（1）从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率.
（2）小明和小亮做游戏，其规则为先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张.若摸出的两张纸牌的牌面图形都是轴对称图形，则小明获胜，否则小亮获胜.这个游戏公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由（纸牌用A,B,C,D表示）.
答案
7. （1）四张背面完全相同的纸牌 A,B,C,D中,牌面图形是中心对称图形的纸牌是 B,C,D,共 3 张,
∴ P(摸出的牌面图形是中心对称图形)=$\frac{3}{4}$
（2）公平 理由:画树状图如图所示.
由树状图可知,共有 12 种等可能的结果,其中摸出的两张纸牌的牌面图形都是轴对称图形的有 AB,AD,BA,BD,DA,DB 这 6 种结果,∴ P(小明获胜)=$\frac{6}{12}$=$\frac{1}{2}$,
∴ P(小亮获胜)=$1-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$,
∴ P(小明获胜)=P(小亮获胜),
∴ 这个游戏公平.
解析
【分析】
（1）解决第一问首先要明确中心对称图形的定义，先判断4张纸牌对应的图形中中心对称图形的个数，再根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算即可。
（2）判断游戏是否公平，核心是比较小明和小亮获胜的概率是否相等。首先先识别四个图形中的轴对称图形，再通过画树状图的方法列出不放回摸两张牌的所有等可能结果，统计两张都是轴对称图形的结果数，计算小明获胜的概率，进而求出小亮获胜的概率，比较两者大小就能判断游戏是否公平。
【解析】
（1）根据中心对称图形的定义判断：正三角形不是中心对称图形，正方形、平行四边形、矩形都是中心对称图形，因此4张纸牌中共有3张牌面是中心对称图形。
摸牌共有4种等可能的结果，其中摸出中心对称图形的结果有3种，因此：
$P(\mathrm{摸出的牌面图形是中心对称图形})=\frac{3}{4}$。
（2）根据轴对称图形的定义判断：正三角形、正方形、矩形是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形，即轴对称图形对应的纸牌为A、B、D。
按照不放回摸牌的规则画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中摸出的两张纸牌牌面都是轴对称图形的结果有AB、AD、BA、BD、DA、DB，共6种，因此：
$P(\mathrm{小明获胜})=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，
$P(\mathrm{小亮获胜})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
因为$P(\mathrm{小明获胜})=P(\mathrm{小亮获胜})$，所以该游戏公平。
【答案】
（1）$\frac{3}{4}$
（2）公平，理由如下：
画树状图如图所示。 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中摸出的两张纸牌的牌面图形都是轴对称图形的有AB,AD,BA,BD,DA,DB这6种结果，
∴ $P(\mathrm{小明获胜})=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，
∴ $P(\mathrm{小亮获胜})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
∴ $P(\mathrm{小明获胜})=P(\mathrm{小亮获胜})$，
∴ 这个游戏公平。
【知识点】
对称图形识别，概率计算，游戏公平性判断
【点评】
本题将几何图形的对称性与概率计算结合考查，既要求掌握中心对称、轴对称图形的概念，也要求能熟练用树状图或列表法求解不放回试验的概率，是概率章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问首先要明确中心对称图形的定义，先判断4张纸牌对应的图形中中心对称图形的个数，再根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算即可。
（2）判断游戏是否公平，核心是比较小明和小亮获胜的概率是否相等。首先先识别四个图形中的轴对称图形，再通过画树状图的方法列出不放回摸两张牌的所有等可能结果，统计两张都是轴对称图形的结果数，计算小明获胜的概率，进而求出小亮获胜的概率，比较两者大小就能判断游戏是否公平。
【解析】
（1）根据中心对称图形的定义判断：正三角形不是中心对称图形，正方形、平行四边形、矩形都是中心对称图形，因此4张纸牌中共有3张牌面是中心对称图形。
摸牌共有4种等可能的结果，其中摸出中心对称图形的结果有3种，因此：
$P(\mathrm{摸出的牌面图形是中心对称图形})=\frac{3}{4}$。
（2）根据轴对称图形的定义判断：正三角形、正方形、矩形是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形，即轴对称图形对应的纸牌为A、B、D。
按照不放回摸牌的规则画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中摸出的两张纸牌牌面都是轴对称图形的结果有AB、AD、BA、BD、DA、DB，共6种，因此：
$P(\mathrm{小明获胜})=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，
$P(\mathrm{小亮获胜})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
因为$P(\mathrm{小明获胜})=P(\mathrm{小亮获胜})$，所以该游戏公平。
【答案】
（1）$\frac{3}{4}$
（2）公平，理由如下：
画树状图如图所示。
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中摸出的两张纸牌的牌面图形都是轴对称图形的有AB,AD,BA,BD,DA,DB这6种结果，∴ $P(\mathrm{小明获胜})=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，
∴ $P(\mathrm{小亮获胜})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
∴ $P(\mathrm{小明获胜})=P(\mathrm{小亮获胜})$，
∴ 这个游戏公平。
【知识点】
对称图形识别，概率计算，游戏公平性判断
【点评】
本题将几何图形的对称性与概率计算结合考查，既要求掌握中心对称、轴对称图形的概念，也要求能熟练用树状图或列表法求解不放回试验的概率，是概率章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
8 [2024 青岛改编]小伟和小梅两名同学玩掷骰子的游戏，两人各掷一次6个面分别写有1,2,3,4,5,6的质地均匀的骰子，以掷出的数字之差的绝对值判断输赢.若所得差的绝对值为0,1,2,则小伟胜;若所得差的绝对值为3,4,5,则小梅胜.
（1）请用列表法分别求出小伟、小梅获胜的概率.
（2）判断上述游戏是否公平.如果公平,请说明理由;如果不公平,请利用表格修改游戏规则,以确保游戏的公平性.
（1）请用列表法分别求出小伟、小梅获胜的概率.
（2）判断上述游戏是否公平.如果公平,请说明理由;如果不公平,请利用表格修改游戏规则,以确保游戏的公平性.
答案
8. （1）两次掷出的点数之差的绝对值列表如下：
| 小 伟\小梅 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
由表可知,共有 36 种等可能的结果,其中“差的绝对值”为 0,1,2 的结果有 24 种,“差的绝对值”为 3,4,5 的结果有 12 种,
∴ P(小伟胜)=$\frac{24}{36}$=$\frac{2}{3}$,P(小梅胜)=$\frac{12}{36}$=$\frac{1}{3}$
（2）
∵ $\frac{2}{3}≠\frac{1}{3}$,
∴ 游戏不公平 修改游戏规则的方法不唯一,如修改为“若两次掷出的点数之差的绝对值为 1,2,则小伟胜;否则小梅胜”.
∵ 此时小伟、小梅获胜的概率均为$\frac{1}{2}$,
∴ 此游戏是公平的
| 小 伟\小梅 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
由表可知,共有 36 种等可能的结果,其中“差的绝对值”为 0,1,2 的结果有 24 种,“差的绝对值”为 3,4,5 的结果有 12 种,
∴ P(小伟胜)=$\frac{24}{36}$=$\frac{2}{3}$,P(小梅胜)=$\frac{12}{36}$=$\frac{1}{3}$
（2）
∵ $\frac{2}{3}≠\frac{1}{3}$,
∴ 游戏不公平 修改游戏规则的方法不唯一,如修改为“若两次掷出的点数之差的绝对值为 1,2,则小伟胜;否则小梅胜”.
∵ 此时小伟、小梅获胜的概率均为$\frac{1}{2}$,
∴ 此游戏是公平的
解析
【分析】
（1）求解两人获胜概率时，由于两人各掷一次骰子是两步独立随机事件，总共有6×6=36种等可能的结果，适合用列表法清晰呈现所有掷出点数之差的绝对值的情况，再分别统计差的绝对值为0、1、2（小伟胜）和3、4、5（小梅胜）的结果数，代入概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）即可计算对应概率。
（2）判断游戏是否公平的核心是比较双方获胜的概率是否相等，若概率不相等则游戏不公平；修改规则时只需保证双方获胜的概率相等即可。
【解析】
（1）列出两人掷出点数之差的绝对值的表格如下：
| 小伟\小梅 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
由表可知，共有36种等可能的结果，其中差的绝对值为0、1、2的结果有24种，差的绝对值为3、4、5的结果有12种。
因此$P(小伟胜)=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$，$P(小梅胜)=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$。
（2）因为$\frac{2}{3}≠\frac{1}{3}$，所以该游戏不公平。
修改游戏规则的方法不唯一，示例：若两次掷出的点数之差的绝对值为1、2，则小伟胜；否则小梅胜。此时小伟、小梅获胜的结果数均为18种，获胜概率均为$\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$，游戏公平。
【答案】
（1）$P(小伟胜)=\frac{2}{3}$，$P(小梅胜)=\frac{1}{3}$；
（2）游戏不公平，修改规则示例：若两次掷出的点数之差的绝对值为1,2，则小伟胜，否则小梅胜（规则合理即可）。
【知识点】
列表法求概率；游戏公平性判断；概率计算
【点评】
本题以掷骰子游戏为载体考查概率的实际应用，解题的关键是准确列举所有等可能结果，正确统计符合条件的结果数，修改规则属于开放性设问，只要保证双方获胜概率相等即可，是概率章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
（1）求解两人获胜概率时，由于两人各掷一次骰子是两步独立随机事件，总共有6×6=36种等可能的结果，适合用列表法清晰呈现所有掷出点数之差的绝对值的情况，再分别统计差的绝对值为0、1、2（小伟胜）和3、4、5（小梅胜）的结果数，代入概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）即可计算对应概率。
（2）判断游戏是否公平的核心是比较双方获胜的概率是否相等，若概率不相等则游戏不公平；修改规则时只需保证双方获胜的概率相等即可。
【解析】
（1）列出两人掷出点数之差的绝对值的表格如下：
| 小伟\小梅 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
由表可知，共有36种等可能的结果，其中差的绝对值为0、1、2的结果有24种，差的绝对值为3、4、5的结果有12种。
因此$P(小伟胜)=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$，$P(小梅胜)=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$。
（2）因为$\frac{2}{3}≠\frac{1}{3}$，所以该游戏不公平。
修改游戏规则的方法不唯一，示例：若两次掷出的点数之差的绝对值为1、2，则小伟胜；否则小梅胜。此时小伟、小梅获胜的结果数均为18种，获胜概率均为$\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$，游戏公平。
【答案】
（1）$P(小伟胜)=\frac{2}{3}$，$P(小梅胜)=\frac{1}{3}$；
（2）游戏不公平，修改规则示例：若两次掷出的点数之差的绝对值为1,2，则小伟胜，否则小梅胜（规则合理即可）。
【知识点】
列表法求概率；游戏公平性判断；概率计算
【点评】
本题以掷骰子游戏为载体考查概率的实际应用，解题的关键是准确列举所有等可能结果，正确统计符合条件的结果数，修改规则属于开放性设问，只要保证双方获胜概率相等即可，是概率章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
