1 [2025 河北]在反比例函数$y=\frac{4}{x}$中，若$2＜y＜4$，则$x$的取值范围是（）

A.$\frac{1}{2}＜x＜1$
B.$1＜x＜2$
C.$2＜x＜4$
D.$4＜x＜8$

B

【分析】
首先回忆反比例函数$y=\frac{4}{x}$的性质：$k=4＞0$，因此函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。已知$2＜y＜4$，$y$为正数，说明$x$也为正数，只需在第一象限讨论即可。接下来分别计算$y=2$和$y=4$时对应的$x$值，再结合函数的增减性，就能推导出$x$的取值范围。
【解析】
解：$\because$ 反比例函数$y=\frac{4}{x}$中，$k=4＞0$，
$\therefore$ 该函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
$\because 2＜y＜4$，可知$y＞0$，$\therefore x＞0$，此时对应函数图象在第一象限。
当$y=2$时，代入解析式得$2=\frac{4}{x}$，解得$x=2$；
当$y=4$时，代入解析式得$4=\frac{4}{x}$，解得$x=1$。
$\because$ 第一象限内$y$随$x$增大而减小，
$\therefore$ 当$2＜y＜4$时，$x$的取值范围是$1＜x＜2$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质；函数增减性的应用
【点评】
本题侧重考查反比例函数性质的基础应用，解题的关键是先根据函数值的符号确定函数所在象限，再结合增减性完成函数值范围到自变量范围的转化，注意不要忽略象限限制直接变形不等式导致出错。
【难度系数】
0.8

2 [2025连云港]如图，正比例函数$y=k_1x(k_1＜0)$的图象与反比例函数$y=\frac{k_2}{x}(k_2＜0)$的图象交于A，B两点，点A的横坐标为-1. 当$k_1x＜\frac{k_2}{x}$时，x的取值范围是________。

$-1＜x＜0$或$x＞1$

【分析】
要解不等式$k_1x＜\frac{k_2}{x}$，本质是找正比例函数值小于反比例函数值时对应的x的取值范围，可通过数形结合的思路求解：首先利用正反比例函数交点关于原点对称的性质，已知点A横坐标为-1，可推出另一个交点B的横坐标为1；再将x的取值范围划分为$x＜-1$、$-1＜x＜0$、$0＜x＜1$、$x＞1$四个区间（x=0时分母为0无意义，需排除），逐个区间观察正比例函数图象是否在反比例函数图象下方，即可得到解集。
【解析】
解：
∵正比例函数与反比例函数的图象交点关于原点中心对称，已知点A的横坐标为-1，
∴另一个交点B的横坐标为1。
不等式$k_1x＜\frac{k_2}{x}$的几何意义是正比例函数图象位于反比例函数图象下方时x的取值范围，结合图象观察：
1. 当$-1＜x＜0$时，正比例函数图象在反比例函数图象下方，满足$k_1x＜\frac{k_2}{x}$；
2. 当$x＞1$时，正比例函数图象也在反比例函数图象下方，满足$k_1x＜\frac{k_2}{x}$。
其余区间均不满足不等式，因此x的取值范围为$-1＜x＜0$或$x＞1$。
【答案】
$-1＜x＜0$或$x＞1$
【知识点】
正反比例函数交点性质、图象法解不等式、反比例函数对称性
【点评】
本题是正反比例函数结合的常规题型，核心考查数形结合思想的应用，解题关键是先利用交点对称性确定两个交点的横坐标，再分区间观察图象高低，要注意反比例函数自变量x不能为0，避免错写区间端点。
【难度系数】
0.6

3 [2025苏州工业园区段考]如图,一次函数$y=k_1x+b$的图象与反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象交于$A(1,3),B(3,m)$两点,$k_1,k_2,b$为常数.
(1) 求一次函数和反比例函数的表达式;
(2) 根据图象直接写出不等式$k_1x+b＞\frac{k_2}{x}$的解集为;
(3) $P$为$y$轴上一点,若$△ PAB$的面积为1,求点$P$的坐标.

(1) 将$A(1,3)$代入$y=\frac{k_2}{x}$,得$k_2=3$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{3}{x}$. 将$B(3,m)$代入$y=\frac{3}{x}$,得$m=1$,$\therefore$ 点$B$的坐标为$(3,1)$. 将$A(1,3),B(3,1)$代入$y=k_1x+b$,得$\begin{cases} k_1+b=3,\\3k_1+b=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases} k_1=-1,\\b=4,\end{cases}$
$\therefore$ 一次函数的表达式为$y=-x+4$
(2) $1＜x＜3$或$x＜0$
(3) 设$P(0,n)$,直线$BP$对应的函数表达式为$y=ax+n$. 将$B(3,1)$代入,得$a=\frac{1-n}{3}$,$\therefore y=\frac{1-n}{3}x+n$. 过点$A$作$AD// y$轴,交$BP$于点$D$,$\therefore$ 易得$D(1,\frac{1+2n}{3}).\because △ PAB$的面积为1,$\therefore \frac{1}{2}× \left|3-\frac{1+2n}{3}\right|× 3=1$,解得$n=3$或$n=5$,$\therefore$ 点$P$的坐标为$(0,3)$或$(0,5)$

【分析】
(1) 采用待定系数法求解函数解析式：先将已知点A代入反比例函数解析式求出$k_2$，得到反比例函数表达式；再将点B代入反比例函数求出m，得到B点坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，联立方程组求解得到一次函数的系数。
(2) 不等式$k_1x+b＞\frac{k_2}{x}$的几何意义是一次函数图象位于反比例函数图象上方时对应的x取值，结合图象分$x＜0$、$x＞0$两个区间，对照交点横坐标即可确定解集。
(3) 设P点坐标为$(0,n)$，采用铅垂高法计算三角形面积：过A作平行于y轴的直线交直线BP于D，先求直线BP的解析式得到D点坐标，再根据“三角形面积=$\frac{1}{2}$×水平宽×铅垂高”列绝对值方程求解n，注意不要漏解。
【解析】
(1) 将$A(1,3)$代入$y=\frac{k_2}{x}$，得$k_2=1×3=3$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{3}{x}$。
将$B(3,m)$代入$y=\frac{3}{x}$，得$m=\frac{3}{3}=1$，
∴点B的坐标为$(3,1)$。
将$A(1,3)$、$B(3,1)$代入$y=k_1x+b$，得$\begin{cases} k_1+b=3\\3k_1+b=1\end{cases}$，解得$\begin{cases} k_1=-1\\b=4\end{cases}$，
∴一次函数的表达式为$y=-x+4$。
(2) 观察图象可得：当$x＜0$或$1＜x＜3$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴不等式$k_1x+b＞\frac{k_2}{x}$的解集为$1＜x＜3$或$x＜0$。
(3) 设$P(0,n)$，直线BP对应的函数表达式为$y=ax+n$，将$B(3,1)$代入得$3a+n=1$，解得$a=\frac{1-n}{3}$，
∴直线BP的表达式为$y=\frac{1-n}{3}x+n$。
过点A作$AD// y$轴，交BP于点D，将$x=1$代入直线BP的表达式得$y=\frac{1-n}{3}+n=\frac{1+2n}{3}$，
∴$D(1,\frac{1+2n}{3})$。
∵$△ PAB$的面积为1，
∴$\frac{1}{2}×\left|3-\frac{1+2n}{3}\right|×3=1$，
化简得$\left|\frac{8-2n}{3}\right|=\frac{2}{3}$，即$|8-2n|=2$，
当$8-2n=2$时，$n=3$；当$8-2n=-2$时，$n=5$，
∴点P的坐标为$(0,3)$或$(0,5)$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{3}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x+4}$；
(2) $\boldsymbol{1＜x＜3}$或$\boldsymbol{x＜0}$；
(3) $\boldsymbol{(0,3)}$或$\boldsymbol{(0,5)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；函数不等式图象解法；坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合常规题，核心考察待定系数法的应用和数形结合思想，第三问的面积计算需要掌握割补法求坐标系内图形面积的技巧，解题时注意绝对值方程的多解性，避免漏解。
【难度系数】
0.6

4 已知$A(x_1,t),B(x_2,t+1)$两点在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，下列判断正确的是（）

A.当$t＞0$时，$0＜x_2＜x_1$
B.当$-1＜t＜0$时，$x_1＜x_2＜0$
C.当$-1＜t＜0$时，$0＜x_2＜x_1$
D.当$t＜-1$时，$x_1＜x_2＜0$

A

【分析】
解题时首先根据点在反比例函数图象上的坐标特征，将两点的横坐标用含t的代数式表示，再结合反比例函数$y=\frac{2}{x}$的性质：$k＞0$时，图象在一、三象限，且每个象限内$y$随$x$的增大而减小，分不同的$t$的取值范围，判断两点所在象限，再比较横坐标的大小，逐个验证选项即可。
【解析】
∵$A(x_1,t)$、$B(x_2,t+1)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上
∴代入得：$t=\frac{2}{x_1}$，$t+1=\frac{2}{x_2}$，即$x_1=\frac{2}{t}$，$x_2=\frac{2}{t+1}$
反比例函数$y=\frac{2}{x}$中$k=2＞0$，图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
逐个分析选项：
A选项：当$t＞0$时，$t+1＞t＞0$，两点都在第一象限，因为$y$越大对应的$x$越小，所以$x_2＜x_1$，且均为正数，即$0＜x_2＜x_1$，该选项正确；
B、C选项：当$-1＜t＜0$时，$t＜0$，$t+1＞0$，即$x_1=\frac{2}{t}＜0$（$A$在第三象限），$x_2=\frac{2}{t+1}＞0$（$B$在第一象限），可得$x_1＜0＜x_2$，故B、C选项均错误；
D选项：当$t＜-1$时，$t+1＜t＜0$，两点都在第三象限，因为$y$越大对应的$x$越小，所以$x_2＜x_1$，且均为负数，即$x_2＜x_1＜0$，该选项错误。
【答案】
A
【知识点】
1.反比例函数图象上点的坐标特征
2.反比例函数的增减性
【点评】
本题重点考查反比例函数的性质应用，解题时需注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，要先判断点所在象限，再比较坐标大小，避免跨象限直接用增减性判断导致出错。
【难度系数】
0.7

5 [2025 山东]如图,在平面直角坐标系中,A,C两点在坐标轴上,四边形OABC是面积为4的正方形.若函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点B,则满足$y≥2$的x的取值范围是 ()

A.$0＜x≤2$
B.$x≥2$
C.$0＜x≤4$
D.$x≥4$

A

【分析】
解题时首先利用正方形的面积求出边长，进而得到点B的坐标，将点B坐标代入反比例函数解析式求出k值，得到完整的反比例函数表达式，再根据y≥2列不等式，结合反比例函数自变量x＞0的取值范围，解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
1. 求点B的坐标
∵四边形OABC是面积为4的正方形，
∴正方形的边长为$\sqrt{4}=2$，
结合平面直角坐标系中点的位置特征，可得点B的坐标为$(2,2)$。
2. 求反比例函数解析式
将$B(2,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{2}$，解得$k=4$，
因此反比例函数解析式为$y=\frac{4}{x}（x＞0）$。
3. 求解x的取值范围
要求$y≥2$，即$\frac{4}{x}≥2$，
∵x＞0，不等式两边同时乘x，不等号方向不变，可得$4≥2x$，解得$x≤2$，
结合x＞0的隐含限制，最终x的取值范围为$0＜x≤2$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数解析式确定，正方形的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数与平面几何的基础综合题，解题核心是先通过正方形的性质得到反比例函数上点的坐标，求出函数解析式后再解不等式，解题时需注意反比例函数在第一象限内x＞0的隐含限制，避免漏写取值范围。
【难度系数】
0.8