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7 [2025 苏州工业园区段考]已知$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上的三个点的坐标，且$x_1＜x_2＜0,x_3＞0$，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜y_3＜y_1$
B
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜y_3＜y_1$
答案
7. B
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象性质：图象分布在第一、三象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。第一步先根据三个点横坐标的正负判断它们所在的象限，确定对应函数值的正负：横坐标小于0的点在第三象限，函数值为负；横坐标大于0的点在第一象限，函数值为正，因此第一象限的$y_3$一定大于第三象限的$y_1、y_2$。第二步再根据第三象限内$x_1＜x_2$，结合增减性比较$y_1$和$y_2$的大小，最终得出三个函数值的大小关系，也可以通过代入具体数值的方法验证结果。
【解析】
$\because$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＞0$，
$\therefore$ 函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
$\because x_1＜x_2＜0$，
$\therefore$ 点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$在第三象限，对应函数值均为负数，且由$x_1＜x_2$可得$y_2＜y_1＜0$。
$\because x_3＞0$，
$\therefore$ 点$(x_3,y_3)$在第一象限，对应函数值$y_3＞0$。
综上，$y_2＜y_1＜y_3$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数的图象与性质的应用，解题的关键是明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需先判断点所在的象限确定函数值的正负，再比较同象限内函数值的大小，避免跨象限直接用增减性判断导致错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象性质：图象分布在第一、三象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。第一步先根据三个点横坐标的正负判断它们所在的象限，确定对应函数值的正负：横坐标小于0的点在第三象限，函数值为负；横坐标大于0的点在第一象限，函数值为正，因此第一象限的$y_3$一定大于第三象限的$y_1、y_2$。第二步再根据第三象限内$x_1＜x_2$，结合增减性比较$y_1$和$y_2$的大小，最终得出三个函数值的大小关系，也可以通过代入具体数值的方法验证结果。
【解析】
$\because$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＞0$，
$\therefore$ 函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
$\because x_1＜x_2＜0$，
$\therefore$ 点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$在第三象限，对应函数值均为负数，且由$x_1＜x_2$可得$y_2＜y_1＜0$。
$\because x_3＞0$，
$\therefore$ 点$(x_3,y_3)$在第一象限，对应函数值$y_3＞0$。
综上，$y_2＜y_1＜y_3$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数的图象与性质的应用，解题的关键是明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需先判断点所在的象限确定函数值的正负，再比较同象限内函数值的大小，避免跨象限直接用增减性判断导致错误。
【难度系数】
0.8
8 [2025 内蒙古]已知点$A(m,y_1)$，$B(m+1,y_2)$都在反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$的图象上，则下列结论一定正确的是（
A.$y_1＞y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.当$m＜0$时，$y_1＜y_2$
D.当$m＜-1$时，$y_1＜y_2$
D
）A.$y_1＞y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.当$m＜0$时，$y_1＜y_2$
D.当$m＜-1$时，$y_1＜y_2$
答案
8. D
解析
【分析】
首先明确反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$的$k$值正负，确定图象所在象限和增减性，注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立。由于A、B两点横坐标相差1，$m$的取值范围会影响两点所在的象限，因此需要分情况讨论$m$的取值，判断两点是否在同一象限，再比较$y_1$和$y_2$的大小，逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
解：对于反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$，其中$k=-3＜0$，
∴函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，$y$随$x$的增大而增大。
已知点$A(m,y_1)$，$B(m+1,y_2)$，横坐标满足$m＜m+1$，分情况讨论：
1. 当$m＜-1$时，$m＜m+1＜0$，两点均在第二象限，根据增减性得$y_1＜y_2$，故D选项结论成立；
2. 当$-1＜m＜0$时，$m＜0$，$m+1＞0$，点A在第二象限（$y_1＞0$），点B在第四象限（$y_2＜0$），此时$y_1＞y_2$，可知当$m＜0$时存在$y_1＞y_2$的情况，故C选项错误；
3. 当$m＞0$时，$0＜m＜m+1$，两点均在第四象限，根据增减性得$y_1＜y_2$。
综上，$y_1$和$y_2$的大小关系随$m$的取值变化而变化，故A、B选项均错误，只有D选项的结论一定正确。
【答案】
D
【知识点】
1.反比例函数的性质 2.函数值大小比较
【点评】
本题解题的关键是明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，比较函数值大小时，首先要判断两点是否在同一象限，跨象限时可直接根据函数值的正负判断大小，避免直接套用增减性导致错误。
【难度系数】
0.6
首先明确反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$的$k$值正负，确定图象所在象限和增减性，注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立。由于A、B两点横坐标相差1，$m$的取值范围会影响两点所在的象限，因此需要分情况讨论$m$的取值，判断两点是否在同一象限，再比较$y_1$和$y_2$的大小，逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
解：对于反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$，其中$k=-3＜0$，
∴函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，$y$随$x$的增大而增大。
已知点$A(m,y_1)$，$B(m+1,y_2)$，横坐标满足$m＜m+1$，分情况讨论：
1. 当$m＜-1$时，$m＜m+1＜0$，两点均在第二象限，根据增减性得$y_1＜y_2$，故D选项结论成立；
2. 当$-1＜m＜0$时，$m＜0$，$m+1＞0$，点A在第二象限（$y_1＞0$），点B在第四象限（$y_2＜0$），此时$y_1＞y_2$，可知当$m＜0$时存在$y_1＞y_2$的情况，故C选项错误；
3. 当$m＞0$时，$0＜m＜m+1$，两点均在第四象限，根据增减性得$y_1＜y_2$。
综上，$y_1$和$y_2$的大小关系随$m$的取值变化而变化，故A、B选项均错误，只有D选项的结论一定正确。
【答案】
D
【知识点】
1.反比例函数的性质 2.函数值大小比较
【点评】
本题解题的关键是明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，比较函数值大小时，首先要判断两点是否在同一象限，跨象限时可直接根据函数值的正负判断大小，避免直接套用增减性导致错误。
【难度系数】
0.6
9 新考向 结论开放题 [2025甘肃]已知点$A(2,y_1),B(6,y_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上.如果$y_1＞y_2$,那么$k=$
6(答案不唯一)
(写出一个即可).答案
9. 6(答案不唯一)
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先判断点A、B所在的象限，两点的横坐标分别为2和6，均为正数，因此两点都在反比例函数图象的第一象限分支上；第二步结合已知的x、y的大小关系判断函数的增减性，已知x₁=2＜x₂=6，且y₁＞y₂，说明在该象限内y随x的增大而减小；第三步根据反比例函数的性质推导k的符号，当k＞0时，反比例函数在每一象限内y随x增大而减小，因此k为正数，任写一个正数即可。
【解析】
∵ 点A(2,y₁)、B(6,y₂)的横坐标均为正数，
∴ 两点位于反比例函数图象的同一象限（第一象限）。
又
∵ 2＜6，且y₁＞y₂，
∴ 在该象限内，y随x的增大而减小。
根据反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的性质：当k＞0时，函数图象的每一个分支上，y随x的增大而减小，
∴ k＞0，取一个正数即可，例如k=6。
【答案】
6（答案不唯一，任意正数均可）
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题为结论开放型题目，核心考查反比例函数增减性的应用，解题时需先确定两点所在的象限，再结合函数增减性判断k的取值范围，解题思路比较直接。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步先判断点A、B所在的象限，两点的横坐标分别为2和6，均为正数，因此两点都在反比例函数图象的第一象限分支上；第二步结合已知的x、y的大小关系判断函数的增减性，已知x₁=2＜x₂=6，且y₁＞y₂，说明在该象限内y随x的增大而减小；第三步根据反比例函数的性质推导k的符号，当k＞0时，反比例函数在每一象限内y随x增大而减小，因此k为正数，任写一个正数即可。
【解析】
∵ 点A(2,y₁)、B(6,y₂)的横坐标均为正数，
∴ 两点位于反比例函数图象的同一象限（第一象限）。
又
∵ 2＜6，且y₁＞y₂，
∴ 在该象限内，y随x的增大而减小。
根据反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的性质：当k＞0时，函数图象的每一个分支上，y随x的增大而减小，
∴ k＞0，取一个正数即可，例如k=6。
【答案】
6（答案不唯一，任意正数均可）
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题为结论开放型题目，核心考查反比例函数增减性的应用，解题时需先确定两点所在的象限，再结合函数增减性判断k的取值范围，解题思路比较直接。
【难度系数】
0.8
10 [2024 陕西]已知点$A(-2,y_1)$和点$B(m,y_2)$均在反比例函数$y=-\frac{5}{x}$的图象上.若$0＜m＜1$,则$y_1+y_2$
$＜$
0(填“＞”“＜”或“=”).答案
10. $＜$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按三步思路推导：第一步，先根据反比例函数的解析式判断其图象所在象限，明确不同象限内点的坐标符号特征；第二步，分别将两个点的横坐标代入解析式，求出y₁的具体值，再结合m的取值范围确定y₂的取值范围；第三步，计算两个函数值的和，判断和的符号即可得到结论。
【解析】
解：① 求$y_1$的取值：
将点$A(-2,y_1)$代入反比例函数$y=-\frac{5}{x}$，得：
$y_1=-\frac{5}{-2}=\frac{5}{2}=2.5＞0$。
② 确定$y_2$的取值范围：
将点$B(m,y_2)$代入反比例函数$y=-\frac{5}{x}$，得：
$y_2=-\frac{5}{m}$。
已知$0＜m＜1$，m为正数，不等式两边同时除以m，不等号方向不变，可得$\frac{1}{m}＞1$，因此$\frac{5}{m}＞5$；两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-\frac{5}{m}＜-5$，即$y_2＜-5＜0$。
③ 判断$y_1+y_2$的符号：
$y_1+y_2 ＜ 2.5 + (-5) = -2.5 ＜ 0$。
【答案】
$＜$
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是结合自变量的取值范围，准确判断对应函数值的正负和大小范围，再通过推导判断代数式的符号。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以按三步思路推导：第一步，先根据反比例函数的解析式判断其图象所在象限，明确不同象限内点的坐标符号特征；第二步，分别将两个点的横坐标代入解析式，求出y₁的具体值，再结合m的取值范围确定y₂的取值范围；第三步，计算两个函数值的和，判断和的符号即可得到结论。
【解析】
解：① 求$y_1$的取值：
将点$A(-2,y_1)$代入反比例函数$y=-\frac{5}{x}$，得：
$y_1=-\frac{5}{-2}=\frac{5}{2}=2.5＞0$。
② 确定$y_2$的取值范围：
将点$B(m,y_2)$代入反比例函数$y=-\frac{5}{x}$，得：
$y_2=-\frac{5}{m}$。
已知$0＜m＜1$，m为正数，不等式两边同时除以m，不等号方向不变，可得$\frac{1}{m}＞1$，因此$\frac{5}{m}＞5$；两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-\frac{5}{m}＜-5$，即$y_2＜-5＜0$。
③ 判断$y_1+y_2$的符号：
$y_1+y_2 ＜ 2.5 + (-5) = -2.5 ＜ 0$。
【答案】
$＜$
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是结合自变量的取值范围，准确判断对应函数值的正负和大小范围，再通过推导判断代数式的符号。
【难度系数】
0.7
11 在平面直角坐标系中,点$A(-2,1),B(3,2),C(-6,m)$分别在三个不同的象限.若反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过其中两点,求$m$的值.
答案
11. $\because$ 点$A(-2,1)$,$B(3,2)$,$C(-6,m)$分别在三个不同的象限,点$A(-2,1)$在第二象限,$\therefore$ 点$C(-6,m)$一定在第三象限.$\because$ 点$B(3,2)$在第一象限,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过其中两点,$\therefore$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$B(3,2)$,$C(-6,m)$,$\therefore 3×2=-6m$,解得$m=-1$
解析
【分析】
解题时首先要明确平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征，先判断已知点A、B所在的象限，结合“三点在不同象限”的条件确定点C所在象限，得到m的符号；再根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$的性质：图象上任意一点的横、纵坐标的乘积都等于定值k，且同个反比例函数图象上的点横纵坐标乘积符号相同，由此判断出反比例函数经过的两个点，最后代入计算即可求出m的值。
【解析】
$\because$ 点$A(-2,1)$横坐标为负、纵坐标为正，在第二象限，点$B(3,2)$横坐标为正、纵坐标为正，在第一象限，且三点分别在三个不同的象限，
$\therefore$ 横坐标为负的点$C(-6,m)$不可能在第二象限，只能在第三象限，即$m＜0$。
由反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的性质可知，其图象上任意两点的横、纵坐标乘积相等且符号相同，
点A的横纵坐标乘积为$-2×1=-2＜0$，点B的横纵坐标乘积为$3×2=6＞0$，两者符号不同，因此A、B不可能同时在反比例函数图象上；
又点C在第三象限，横纵坐标乘积为$-6m＞0$（因为$m＜0$），与点A的乘积符号不同，与点B的乘积符号相同，因此反比例函数经过的两点为B和C，
则有$3×2=-6m$，
解得$m=-1$。
【答案】
$m=-1$
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征 2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题结合象限判定与反比例函数性质考查，解题关键是先确定点C的象限，再根据反比例函数k的符号特征筛选出函数经过的点，整体逻辑清晰，考查对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征，先判断已知点A、B所在的象限，结合“三点在不同象限”的条件确定点C所在象限，得到m的符号；再根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$的性质：图象上任意一点的横、纵坐标的乘积都等于定值k，且同个反比例函数图象上的点横纵坐标乘积符号相同，由此判断出反比例函数经过的两个点，最后代入计算即可求出m的值。
【解析】
$\because$ 点$A(-2,1)$横坐标为负、纵坐标为正，在第二象限，点$B(3,2)$横坐标为正、纵坐标为正，在第一象限，且三点分别在三个不同的象限，
$\therefore$ 横坐标为负的点$C(-6,m)$不可能在第二象限，只能在第三象限，即$m＜0$。
由反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的性质可知，其图象上任意两点的横、纵坐标乘积相等且符号相同，
点A的横纵坐标乘积为$-2×1=-2＜0$，点B的横纵坐标乘积为$3×2=6＞0$，两者符号不同，因此A、B不可能同时在反比例函数图象上；
又点C在第三象限，横纵坐标乘积为$-6m＞0$（因为$m＜0$），与点A的乘积符号不同，与点B的乘积符号相同，因此反比例函数经过的两点为B和C，
则有$3×2=-6m$，
解得$m=-1$。
【答案】
$m=-1$
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征 2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题结合象限判定与反比例函数性质考查，解题关键是先确定点C的象限，再根据反比例函数k的符号特征筛选出函数经过的点，整体逻辑清晰，考查对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
12 如图所示为反比例函数 $y=\frac{m-6}{x}$ 的图象的一支. 根据给出的图象,回答问题:
（1）该函数的图象位于哪几个象限? 请确定 m 的取值范围.
（2）分类讨论思想 在这个函数的图象上取点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$. 如果 $y_1＜y_2$, 那么 $x_1$ 与 $x_2$ 有怎样的大小关系?
（1）该函数的图象位于哪几个象限? 请确定 m 的取值范围.
（2）
答案
12. (1) $\because$ 反比例函数的图象关于原点对称,题图中反比例函数的图象的一支位于第四象限,$\therefore$ 该函数的图象位于第二、四象限,$\therefore m-6＜0$,解得$m＜6$
(2) 由(1)知,函数的图象位于第二、四象限,$\therefore$ 在每一个象限内,函数值 $y$ 随自变量 $x$ 的增大而增大. 分情况讨论:
① 当$y_1＜y_2＜0$时,$x_1＜x_2$;② 当$0＜y_1＜y_2$时,$x_1＜x_2$;③ 当$y_1＜0＜y_2$时,$x_2＜x_1$
(2) 由(1)知,函数的图象位于第二、四象限,$\therefore$ 在每一个象限内,函数值 $y$ 随自变量 $x$ 的增大而增大. 分情况讨论:
① 当$y_1＜y_2＜0$时,$x_1＜x_2$;② 当$0＜y_1＜y_2$时,$x_1＜x_2$;③ 当$y_1＜0＜y_2$时,$x_2＜x_1$
解析
【分析】
（1）根据反比例函数图象关于原点中心对称的特征，结合已知的第四象限分支，可确定图象整体分布的象限；再结合反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象性质：当$k＜0$时图象位于第二、四象限，将比例系数$m-6$代入列不等式，即可求解$m$的取值范围。
（2）先明确该反比例函数的增减性：$k＜0$时，在同一象限内$y$随$x$的增大而增大，由于增减性仅在同一象限内成立，因此需分“两点同处第四象限、两点同处第二象限、两点分属不同象限”三类情况讨论，结合象限内坐标的正负特征和增减性判断$x_1$与$x_2$的大小关系。
【解析】
(1) $\because$ 反比例函数的图象关于原点对称，题图中反比例函数图象的一支位于第四象限，
$\therefore$ 该函数的图象位于第二、四象限，
$\therefore$ 比例系数$m-6＜0$，解得$m＜6$。
(2) 由(1)知函数图象位于第二、四象限，因此在每一个象限内，函数值$y$随自变量$x$的增大而增大，分情况讨论：
① 当$y_1＜y_2＜0$时，点$A,B$均在第四象限，故$x_1＜x_2$；
② 当$0＜y_1＜y_2$时，点$A,B$均在第二象限，故$x_1＜x_2$；
③ 当$y_1＜0＜y_2$时，点$A$在第四象限（$x_1＞0$），点$B$在第二象限（$x_2＜0$），故$x_2＜x_1$。
【答案】
(1) 该函数图象位于第二、四象限，$m$的取值范围是$m＜6$；
(2) 当$y_1＜y_2＜0$或$0＜y_1＜y_2$时，$x_1＜x_2$；当$y_1＜0＜y_2$时，$x_2＜x_1$。
【知识点】
反比例函数图象性质，反比例函数增减性，分类讨论思想
【点评】
本题核心考查反比例函数的图象特征与增减性的应用，解题时要特别注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，比较函数值对应自变量大小时，需考虑是否跨象限，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）根据反比例函数图象关于原点中心对称的特征，结合已知的第四象限分支，可确定图象整体分布的象限；再结合反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象性质：当$k＜0$时图象位于第二、四象限，将比例系数$m-6$代入列不等式，即可求解$m$的取值范围。
（2）先明确该反比例函数的增减性：$k＜0$时，在同一象限内$y$随$x$的增大而增大，由于增减性仅在同一象限内成立，因此需分“两点同处第四象限、两点同处第二象限、两点分属不同象限”三类情况讨论，结合象限内坐标的正负特征和增减性判断$x_1$与$x_2$的大小关系。
【解析】
(1) $\because$ 反比例函数的图象关于原点对称，题图中反比例函数图象的一支位于第四象限，
$\therefore$ 该函数的图象位于第二、四象限，
$\therefore$ 比例系数$m-6＜0$，解得$m＜6$。
(2) 由(1)知函数图象位于第二、四象限，因此在每一个象限内，函数值$y$随自变量$x$的增大而增大，分情况讨论：
① 当$y_1＜y_2＜0$时，点$A,B$均在第四象限，故$x_1＜x_2$；
② 当$0＜y_1＜y_2$时，点$A,B$均在第二象限，故$x_1＜x_2$；
③ 当$y_1＜0＜y_2$时，点$A$在第四象限（$x_1＞0$），点$B$在第二象限（$x_2＜0$），故$x_2＜x_1$。
【答案】
(1) 该函数图象位于第二、四象限，$m$的取值范围是$m＜6$；
(2) 当$y_1＜y_2＜0$或$0＜y_1＜y_2$时，$x_1＜x_2$；当$y_1＜0＜y_2$时，$x_2＜x_1$。
【知识点】
反比例函数图象性质，反比例函数增减性，分类讨论思想
【点评】
本题核心考查反比例函数的图象特征与增减性的应用，解题时要特别注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，比较函数值对应自变量大小时，需考虑是否跨象限，避免漏解。
【难度系数】
0.7
