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6 [2025陕西]一个反比例函数的图象经过A(m,－4),B(3,n)两点,若m＜－3,则n的取值范围是
$n＞4$
.答案
$n＞4$
解析
【分析】
解题时首先利用反比例函数图象上点的坐标特征：图象上任意一点的横、纵坐标的乘积等于定值k，由此可建立m、n与k的等量关系，进一步得到m和n的表达式；再将已知条件m＜-3代入该表达式，转化为关于n的一元一次不等式，解不等式即可得到n的取值范围，过程中可先判断k的符号确定n的正负，避免解不等式时出错。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$ y=\frac{k}{x}(k≠0) $。
∵点$ A(m,-4) $、$ B(3,n) $在反比例函数图象上，
∴根据反比例函数$ k=xy $的性质可得：
$ k = m×(-4) = -4m $，$ k = 3× n = 3n $
∴$ -4m = 3n $，变形得$ m = -\frac{3n}{4} $。
已知$ m ＜ -3 $，代入上式得：
$ -\frac{3n}{4} ＜ -3 $
解不等式：
两边同时乘4得：$ -3n ＜ -12 $
两边同时除以-3，不等号方向改变，得：$ n ＞ 4 $。
【答案】
$ n＞4 $
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，一元一次不等式的解法
【点评】
本题是反比例函数与不等式结合的基础题，解题核心是利用反比例函数中k为定值的特征建立两个点坐标的关联，再转化为不等式求解，也可结合反比例函数的增减性验证结果，是反比例函数性质应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用反比例函数图象上点的坐标特征：图象上任意一点的横、纵坐标的乘积等于定值k，由此可建立m、n与k的等量关系，进一步得到m和n的表达式；再将已知条件m＜-3代入该表达式，转化为关于n的一元一次不等式，解不等式即可得到n的取值范围，过程中可先判断k的符号确定n的正负，避免解不等式时出错。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$ y=\frac{k}{x}(k≠0) $。
∵点$ A(m,-4) $、$ B(3,n) $在反比例函数图象上，
∴根据反比例函数$ k=xy $的性质可得：
$ k = m×(-4) = -4m $，$ k = 3× n = 3n $
∴$ -4m = 3n $，变形得$ m = -\frac{3n}{4} $。
已知$ m ＜ -3 $，代入上式得：
$ -\frac{3n}{4} ＜ -3 $
解不等式：
两边同时乘4得：$ -3n ＜ -12 $
两边同时除以-3，不等号方向改变，得：$ n ＞ 4 $。
【答案】
$ n＞4 $
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，一元一次不等式的解法
【点评】
本题是反比例函数与不等式结合的基础题，解题核心是利用反比例函数中k为定值的特征建立两个点坐标的关联，再转化为不等式求解，也可结合反比例函数的增减性验证结果，是反比例函数性质应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
7 教材变式题 已知反比例函数$y=-\dfrac{10}{x}$，则当自变量$x$的取值不小于－5时，函数值$y$的取值范围是
$y≥2$或$y＜0$
。答案
$y≥2$或$y＜0$
解析
【分析】
首先明确反比例函数$y=-\dfrac{10}{x}$的基本性质：$k=-10＜0$，图象分布在第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。题目要求自变量$x≥-5$时$y$的取值范围，因为$x=0$时分母为0无意义，所以要把$x$的范围拆成$-5≤ x＜0$和$x＞0$两个区间分别讨论，结合每个区间的函数增减性计算对应的$y$的范围，最后合并结果即可。
【解析】
解：
∵反比例函数解析式为$y=-\dfrac{10}{x}$，$k=-10＜0$，
∴该函数图象在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大，且$x≠0$。
分两种情况讨论：
①当$-5≤ x＜0$时，函数图象位于第二象限，
当$x=-5$时，$y=-\dfrac{10}{-5}=2$，
∵此区间内$y$随$x$增大而增大，
∴当$-5≤ x＜0$时，$y≥2$；
②当$x＞0$时，函数图象位于第四象限，
此时$y=-\dfrac{10}{x}＜0$恒成立。
综上，函数值$y$的取值范围是$y≥2$或$y＜0$。
【答案】
$y≥2$或$y＜0$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；函数取值范围求解；分类讨论思想
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题关键是注意反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，需结合自变量的取值范围分区间讨论，避免忽略$x＞0$的情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
首先明确反比例函数$y=-\dfrac{10}{x}$的基本性质：$k=-10＜0$，图象分布在第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。题目要求自变量$x≥-5$时$y$的取值范围，因为$x=0$时分母为0无意义，所以要把$x$的范围拆成$-5≤ x＜0$和$x＞0$两个区间分别讨论，结合每个区间的函数增减性计算对应的$y$的范围，最后合并结果即可。
【解析】
解：
∵反比例函数解析式为$y=-\dfrac{10}{x}$，$k=-10＜0$，
∴该函数图象在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大，且$x≠0$。
分两种情况讨论：
①当$-5≤ x＜0$时，函数图象位于第二象限，
当$x=-5$时，$y=-\dfrac{10}{-5}=2$，
∵此区间内$y$随$x$增大而增大，
∴当$-5≤ x＜0$时，$y≥2$；
②当$x＞0$时，函数图象位于第四象限，
此时$y=-\dfrac{10}{x}＜0$恒成立。
综上，函数值$y$的取值范围是$y≥2$或$y＜0$。
【答案】
$y≥2$或$y＜0$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；函数取值范围求解；分类讨论思想
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题关键是注意反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，需结合自变量的取值范围分区间讨论，避免忽略$x＞0$的情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
8 如图,在平面直角坐标系中,四边形DOBC是矩形,且点D,B的坐标分别为(0,4),(6,0),反比例函数$y=\frac{k_1}{x}(k_1≠0)$在第一象限内的图象经过线段OC的中点A,交DC于点E,交BC于点F,连接OE,OF,EF.设直线EF对应的函数表达式为$y=k_2x+b(k_2≠0)$.
(1) 求反比例函数的表达式和直线EF对应的函数表达式;
(2) 求$△ OEF$的面积;
(3) 当$x＞0$时,关于$x$的不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}＜0$的解集为
(1) 求反比例函数的表达式和直线EF对应的函数表达式;
(2) 求$△ OEF$的面积;
(3) 当$x＞0$时,关于$x$的不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}＜0$的解集为
$0＜x＜\frac{3}{2}$或$x＞6$
.答案
(1) $\because$ 四边形$DOBC$是矩形,且点$D,B$的坐标分别为$(0,4),(6,0)$,$\therefore$ 点$C$的坐标为$(6,4)$.$\because A$为线段$OC$的中点,$\therefore$ 点$A$的坐标为$(3,2)$. 将$A(3,2)$代入$y=\frac{k_1}{x}$,得$k_1=3×2=6$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$. 把$x=6$代入$y=\frac{6}{x}$,得$y=1$,$\therefore$ 点$F$的坐标为$(6,1)$. 把$y=4$代入$y=\frac{6}{x}$,得$x=\frac{3}{2}$,$\therefore$ 点$E$的坐标为$(\frac{3}{2},4)$. 把$F(6,1),E(\frac{3}{2},4)$代入$y=k_2x+b$,得$\begin{cases}6k_2+b=1,\\\frac{3}{2}k_2+b=4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_2=-\frac{2}{3},\\b=5,\end{cases}$
$\therefore$ 直线$EF$对应的函数表达式为$y=-\frac{2}{3}x+5$
(2) $S_{△ OEF}=S_{\mathrm{矩形}DOBC}-S_{△ ODE}-S_{△ OBF}-S_{△ CEF}=4×6-\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×4-\frac{1}{2}×6×1-\frac{1}{2}×(6-\frac{3}{2})×(4-1)=\frac{45}{4}$
(3) $0＜x＜\frac{3}{2}$或$x＞6$
$\therefore$ 直线$EF$对应的函数表达式为$y=-\frac{2}{3}x+5$
(2) $S_{△ OEF}=S_{\mathrm{矩形}DOBC}-S_{△ ODE}-S_{△ OBF}-S_{△ CEF}=4×6-\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×4-\frac{1}{2}×6×1-\frac{1}{2}×(6-\frac{3}{2})×(4-1)=\frac{45}{4}$
(3) $0＜x＜\frac{3}{2}$或$x＞6$
解析
【分析】
(1) 首先利用矩形的性质，由已知D、B的坐标确定点C的坐标，再根据中点坐标公式求出OC中点A的坐标，将A代入反比例函数解析式即可求出k₁，得到反比例函数表达式；接下来根据E在DC边上（纵坐标恒为4）、F在BC边上（横坐标恒为6），分别代入反比例函数求出E、F的坐标，最后将E、F两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组即可得到直线EF的函数表达式。
(2) △OEF为不规则三角形，直接计算面积较复杂，可采用割补法：用矩形DOBC的总面积，减去△ODE、△OBF、△CEF三个小三角形的面积，即可求出△OEF的面积。
(3) 不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}＜0$可转化为$k_2x+b＜\frac{k_1}{x}$，即当x＞0时，一次函数值小于反比例函数值，结合函数图象，找直线EF落在反比例函数图象下方对应的x的取值范围，即为不等式的解集。
【解析】
(1) $\because$ 四边形$DOBC$是矩形，点$D,B$的坐标分别为$(0,4),(6,0)$，$\therefore$ 点$C$的坐标为$(6,4)$。
$\because A$为线段$OC$的中点，$\therefore$ 点$A$的坐标为$(3,2)$。
将$A(3,2)$代入$y=\frac{k_1}{x}$，得$k_1=3×2=6$，$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。
把$x=6$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=1$，$\therefore$ 点$F$的坐标为$(6,1)$。
把$y=4$代入$y=\frac{6}{x}$，得$x=\frac{3}{2}$，$\therefore$ 点$E$的坐标为$(\frac{3}{2},4)$。
把$F(6,1),E(\frac{3}{2},4)$代入$y=k_2x+b$，得$\begin{cases}6k_2+b=1,\\\frac{3}{2}k_2+b=4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-\frac{2}{3},\\b=5,\end{cases}$
$\therefore$ 直线$EF$对应的函数表达式为$y=-\frac{2}{3}x+5$。
(2) 利用割补法计算$△ OEF$的面积：
$S_{△ OEF}=S_{\mathrm{矩形}DOBC}-S_{△ ODE}-S_{△ OBF}-S_{△ CEF}$
$=4×6-\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×4-\frac{1}{2}×6×1-\frac{1}{2}×(6-\frac{3}{2})×(4-1)$
$=24-3-3-\frac{27}{4}=\frac{45}{4}$。
(3) 不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}＜0$即$k_2x+b＜\frac{k_1}{x}$，也就是一次函数值小于反比例函数值，结合$x＞0$的范围，观察图象可得解集为$0＜x＜\frac{3}{2}$或$x＞6$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{6}{x}}$，直线EF的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{2}{3}x+5}$；
(2) $△ OEF$的面积为$\boldsymbol{\frac{45}{4}}$；
(3) $\boldsymbol{0＜x＜\frac{3}{2}}$或$\boldsymbol{x＞6}$
【知识点】
待定系数法求解析式，割补法求面积，数形结合解不等式
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，结合矩形性质确定关键点坐标是解题的突破口，割补法是计算坐标系中不规则图形面积的常用技巧，通过图象比较函数值大小体现了数形结合思想的应用，需要熟练掌握这类题型的解题思路。
【难度系数】
0.7
(1) 首先利用矩形的性质，由已知D、B的坐标确定点C的坐标，再根据中点坐标公式求出OC中点A的坐标，将A代入反比例函数解析式即可求出k₁，得到反比例函数表达式；接下来根据E在DC边上（纵坐标恒为4）、F在BC边上（横坐标恒为6），分别代入反比例函数求出E、F的坐标，最后将E、F两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组即可得到直线EF的函数表达式。
(2) △OEF为不规则三角形，直接计算面积较复杂，可采用割补法：用矩形DOBC的总面积，减去△ODE、△OBF、△CEF三个小三角形的面积，即可求出△OEF的面积。
(3) 不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}＜0$可转化为$k_2x+b＜\frac{k_1}{x}$，即当x＞0时，一次函数值小于反比例函数值，结合函数图象，找直线EF落在反比例函数图象下方对应的x的取值范围，即为不等式的解集。
【解析】
(1) $\because$ 四边形$DOBC$是矩形，点$D,B$的坐标分别为$(0,4),(6,0)$，$\therefore$ 点$C$的坐标为$(6,4)$。
$\because A$为线段$OC$的中点，$\therefore$ 点$A$的坐标为$(3,2)$。
将$A(3,2)$代入$y=\frac{k_1}{x}$，得$k_1=3×2=6$，$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。
把$x=6$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=1$，$\therefore$ 点$F$的坐标为$(6,1)$。
把$y=4$代入$y=\frac{6}{x}$，得$x=\frac{3}{2}$，$\therefore$ 点$E$的坐标为$(\frac{3}{2},4)$。
把$F(6,1),E(\frac{3}{2},4)$代入$y=k_2x+b$，得$\begin{cases}6k_2+b=1,\\\frac{3}{2}k_2+b=4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-\frac{2}{3},\\b=5,\end{cases}$
$\therefore$ 直线$EF$对应的函数表达式为$y=-\frac{2}{3}x+5$。
(2) 利用割补法计算$△ OEF$的面积：
$S_{△ OEF}=S_{\mathrm{矩形}DOBC}-S_{△ ODE}-S_{△ OBF}-S_{△ CEF}$
$=4×6-\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×4-\frac{1}{2}×6×1-\frac{1}{2}×(6-\frac{3}{2})×(4-1)$
$=24-3-3-\frac{27}{4}=\frac{45}{4}$。
(3) 不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}＜0$即$k_2x+b＜\frac{k_1}{x}$，也就是一次函数值小于反比例函数值，结合$x＞0$的范围，观察图象可得解集为$0＜x＜\frac{3}{2}$或$x＞6$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{6}{x}}$，直线EF的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{2}{3}x+5}$；
(2) $△ OEF$的面积为$\boldsymbol{\frac{45}{4}}$；
(3) $\boldsymbol{0＜x＜\frac{3}{2}}$或$\boldsymbol{x＞6}$
【知识点】
待定系数法求解析式，割补法求面积，数形结合解不等式
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，结合矩形性质确定关键点坐标是解题的突破口，割补法是计算坐标系中不规则图形面积的常用技巧，通过图象比较函数值大小体现了数形结合思想的应用，需要熟练掌握这类题型的解题思路。
【难度系数】
0.7
9 [2025 遂宁]如图，一次函数$y=mx+n$（$m,n$为常数，$m≠0$）的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的图象交于$A(-2,-2),B(a,1)$两点.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）结合图形，请直接写出关于$x$的不等式$\frac{k}{x}-x＜0$的解集.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）结合图形，请直接写出关于$x$的不等式$\frac{k}{x}-x＜0$的解集.
答案
(1) $\because$ 点$A(-2,-2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}\ (k≠0)$的图象上,$\therefore k=(-2)×(-2)=4$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$.$\because$ 点$B(a,1)$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上,$\therefore a=4$,$\therefore B(4,1)$.$\because$ 一次函数$y=mx+n\ (m≠0)$的图象经过$A,B$两点,$\therefore \begin{cases}-2m+n=-2,\\4m+n=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=\frac{1}{2},\\n=-1,\end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的表达式为$y=\frac{1}{2}x-1$
(2) $-2＜x＜0$或$x＞2$
(2) $-2＜x＜0$或$x＞2$
解析
【分析】
（1）求函数表达式采用待定系数法：首先反比例函数仅需1个已知点即可求出系数k，因此先将点A坐标代入反比例函数解析式求出k，得到反比例函数表达式；再将点B坐标代入已求出的反比例函数，求出a的值，得到点B的完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，得到关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得到一次函数的表达式。
（2）求不等式$\frac{k}{x}-x＜0$的解集，可转化为求反比例函数$y=\frac{k}{x}$的函数值小于函数$y=x$的函数值时x的取值范围，结合图象分x＞0、x＜0两种情况分析，也可通过分区间解不等式得到结果，注意x不能为0。
【解析】
（1）$\because$ 点$A(-2,-2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}\ (k≠0)$的图象上，
$\therefore$ 代入得$k=(-2)×(-2)=4$，
$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$。
$\because$ 点$B(a,1)$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
$\therefore$ 代入得$1=\frac{4}{a}$，解得$a=4$，即$B(4,1)$。
$\because$ 一次函数$y=mx+n\ (m≠0)$的图象经过$A(-2,-2)$、$B(4,1)$两点，
$\therefore$ 代入得方程组$\begin{cases}-2m+n=-2\\4m+n=1\end{cases}$，
解得$\begin{cases}m=\frac{1}{2}\\n=-1\end{cases}$，
$\therefore$ 一次函数的表达式为$y=\frac{1}{2}x-1$。
（2）将$k=4$代入不等式得$\frac{4}{x}＜x$：
当$x＞0$时，两边乘x不等号方向不变，得$x^2＞4$，解得$x＞2$；
当$x＜0$时，两边乘x不等号方向改变，得$x^2＜4$，解得$-2＜x＜0$；
因此不等式的解集为$-2＜x＜0$或$x＞2$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x-1}$；
(2) $\boldsymbol{-2＜x＜0}$或$\boldsymbol{x＞2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，函数不等式求解
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的常见综合题型，考查了待定系数法求函数解析式的基本方法，以及分类讨论、数形结合思想在解函数不等式中的应用，熟练掌握函数图象性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）求函数表达式采用待定系数法：首先反比例函数仅需1个已知点即可求出系数k，因此先将点A坐标代入反比例函数解析式求出k，得到反比例函数表达式；再将点B坐标代入已求出的反比例函数，求出a的值，得到点B的完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，得到关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得到一次函数的表达式。
（2）求不等式$\frac{k}{x}-x＜0$的解集，可转化为求反比例函数$y=\frac{k}{x}$的函数值小于函数$y=x$的函数值时x的取值范围，结合图象分x＞0、x＜0两种情况分析，也可通过分区间解不等式得到结果，注意x不能为0。
【解析】
（1）$\because$ 点$A(-2,-2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}\ (k≠0)$的图象上，
$\therefore$ 代入得$k=(-2)×(-2)=4$，
$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$。
$\because$ 点$B(a,1)$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
$\therefore$ 代入得$1=\frac{4}{a}$，解得$a=4$，即$B(4,1)$。
$\because$ 一次函数$y=mx+n\ (m≠0)$的图象经过$A(-2,-2)$、$B(4,1)$两点，
$\therefore$ 代入得方程组$\begin{cases}-2m+n=-2\\4m+n=1\end{cases}$，
解得$\begin{cases}m=\frac{1}{2}\\n=-1\end{cases}$，
$\therefore$ 一次函数的表达式为$y=\frac{1}{2}x-1$。
（2）将$k=4$代入不等式得$\frac{4}{x}＜x$：
当$x＞0$时，两边乘x不等号方向不变，得$x^2＞4$，解得$x＞2$；
当$x＜0$时，两边乘x不等号方向改变，得$x^2＜4$，解得$-2＜x＜0$；
因此不等式的解集为$-2＜x＜0$或$x＞2$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x-1}$；
(2) $\boldsymbol{-2＜x＜0}$或$\boldsymbol{x＞2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，函数不等式求解
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的常见综合题型，考查了待定系数法求函数解析式的基本方法，以及分类讨论、数形结合思想在解函数不等式中的应用，熟练掌握函数图象性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
