3. [2025泰州姜堰区期末]甲、乙两车在同一笔直公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车原地返回。设x秒后两车间的距离为y米，y关于x的函数图象如图所示。
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)求乙车的速度。

(1)设直线AB的函数表达式为 y =kx +b.
∵ 点(0,500),(100,0)在该函数图象上,
∴ $\begin{cases} b=500, \\ 100k +b =0, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-5, \\ b=500, \end{cases}$
∴ 直线AB的函数表达式为 y = -5x +500.
(2)设甲车的速度为 m 米/秒,乙车的速度为 n 米/秒.
由题图,得 $\begin{cases} 100n -100m =500, \\ (220 -200)m +(220 -200)n =900, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} m=20, \\ n=25, \end{cases}$
∴ 乙车的速度为25 米/秒.

【分析】
(1)求一次函数的表达式通常使用待定系数法，首先从图象中提取直线AB经过的两个点的坐标：A(0,500)、B(100,0)，将两点坐标代入一次函数一般式y=kx+b，解方程组即可求得k、b的值，得到直线AB的表达式。
(2)分析图象的实际意义：0~100秒为乙车追赶甲车的过程，初始两车相距500米，100秒时乙追上甲，可得100秒内乙车行驶路程比甲车多500米；200~220秒为两车卸货后分别行驶的过程，甲车向前、乙车原路返回，20秒后两车相距900米，可得该段时间内两车行驶路程之和为900米。设甲、乙两车速度分别为m米/秒、n米/秒，根据上述两个等量关系列二元一次方程组，求解即可得到乙车的速度。
【解析】
(1)设直线AB的函数表达式为 $y =kx +b$.
∵ 点$(0,500)$，$(100,0)$在直线AB的函数图象上，
∴ $\begin{cases} b=500, \\ 100k +b =0, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-5, \\ b=500, \end{cases}$
∴ 直线AB的函数表达式为 $y = -5x +500$.
(2)设甲车的速度为 $m$ 米/秒，乙车的速度为 $n$ 米/秒.
由图象的实际意义可得：
$\begin{cases} 100n -100m =500, \\ (220 -200)m +(220 -200)n =900, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} m=20, \\ n=25, \end{cases}$
∴ 乙车的速度为25 米/秒.
【答案】
(1) $y=-5x+500$；(2) 25米/秒
【知识点】
待定系数法求解析式；二元一次方程组应用；一次函数实际应用
【点评】
本题结合一次函数图象考查行程类实际问题，解题的核心是读懂函数图象各拐点、各段线段对应的实际意义，结合行程问题的路程、速度、时间的关系找到等量关系，体现了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7

4. [2026 南京师大附中树人学校月考] 笔直水路上有A,B两个港口,相距160 km.甲船从A港口行驶到B港口后,立即从B港口行驶回A港口,全程保持匀速行驶,速度为40 km/h.乙船从B港口沿着笔直水路行驶到A港口,速度为20 km/h,甲船出发了1 h后,乙船出发.设甲船出发后,过了x h,两船之间相距y km.
(1)画出y关于x的函数的图象(画出简图,标出关键点的坐标);
(2)甲船出发后,过了多少小时,两船之间相距10 km?

(1)当0≤x ＜1,即乙船未出发时,y =160 -40x;
当1≤x ＜3时,即两船相遇前,y =160 -40x -20(x -1) =-60x +180;
当3≤x ＜4,即两船相遇后,甲船未到 B 港口时,y =40x +20(x -1) -160 =60x -180;
当4≤x ＜7,即甲船返回未追上乙船时,y =20(x -1) -(40x -160) = -20x +140;
当7≤x ＜8 时,即甲船返回追上乙船后,y =(40x -160) -20(x -1) =20x -140;
当8≤x≤9 时,即甲船到达 A 港口后,y =160 -20(x -1) =180 -20x.
综上可知,y 关于 x 的函数图象经过(0,160),(1,120),(3,0),(4,60),(7,0),(8,20),(9,0).
画出 y 关于 x 的函数图象如图所示:
(2)当1≤x ＜3时,即两船相遇前,
则 -60x +180 =10,解得 $x =\frac{17}{6}$;
当3≤x ＜4,即两船相遇后,甲船未到 B 港口时,
则 60x -180 =10,解得 $x =\frac{19}{6}$;
当4≤x ＜7,即甲船返回未追上乙船时,
则 -20x +140 =10,解得 $x =\frac{13}{2}$;
当7≤x ＜8 时,即甲船返回追上乙船后,
则 20x -140 =10,解得 $x =\frac{15}{2}$;
当8≤x≤9 时,即甲船到达 A 港口后,180 -20x =10,解得 $x =\frac{17}{2}$.
综上所述,甲船出发后,过了$\frac{17}{6}$ h 或$\frac{19}{6}$ h 或$\frac{13}{2}$ h 或$\frac{15}{2}$ h 或$\frac{17}{2}$ h,两船之间相距10 km.

【分析】
这是一道结合行程问题的分段一次函数应用题，解题思路如下：①先确定两船运动的关键时间节点：甲到B港的时间为160÷40=4h，甲返回A港的时间为4+4=8h；乙比甲晚出发1h，乙到A港的时间为1+160÷20=9h，以此为依据将x的取值范围分成多个时间段。②每个时间段根据两船的行驶方向、位置关系，列出两船距离y关于x的函数表达式，代入区间端点即可得到关键点坐标，完成第一问的图像绘制。③第二问求y=10时的x值，只需在每个对应的分段函数中令y=10解方程，再验证解是否在对应x的取值范围内，保留符合要求的解即可。
【解析】
(1) 分阶段推导y关于x的函数表达式：
① 当$\boldsymbol{0≤ x＜1}$时，乙船未出发，仅甲船向B港行驶，$y=160-40x$；
② 当$\boldsymbol{1≤ x＜3}$时，两船相向行驶还未相遇，两船行驶的总路程为$40x+20(x-1)$，故$y=160-[40x+20(x-1)]=-60x+180$；
③ 当$\boldsymbol{3≤ x＜4}$时，两船相遇后，甲还未到达B港，两船行驶总路程超过160km，故$y=40x+20(x-1)-160=60x-180$；
④ 当$\boldsymbol{4≤ x＜7}$时，甲到达B港后返回A港，还未追上乙船，乙行驶的路程为$20(x-1)$，甲从B港出发行驶的路程为$40(x-4)=40x-160$，故$y=20(x-1)-(40x-160)=-20x+140$；
⑤ 当$\boldsymbol{7≤ x＜8}$时，甲返回时追上乙船后领先乙船，故$y=(40x-160)-20(x-1)=20x-140$；
⑥ 当$\boldsymbol{8≤ x≤9}$时，甲回到A港停止行驶，仅剩乙船向A港行驶，乙剩余的路程就是两船距离，故$y=160-20(x-1)=180-20x$。
代入各区间端点可得图像关键点坐标为$(0,160),(1,120),(3,0),(4,60),(7,0),(8,20),(9,0)$，绘制函数图像即可。
(2) 分区间令$y=10$求解：
① 当$1≤ x＜3$时，令$-60x+180=10$，解得$x=\frac{17}{6}$，符合取值范围；
② 当$3≤ x＜4$时，令$60x-180=10$，解得$x=\frac{19}{6}$，符合取值范围；
③ 当$4≤ x＜7$时，令$-20x+140=10$，解得$x=\frac{13}{2}$，符合取值范围；
④ 当$7≤ x＜8$时，令$20x-140=10$，解得$x=\frac{15}{2}$，符合取值范围；
⑤ 当$8≤ x≤9$时，令$180-20x=10$，解得$x=\frac{17}{2}$，符合取值范围；
（$0≤ x＜1$区间令$160-40x=10$，解得$x=\frac{15}{4}＞1$，不符合区间范围，舍去）
【答案】
(1) 函数图象经过$(0,160),(1,120),(3,0),(4,60),(7,0),(8,20),(9,0)$，图象如下：
(2) 甲船出发后$\frac{17}{6}\ \mathrm{h}$或$\frac{19}{6}\ \mathrm{h}$或$\frac{13}{2}\ \mathrm{h}$或$\frac{15}{2}\ \mathrm{h}$或$\frac{17}{2}\ \mathrm{h}$时，两船之间相距10 km。
【知识点】
分段函数；一次函数实际应用；行程问题
【点评】
本题是一次函数与行程问题结合的典型题型，重点考察分类讨论思想的应用，需要准确梳理不同时间段两船的运动状态和位置关系建立函数模型，求解后注意验证解是否符合对应时间段的取值范围，避免漏解或增解。
【难度系数】
0.4

5. 有一笔直的公路连接M,N两地,甲车从M地驶往N地,速度为60 km/h,乙车从M地驶往N地,速度为40 km/h,丙车从N地驶往M地,速度为80 km/h,三辆车同时出发,先到目的地的车停止不动.途中甲车发生故障,于是停车修理了2.5 h,修好后立即按原速驶往N地.设甲车出发后的时间为t(h),甲、丙两车之间的距离为$S_1$(km).甲、乙两车离M地的距离为$S_2$(km),$S_1$与t之间的关系如图1所示,$S_2$与t之间的关系如图2所示.根据题中的信息回答下列问题:
(1)①图1中点C的实际意义是;
②点B的横坐标是,点E的横坐标是,点Q的坐标是.
(2)请求出图2中线段QR所表示的$S_2$与t之间的函数关系式.
(3)当甲、乙两车相距70 km时,请直接写出t的值.

(1)①经过3小时,甲、丙两车相遇
②1，3.75，(3.5,60)
由题意,得60t +80 ×3 =300,解得 t =1,
∴ 点 B 的横坐标为1,
∴ 点 D 的横坐标为3.5,
∴ 点 Q 的坐标为(3.5,60). 由题图可知,点 E 表示丙车到达 M 地,此时 t =300 ÷80 =3.75,
∴ 点E 的横坐标为3.75.
(2)设线段 QR 的函数表达式为 $S_2 =kt +b$.
将 Q(3.5,60),R(7.5,300)分别代入,
得 $\begin{cases} 3.5k +b =60, \\ 7.5k +b =300, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=60, \\ b=-150, \end{cases}$
∴ 线段 QR 的函数表达式为 $S_2 =60t -150(3.5≤t≤7.5)$.
(3)t 的值为$\frac{13}{4}$或4. 由题意,分两种情况讨论:
①当甲车修好之前,两车相距70 km 时,
则 40t -60 =70,解得 $t =\frac{13}{4}$;
②当甲车修好之后,两车相距70 km 时,
则 40t -60(t -2.5) =70,解得 t =4.
综上所述,当甲、乙两车相距70 km 时,t 的值为$\frac{13}{4}$或4.

【分析】
本题是一次函数在行程问题中的综合应用，解题需结合函数图像含义与行程公式逐步推导：1. 第一问先明确坐标的实际意义：横坐标为行驶时间，S₁是甲丙两车距离，S₂是车辆离M地的距离。点C纵坐标为0对应甲丙相遇；点B是甲车故障停止时刻，结合相遇时总路程为300km可求其横坐标；点E对应丙车到达M地，用总路程除以丙的速度即可得横坐标；点Q对应甲车修理结束时刻，结合修理时长和故障前行驶路程可得坐标。2. 第二问求线段QR的函数关系式，用待定系数法代入两点坐标解方程组即可。3. 第三问需分甲车修理期间、修理结束后行驶两种情况，根据路程差列方程求解。
【解析】
(1)①点C坐标为(3,0)，即t=3h时甲丙两车距离为0，实际意义为出发3小时后，甲、丙两车相遇。
②设点B的横坐标为t，甲车故障前行驶t小时后停车，3h时甲丙相遇，此时甲行驶路程为60t km，丙3h行驶路程为$80×3$ km，总路程为300km，列方程：
$60t + 80×3 = 300$
解得$t=1$，即点B横坐标为1。
丙车走完全程的时间为$300÷80=3.75$h，即点E横坐标为3.75。
甲车1h时故障，修理2.5h，修好时间为$1+2.5=3.5$h，故障前行驶路程为$60×1=60$km，即点Q坐标为(3.5,60)。
(2)设线段QR的函数表达式为$S_2=kt+b$，将Q(3.5,60)、R(7.5,300)代入得：
$\begin{cases}3.5k + b = 60 \\7.5k + b = 300\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=60 \\b=-150\end{cases}$
即线段QR的函数关系式为$S_2=60t-150\quad(3.5≤ t≤7.5)$。
(3)分两种情况讨论：
①甲车修理结束前（$t≤3.5$h）：甲车离M地距离为60km，乙车离M地距离为40t km，列方程：
$40t - 60 =70$
解得$t=\frac{13}{4}$，符合取值范围。
②甲车修理结束后（$t＞3.5$h）：甲车离M地距离为$60(t-2.5)$km，乙车为40t km，列方程：
$40t - 60(t-2.5)=70$
解得$t=4$，符合取值范围。
【答案】
(1)①出发3小时后，甲、丙两车相遇；②1，3.75，$(3.5,60)$
(2)$S_2=60t-150\quad(3.5≤ t≤7.5)$
(3)$t=\frac{13}{4}$或$4$
【知识点】
一次函数应用，待定系数法，行程问题
【点评】
本题结合一次函数图像与行程问题，侧重考查对函数图像实际意义的理解和分类讨论思想的运用，解题关键是准确提取图像特殊点的信息，分情况讨论时注意验证取值范围，避免漏解。
【难度系数】
0.6