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1. 下列四条直线上每个点的坐标都是二元一次方程$2y - x = -2$的解的是（
C
）答案
二元一次方程$2y - x = -2$可变形为$y = \frac{1}{2}x - 1$. 当$x = 0$时,$y = -1$;当$y = 0$时,$x = 2$. 因此函数$y = \frac{1}{2}x - 1$的图象过点$(0, -1),(2,0)$.
解析
【分析】
要判断哪条直线上的点都是方程$2y - x = -2$的解，需明确二元一次方程的所有解对应的点组成的图象就是它对应的一次函数的图象。解题思路如下：第一步，先把给定的二元一次方程变形为一次函数$y=kx+b$的形式；第二步，分别求出这个一次函数与x轴、y轴的交点坐标（求y轴交点令$x=0$算$y$，求x轴交点令$y=0$算$x$）；第三步，对比四个选项的直线，找到经过这两个交点的直线即可。
【解析】
首先将二元一次方程$2y - x = -2$变形为一次函数形式：
移项得$2y = x - 2$，两边同时除以2，得$y = \frac{1}{2}x - 1$。
接下来求函数图象与坐标轴的交点：
1. 求与y轴的交点：令$x=0$，代入解析式得$y = \frac{1}{2}×0 - 1 = -1$，即交点为$(0,-1)$；
2. 求与x轴的交点：令$y=0$，代入解析式得$0 = \frac{1}{2}x - 1$，解得$x=2$，即交点为$(2,0)$。
观察四个选项的图象，只有选项C的直线同时经过点$(0,-1)$和$(2,0)$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系；一次函数图象交点求解
【点评】
本题考查一次函数与二元一次方程的对应关系，掌握将二元一次方程转化为一次函数解析式，通过求坐标轴交点确定图象的方法是解题的关键，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
要判断哪条直线上的点都是方程$2y - x = -2$的解，需明确二元一次方程的所有解对应的点组成的图象就是它对应的一次函数的图象。解题思路如下：第一步，先把给定的二元一次方程变形为一次函数$y=kx+b$的形式；第二步，分别求出这个一次函数与x轴、y轴的交点坐标（求y轴交点令$x=0$算$y$，求x轴交点令$y=0$算$x$）；第三步，对比四个选项的直线，找到经过这两个交点的直线即可。
【解析】
首先将二元一次方程$2y - x = -2$变形为一次函数形式：
移项得$2y = x - 2$，两边同时除以2，得$y = \frac{1}{2}x - 1$。
接下来求函数图象与坐标轴的交点：
1. 求与y轴的交点：令$x=0$，代入解析式得$y = \frac{1}{2}×0 - 1 = -1$，即交点为$(0,-1)$；
2. 求与x轴的交点：令$y=0$，代入解析式得$0 = \frac{1}{2}x - 1$，解得$x=2$，即交点为$(2,0)$。
观察四个选项的图象，只有选项C的直线同时经过点$(0,-1)$和$(2,0)$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系；一次函数图象交点求解
【点评】
本题考查一次函数与二元一次方程的对应关系，掌握将二元一次方程转化为一次函数解析式，通过求坐标轴交点确定图象的方法是解题的关键，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
2. 二元一次方程$x+2y=3$的解有
无数
组，用x表示y为$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$
，此时y是x的一次
函数。答案
由于任意一个二元一次方程都有无数组解,所以二元一次方程$x + 2y = 3$的解有无数组. 通过移项, 系数化为 1, 可将方程$x + 2y = 3$变形为$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$,此时 y 是 x 的一次函数.
解析
【分析】
解题时可分三步思考：1. 回忆二元一次方程解的性质：二元一次方程中一个未知数取任意合理值时，另一个未知数都有对应的值满足方程，据此判断解的数量；2. 用x表示y时，按照等式的性质，先移项将含y的项留在等号左侧，其余项移到右侧，再将y的系数化为1即可；3. 对照一次函数的定义，判断变形后y与x的函数类型。
【解析】
1. 解的数量：任意二元一次方程都有无数组满足方程的未知数取值，因此$x+2y=3$的解有无数组；
2. 用x表示y：对$x+2y=3$移项得$2y=3-x$，两边同时除以2，得$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$；
3. 函数类型：变形后的式子符合一次函数的一般形式$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$），因此y是x的一次函数。
【答案】
无数；$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$；一次
【知识点】
二元一次方程的解；等式的性质；一次函数的定义
【点评】
本题考查二元一次方程与一次函数的关联，属于基础题型，核心要求是掌握方程的变形规则和一次函数的判定方法。
【难度系数】
0.9
解题时可分三步思考：1. 回忆二元一次方程解的性质：二元一次方程中一个未知数取任意合理值时，另一个未知数都有对应的值满足方程，据此判断解的数量；2. 用x表示y时，按照等式的性质，先移项将含y的项留在等号左侧，其余项移到右侧，再将y的系数化为1即可；3. 对照一次函数的定义，判断变形后y与x的函数类型。
【解析】
1. 解的数量：任意二元一次方程都有无数组满足方程的未知数取值，因此$x+2y=3$的解有无数组；
2. 用x表示y：对$x+2y=3$移项得$2y=3-x$，两边同时除以2，得$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$；
3. 函数类型：变形后的式子符合一次函数的一般形式$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$），因此y是x的一次函数。
【答案】
无数；$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$；一次
【知识点】
二元一次方程的解；等式的性质；一次函数的定义
【点评】
本题考查二元一次方程与一次函数的关联，属于基础题型，核心要求是掌握方程的变形规则和一次函数的判定方法。
【难度系数】
0.9
3. [2025 南京外国语学校月考] 已知方程组$\begin{cases}2x - y + 3 = 0, \\ax - y + c = 0\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = -1, \\y = 1,\end{cases}$则一次函数$y=2x+3$与$y=ax+c$的图象的交点坐标是（ ）
A.$(-1,1)$
B.$(1,-1)$
C.$(2,-2)$
D.$(-2,2)$
A.$(-1,1)$
B.$(1,-1)$
C.$(2,-2)$
D.$(-2,2)$
答案
如果两个一次函数的图象有一个交点,那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。
解析
【分析】
解题的核心是明确一次函数图象交点与对应二元一次方程组解的关系。首先，每个一次函数的解析式都可以整理为二元一次方程的形式，两个一次函数图象的交点的横、纵坐标同时满足两个函数的解析式，也就是对应二元一次方程组的解，反过来，二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标。本题已经直接给出两个一次函数对应的方程组的解，可直接推导得到交点坐标。
【解析】
先将两个一次函数变形为二元一次方程的形式：$y=2x+3$移项可得$2x - y + 3 = 0$，$y=ax+c$移项可得$ax - y + c = 0$，因此题中给出的方程组就是这两个一次函数对应的二元一次方程组。根据一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解。已知该方程组的解为$\begin{cases}x = -1, \\y = 1,\end{cases}$，所以一次函数$y=2x+3$与$y=ax+c$的图象的交点坐标就是$(-1,1)$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；二元一次方程组的解
【点评】
本题属于基础概念考查题，无需复杂计算，只要熟练掌握一次函数交点与对应二元一次方程组解的等价关系，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题的核心是明确一次函数图象交点与对应二元一次方程组解的关系。首先，每个一次函数的解析式都可以整理为二元一次方程的形式，两个一次函数图象的交点的横、纵坐标同时满足两个函数的解析式，也就是对应二元一次方程组的解，反过来，二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标。本题已经直接给出两个一次函数对应的方程组的解，可直接推导得到交点坐标。
【解析】
先将两个一次函数变形为二元一次方程的形式：$y=2x+3$移项可得$2x - y + 3 = 0$，$y=ax+c$移项可得$ax - y + c = 0$，因此题中给出的方程组就是这两个一次函数对应的二元一次方程组。根据一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解。已知该方程组的解为$\begin{cases}x = -1, \\y = 1,\end{cases}$，所以一次函数$y=2x+3$与$y=ax+c$的图象的交点坐标就是$(-1,1)$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；二元一次方程组的解
【点评】
本题属于基础概念考查题，无需复杂计算，只要熟练掌握一次函数交点与对应二元一次方程组解的等价关系，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4. 一题多解 [2026安庆期中] 如图，直线$l_1,l_2$的交点坐标可以看作下列方程组的解. (
A.$\begin{cases} y=x+1, \\ y=2x-1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} y=x+1, \\ y=2x+1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} y=x-1, \\ y=2x-1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} y=x-1, \\ y=2x+1 \end{cases}$
拍批+错题本
A
)A.$\begin{cases} y=x+1, \\ y=2x-1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} y=x+1, \\ y=2x+1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} y=x-1, \\ y=2x-1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} y=x-1, \\ y=2x+1 \end{cases}$
拍批+错题本
答案
通解：设直线$l_1$的函数表达式为$y = kx + b( k ≠ 0 )$.
∵ 直线$l_1$过点$(2,3),(0,1),\therefore \begin{cases} 2k + b = 3, \\ b = 1, \end{cases}$解得$\begin{cases} k = 1, \\ b = 1, \end{cases}$
∴ 直线$l_1$的函数表达式为$y = x + 1$. 同理可求得直线$l_2$的函数表达式为$y = 2x - 1$,$\therefore$ 所求二元一次方程组为$\begin{cases} y = x + 1, \\ y = 2x - 1 . \end{cases}$
另解：把交点坐标$(2,3)$分别代入四个选项进行验证,只有选项 A 中两个二元一次方程同时成立.
∵ 直线$l_1$过点$(2,3),(0,1),\therefore \begin{cases} 2k + b = 3, \\ b = 1, \end{cases}$解得$\begin{cases} k = 1, \\ b = 1, \end{cases}$
∴ 直线$l_1$的函数表达式为$y = x + 1$. 同理可求得直线$l_2$的函数表达式为$y = 2x - 1$,$\therefore$ 所求二元一次方程组为$\begin{cases} y = x + 1, \\ y = 2x - 1 . \end{cases}$
另解：把交点坐标$(2,3)$分别代入四个选项进行验证,只有选项 A 中两个二元一次方程同时成立.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用一次函数与二元一次方程组的核心关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是这两个函数对应的二元一次方程组成的方程组的解。可以选择两种思路解题：
思路1：用待定系数法分别求出直线$l_1$、$l_2$的函数表达式，联立两个表达式得到方程组，匹配对应选项即可。
思路2：先从图中读出两直线交点坐标为$(2,3)$，将该坐标依次代入四个选项的方程组验证，能同时满足两个方程的方程组即为所求。
【解析】
方法一：求解析式法
设直线$l_1$的函数表达式为$y = kx + b(k≠0)$，
由图可知$l_1$过点$(0,1)$和$(2,3)$，代入得：
$\begin{cases} b = 1 \\ 2k + b = 3 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = 1 \\ b = 1 \end{cases}$，
因此$l_1$的表达式为$y = x + 1$。
设直线$l_2$的函数表达式为$y = mx + n(m≠0)$，
由图可知$l_2$过点$(0,-1)$和$(2,3)$，代入得：
$\begin{cases} n = -1 \\ 2m + n = 3 \end{cases}$，解得$\begin{cases} m = 2 \\ n = -1 \end{cases}$，
因此$l_2$的表达式为$y = 2x - 1$。
联立两个表达式得方程组$\begin{cases} y = x + 1 \\ y = 2x - 1 \end{cases}$，其解就是两直线交点坐标，对应选项A。
方法二：代入验证法
由图得两直线交点坐标为$(2,3)$，将$x=2,y=3$代入各选项验证：
A选项：代入$y=x+1$，左边$=3$，右边$=2+1=3$，成立；代入$y=2x-1$，左边$=3$，右边$=2×2-1=3$，成立，符合要求。
B选项：代入$y=2x+1$，右边$=5≠3$，不成立。
C选项：代入$y=x-1$，右边$=1≠3$，不成立。
D选项：代入两个方程，右边分别为1、5，均不等于3，不成立。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1.待定系数法求一次函数解析式
2.一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题可通过两种方法求解，代入验证法相对更快捷，解题时可根据题目特点灵活选择方法，加深对一次函数与二元一次方程（组）对应关系的理解。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以利用一次函数与二元一次方程组的核心关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是这两个函数对应的二元一次方程组成的方程组的解。可以选择两种思路解题：
思路1：用待定系数法分别求出直线$l_1$、$l_2$的函数表达式，联立两个表达式得到方程组，匹配对应选项即可。
思路2：先从图中读出两直线交点坐标为$(2,3)$，将该坐标依次代入四个选项的方程组验证，能同时满足两个方程的方程组即为所求。
【解析】
方法一：求解析式法
设直线$l_1$的函数表达式为$y = kx + b(k≠0)$，
由图可知$l_1$过点$(0,1)$和$(2,3)$，代入得：
$\begin{cases} b = 1 \\ 2k + b = 3 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = 1 \\ b = 1 \end{cases}$，
因此$l_1$的表达式为$y = x + 1$。
设直线$l_2$的函数表达式为$y = mx + n(m≠0)$，
由图可知$l_2$过点$(0,-1)$和$(2,3)$，代入得：
$\begin{cases} n = -1 \\ 2m + n = 3 \end{cases}$，解得$\begin{cases} m = 2 \\ n = -1 \end{cases}$，
因此$l_2$的表达式为$y = 2x - 1$。
联立两个表达式得方程组$\begin{cases} y = x + 1 \\ y = 2x - 1 \end{cases}$，其解就是两直线交点坐标，对应选项A。
方法二：代入验证法
由图得两直线交点坐标为$(2,3)$，将$x=2,y=3$代入各选项验证：
A选项：代入$y=x+1$，左边$=3$，右边$=2+1=3$，成立；代入$y=2x-1$，左边$=3$，右边$=2×2-1=3$，成立，符合要求。
B选项：代入$y=2x+1$，右边$=5≠3$，不成立。
C选项：代入$y=x-1$，右边$=1≠3$，不成立。
D选项：代入两个方程，右边分别为1、5，均不等于3，不成立。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1.待定系数法求一次函数解析式
2.一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题可通过两种方法求解，代入验证法相对更快捷，解题时可根据题目特点灵活选择方法，加深对一次函数与二元一次方程（组）对应关系的理解。
【难度系数】
0.8
5. [2026苏州昆山月考]若直线$y = x + 1$与$y = mx + n$相交于点$P(1,a)$,则关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x - y + 1 = 0, \\ mx - y + n = 0\end{cases}$的解为 ______ .
答案
∵ 直线$y = x + 1$与$y = mx + n$相交于点$P(1,a)$,$\therefore a = 1 + 1 = 2$,即$P(1,2)$.
∵ 关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x - y + 1 = 0, \\ mx - y + n = 0\end{cases}$可转化为$\begin{cases} y = x + 1, \\ y = mx + n ,\end{cases}$其解可看作直线$y = x + 1$与$y = mx + n$的交点坐标,即为$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 . \end{cases}$
解析
【分析】
解题首先要明确一次函数与二元一次方程组的核心关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是将这两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解。本题已知两条直线交点的横坐标为1，先将横坐标代入直线$y=x+1$求出交点的纵坐标，得到完整的交点坐标，该坐标就是对应方程组的解。
【解析】
∵ 直线$y = x + 1$与$y = mx + n$相交于点$P(1,a)$，
∴ 把$x=1$代入$y=x+1$，得$a = 1 + 1 = 2$，即交点$P$的坐标为$(1,2)$。
又
∵ 二元一次方程组$\begin{cases}x - y + 1 = 0, \\ mx - y + n = 0\end{cases}$可变形为$\begin{cases} y = x + 1, \\ y = mx + n \end{cases}$，
根据一次函数与二元一次方程组的关系，该方程组的解就是两条直线的交点坐标，
∴ 方程组的解为$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系；一次函数图象交点的意义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数与二元一次方程组的对应关系，解题的关键是理解两个一次函数的交点坐标即为对应联立方程组的解，掌握该知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确一次函数与二元一次方程组的核心关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是将这两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解。本题已知两条直线交点的横坐标为1，先将横坐标代入直线$y=x+1$求出交点的纵坐标，得到完整的交点坐标，该坐标就是对应方程组的解。
【解析】
∵ 直线$y = x + 1$与$y = mx + n$相交于点$P(1,a)$，
∴ 把$x=1$代入$y=x+1$，得$a = 1 + 1 = 2$，即交点$P$的坐标为$(1,2)$。
又
∵ 二元一次方程组$\begin{cases}x - y + 1 = 0, \\ mx - y + n = 0\end{cases}$可变形为$\begin{cases} y = x + 1, \\ y = mx + n \end{cases}$，
根据一次函数与二元一次方程组的关系，该方程组的解就是两条直线的交点坐标，
∴ 方程组的解为$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系；一次函数图象交点的意义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数与二元一次方程组的对应关系，解题的关键是理解两个一次函数的交点坐标即为对应联立方程组的解，掌握该知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. [2026 西安雁塔区月考] 如果方程组$\begin{cases}y=3x+2, \\ y=(k+1)x-5\end{cases}$无解，那么直线$y=(-2k+1)x-2$不经过第 ______ 象限。
答案
∵ 方程组无解,$\therefore$ 直线$y = 3x + 2$与直线$y = (k + 1)x - 5$平行,$\therefore k + 1 = 3$,解得$k = 2$. 当$k = 2$时,直线$y = ( -2k + 1 )x - 2$为$y = -3x - 2$. $\because -3 ＜ 0,-2 ＜ 0$,$\therefore$ 直线$y = -3x - 2$经过第二、三、四象限,不经过第一象限.
解析
【分析】
解题时首先要明确二元一次方程组无解的本质：对应的两个一次函数图象互相平行，两直线平行时一次项系数（斜率）相等，据此先求出k的值；再将k代入所求直线的解析式，根据一次函数一次项系数和常数项的正负判断直线经过的象限，即可得出不经过的象限。
【解析】
$\because$ 方程组$\begin{cases}y=3x+2 \\ y=(k+1)x-5\end{cases}$无解，
$\therefore$ 直线$y = 3x + 2$与直线$y = (k + 1)x - 5$平行，两直线平行时一次项系数相等，
$\therefore k + 1 = 3$，解得$k = 2$。
将$k=2$代入$y = ( -2k + 1 )x - 2$，得：
$-2k+1=-2×2+1=-3$，即直线解析式为$y = -3x - 2$。
$\because$ 一次项系数$-3 ＜ 0$，$\therefore$ 直线从左到右下降，经过第二、四象限；
又$\because$ 常数项$-2 ＜ 0$，$\therefore$ 直线与y轴交于负半轴，还经过第三象限。
因此直线$y=-3x-2$经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
一
【知识点】
一次函数与二元一次方程组；一次函数图象性质；两直线平行判定
【点评】
本题将一次函数和二元一次方程组知识点相结合，解题核心是掌握方程组无解对应两直线平行的规律，同时要求熟练运用一次函数图象的象限分布特征，考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确二元一次方程组无解的本质：对应的两个一次函数图象互相平行，两直线平行时一次项系数（斜率）相等，据此先求出k的值；再将k代入所求直线的解析式，根据一次函数一次项系数和常数项的正负判断直线经过的象限，即可得出不经过的象限。
【解析】
$\because$ 方程组$\begin{cases}y=3x+2 \\ y=(k+1)x-5\end{cases}$无解，
$\therefore$ 直线$y = 3x + 2$与直线$y = (k + 1)x - 5$平行，两直线平行时一次项系数相等，
$\therefore k + 1 = 3$，解得$k = 2$。
将$k=2$代入$y = ( -2k + 1 )x - 2$，得：
$-2k+1=-2×2+1=-3$，即直线解析式为$y = -3x - 2$。
$\because$ 一次项系数$-3 ＜ 0$，$\therefore$ 直线从左到右下降，经过第二、四象限；
又$\because$ 常数项$-2 ＜ 0$，$\therefore$ 直线与y轴交于负半轴，还经过第三象限。
因此直线$y=-3x-2$经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
一
【知识点】
一次函数与二元一次方程组；一次函数图象性质；两直线平行判定
【点评】
本题将一次函数和二元一次方程组知识点相结合，解题核心是掌握方程组无解对应两直线平行的规律，同时要求熟练运用一次函数图象的象限分布特征，考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
7. 如图,直线$y=kx(k≠0)$与$y=\frac{2}{3}x+4$在第二象限交于点A,直线$y=\frac{2}{3}x+4$与x轴交于点B,与y轴交于点C.若$S_{△ ABO}:S_{△ ACO}=1:2$,求方程组$\begin{cases}kx - y = 0, \\2x - 3y + 12 = 0\end{cases}$的解.
答案
解:设点 A 的坐标为$(a,b)$,$a ＜ 0,b ＞ 0$.
对于$y = \frac{2}{3}x + 4$,
当$x = 0$时,$y = 4$,$\therefore$ 点 C 的坐标为$(0,4)$,
当$y = 0$时,$x = -6$,$\therefore$ 点 B 的坐标为$(-6,0)$,
$\therefore OB = 6,OC = 4$.
$\because S_{△ ABO}:S_{△ ACO} = 1:2$,
$\therefore \frac{1}{2} × 6 × b = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × 4 × ( - a )$,
$\therefore a = - 3b$,$\therefore$ 点 A 的坐标为$(-3b,b)$.
将$A( - 3b,b )$代入$y = \frac{2}{3}x + 4$中,
得$b = \frac{2}{3} × ( - 3b ) + 4$,解得$b = \frac{4}{3}$,
$\therefore$ 点 A 的坐标为$( - 4,\frac{4}{3} )$,
$\therefore$ 方程组$\begin{cases}kx - y = 0, \\2x - 3y + 12 = 0\end{cases}$的解为$\begin{cases} x = - 4, \\ y = \frac{4}{3}. \end{cases}$
对于$y = \frac{2}{3}x + 4$,
当$x = 0$时,$y = 4$,$\therefore$ 点 C 的坐标为$(0,4)$,
当$y = 0$时,$x = -6$,$\therefore$ 点 B 的坐标为$(-6,0)$,
$\therefore OB = 6,OC = 4$.
$\because S_{△ ABO}:S_{△ ACO} = 1:2$,
$\therefore \frac{1}{2} × 6 × b = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × 4 × ( - a )$,
$\therefore a = - 3b$,$\therefore$ 点 A 的坐标为$(-3b,b)$.
将$A( - 3b,b )$代入$y = \frac{2}{3}x + 4$中,
得$b = \frac{2}{3} × ( - 3b ) + 4$,解得$b = \frac{4}{3}$,
$\therefore$ 点 A 的坐标为$( - 4,\frac{4}{3} )$,
$\therefore$ 方程组$\begin{cases}kx - y = 0, \\2x - 3y + 12 = 0\end{cases}$的解为$\begin{cases} x = - 4, \\ y = \frac{4}{3}. \end{cases}$
解析
【分析】
要解给出的二元一次方程组，根据一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是两条对应直线的交点A的坐标，因此本题核心是求点A的坐标。第一步先求直线$y=\frac{2}{3}x+4$与坐标轴的交点B、C的坐标，分别令解析式中$y=0$、$x=0$即可得到；第二步利用两个三角形的面积比，结合三角形面积公式，推导点A横、纵坐标的数量关系；第三步将点A坐标代入已知直线解析式，求出坐标值，即为方程组的解。
【解析】
解：设点A的坐标为$(a,b)$，由A在第二象限可知$a ＜ 0,b ＞ 0$。
对于直线$y=\frac{2}{3}x+4$：
令$x=0$，得$y=4$，$\therefore$点C的坐标为$(0,4)$，$OC=4$；
令$y=0$，得$0=\frac{2}{3}x+4$，解得$x=-6$，$\therefore$点B的坐标为$(-6,0)$，$OB=6$。
已知$S_{△ ABO}:S_{△ ACO}=1:2$，
根据三角形面积公式，$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} · OB · |y_A|=\frac{1}{2} × 6 × b$，
$S_{△ ACO}=\frac{1}{2} · OC · |x_A|=\frac{1}{2} × 4 × (-a)$（a为负，故绝对值为$-a$），
因此可得等式：$\frac{1}{2} × 6 × b = \frac{1}{2} × ( \frac{1}{2} × 4 × (-a) )$，
化简得$3b=-a$，即$a=-3b$，$\therefore$点A坐标可表示为$(-3b,b)$。
将$A(-3b,b)$代入$y=\frac{2}{3}x+4$，得：
$b=\frac{2}{3} × (-3b) + 4$，
$b=-2b + 4$，
解得$b=\frac{4}{3}$，
则$a=-3 × \frac{4}{3}=-4$，即点A坐标为$(-4,\frac{4}{3})$。
∵方程组$\begin{cases}kx - y = 0 \\2x - 3y + 12 = 0 \end{cases}$的解就是两条直线的交点坐标，
∴方程组的解为$\begin{cases}x=-4 \\y=\frac{4}{3} \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases}x=-4 \\y=\frac{4}{3} \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组；三角形面积计算；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题解题的关键是明确一次函数图象的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，通过面积关系建立点坐标的等量关系即可求解，是一次函数章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要解给出的二元一次方程组，根据一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是两条对应直线的交点A的坐标，因此本题核心是求点A的坐标。第一步先求直线$y=\frac{2}{3}x+4$与坐标轴的交点B、C的坐标，分别令解析式中$y=0$、$x=0$即可得到；第二步利用两个三角形的面积比，结合三角形面积公式，推导点A横、纵坐标的数量关系；第三步将点A坐标代入已知直线解析式，求出坐标值，即为方程组的解。
【解析】
解：设点A的坐标为$(a,b)$，由A在第二象限可知$a ＜ 0,b ＞ 0$。
对于直线$y=\frac{2}{3}x+4$：
令$x=0$，得$y=4$，$\therefore$点C的坐标为$(0,4)$，$OC=4$；
令$y=0$，得$0=\frac{2}{3}x+4$，解得$x=-6$，$\therefore$点B的坐标为$(-6,0)$，$OB=6$。
已知$S_{△ ABO}:S_{△ ACO}=1:2$，
根据三角形面积公式，$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} · OB · |y_A|=\frac{1}{2} × 6 × b$，
$S_{△ ACO}=\frac{1}{2} · OC · |x_A|=\frac{1}{2} × 4 × (-a)$（a为负，故绝对值为$-a$），
因此可得等式：$\frac{1}{2} × 6 × b = \frac{1}{2} × ( \frac{1}{2} × 4 × (-a) )$，
化简得$3b=-a$，即$a=-3b$，$\therefore$点A坐标可表示为$(-3b,b)$。
将$A(-3b,b)$代入$y=\frac{2}{3}x+4$，得：
$b=\frac{2}{3} × (-3b) + 4$，
$b=-2b + 4$，
解得$b=\frac{4}{3}$，
则$a=-3 × \frac{4}{3}=-4$，即点A坐标为$(-4,\frac{4}{3})$。
∵方程组$\begin{cases}kx - y = 0 \\2x - 3y + 12 = 0 \end{cases}$的解就是两条直线的交点坐标，
∴方程组的解为$\begin{cases}x=-4 \\y=\frac{4}{3} \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases}x=-4 \\y=\frac{4}{3} \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组；三角形面积计算；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题解题的关键是明确一次函数图象的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，通过面积关系建立点坐标的等量关系即可求解，是一次函数章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
8. [2024北京中考]在平面直角坐标系$xOy$中，函数$y=kx+b(k≠0)$与$y=-kx+3$的图象交于点$(2,1)$。
(1)求$k,b$的值；
(2)当$x＞2$时，对于$x$的每一个值，函数$y=mx(m≠0)$的值既大于函数$y=kx+b$的值，也大于函数$y=-kx+3$的值，直接写出$m$的取值范围。
(1)求$k,b$的值；
(2)当$x＞2$时，对于$x$的每一个值，函数$y=mx(m≠0)$的值既大于函数$y=kx+b$的值，也大于函数$y=-kx+3$的值，直接写出$m$的取值范围。
答案
(1)
∵ 函数$y = -kx + 3$的图象经过点$(2,1)$,
$\therefore -2k + 3 = 1$,解得$k = 1$.
∵ 函数$y = kx + b( k ≠ 0 )$的图象经过点$(2,1)$,
$\therefore 2 + b = 1$,解得$b = -1$.
(2)$m ≥ 1$.
如图
,当$x ＞ 2$时,对于$x$的每一个值,函数$y = mx( m ≠ 0 )$的值既大于函数$y = x - 1$的值,也大于函数$y = -x + 3$的值,$\therefore m ≥ 1$.
解析
【分析】
(1) 已知两个一次函数交于点$(2,1)$，根据函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式的性质，先将交点坐标代入$y=-kx+3$即可求出$k$的值，再将求得的$k$和交点坐标代入$y=kx+b$，就能求出$b$的值。
(2) 由(1)可确定两个函数的解析式为$y=x-1$和$y=-x+3$，要满足$x＞2$时$y=mx$的值同时大于这两个函数的值，可结合一次函数图象的位置关系分析：过原点的直线$y=mx$，当斜率$m$不小于1时，在$x＞2$的区域内，其图象始终在另外两个函数图象的上方，据此即可确定$m$的取值范围。
【解析】
(1) $\because$ 函数$y = -kx + 3$的图象经过点$(2,1)$，
$\therefore$ 将$x=2$，$y=1$代入解析式得$-2k + 3 = 1$，解得$k = 1$。
$\because$ 函数$y = kx + b( k ≠ 0 )$的图象经过点$(2,1)$，
$\therefore$ 将$k=1$，$x=2$，$y=1$代入解析式得$2 + b = 1$，解得$b = -1$。
(2) 由(1)可知两个函数分别为$y=x-1$和$y=-x+3$，结合图象分析：
当$x＞2$时，要使$y=mx$的值对于任意$x$都大于另外两个函数的值，需保证直线$y=mx$在$x＞2$的区域始终在另外两条直线的上方，由此可得$m≥1$。
【答案】
(1) $k=1$，$b=-1$；
(2) $m ≥ 1$。
如图,当$x ＞ 2$时,对于$x$的每一个值,函数$y = mx( m ≠ 0 )$的值既大于函数$y = x - 1$的值,也大于函数$y = -x + 3$的值,
$\therefore m ≥ 1$.
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的性质；一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数的常规考题，第一问侧重基础，考查待定系数法的应用，第二问需要结合图象分析函数值的大小关系，体现了数形结合思想的应用，能有效考查学生对一次函数相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7
(1) 已知两个一次函数交于点$(2,1)$，根据函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式的性质，先将交点坐标代入$y=-kx+3$即可求出$k$的值，再将求得的$k$和交点坐标代入$y=kx+b$，就能求出$b$的值。
(2) 由(1)可确定两个函数的解析式为$y=x-1$和$y=-x+3$，要满足$x＞2$时$y=mx$的值同时大于这两个函数的值，可结合一次函数图象的位置关系分析：过原点的直线$y=mx$，当斜率$m$不小于1时，在$x＞2$的区域内，其图象始终在另外两个函数图象的上方，据此即可确定$m$的取值范围。
【解析】
(1) $\because$ 函数$y = -kx + 3$的图象经过点$(2,1)$，
$\therefore$ 将$x=2$，$y=1$代入解析式得$-2k + 3 = 1$，解得$k = 1$。
$\because$ 函数$y = kx + b( k ≠ 0 )$的图象经过点$(2,1)$，
$\therefore$ 将$k=1$，$x=2$，$y=1$代入解析式得$2 + b = 1$，解得$b = -1$。
(2) 由(1)可知两个函数分别为$y=x-1$和$y=-x+3$，结合图象分析：
当$x＞2$时，要使$y=mx$的值对于任意$x$都大于另外两个函数的值，需保证直线$y=mx$在$x＞2$的区域始终在另外两条直线的上方，由此可得$m≥1$。
【答案】
(1) $k=1$，$b=-1$；
(2) $m ≥ 1$。
如图
,当$x ＞ 2$时,对于$x$的每一个值,函数$y = mx( m ≠ 0 )$的值既大于函数$y = x - 1$的值,也大于函数$y = -x + 3$的值,$\therefore m ≥ 1$.
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的性质；一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数的常规考题，第一问侧重基础，考查待定系数法的应用，第二问需要结合图象分析函数值的大小关系，体现了数形结合思想的应用，能有效考查学生对一次函数相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7
