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1. [2025齐齐哈尔中考]2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合.为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆.校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A,B,C三个互动区，机器人甲、乙分别从A,C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟(与师生热情互动)后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米/分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区.机器人甲、乙距B区的距离y(米)与机器人乙行进的时间x(分)之间的函数关系如图所示.请结合图象信息解答下列问题：
(1)A,C两区相距
(2)求线段EF所在直线的函数表达式；
(3)机器人乙行进的时间为多少分时,机器人甲、乙相距30米？
(1)A,C两区相距
240
米,a = 7.5
；(2)求线段EF所在直线的函数表达式；
(3)机器人乙行进的时间为多少分时,机器人甲、乙相距30米？
答案
(1) 240，7.5
由题图可知,A,B两区相距150米,B,C两区相距90米,则A,C两区相距150 +90 =240(米),机器人甲到达B区时所用时间为150 ÷20 =7.5(分),
∴ a =7.5.
(2)机器人乙到达B区时所用时间为90 ÷10 =9(分),
∴ 点E的坐标为(9,0),
机器人乙从B区返回C区过程中的速度为90 ÷ (15 -9) =15(米/分),则 y =15(x -9) =15x -135,
∴ 线段EF所在直线的函数表达式为 y =15x -135.
[也可用待定系数法求出函数表达式,即设 y =k₁x +b₁,将点E(9,0),F(15,90)的坐标分别代入并求出k₁,b₁的值]
(3)当0≤x≤7.5,且机器人甲、乙相距30米时,
20x +10x +30 =240,解得 x =7;
当7.5 ＜x≤9,且机器人甲、乙相距30米时,
10x +30 =90,解得 x =6,不符合题意;
当9 ＜x≤12,且机器人甲、乙相距30米时,
15x -135 =30,解得 x =11;
当12 ＜x≤15时,机器人甲的速度为90 ÷ (15 -12) =30(米/分),则y =30(x -12) =30x -360,
[也可用待定系数法求出函数表达式,即设 y =k₂x +b₂,将(12,0),(15,90)分别代入并求出k₂,b₂的值]
当机器人甲、乙相距30米时,15x -135 -(30x -360) =30,解得 x =13.
综上可知,机器人乙行进的时间为7分钟或11分钟或13分钟时,机器人甲、乙相距30米.
由题图可知,A,B两区相距150米,B,C两区相距90米,则A,C两区相距150 +90 =240(米),机器人甲到达B区时所用时间为150 ÷20 =7.5(分),
∴ a =7.5.
(2)机器人乙到达B区时所用时间为90 ÷10 =9(分),
∴ 点E的坐标为(9,0),
机器人乙从B区返回C区过程中的速度为90 ÷ (15 -9) =15(米/分),则 y =15(x -9) =15x -135,
∴ 线段EF所在直线的函数表达式为 y =15x -135.
[也可用待定系数法求出函数表达式,即设 y =k₁x +b₁,将点E(9,0),F(15,90)的坐标分别代入并求出k₁,b₁的值]
(3)当0≤x≤7.5,且机器人甲、乙相距30米时,
20x +10x +30 =240,解得 x =7;
当7.5 ＜x≤9,且机器人甲、乙相距30米时,
10x +30 =90,解得 x =6,不符合题意;
当9 ＜x≤12,且机器人甲、乙相距30米时,
15x -135 =30,解得 x =11;
当12 ＜x≤15时,机器人甲的速度为90 ÷ (15 -12) =30(米/分),则y =30(x -12) =30x -360,
[也可用待定系数法求出函数表达式,即设 y =k₂x +b₂,将(12,0),(15,90)分别代入并求出k₂,b₂的值]
当机器人甲、乙相距30米时,15x -135 -(30x -360) =30,解得 x =13.
综上可知,机器人乙行进的时间为7分钟或11分钟或13分钟时,机器人甲、乙相距30米.
解析
【分析】
解答本题需先明确函数图象的实际意义：纵轴表示机器人距B区的距离，横轴表示机器人乙的行进时间，结合两个机器人的运动规律分步求解：
(1) 从图象直接读取A到B、B到C的距离，相加得A、C两区总距离；a是机器人甲到达B区的时间，用A到B的路程除以甲的行进速度即可求出。
(2) 求线段EF的解析式，先确定E、F两点坐标：E为乙到达B区的时刻，用B到C的路程除以乙去B区的速度得到对应时间，F点坐标可直接从图象读取，再用待定系数法代入两点坐标求解即可。
(3) 两个机器人的运动状态随时间变化，需分时间段讨论：①甲未到B区的0≤x≤7.5阶段；②甲在B区停留、乙未到B区的7.5＜x≤9阶段；③乙从B区返回、甲仍在停留的9＜x≤12阶段；④甲从B区出发前往C区的12＜x≤15阶段，分别根据距离关系列方程求解，舍去不符合对应区间的解即可。
【解析】
(1) 由图象可知，A、B两区相距150米，B、C两区相距90米，因此A、C两区的距离为$150+90=240$米；
机器人甲从A到B的速度为20米/分，因此到达B区的时间$a=150÷20=7.5$分。
(2) 机器人乙从C到B的速度为10米/分，到达B区的时间为$90÷10=9$分，因此点E的坐标为$(9,0)$，已知F点坐标为$(15,90)$。
设线段EF的函数表达式为$y=kx+b$，将$(9,0)$、$(15,90)$代入得：
$\begin{cases}9k+b=0 \\15k+b=90 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=15 \\b=-135 \end{cases}$
因此线段EF的函数表达式为$y=15x-135\ (9≤ x≤15)$。
(3) 分情况讨论：
① 当$0≤ x≤7.5$时，甲、乙均向B区行进，两者相距30米时，路程和加30等于A、C总距离：
$20x+10x+30=240$，解得$x=7$，符合区间要求；
② 当$7.5＜x≤9$时，甲停留在B区，乙仍向B区行进，若相距30米，则乙距B区30米，即$90-10x=30$，解得$x=6$，不在$7.5＜x≤9$区间内，舍去；
③ 当$9＜x≤12$时，甲仍停留在B区，乙从B区返回C区，两者相距30米即乙距B区30米，代入EF解析式得$15x-135=30$，解得$x=11$，符合区间要求；
④ 当$12＜x≤15$时，甲结束停留从B区向C区行进，甲从B到C的用时为$15-7.5-4.5=3$分，速度为$90÷3=30$米/分，甲距B区的距离解析式为$y=30(x-12)=30x-360$，两者相距30米即乙距B区的距离减去甲距B区的距离等于30：
$15x-135-(30x-360)=30$，解得$x=13$，符合区间要求。
【答案】
(1) $\boxed{240}$，$\boxed{7.5}$
(2) $\boxed{y=15x-135\ (9≤ x≤15)}$
(3) 机器人乙行进的时间为$\boxed{7分钟}$或$\boxed{11分钟}$或$\boxed{13分钟}$时，机器人甲、乙相距30米。
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，行程问题分类讨论
【点评】
本题结合实际场景考查一次函数在行程问题中的综合应用，解题核心是读懂图象信息，准确梳理不同时间段机器人的运动状态，分类讨论时要注意验证解是否符合对应时间区间的要求，避免出现增解或漏解。
【难度系数】
0.6
解答本题需先明确函数图象的实际意义：纵轴表示机器人距B区的距离，横轴表示机器人乙的行进时间，结合两个机器人的运动规律分步求解：
(1) 从图象直接读取A到B、B到C的距离，相加得A、C两区总距离；a是机器人甲到达B区的时间，用A到B的路程除以甲的行进速度即可求出。
(2) 求线段EF的解析式，先确定E、F两点坐标：E为乙到达B区的时刻，用B到C的路程除以乙去B区的速度得到对应时间，F点坐标可直接从图象读取，再用待定系数法代入两点坐标求解即可。
(3) 两个机器人的运动状态随时间变化，需分时间段讨论：①甲未到B区的0≤x≤7.5阶段；②甲在B区停留、乙未到B区的7.5＜x≤9阶段；③乙从B区返回、甲仍在停留的9＜x≤12阶段；④甲从B区出发前往C区的12＜x≤15阶段，分别根据距离关系列方程求解，舍去不符合对应区间的解即可。
【解析】
(1) 由图象可知，A、B两区相距150米，B、C两区相距90米，因此A、C两区的距离为$150+90=240$米；
机器人甲从A到B的速度为20米/分，因此到达B区的时间$a=150÷20=7.5$分。
(2) 机器人乙从C到B的速度为10米/分，到达B区的时间为$90÷10=9$分，因此点E的坐标为$(9,0)$，已知F点坐标为$(15,90)$。
设线段EF的函数表达式为$y=kx+b$，将$(9,0)$、$(15,90)$代入得：
$\begin{cases}9k+b=0 \\15k+b=90 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=15 \\b=-135 \end{cases}$
因此线段EF的函数表达式为$y=15x-135\ (9≤ x≤15)$。
(3) 分情况讨论：
① 当$0≤ x≤7.5$时，甲、乙均向B区行进，两者相距30米时，路程和加30等于A、C总距离：
$20x+10x+30=240$，解得$x=7$，符合区间要求；
② 当$7.5＜x≤9$时，甲停留在B区，乙仍向B区行进，若相距30米，则乙距B区30米，即$90-10x=30$，解得$x=6$，不在$7.5＜x≤9$区间内，舍去；
③ 当$9＜x≤12$时，甲仍停留在B区，乙从B区返回C区，两者相距30米即乙距B区30米，代入EF解析式得$15x-135=30$，解得$x=11$，符合区间要求；
④ 当$12＜x≤15$时，甲结束停留从B区向C区行进，甲从B到C的用时为$15-7.5-4.5=3$分，速度为$90÷3=30$米/分，甲距B区的距离解析式为$y=30(x-12)=30x-360$，两者相距30米即乙距B区的距离减去甲距B区的距离等于30：
$15x-135-(30x-360)=30$，解得$x=13$，符合区间要求。
【答案】
(1) $\boxed{240}$，$\boxed{7.5}$
(2) $\boxed{y=15x-135\ (9≤ x≤15)}$
(3) 机器人乙行进的时间为$\boxed{7分钟}$或$\boxed{11分钟}$或$\boxed{13分钟}$时，机器人甲、乙相距30米。
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，行程问题分类讨论
【点评】
本题结合实际场景考查一次函数在行程问题中的综合应用，解题核心是读懂图象信息，准确梳理不同时间段机器人的运动状态，分类讨论时要注意验证解是否符合对应时间区间的要求，避免出现增解或漏解。
【难度系数】
0.6
2. [2025 西安交大苏州附中二模] 小西和小傅在跑步机上慢跑锻炼. 小西先跑,10分钟后小傅才开始跑,小傅跑步时中间休息了两次. 跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分. 小西与小傅的跑步相关信息如表所示,跑步累计里程s(米)与小西跑步时间t(分)的函数关系如图所示.
(1)求A,B,C各档的速度；
(2)小傅第二次休息后,在a分钟时两人跑步累计里程相等,求a的值；
(3)若小傅第一次休息时间是第二次休息时间的4倍,则t为多少时,小西和小傅跑步累计里程相差520米？
(1)求A,B,C各档的速度；
(2)小傅第二次休息后,在a分钟时两人跑步累计里程相等,求a的值；
(3)若小傅第一次休息时间是第二次休息时间的4倍,则t为多少时,小西和小傅跑步累计里程相差520米？
答案
(1)由题意,得
A档速度为4 000 ÷50 =80(米/分),
B档速度为80 +40 =120(米/分),
C档速度为120 +40 =160(米/分).
(2)由题意,得小傅跑步的
第一段时间为1 800 ÷120 =15(分),
第二段时间为1 200 ÷120 =10(分),
第三段时间为1 600 ÷160 =10(分),
则小傅两次休息时间的总和为50 -10 -15 -10 -10 =5(分).
∵ 此时小傅在第二次休息后,
∴ 此时小傅在跑第三段,第三段所跑时间为 a -10 -15 -10 -5 =(a -40)(分),
∴ 80a =1 800 +1 200 +160(a -40) ,解得 a =42.5.
(3)
∵ 小傅第一次休息时间是第二次休息时间的4倍,
∴ 第一次休息时间为4分钟,第二次休息时间为1分钟.
当0≤t≤10时,80t =520,解得 t =6.5;
当10 ＜t≤25时,80t -120(t -10) =520,解得 t =17;
当25 ＜t≤29时,80t -1 800 =520,解得 t =29;
当29 ＜t≤39时,80t -[1 800 +120(t -29)] =520,解得 t =29(舍去);
当39 ＜t≤40时,80t -(1 800 +1 200) =520,解得 t =44(舍去);
当40 ＜t≤50时,|80t -[3 000 +160(t -40)]| =520,解得 t =49 或 t =36(舍去).
综上所述,t 为6.5,17,29 或49 时,小西和小傅跑步累计里程相差520米.
A档速度为4 000 ÷50 =80(米/分),
B档速度为80 +40 =120(米/分),
C档速度为120 +40 =160(米/分).
(2)由题意,得小傅跑步的
第一段时间为1 800 ÷120 =15(分),
第二段时间为1 200 ÷120 =10(分),
第三段时间为1 600 ÷160 =10(分),
则小傅两次休息时间的总和为50 -10 -15 -10 -10 =5(分).
∵ 此时小傅在第二次休息后,
∴ 此时小傅在跑第三段,第三段所跑时间为 a -10 -15 -10 -5 =(a -40)(分),
∴ 80a =1 800 +1 200 +160(a -40) ,解得 a =42.5.
(3)
∵ 小傅第一次休息时间是第二次休息时间的4倍,
∴ 第一次休息时间为4分钟,第二次休息时间为1分钟.
当0≤t≤10时,80t =520,解得 t =6.5;
当10 ＜t≤25时,80t -120(t -10) =520,解得 t =17;
当25 ＜t≤29时,80t -1 800 =520,解得 t =29;
当29 ＜t≤39时,80t -[1 800 +120(t -29)] =520,解得 t =29(舍去);
当39 ＜t≤40时,80t -(1 800 +1 200) =520,解得 t =44(舍去);
当40 ＜t≤50时,|80t -[3 000 +160(t -40)]| =520,解得 t =49 或 t =36(舍去).
综上所述,t 为6.5,17,29 或49 时,小西和小傅跑步累计里程相差520米.
解析
【分析】
(1) 先根据小西的总跑步里程和总时长算出A档速度，再结合题目给出的各档速度差，依次计算B、C档的速度即可。
(2) 先求出小傅各段跑步的用时，结合小西总跑步时长算出两次休息的总时长；第二次休息后小傅使用C档跑步，根据“a分钟时两人累计里程相等”的等量关系列一元一次方程求解即可。
(3) 先根据两次休息时间的倍数关系算出两次休息的具体时长，再按小傅的运动状态分6个时间段讨论，每个时间段分别表示出两人的累计里程，根据“里程相差520米”列方程求解，最后检验解是否符合对应时间段的取值范围，舍去不符合的解。
【解析】
(1) 由题意可知小西全程使用A档跑步，50分钟累计跑了4000米，
∴ A档速度为：$4000 ÷ 50 = 80$（米/分），
∵ B档比A档快40米/分，
∴ B档速度为：$80 + 40 = 120$（米/分），
∵ C档比B档快40米/分，
∴ C档速度为：$120 + 40 = 160$（米/分）。
(2) 小傅比小西晚10分钟开跑，各段跑步用时计算如下：
第一段B档跑1800米，用时：$1800 ÷ 120 = 15$（分），
第二段B档跑1200米，用时：$1200 ÷ 120 = 10$（分），
第三段C档跑1600米，用时：$1600 ÷ 160 = 10$（分），
∴ 小傅两次休息总时长为：$50 - 10 - 15 - 10 - 10 = 5$（分），
小傅第二次休息后开始跑第三段时，对应的小西跑步时间为$10 + 15 + 10 + 5 = 40$分，
∴ a分钟时小傅第三段跑的时长为$(a - 40)$分，
由两人里程相等列方程：
$80a = 1800 + 1200 + 160(a - 40)$
解得$a = 42.5$。
(3)
∵ 小傅第一次休息时间是第二次的4倍，两次休息总时长为5分，
∴ 第一次休息时长为$5 × \frac{4}{4+1} = 4$分，第二次休息时长为1分，分情况讨论：
① 当$0 ≤ t ≤ 10$时，小傅未开跑，由$80t = 520$得$t = 6.5$，符合范围；
② 当$10 ＜ t ≤ 25$时，小傅跑第一段，由$80t - 120(t - 10) = 520$得$t = 17$，符合范围；
③ 当$25 ＜ t ≤ 29$时，小傅第一次休息，由$80t - 1800 = 520$得$t = 29$，符合范围；
④ 当$29 ＜ t ≤ 39$时，小傅跑第二段，由$80t - [1800 + 120(t - 29)] = 520$得$t = 29$，不符合范围，舍去；
⑤ 当$39 ＜ t ≤ 40$时，小傅第二次休息，由$80t - 3000 = 520$得$t = 44$，不符合范围，舍去；
⑥ 当$40 ＜ t ≤ 50$时，小傅跑第三段，由$\vert 80t - [3000 + 160(t - 40)] \vert = 520$得$t = 49$或$t = 36$，$t = 36$不符合范围，舍去。
【答案】
(1) A档速度为80米/分，B档速度为120米/分，C档速度为160米/分；
(2) $a = 42.5$；
(3) t的值为6.5、17、29或49。
【知识点】
一次函数的应用，行程问题，分类讨论思想
【点评】
本题结合实际运动场景考查行程类函数应用，解题核心是理清不同时间段内两人的运动状态，准确表示对应时间段的路程，分类讨论时要注意验证解的取值范围，避免出现增解或漏解的情况。
【难度系数】
0.5
(1) 先根据小西的总跑步里程和总时长算出A档速度，再结合题目给出的各档速度差，依次计算B、C档的速度即可。
(2) 先求出小傅各段跑步的用时，结合小西总跑步时长算出两次休息的总时长；第二次休息后小傅使用C档跑步，根据“a分钟时两人累计里程相等”的等量关系列一元一次方程求解即可。
(3) 先根据两次休息时间的倍数关系算出两次休息的具体时长，再按小傅的运动状态分6个时间段讨论，每个时间段分别表示出两人的累计里程，根据“里程相差520米”列方程求解，最后检验解是否符合对应时间段的取值范围，舍去不符合的解。
【解析】
(1) 由题意可知小西全程使用A档跑步，50分钟累计跑了4000米，
∴ A档速度为：$4000 ÷ 50 = 80$（米/分），
∵ B档比A档快40米/分，
∴ B档速度为：$80 + 40 = 120$（米/分），
∵ C档比B档快40米/分，
∴ C档速度为：$120 + 40 = 160$（米/分）。
(2) 小傅比小西晚10分钟开跑，各段跑步用时计算如下：
第一段B档跑1800米，用时：$1800 ÷ 120 = 15$（分），
第二段B档跑1200米，用时：$1200 ÷ 120 = 10$（分），
第三段C档跑1600米，用时：$1600 ÷ 160 = 10$（分），
∴ 小傅两次休息总时长为：$50 - 10 - 15 - 10 - 10 = 5$（分），
小傅第二次休息后开始跑第三段时，对应的小西跑步时间为$10 + 15 + 10 + 5 = 40$分，
∴ a分钟时小傅第三段跑的时长为$(a - 40)$分，
由两人里程相等列方程：
$80a = 1800 + 1200 + 160(a - 40)$
解得$a = 42.5$。
(3)
∵ 小傅第一次休息时间是第二次的4倍，两次休息总时长为5分，
∴ 第一次休息时长为$5 × \frac{4}{4+1} = 4$分，第二次休息时长为1分，分情况讨论：
① 当$0 ≤ t ≤ 10$时，小傅未开跑，由$80t = 520$得$t = 6.5$，符合范围；
② 当$10 ＜ t ≤ 25$时，小傅跑第一段，由$80t - 120(t - 10) = 520$得$t = 17$，符合范围；
③ 当$25 ＜ t ≤ 29$时，小傅第一次休息，由$80t - 1800 = 520$得$t = 29$，符合范围；
④ 当$29 ＜ t ≤ 39$时，小傅跑第二段，由$80t - [1800 + 120(t - 29)] = 520$得$t = 29$，不符合范围，舍去；
⑤ 当$39 ＜ t ≤ 40$时，小傅第二次休息，由$80t - 3000 = 520$得$t = 44$，不符合范围，舍去；
⑥ 当$40 ＜ t ≤ 50$时，小傅跑第三段，由$\vert 80t - [3000 + 160(t - 40)] \vert = 520$得$t = 49$或$t = 36$，$t = 36$不符合范围，舍去。
【答案】
(1) A档速度为80米/分，B档速度为120米/分，C档速度为160米/分；
(2) $a = 42.5$；
(3) t的值为6.5、17、29或49。
【知识点】
一次函数的应用，行程问题，分类讨论思想
【点评】
本题结合实际运动场景考查行程类函数应用，解题核心是理清不同时间段内两人的运动状态，准确表示对应时间段的路程，分类讨论时要注意验证解的取值范围，避免出现增解或漏解的情况。
【难度系数】
0.5
