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6. 某中学八年级甲、乙两班商定举行一次远足研学活动，A,B两地相距10 km，甲班从A地出发匀速步行到B地，乙班从B地出发匀速步行到A地，乙班比甲班晚出发1 h，设甲班步行时间为x h，甲、乙两班距离A地的距离分别为$y_1$ km,$y_2$ km,$y_1$,$y_2$与x之间的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)点N的横坐标是
(2)分别求出$y_1$,$y_2$与x之间的函数表达式；
(3)乙班出发多长时间，甲、乙两班相遇？
(4)甲班离A地多远时，两班相距4 km？
(1)点N的横坐标是
1
；(2)分别求出$y_1$,$y_2$与x之间的函数表达式；
(3)乙班出发多长时间，甲、乙两班相遇？
(4)甲班离A地多远时，两班相距4 km？
答案
解:(1)1
(2)设$y_1=k_1x(k_1≠0)$,把(2.5,10)代入,得10=2.5$k_1$,解得$k_1=4$,
∴$y_1$与x之间的函数表达式为$y_1=4x$.
设$y_2=k_2x+b(k_2≠0)$,把(1,10),(3,0)代入,得$\begin{cases}k_2+b=10,\\3k_2+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_2=-5,\\b=15,\end{cases}$
∴$y_2$与x之间的函数表达式为$y_2=-5x+15$.
(3)
∵$y_1=4x$,$y_2=-5x+15$,
∴当$y_1=y_2$时,4x=-5x+15,解得$x=\dfrac{5}{3}$,
$\dfrac{5}{3}-1=\dfrac{2}{3}(h)$.
答:乙班出发$\dfrac{2}{3}$h,甲、乙两班相遇.
(4)由题意,得$y_2-y_1=4$或$y_1-y_2=4$,
∴-5x+15-4x=4或4x-(-5x+15)=4,
解得$x=\dfrac{11}{9}$或$x=\dfrac{19}{9}$,
∴$y_1=4×\dfrac{11}{9}=\dfrac{44}{9}$或$y_1=4×\dfrac{19}{9}=\dfrac{76}{9}$.
答:甲班离出发地A地$\dfrac{44}{9}$km或$\dfrac{76}{9}$km时,两班相距4 km.
(2)设$y_1=k_1x(k_1≠0)$,把(2.5,10)代入,得10=2.5$k_1$,解得$k_1=4$,
∴$y_1$与x之间的函数表达式为$y_1=4x$.
设$y_2=k_2x+b(k_2≠0)$,把(1,10),(3,0)代入,得$\begin{cases}k_2+b=10,\\3k_2+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_2=-5,\\b=15,\end{cases}$
∴$y_2$与x之间的函数表达式为$y_2=-5x+15$.
(3)
∵$y_1=4x$,$y_2=-5x+15$,
∴当$y_1=y_2$时,4x=-5x+15,解得$x=\dfrac{5}{3}$,
$\dfrac{5}{3}-1=\dfrac{2}{3}(h)$.
答:乙班出发$\dfrac{2}{3}$h,甲、乙两班相遇.
(4)由题意,得$y_2-y_1=4$或$y_1-y_2=4$,
∴-5x+15-4x=4或4x-(-5x+15)=4,
解得$x=\dfrac{11}{9}$或$x=\dfrac{19}{9}$,
∴$y_1=4×\dfrac{11}{9}=\dfrac{44}{9}$或$y_1=4×\dfrac{19}{9}=\dfrac{76}{9}$.
答:甲班离出发地A地$\dfrac{44}{9}$km或$\dfrac{76}{9}$km时,两班相距4 km.
解析
【分析】
1. 第(1)问：根据“乙班比甲班晚出发1h”，乙班出发时甲班的步行时间就是1h，对应点N的横坐标即为1；
2. 第(2)问：求一次函数表达式使用待定系数法，$y_1$是过原点的正比例函数，代入已知点$(2.5,10)$即可求解；$y_2$是普通一次函数，代入经过的两个点$(1,10)$和$(3,0)$，列二元一次方程组即可求出系数；
3. 第(3)问：两班相遇时距离A地的距离相等，即$y_1=y_2$，解出对应的x值后减去乙班晚出发的1h，就是乙班的出发时长；
4. 第(4)问：两班相距4km分两种情况，相遇前乙距A地比甲远4km（$y_2-y_1=4$）、相遇后甲距A地比乙远4km（$y_1-y_2=4$），分别解方程求出x后代入$y_1$的表达式即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 乙班比甲班晚出发1h，因此乙班出发时甲班已经步行1h，故点N的横坐标为1。
(2) 设$y_1=k_1x(k_1≠0)$，把$(2.5,10)$代入得：
$10=2.5k_1$，解得$k_1=4$，
∴$y_1$与x的函数表达式为$y_1=4x$。
设$y_2=k_2x+b(k_2≠0)$，把$(1,10)$、$(3,0)$代入得：
$\begin{cases}k_2+b=10\\3k_2+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-5\\b=15\end{cases}$，
∴$y_2$与x的函数表达式为$y_2=-5x+15$。
(3) 两班相遇时$y_1=y_2$，可得：
$4x=-5x+15$
解得$x=\dfrac{5}{3}$
乙班晚出发1h，故乙班出发时长为$\dfrac{5}{3}-1=\dfrac{2}{3}(\mathrm{h})$。
(4) 两班相距4km分两种情况：
① 相遇前：$y_2-y_1=4$，即$-5x+15-4x=4$，解得$x=\dfrac{11}{9}$，此时$y_1=4×\dfrac{11}{9}=\dfrac{44}{9}(\mathrm{km})$；
② 相遇后：$y_1-y_2=4$，即$4x-(-5x+15)=4$，解得$x=\dfrac{19}{9}$，此时$y_1=4×\dfrac{19}{9}=\dfrac{76}{9}(\mathrm{km})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$
(2) $y_1=4x$，$y_2=-5x+15$
(3) $\boldsymbol{\dfrac{2}{3}\mathrm{h}}$
(4) $\boldsymbol{\dfrac{44}{9}\mathrm{km}}$或$\boldsymbol{\dfrac{76}{9}\mathrm{km}}$
【知识点】
待定系数法，一次函数应用，行程问题
【点评】
本题结合实际行程场景考查一次函数的应用，解题关键是读懂函数图象的实际意义，熟练掌握待定系数法求解析式的方法，解决距离问题时注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：根据“乙班比甲班晚出发1h”，乙班出发时甲班的步行时间就是1h，对应点N的横坐标即为1；
2. 第(2)问：求一次函数表达式使用待定系数法，$y_1$是过原点的正比例函数，代入已知点$(2.5,10)$即可求解；$y_2$是普通一次函数，代入经过的两个点$(1,10)$和$(3,0)$，列二元一次方程组即可求出系数；
3. 第(3)问：两班相遇时距离A地的距离相等，即$y_1=y_2$，解出对应的x值后减去乙班晚出发的1h，就是乙班的出发时长；
4. 第(4)问：两班相距4km分两种情况，相遇前乙距A地比甲远4km（$y_2-y_1=4$）、相遇后甲距A地比乙远4km（$y_1-y_2=4$），分别解方程求出x后代入$y_1$的表达式即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 乙班比甲班晚出发1h，因此乙班出发时甲班已经步行1h，故点N的横坐标为1。
(2) 设$y_1=k_1x(k_1≠0)$，把$(2.5,10)$代入得：
$10=2.5k_1$，解得$k_1=4$，
∴$y_1$与x的函数表达式为$y_1=4x$。
设$y_2=k_2x+b(k_2≠0)$，把$(1,10)$、$(3,0)$代入得：
$\begin{cases}k_2+b=10\\3k_2+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-5\\b=15\end{cases}$，
∴$y_2$与x的函数表达式为$y_2=-5x+15$。
(3) 两班相遇时$y_1=y_2$，可得：
$4x=-5x+15$
解得$x=\dfrac{5}{3}$
乙班晚出发1h，故乙班出发时长为$\dfrac{5}{3}-1=\dfrac{2}{3}(\mathrm{h})$。
(4) 两班相距4km分两种情况：
① 相遇前：$y_2-y_1=4$，即$-5x+15-4x=4$，解得$x=\dfrac{11}{9}$，此时$y_1=4×\dfrac{11}{9}=\dfrac{44}{9}(\mathrm{km})$；
② 相遇后：$y_1-y_2=4$，即$4x-(-5x+15)=4$，解得$x=\dfrac{19}{9}$，此时$y_1=4×\dfrac{19}{9}=\dfrac{76}{9}(\mathrm{km})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$
(2) $y_1=4x$，$y_2=-5x+15$
(3) $\boldsymbol{\dfrac{2}{3}\mathrm{h}}$
(4) $\boldsymbol{\dfrac{44}{9}\mathrm{km}}$或$\boldsymbol{\dfrac{76}{9}\mathrm{km}}$
【知识点】
待定系数法，一次函数应用，行程问题
【点评】
本题结合实际行程场景考查一次函数的应用，解题关键是读懂函数图象的实际意义，熟练掌握待定系数法求解析式的方法，解决距离问题时注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
7. [2025南京联合体期末]现有甲、乙两个容器，每个容器都装有进水管和出水管，甲容器原来没有水，乙容器原来有一定的水量. 首先打开甲容器的进水管注水，第10分钟同时打开甲、乙两容器的出水管排水，第15分钟关闭甲容器的进水管，直到甲、乙两容器水排完. 甲、乙两容器中的水量$y_1,y_2$(单位:L)与时间$x$(从甲容器注水开始计时,单位:min)的函数关系如图所示. 请结合图象信息,解答下列问题:
(1) 甲容器进水管的注水速度是
(2)求甲容器出水管的排水速度及线段AB对应的函数表达式;
(3)当$x=$
(1) 甲容器进水管的注水速度是
60
L/min;乙容器出水管的排水速度是40
L/min;(2)求甲容器出水管的排水速度及线段AB对应的函数表达式;
(3)当$x=$
$\dfrac{13}{3}$或12或$\dfrac{78}{5}$
min时,两容器中的水量差为180 L.答案
解:(1)60 40
由题图知,甲容器进水管的注水速度是600÷10=60(L/min),乙容器出水管的排水速度是440÷(21-10)=40(L/min).
(2)设甲容器出水管的排水速度为a L/min.
根据题意,得15×60-(20-10)a=0,解得a=90,
∴甲容器出水管的排水速度为90 L/min.
当x=15时,y=15×60-(15-10)×90=450,
∴B(15,450).
设线段AB所在直线的函数表达式为y=kx+b(k≠0),把A(10,600),B(15,450)代入,得$\begin{cases}10k+b=600,\\15k+b=450,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-30,\\b=900,\end{cases}$
∴线段AB对应的函数表达式为y=-30x+900(10≤x≤15).
(3)$\dfrac{13}{3}$或12或$\dfrac{78}{5}$
设直线BC的函数表达式为y=mx+n(m≠0),把(15,450),(20,0)代入,得$\begin{cases}15m+n=450,\\20m+n=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-90,\\n=1\ 800,\end{cases}$
∴直线BC的函数表达式为y=-90x+1 800.同理可求得直线DE的函数表达式为y=-40x+840.
①当0≤x≤10时,根据题意,得440-60x=180,解得$x=\dfrac{13}{3}$.
②当10＜x≤15时,根据题意,得-30x+900-(-40x+840)=180,解得x=12.
③当15＜x≤21时,根据题意,得(-90x+1 800)-(-40x+840)=180,解得$x=\dfrac{78}{5}$.
综上可知,$x=\dfrac{13}{3}$或12或$\dfrac{78}{5}$时,两容器中的水量差为180 L.
由题图知,甲容器进水管的注水速度是600÷10=60(L/min),乙容器出水管的排水速度是440÷(21-10)=40(L/min).
(2)设甲容器出水管的排水速度为a L/min.
根据题意,得15×60-(20-10)a=0,解得a=90,
∴甲容器出水管的排水速度为90 L/min.
当x=15时,y=15×60-(15-10)×90=450,
∴B(15,450).
设线段AB所在直线的函数表达式为y=kx+b(k≠0),把A(10,600),B(15,450)代入,得$\begin{cases}10k+b=600,\\15k+b=450,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-30,\\b=900,\end{cases}$
∴线段AB对应的函数表达式为y=-30x+900(10≤x≤15).
(3)$\dfrac{13}{3}$或12或$\dfrac{78}{5}$
设直线BC的函数表达式为y=mx+n(m≠0),把(15,450),(20,0)代入,得$\begin{cases}15m+n=450,\\20m+n=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-90,\\n=1\ 800,\end{cases}$
∴直线BC的函数表达式为y=-90x+1 800.同理可求得直线DE的函数表达式为y=-40x+840.
①当0≤x≤10时,根据题意,得440-60x=180,解得$x=\dfrac{13}{3}$.
②当10＜x≤15时,根据题意,得-30x+900-(-40x+840)=180,解得x=12.
③当15＜x≤21时,根据题意,得(-90x+1 800)-(-40x+840)=180,解得$x=\dfrac{78}{5}$.
综上可知,$x=\dfrac{13}{3}$或12或$\dfrac{78}{5}$时,两容器中的水量差为180 L.
解析
【分析】
（1）求甲进水管速度：观察图象，甲前10分钟只进水，水量从0升到600L，用总注水量除以注水时间即可计算；乙容器从第10分钟开始排水，到21分钟排完原有440L水，先算排水总时长，再用总水量除以排水时间即可得乙的排水速度。
（2）求甲出水管排水速度：甲从第10分钟开始排水，第15分钟关闭进水管，第20分钟排完水，总进水量为15分钟的进水量，总排水量为10分钟的出水量，两者相等（最终水量为0），列方程即可求出排水速度；线段AB对应x在10~15min区间，已知A点坐标(10,600)，先算出x=15时甲的水量得到B点坐标，再用待定系数法代入两点坐标即可求出AB段的函数表达式。
（3）求水量差为180L的x值：需分三个时间段讨论：①0≤x≤10时，甲只进水，乙水量保持440L，列水量差方程求解；②10＜x≤15时，甲水量对应AB段表达式，乙水量对应排水段表达式，列差为180的方程求解；③15＜x≤21时，甲水量对应关进水后的排水段表达式，乙水量仍为排水段表达式，列方程求解，最后汇总所有符合区间的解即可。
【解析】
(1) 甲容器前10分钟只注水，水量从0升至600L，进水管注水速度为：$600÷10=60$（L/min）；
乙容器从第10分钟到第21分钟共$21-10=11$min排完440L水，出水管排水速度为：$440÷11=40$（L/min）。
(2) 设甲容器出水管的排水速度为$a$ L/min。
甲前15分钟一直注水，第10到20分钟共10分钟排水，20分钟时水量为0，可得方程：
$15×60-(20-10)a=0$
解得$a=90$，即甲容器出水管的排水速度为90 L/min。
当$x=15$时，甲容器水量为：$15×60-(15-10)×90=450$（L），即点B坐标为$(15,450)$。
设线段AB对应的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$A(10,600)$、$B(15,450)$代入得：
$\begin{cases}10k+b=600\\15k+b=450\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-30\\b=900\end{cases}$
所以线段AB对应的函数表达式为$y=-30x+900(10≤ x≤15)$。
(3) 先求剩余段函数表达式：
设线段BC（甲15~20min水量）的函数表达式为$y=mx+n(m≠0)$，将$(15,450)$、$(20,0)$代入得：
$\begin{cases}15m+n=450\\20m+n=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-90\\n=1800\end{cases}$，即BC段：$y=-90x+1800(15≤ x≤20)$。
乙容器10~21min排水的函数表达式为$y=-40x+840(10≤ x≤21)$。
分三种情况讨论：
①当$0≤ x≤10$时，甲水量为$60x$，乙水量为440L，由水量差180L得：$440-60x=180$，解得$x=\frac{13}{3}$，符合区间要求；
②当$10＜x≤15$时，甲水量为$-30x+900$，乙水量为$-40x+840$，由水量差180L得：$(-30x+900)-(-40x+840)=180$，解得$x=12$，符合区间要求；
③当$15＜x≤21$时，甲水量为$-90x+1800$，乙水量为$-40x+840$，由水量差180L得：$(-90x+1800)-(-40x+840)=180$，解得$x=\frac{78}{5}$，符合区间要求。
【答案】
(1) $\boxed{60}$；$\boxed{40}$
(2) 甲容器出水管的排水速度为$\boxed{90\ \mathrm{L/min}}$，线段AB对应的函数表达式为$\boxed{y=-30x+900(10≤ x≤15)}$
(3) $\boxed{\dfrac{13}{3}}$或$\boxed{12}$或$\boxed{\dfrac{78}{5}}$
【知识点】
一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，分类讨论思想
【点评】
本题结合注水排水的生活场景，考查一次函数图象的解读和应用能力，解题核心是准确分析不同时间段容器的进出水状态，结合图象坐标求解函数解析式，再根据等量关系分类列方程求解，能有效锻炼读图分析和分段解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
（1）求甲进水管速度：观察图象，甲前10分钟只进水，水量从0升到600L，用总注水量除以注水时间即可计算；乙容器从第10分钟开始排水，到21分钟排完原有440L水，先算排水总时长，再用总水量除以排水时间即可得乙的排水速度。
（2）求甲出水管排水速度：甲从第10分钟开始排水，第15分钟关闭进水管，第20分钟排完水，总进水量为15分钟的进水量，总排水量为10分钟的出水量，两者相等（最终水量为0），列方程即可求出排水速度；线段AB对应x在10~15min区间，已知A点坐标(10,600)，先算出x=15时甲的水量得到B点坐标，再用待定系数法代入两点坐标即可求出AB段的函数表达式。
（3）求水量差为180L的x值：需分三个时间段讨论：①0≤x≤10时，甲只进水，乙水量保持440L，列水量差方程求解；②10＜x≤15时，甲水量对应AB段表达式，乙水量对应排水段表达式，列差为180的方程求解；③15＜x≤21时，甲水量对应关进水后的排水段表达式，乙水量仍为排水段表达式，列方程求解，最后汇总所有符合区间的解即可。
【解析】
(1) 甲容器前10分钟只注水，水量从0升至600L，进水管注水速度为：$600÷10=60$（L/min）；
乙容器从第10分钟到第21分钟共$21-10=11$min排完440L水，出水管排水速度为：$440÷11=40$（L/min）。
(2) 设甲容器出水管的排水速度为$a$ L/min。
甲前15分钟一直注水，第10到20分钟共10分钟排水，20分钟时水量为0，可得方程：
$15×60-(20-10)a=0$
解得$a=90$，即甲容器出水管的排水速度为90 L/min。
当$x=15$时，甲容器水量为：$15×60-(15-10)×90=450$（L），即点B坐标为$(15,450)$。
设线段AB对应的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$A(10,600)$、$B(15,450)$代入得：
$\begin{cases}10k+b=600\\15k+b=450\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-30\\b=900\end{cases}$
所以线段AB对应的函数表达式为$y=-30x+900(10≤ x≤15)$。
(3) 先求剩余段函数表达式：
设线段BC（甲15~20min水量）的函数表达式为$y=mx+n(m≠0)$，将$(15,450)$、$(20,0)$代入得：
$\begin{cases}15m+n=450\\20m+n=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-90\\n=1800\end{cases}$，即BC段：$y=-90x+1800(15≤ x≤20)$。
乙容器10~21min排水的函数表达式为$y=-40x+840(10≤ x≤21)$。
分三种情况讨论：
①当$0≤ x≤10$时，甲水量为$60x$，乙水量为440L，由水量差180L得：$440-60x=180$，解得$x=\frac{13}{3}$，符合区间要求；
②当$10＜x≤15$时，甲水量为$-30x+900$，乙水量为$-40x+840$，由水量差180L得：$(-30x+900)-(-40x+840)=180$，解得$x=12$，符合区间要求；
③当$15＜x≤21$时，甲水量为$-90x+1800$，乙水量为$-40x+840$，由水量差180L得：$(-90x+1800)-(-40x+840)=180$，解得$x=\frac{78}{5}$，符合区间要求。
【答案】
(1) $\boxed{60}$；$\boxed{40}$
(2) 甲容器出水管的排水速度为$\boxed{90\ \mathrm{L/min}}$，线段AB对应的函数表达式为$\boxed{y=-30x+900(10≤ x≤15)}$
(3) $\boxed{\dfrac{13}{3}}$或$\boxed{12}$或$\boxed{\dfrac{78}{5}}$
【知识点】
一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，分类讨论思想
【点评】
本题结合注水排水的生活场景，考查一次函数图象的解读和应用能力，解题核心是准确分析不同时间段容器的进出水状态，结合图象坐标求解函数解析式，再根据等量关系分类列方程求解，能有效锻炼读图分析和分段解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
8. 教材P168T6变式 如图1,正方形ABCD的边长为4 cm,E为AD边的中点,F为AB边上一点,动点P从点B出发,沿着B→C→D→E的路径,向终点E以a cm/s的速度运动,设运动时间为t(s),△PBF的面积记为S(cm²).S与t的部分函数图象如图2所示,已知点M(1,$\frac{3}{2}$),N(5,6)在S与t的函数图象上.
(1)求线段BF的长及a的值;
(2)写出S与t的函数关系式,并补全该函数图象;
(3)当t为多少时,S为4 cm²?
【回顾与思考】你能应用一次函数解决哪些问题？
(1)求线段BF的长及a的值;
(2)写出S与t的函数关系式,并补全该函数图象;
(3)当t为多少时,S为4 cm²?
【回顾与思考】你能应用一次函数解决哪些问题？
答案
解:(1)由题意,得当点P在CD上时,△PBF的面积S=6,
∴$\dfrac{1}{2}BF×4=6$,
∴BF=3.
∵当t=1时,$BP=a$,$S=\dfrac{3}{2}$,
∴$\dfrac{1}{2}BF· BP=\dfrac{3}{2}$,
∴$\dfrac{1}{2}×3a=\dfrac{3}{2}$,解得a=1.
综上可知,线段BF的长为3 cm,a的值为1.
(2)当0≤t≤4,即点P在BC边上运动时,
$S=\dfrac{1}{2}BF· BP=\dfrac{1}{2}×3× t=\dfrac{3}{2}t$;
当4＜t≤8,即点P在CD边上运动时,
$S=\dfrac{1}{2}BF· BC=\dfrac{1}{2}×3×4=6$;
当8＜t≤10,即点P在线段DE上运动时,
$S=\dfrac{1}{2}BF· AP=\dfrac{1}{2}×3×(12-t)=18-\dfrac{3}{2}t$.
综上,$S=\begin{cases}\dfrac{3}{2}t(0≤ t≤4),\\6(4＜ t≤8),\\18-\dfrac{3}{2}t(8＜ t≤10),\end{cases}$
补全该函数图象如下：
(3)当0≤t≤4时,令S=4,得$\dfrac{3}{2}t=4$,解得$t=\dfrac{8}{3}$;
当4＜t≤8时,S恒为6,不符合题意;
当8＜t≤10时,令S=4,得$18-\dfrac{3}{2}t=4$,解得$t=\dfrac{28}{3}$.
综上可知,当$t=\dfrac{8}{3}$或$t=\dfrac{28}{3}$时,S为4 cm².
解析
【分析】
(1) 求解BF和a时，先观察函数图象：当点P在CD上运动时，△PBF的高为正方形边长BC，面积恒定为6，利用三角形面积公式可先求出BF的长度；再根据t=1时P在BC边上，此时△PBF的高为BP=a，代入对应面积值即可求出a的值。
(2) 求S与t的函数关系式需按动点P的位置分三段讨论：①P在BC边上（0≤t≤4），高为BP=t，代入面积公式得对应函数式；②P在CD边上（4＜t≤8），高恒为BC=4，面积保持不变；③P在DE边上（8＜t≤10），△PBF的高为(12-t)，代入面积公式得对应函数式，最后根据三段函数的取值补全图象即可。
(3) 求S=4时的t值，分别将S=4代入P在BC段和DE段的函数关系式求解，中间CD段面积恒为6，不符合要求直接排除，最后检验解是否符合对应自变量的取值范围即可。
【解析】
(1) 由题意，当点P在CD上运动时，△PBF的面积S为定值6，此时△PBF的高为正方形边长BC=4cm，
根据三角形面积公式得：$\dfrac{1}{2}BF × 4 = 6$，解得$BF=3\ \mathrm{cm}$。
当t=1s时，点P在BC边上，$BP=a×1=a\ \mathrm{cm}$，此时$S=\dfrac{3}{2}\ \mathrm{cm}^2$，
代入面积公式得：$\dfrac{1}{2} × BF × BP = \dfrac{3}{2}$，即$\dfrac{1}{2} × 3 × a = \dfrac{3}{2}$，解得$a=1$。
(2) 分三种情况讨论：
① 当$0≤ t≤4$时，点P在BC边上运动，$BP=t\ \mathrm{cm}$，
则$S=\dfrac{1}{2} × BF × BP = \dfrac{1}{2} × 3 × t = \dfrac{3}{2}t$；
② 当$4＜ t≤8$时，点P在CD边上运动，△PBF的高恒为BC=4cm，
则$S=\dfrac{1}{2} × BF × BC = \dfrac{1}{2} × 3 ×4 =6$；
③ 当$8＜ t≤10$时，点P在DE边上运动，点P运动的总路程为t cm，△PBF的高为$(12-t)\ \mathrm{cm}$，
则$S=\dfrac{1}{2} × BF × (12-t) = \dfrac{1}{2} ×3×(12-t)=18-\dfrac{3}{2}t$。
综上，S与t的函数关系式为$S=\begin{cases}\dfrac{3}{2}t(0≤ t≤4),\\6(4＜ t≤8),\\18-\dfrac{3}{2}t(8＜ t≤10),\end{cases}$
补全函数图象如下：
(3) 分情况求解：
① 当$0≤ t≤4$时，令$S=4$，即$\dfrac{3}{2}t=4$，解得$t=\dfrac{8}{3}$，符合取值范围；
② 当$4＜ t≤8$时，$S=6≠4$，不符合题意，舍去；
③ 当$8＜ t≤10$时，令$S=4$，即$18-\dfrac{3}{2}t=4$，解得$t=\dfrac{28}{3}$，符合取值范围。
【答案】
(1) 线段BF的长为3 cm，a的值为1；
(2) $S=\begin{cases}\dfrac{3}{2}t(0≤ t≤4),\\6(4＜ t≤8),\\18-\dfrac{3}{2}t(8＜ t≤10),\end{cases}$，补全图象见；
(3) 当$t=\dfrac{8}{3}$或$t=\dfrac{28}{3}$时，S为4 cm²。
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，三角形面积计算
【点评】
本题结合动点问题与一次函数，考查了分类讨论思想和数形结合思想，解题关键是根据动点的不同位置确定对应阶段三角形面积的计算方法，求解时要注意检验所得解是否在对应自变量的取值范围内，避免出现错解。
【难度系数】
0.6
(1) 求解BF和a时，先观察函数图象：当点P在CD上运动时，△PBF的高为正方形边长BC，面积恒定为6，利用三角形面积公式可先求出BF的长度；再根据t=1时P在BC边上，此时△PBF的高为BP=a，代入对应面积值即可求出a的值。
(2) 求S与t的函数关系式需按动点P的位置分三段讨论：①P在BC边上（0≤t≤4），高为BP=t，代入面积公式得对应函数式；②P在CD边上（4＜t≤8），高恒为BC=4，面积保持不变；③P在DE边上（8＜t≤10），△PBF的高为(12-t)，代入面积公式得对应函数式，最后根据三段函数的取值补全图象即可。
(3) 求S=4时的t值，分别将S=4代入P在BC段和DE段的函数关系式求解，中间CD段面积恒为6，不符合要求直接排除，最后检验解是否符合对应自变量的取值范围即可。
【解析】
(1) 由题意，当点P在CD上运动时，△PBF的面积S为定值6，此时△PBF的高为正方形边长BC=4cm，
根据三角形面积公式得：$\dfrac{1}{2}BF × 4 = 6$，解得$BF=3\ \mathrm{cm}$。
当t=1s时，点P在BC边上，$BP=a×1=a\ \mathrm{cm}$，此时$S=\dfrac{3}{2}\ \mathrm{cm}^2$，
代入面积公式得：$\dfrac{1}{2} × BF × BP = \dfrac{3}{2}$，即$\dfrac{1}{2} × 3 × a = \dfrac{3}{2}$，解得$a=1$。
(2) 分三种情况讨论：
① 当$0≤ t≤4$时，点P在BC边上运动，$BP=t\ \mathrm{cm}$，
则$S=\dfrac{1}{2} × BF × BP = \dfrac{1}{2} × 3 × t = \dfrac{3}{2}t$；
② 当$4＜ t≤8$时，点P在CD边上运动，△PBF的高恒为BC=4cm，
则$S=\dfrac{1}{2} × BF × BC = \dfrac{1}{2} × 3 ×4 =6$；
③ 当$8＜ t≤10$时，点P在DE边上运动，点P运动的总路程为t cm，△PBF的高为$(12-t)\ \mathrm{cm}$，
则$S=\dfrac{1}{2} × BF × (12-t) = \dfrac{1}{2} ×3×(12-t)=18-\dfrac{3}{2}t$。
综上，S与t的函数关系式为$S=\begin{cases}\dfrac{3}{2}t(0≤ t≤4),\\6(4＜ t≤8),\\18-\dfrac{3}{2}t(8＜ t≤10),\end{cases}$
补全函数图象如下：
(3) 分情况求解：
① 当$0≤ t≤4$时，令$S=4$，即$\dfrac{3}{2}t=4$，解得$t=\dfrac{8}{3}$，符合取值范围；
② 当$4＜ t≤8$时，$S=6≠4$，不符合题意，舍去；
③ 当$8＜ t≤10$时，令$S=4$，即$18-\dfrac{3}{2}t=4$，解得$t=\dfrac{28}{3}$，符合取值范围。
【答案】
(1) 线段BF的长为3 cm，a的值为1；
(2) $S=\begin{cases}\dfrac{3}{2}t(0≤ t≤4),\\6(4＜ t≤8),\\18-\dfrac{3}{2}t(8＜ t≤10),\end{cases}$，补全图象见
；(3) 当$t=\dfrac{8}{3}$或$t=\dfrac{28}{3}$时，S为4 cm²。
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，三角形面积计算
【点评】
本题结合动点问题与一次函数，考查了分类讨论思想和数形结合思想，解题关键是根据动点的不同位置确定对应阶段三角形面积的计算方法，求解时要注意检验所得解是否在对应自变量的取值范围内，避免出现错解。
【难度系数】
0.6
