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【例】如右图，AB是$\odot O$的直径，D是圆上任意一点(不与点A，B重合)，连接BD并延长到点C，使$BD＝CD$，连接AC.试判断$△ ABC$的形状.
【点拨】连接AD，由AB是直径可得$AD⊥BC$，再由$BD＝DC$，得$AB＝AC$.
【解】连接AD，如图.
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADB＝90°$，$\therefore AD⊥BC$.
又$\because BD＝CD$，$\therefore AB＝AC$，
$\therefore △ ABC$是等腰三角形.
【点拨】连接AD，由AB是直径可得$AD⊥BC$，再由$BD＝DC$，得$AB＝AC$.
【解】连接AD，如图.
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADB＝90°$，$\therefore AD⊥BC$.
又$\because BD＝CD$，$\therefore AB＝AC$，
$\therefore △ ABC$是等腰三角形.
答案
解：连接AD，如图。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC。
又∵BD=CD，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC。
又∵BD=CD，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形。
解析
【分析】要判断△ABC的形状，可通过探究边或角的等量关系入手。已知AB是⊙O的直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，因此优先考虑连接AD构造直角；再结合已知BD=CD的条件，可得AD垂直平分BC，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，即可推出AB=AC，进而判断出三角形的形状。
【解析】连接AD，如图。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC。
又
∵BD=CD，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形。
【答案】△ABC是等腰三角形
【知识点】1. 圆周角定理推论 2. 线段垂直平分线的性质 3. 等腰三角形判定
【点评】本题是圆与三角形结合的基础题型，解题关键是正确作出辅助线AD，灵活运用直径所对圆周角为直角的性质，结合中点条件即可推出边的等量关系。
【难度系数】0.8
【解析】连接AD，如图。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC。
又
∵BD=CD，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形。
【答案】△ABC是等腰三角形
【知识点】1. 圆周角定理推论 2. 线段垂直平分线的性质 3. 等腰三角形判定
【点评】本题是圆与三角形结合的基础题型，解题关键是正确作出辅助线AD，灵活运用直径所对圆周角为直角的性质，结合中点条件即可推出边的等量关系。
【难度系数】0.8
1.如图,点A,B,C在$\odot O$上,$∠ AOB=100°$,$∠ C$的度数是（
A.$40°$
B.$50°$
C.$80°$
D.$100°$
变式题图
B
）A.$40°$
B.$50°$
C.$80°$
D.$100°$
变式题图
答案
1.B
解析
【分析】
首先观察图形可知，∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠C是弧AB所对的圆周角，二者对应同一段弧。解题时需调用圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此直接用已知的圆心角度数除以2即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵∠AOB是⊙O中弧AB所对的圆心角，∠C是⊙O中弧AB所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，
∴$∠ C=\frac{1}{2}∠ AOB$，
又
∵$∠ AOB=100°$，
∴$∠ C=\frac{1}{2}×100°=50°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是基础类考题，直接考查圆周角定理的应用，解题关键是准确识别同弧对应的圆心角和圆周角，熟记定理内容即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
首先观察图形可知，∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠C是弧AB所对的圆周角，二者对应同一段弧。解题时需调用圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此直接用已知的圆心角度数除以2即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵∠AOB是⊙O中弧AB所对的圆心角，∠C是⊙O中弧AB所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，
∴$∠ C=\frac{1}{2}∠ AOB$，
又
∵$∠ AOB=100°$，
∴$∠ C=\frac{1}{2}×100°=50°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是基础类考题，直接考查圆周角定理的应用，解题关键是准确识别同弧对应的圆心角和圆周角，熟记定理内容即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
变式题 直接利用圆周角定理→构造三角形转化角
如图，$△ ABC$ 内接于 $\odot O$. 若 $∠ OAB = 36°$,则 $∠ C$ 的度数是 （
A.$36°$
B.$72°$
C.$49°$
D.$54°$
如图，$△ ABC$ 内接于 $\odot O$. 若 $∠ OAB = 36°$,则 $∠ C$ 的度数是 （
D
）A.$36°$
B.$72°$
C.$49°$
D.$54°$
答案
变式题 D
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，OA是⊙O的半径，OB同为⊙O的半径，可得OA=OB，即△OAB为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质可求出底角∠OBA的度数，再通过三角形内角和算出圆心角∠AOB的度数，最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠C的度数。
【解析】
连接OB，
∵ OA、OB均为⊙O的半径，
∴ OA=OB，
∴ △OAB为等腰三角形，∠OBA=∠OAB=36°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-36°-36°=108°，
∵ ∠C和∠AOB同对弧AB，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×108°=54°，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；圆周角定理
【点评】
本题属于圆周角定理的基础应用题型，解题的核心是利用半径相等构造等腰三角形，求出对应圆心角的度数，再结合圆周角定理完成角度的转化求解，考查学生对基础几何定理的运用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件，OA是⊙O的半径，OB同为⊙O的半径，可得OA=OB，即△OAB为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质可求出底角∠OBA的度数，再通过三角形内角和算出圆心角∠AOB的度数，最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠C的度数。
【解析】
连接OB，
∵ OA、OB均为⊙O的半径，
∴ OA=OB，
∴ △OAB为等腰三角形，∠OBA=∠OAB=36°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-36°-36°=108°，
∵ ∠C和∠AOB同对弧AB，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×108°=54°，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；圆周角定理
【点评】
本题属于圆周角定理的基础应用题型，解题的核心是利用半径相等构造等腰三角形，求出对应圆心角的度数，再结合圆周角定理完成角度的转化求解，考查学生对基础几何定理的运用能力。
【难度系数】
0.8
2. 如图，CD是$\odot O$的直径，点A，B在$\odot O$上.若$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$∠ AOC=36°$，则$∠ D=$（
A.$9°$
B.$18°$
C.$36°$
D.$45°$
B
）A.$9°$
B.$18°$
C.$36°$
D.$45°$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先根据等弧对应的圆心角相等，求出$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角$∠ BOC$的度数，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，即可求出$∠ D$的度数。
【解析】
$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$∠ AOC=36°$
$\therefore$ 等弧对应的圆心角相等，可得$∠ BOC=∠ AOC=36°$
又$\because ∠ D$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠ BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
$\therefore ∠ D=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×36°=18°$
【答案】
B
【知识点】
弧与圆心角的关系；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础性质应用类题目，解题关键是找准圆周角、圆心角对应的同一段弧，只要熟练掌握圆的相关基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时先根据等弧对应的圆心角相等，求出$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角$∠ BOC$的度数，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，即可求出$∠ D$的度数。
【解析】
$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$∠ AOC=36°$
$\therefore$ 等弧对应的圆心角相等，可得$∠ BOC=∠ AOC=36°$
又$\because ∠ D$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠ BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
$\therefore ∠ D=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×36°=18°$
【答案】
B
【知识点】
弧与圆心角的关系；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础性质应用类题目，解题关键是找准圆周角、圆心角对应的同一段弧，只要熟练掌握圆的相关基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
3. (教材变式)如图,在$\odot O$中,$OC ⊥ AB$,$∠ P = 28°$,则$∠ O$的度数是 (
A.$14°$
B.$28°$
C.$42°$
D.$56°$
D
)A.$14°$
B.$28°$
C.$42°$
D.$56°$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：首先看到半径OC垂直于弦AB，可优先想到垂径定理，得到弧AC和弧BC相等；再看已知条件∠P是圆周角，它所对的弧是弧AC，结合圆周角定理可求出弧AC对应的圆心角度数；最后根据等弧对应的圆心角相等，就能求出∠O的度数。
【解析】
解：
∵OC⊥AB，OC是$\odot O$的半径
∴根据垂径定理可得：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
∵∠P是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角度数为$2∠ P=2×28°=56°$
∵∠O是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
∴$∠ O=56°$
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的性质基础应用题，解题的关键是准确识别圆周角、圆心角对应的弧，结合垂径定理的弧相等关系推导即可，熟练掌握圆的基础定理是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：首先看到半径OC垂直于弦AB，可优先想到垂径定理，得到弧AC和弧BC相等；再看已知条件∠P是圆周角，它所对的弧是弧AC，结合圆周角定理可求出弧AC对应的圆心角度数；最后根据等弧对应的圆心角相等，就能求出∠O的度数。
【解析】
解：
∵OC⊥AB，OC是$\odot O$的半径
∴根据垂径定理可得：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
∵∠P是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角度数为$2∠ P=2×28°=56°$
∵∠O是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
∴$∠ O=56°$
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的性质基础应用题，解题的关键是准确识别圆周角、圆心角对应的弧，结合垂径定理的弧相等关系推导即可，熟练掌握圆的基础定理是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
4.如图，$\odot O$的直径AB平分弦CD（不是直径）.若$∠ D=35°$，则$∠ C=$
55°
.答案
4.$55°$
解析
【分析】
解题时首先根据已知条件“直径AB平分非直径弦CD”，结合垂径定理的推论可推出AB与CD垂直，得到直角；再利用圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，得出∠A和∠D度数相等；最后在直角三角形中利用两锐角互余的性质即可计算出∠C的度数。
【解析】
设AB与CD交于点E。
1. 由垂径定理的推论可知：平分非直径弦的直径垂直于该弦，因为AB是⊙O的直径，且AB平分弦CD（CD不是直径），因此AB⊥CD，即∠AEC=90°。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，∠A和∠D均为弧BC所对的圆周角，因此∠A=∠D=35°。
3. 在Rt△AEC中，直角三角形两锐角互余，因此∠C=90°-∠A=90°-35°=55°。
【答案】
55°
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；直角三角形性质
【点评】
本题是圆的基础性质的综合应用题，解题的核心是熟练运用垂径定理推论和圆周角定理找到角的关系，属于基础类题型，考查学生对基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知条件“直径AB平分非直径弦CD”，结合垂径定理的推论可推出AB与CD垂直，得到直角；再利用圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，得出∠A和∠D度数相等；最后在直角三角形中利用两锐角互余的性质即可计算出∠C的度数。
【解析】
设AB与CD交于点E。
1. 由垂径定理的推论可知：平分非直径弦的直径垂直于该弦，因为AB是⊙O的直径，且AB平分弦CD（CD不是直径），因此AB⊥CD，即∠AEC=90°。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，∠A和∠D均为弧BC所对的圆周角，因此∠A=∠D=35°。
3. 在Rt△AEC中，直角三角形两锐角互余，因此∠C=90°-∠A=90°-35°=55°。
【答案】
55°
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；直角三角形性质
【点评】
本题是圆的基础性质的综合应用题，解题的核心是熟练运用垂径定理推论和圆周角定理找到角的关系，属于基础类题型，考查学生对基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
5.如下图，BD为$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，$∠ ABD=35°$.求$∠ DBC$的度数.
答案
5. 解:如图,连接AD.
$\because BD$ 为$\odot O$ 的直径,
$\therefore ∠BAD=90°$.
$\because ∠ABD=35°$,
$\therefore ∠D=55°,∴∠C=55°$.
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$,
$\therefore ∠ABC=∠C=55°$,
$\therefore ∠DBC=∠ABC-∠ABD=55°-35°=20°$.
解析
【分析】
要求$∠ DBC$的度数，已知$∠ ABD=35°$，只需先求出$∠ ABC$的度数即可。由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，根据等弧所对圆周角相等可得$∠ ABC=∠ C$，因此需要先求$∠ C$的度数。同弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角$∠ C$和$∠ D$相等，可转化为求$∠ D$的度数。BD是圆的直径，根据直径所对圆周角为直角，可连接AD构造直角三角形ABD，利用直角三角形两锐角互余求出$∠ D$，逐步推导即可得到结果。
【解析】
解：如图，连接AD.
$\because BD$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ BAD=90°$。
$\because ∠ ABD=35°$，
$\therefore ∠ D=90°-35°=55°$，
$\because$同弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角相等，
$\therefore ∠ C=∠ D=55°$。
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
$\therefore ∠ ABC=∠ C=55°$，
$\therefore ∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=55°-35°=20°$。
【答案】
解:如图,连接AD.
$\because BD$ 为$\odot O$ 的直径,
$\therefore ∠BAD=90°$.
$\because ∠ABD=35°$,
$\therefore ∠D=55°,∴∠C=55°$.
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$,
$\therefore ∠ABC=∠C=55°$,
$\therefore ∠DBC=∠ABC-∠ABD=55°-35°=20°$.
【知识点】
直径的圆周角性质；同弧的圆周角性质；等弧的圆周角性质
【点评】
本题是圆周角相关的基础应用题，解题关键是通过连接AD构造直径所对的直角，结合同弧、等弧的圆周角性质逐步推导角度，熟练掌握圆周角相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要求$∠ DBC$的度数，已知$∠ ABD=35°$，只需先求出$∠ ABC$的度数即可。由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，根据等弧所对圆周角相等可得$∠ ABC=∠ C$，因此需要先求$∠ C$的度数。同弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角$∠ C$和$∠ D$相等，可转化为求$∠ D$的度数。BD是圆的直径，根据直径所对圆周角为直角，可连接AD构造直角三角形ABD，利用直角三角形两锐角互余求出$∠ D$，逐步推导即可得到结果。
【解析】
解：如图，连接AD.
$\because BD$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ BAD=90°$。
$\because ∠ ABD=35°$，
$\therefore ∠ D=90°-35°=55°$，
$\because$同弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角相等，
$\therefore ∠ C=∠ D=55°$。
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
$\therefore ∠ ABC=∠ C=55°$，
$\therefore ∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=55°-35°=20°$。
【答案】
解:如图,连接AD.
$\because BD$ 为$\odot O$ 的直径,
$\therefore ∠BAD=90°$.
$\because ∠ABD=35°$,
$\therefore ∠D=55°,∴∠C=55°$.
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$,
$\therefore ∠ABC=∠C=55°$,
$\therefore ∠DBC=∠ABC-∠ABD=55°-35°=20°$.
【知识点】
直径的圆周角性质；同弧的圆周角性质；等弧的圆周角性质
【点评】
本题是圆周角相关的基础应用题，解题关键是通过连接AD构造直径所对的直角，结合同弧、等弧的圆周角性质逐步推导角度，熟练掌握圆周角相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
