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6.如图，AB为$\odot O$的直径，D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，过点D作$DE⊥ AB$于点E，延长DE交$\odot O$于点F.若$AC=4\sqrt{3}$，$AE=2$，则$\odot O$的直径为（
A.$8\sqrt{3}$
B.8
C.10
D.$8\sqrt{2}$
B
）A.$8\sqrt{3}$
B.8
C.10
D.$8\sqrt{2}$
答案
6.B 【解析】如图,连接OF.
$\because DE⊥ AB$,
$\therefore DE=EF$,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AF}$.
$\because D$是$\overset{\frown}{AC}$的中点,
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DF}$,
$\therefore AC=DF=4\sqrt{3}$,
$\therefore EF=\frac{1}{2}DF=2\sqrt{3}$.
设$OA=OF=x$,
$\therefore OE=x-2$. 在$\mathrm{Rt}△ OEF$中,$x^2=(2\sqrt{3})^2+(x-2)^2$,解得$x=4$,$\therefore AB=2x=8$.
解析
【分析】
解题时首先观察到弦DF垂直于直径AB，可运用垂径定理得到弧AD=弧AF、DE=EF的结论；再结合D是弧AC中点的条件，通过弧的等量代换推出弧AC=弧DF，根据同圆中等弧对等弦得到DF=AC，进而求出EF的长度；最后设圆的半径为x，用含x的式子表示出OE的长度，在Rt△OEF中利用勾股定理列方程求解得到半径，即可算出直径。
【解析】
如图，连接OF.
$\because DE⊥ AB$,
$\therefore DE=EF$,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AF}$.
$\because D$是$\overset{\frown}{AC}$的中点,
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DF}$,
$\therefore AC=DF=4\sqrt{3}$,
$\therefore EF=\frac{1}{2}DF=2\sqrt{3}$.
设$OA=OF=x$,
$\therefore OE=x-2$. 在$\mathrm{Rt}△ OEF$中，根据勾股定理得$x^2=(2\sqrt{3})^2+(x-2)^2$，展开计算得$x^2=12+x^2-4x+4$，化简得$4x=16$，解得$x=4$，$\therefore$圆的直径$AB=2x=8$.
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；弧弦关系；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的综合应用题型，核心是通过弧的等量转换建立已知弦AC和待求线段的联系，再结合方程思想利用勾股定理求解，能很好地考查对圆的基本性质的掌握程度和数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察到弦DF垂直于直径AB，可运用垂径定理得到弧AD=弧AF、DE=EF的结论；再结合D是弧AC中点的条件，通过弧的等量代换推出弧AC=弧DF，根据同圆中等弧对等弦得到DF=AC，进而求出EF的长度；最后设圆的半径为x，用含x的式子表示出OE的长度，在Rt△OEF中利用勾股定理列方程求解得到半径，即可算出直径。
【解析】
如图，连接OF.
$\because DE⊥ AB$,
$\therefore DE=EF$,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AF}$.
$\because D$是$\overset{\frown}{AC}$的中点,
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DF}$,
$\therefore AC=DF=4\sqrt{3}$,
$\therefore EF=\frac{1}{2}DF=2\sqrt{3}$.
设$OA=OF=x$,
$\therefore OE=x-2$. 在$\mathrm{Rt}△ OEF$中，根据勾股定理得$x^2=(2\sqrt{3})^2+(x-2)^2$，展开计算得$x^2=12+x^2-4x+4$，化简得$4x=16$，解得$x=4$，$\therefore$圆的直径$AB=2x=8$.
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；弧弦关系；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的综合应用题型，核心是通过弧的等量转换建立已知弦AC和待求线段的联系，再结合方程思想利用勾股定理求解，能很好地考查对圆的基本性质的掌握程度和数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.6
7.(教材变式)如图，A,B是半径为3的$\odot O$上的两点.若$∠ AOB=120°$,C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，则四边形AOBC的周长等于
12
.答案
7.12
解析
【分析】
解题时先结合已知条件思考：首先C是弧AB的中点，根据弧中点的性质可得对应圆心角相等，可求出∠AOC和∠BOC的度数；再结合圆的半径都相等，可判断△AOC和△BOC的形状，进而得到四边形各边的长度，相加即可得到周长。
【解析】
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$∠ AOC=∠ BOC$，
∵$∠ AOB=120°$，
∴$∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$，
又
∵OA、OC、OB都是$\odot O$的半径，半径为3，
∴OA=OC=OB=3，
∴$△ AOC$和$△ BOC$都是有一个角为60°的等腰三角形，即都是等边三角形，
∴AC=OA=3，BC=OB=3，
∴四边形AOBC的周长为$AO+OB+BC+AC=3+3+3+3=12$。
【答案】
12
【知识点】
弧与圆心角的关系；等边三角形的判定；圆的基本性质
【点评】
本题解题的关键是利用弧中点的性质得到相等的圆心角，结合半径相等判定等边三角形，进而求出四边形各边的长度。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知条件思考：首先C是弧AB的中点，根据弧中点的性质可得对应圆心角相等，可求出∠AOC和∠BOC的度数；再结合圆的半径都相等，可判断△AOC和△BOC的形状，进而得到四边形各边的长度，相加即可得到周长。
【解析】
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$∠ AOC=∠ BOC$，
∵$∠ AOB=120°$，
∴$∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$，
又
∵OA、OC、OB都是$\odot O$的半径，半径为3，
∴OA=OC=OB=3，
∴$△ AOC$和$△ BOC$都是有一个角为60°的等腰三角形，即都是等边三角形，
∴AC=OA=3，BC=OB=3，
∴四边形AOBC的周长为$AO+OB+BC+AC=3+3+3+3=12$。
【答案】
12
【知识点】
弧与圆心角的关系；等边三角形的判定；圆的基本性质
【点评】
本题解题的关键是利用弧中点的性质得到相等的圆心角，结合半径相等判定等边三角形，进而求出四边形各边的长度。
【难度系数】
0.8
8.如图，已知半圆O的直径AB为3，弦AC与弦BD相交于点E，OD⊥AC，垂足为F。若AC=BD，则弦BD的长为
$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
。答案
8.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发：①由OD⊥AC可联想垂径定理，得到弧AD=弧DC、F是AC中点；②由AC=BD，根据同圆中相等的弦对应相等的弧，可得弧AC=弧BD，推导得弧AD=弧BC，进而得出弧AD=弧DC=弧BC，三段弧等分半圆，每段弧对应圆心角为60°；③再结合特殊角的直角三角形性质和勾股定理求出AC的长度，结合AC=BD即可得到BD的长。
【解析】
1. 因为OD是半圆O的半径，且OD⊥AC，根据垂径定理可得：$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}$，$AF=FC=\frac{1}{2}AC$。
2. 已知AC=BD，同圆中相等的弦所对的弧相等，因此$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，即$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{DC}+\overset{\frown}{BC}$，化简得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$。
3. 综上可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{BC}$，半圆对应的圆心角为180°，因此每段弧对应的圆心角为$180°÷3=60°$，可得圆周角$∠ OAF=\frac{1}{2}×60°=30°$。
4. 直径AB=3，因此半圆的半径$OA=\frac{3}{2}$。
5. 在$Rt△ AFO$中，$∠ AFO=90°$，$∠ OAF=30°$，因此$OF=\frac{1}{2}OA=\frac{3}{4}$。
6. 由勾股定理得：$AF=\sqrt{OA^2-OF^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2-(\frac{3}{4})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$。
7. 所以$AC=2AF=2×\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，又因为AC=BD，因此$BD=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
垂径定理；圆心角弧弦的关系；勾股定理
【点评】
本题是圆的基本性质的综合应用题，解题核心是通过弦相等、垂径定理推导得到等弧，进而得到特殊角度，再结合直角三角形的性质计算弦长，是圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.65
解题时先从已知条件出发：①由OD⊥AC可联想垂径定理，得到弧AD=弧DC、F是AC中点；②由AC=BD，根据同圆中相等的弦对应相等的弧，可得弧AC=弧BD，推导得弧AD=弧BC，进而得出弧AD=弧DC=弧BC，三段弧等分半圆，每段弧对应圆心角为60°；③再结合特殊角的直角三角形性质和勾股定理求出AC的长度，结合AC=BD即可得到BD的长。
【解析】
1. 因为OD是半圆O的半径，且OD⊥AC，根据垂径定理可得：$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}$，$AF=FC=\frac{1}{2}AC$。
2. 已知AC=BD，同圆中相等的弦所对的弧相等，因此$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，即$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{DC}+\overset{\frown}{BC}$，化简得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$。
3. 综上可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{BC}$，半圆对应的圆心角为180°，因此每段弧对应的圆心角为$180°÷3=60°$，可得圆周角$∠ OAF=\frac{1}{2}×60°=30°$。
4. 直径AB=3，因此半圆的半径$OA=\frac{3}{2}$。
5. 在$Rt△ AFO$中，$∠ AFO=90°$，$∠ OAF=30°$，因此$OF=\frac{1}{2}OA=\frac{3}{4}$。
6. 由勾股定理得：$AF=\sqrt{OA^2-OF^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2-(\frac{3}{4})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$。
7. 所以$AC=2AF=2×\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，又因为AC=BD，因此$BD=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
垂径定理；圆心角弧弦的关系；勾股定理
【点评】
本题是圆的基本性质的综合应用题，解题核心是通过弦相等、垂径定理推导得到等弧，进而得到特殊角度，再结合直角三角形的性质计算弦长，是圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.65
9. 如右图，A，B，C，D是$\odot O$上的四个点，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，连接AB，AD，BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到点E，使$BE=AB$，连接EC，F是EC的中点，连接BF。若$BD=5$，求BF的长。
答案
9.解:连接AC,如图.
$\because AB=BE$,
$\therefore B$是$AE$的中点.
$\because F$是$EC$的中点,
$\therefore BF$是$△ EAC$的中位线,
$\therefore BF=\frac{1}{2}AC$.
$\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$,
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$,
$\therefore BD=AC$,$\therefore BF=\frac{1}{2}BD=\frac{5}{2}$.
解析
【分析】
解题时先从已知的中点条件入手：题目给出$BE=AB$即B是AE的中点，F是EC的中点，两个中点的连线优先对应三角形中位线定理，因此首先考虑连接AC构造$△ EAC$，即可得到BF与AC的数量关系；接下来需要将AC和已知长度的BD关联，结合$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$的条件，利用同圆中等弧对等弦的性质，通过弧的和相等推导出$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，进而得到$AC=BD$，最后代入数值计算即可得到BF的长度。
【解析】
解：连接AC，如图。
$\because AB=BE$，
$\therefore B$是$AE$的中点。
$\because F$是$EC$的中点，
$\therefore BF$是$△ EAC$的中位线，
$\therefore BF=\frac{1}{2}AC$。
$\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$，
根据同圆中等弧对等弦，可得$BD=AC$，
$\therefore BF=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{5}{2}}$
【知识点】
三角形中位线定理，等弧对等弦，线段中点性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，解题的核心是通过添加辅助线构造三角形中位线，再结合圆内弧与弦的对应关系完成未知线段和已知线段的转化，对学生的辅助线构造意识有一定的考察作用。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的中点条件入手：题目给出$BE=AB$即B是AE的中点，F是EC的中点，两个中点的连线优先对应三角形中位线定理，因此首先考虑连接AC构造$△ EAC$，即可得到BF与AC的数量关系；接下来需要将AC和已知长度的BD关联，结合$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$的条件，利用同圆中等弧对等弦的性质，通过弧的和相等推导出$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，进而得到$AC=BD$，最后代入数值计算即可得到BF的长度。
【解析】
解：连接AC，如图。
$\because AB=BE$，
$\therefore B$是$AE$的中点。
$\because F$是$EC$的中点，
$\therefore BF$是$△ EAC$的中位线，
$\therefore BF=\frac{1}{2}AC$。
$\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$，
根据同圆中等弧对等弦，可得$BD=AC$，
$\therefore BF=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{5}{2}}$
【知识点】
三角形中位线定理，等弧对等弦，线段中点性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，解题的核心是通过添加辅助线构造三角形中位线，再结合圆内弧与弦的对应关系完成未知线段和已知线段的转化，对学生的辅助线构造意识有一定的考察作用。
【难度系数】
0.6
10. 如右图，C，D是以线段AB为直径的$\odot O$上的两点，且四边形OBCD是菱形. 求证：$\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{DC}$. 
答案
10. 证明:如图,连接OC.
$\because$ 四边形OBCD是菱形,
$\therefore DO=DC$.
又$\because DO=CO$,
$\therefore △ DOC$为等边三角形,
$\therefore ∠ DOC=60°$.
同理可证$∠ BOC=60°$,
$\therefore ∠ AOD=180°-∠ BOC-∠ DOC=60°$,
$\therefore ∠ AOD=∠ DOC$,
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}$.
解析
【分析】
要证明同圆中的两段弧相等，根据圆心角与弧的对应关系，只需证明两段弧所对的圆心角相等，即证$∠ AOD=∠ DOC$。我们可以先连接辅助线OC，结合已知菱形OBCD的性质和圆半径相等的特点，推导得出等边三角形，求出各圆心角的度数，最终证明两个圆心角相等即可得到弧相等的结论。
【解析】
证明：如图，连接OC。
$\because$ 四边形OBCD是菱形，
$\therefore DO=DC$。
又$\because DO、CO$都是$\odot O$的半径，即$DO=CO$，
$\therefore DO=DC=CO$，$△ DOC$为等边三角形，
$\therefore ∠ DOC=60°$。
同理可证$△ BOC$为等边三角形，$∠ BOC=60°$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，$∠ AOB=180°$，
$\therefore ∠ AOD=180°-∠ BOC-∠ DOC=180°-60°-60°=60°$，
$\therefore ∠ AOD=∠ DOC$。
$\because$同圆中相等的圆心角所对的弧相等，
$\therefore \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{DC}$。
【答案】
证明:如图,连接OC.
$\because$ 四边形OBCD是菱形,
$\therefore DO=DC$.
又$\because DO=CO$,
$\therefore △ DOC$为等边三角形,
$\therefore ∠ DOC=60°$.
同理可证$∠ BOC=60°$,
$\therefore ∠ AOD=180°-∠ BOC-∠ DOC=60°$,
$\therefore ∠ AOD=∠ DOC$,
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}$.
【知识点】
圆心角与弧的关系，菱形的性质，等边三角形判定
【点评】
本题属于圆的基础证明类题型，解题核心是通过作辅助线将菱形性质与圆的基本性质结合，推导得出相等的圆心角来证明弧相等，能够有效考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要证明同圆中的两段弧相等，根据圆心角与弧的对应关系，只需证明两段弧所对的圆心角相等，即证$∠ AOD=∠ DOC$。我们可以先连接辅助线OC，结合已知菱形OBCD的性质和圆半径相等的特点，推导得出等边三角形，求出各圆心角的度数，最终证明两个圆心角相等即可得到弧相等的结论。
【解析】
证明：如图，连接OC。
$\because$ 四边形OBCD是菱形，
$\therefore DO=DC$。
又$\because DO、CO$都是$\odot O$的半径，即$DO=CO$，
$\therefore DO=DC=CO$，$△ DOC$为等边三角形，
$\therefore ∠ DOC=60°$。
同理可证$△ BOC$为等边三角形，$∠ BOC=60°$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，$∠ AOB=180°$，
$\therefore ∠ AOD=180°-∠ BOC-∠ DOC=180°-60°-60°=60°$，
$\therefore ∠ AOD=∠ DOC$。
$\because$同圆中相等的圆心角所对的弧相等，
$\therefore \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{DC}$。
【答案】
证明:如图,连接OC.
$\because$ 四边形OBCD是菱形,
$\therefore DO=DC$.
又$\because DO=CO$,
$\therefore △ DOC$为等边三角形,
$\therefore ∠ DOC=60°$.
同理可证$∠ BOC=60°$,
$\therefore ∠ AOD=180°-∠ BOC-∠ DOC=60°$,
$\therefore ∠ AOD=∠ DOC$,
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}$.
【知识点】
圆心角与弧的关系，菱形的性质，等边三角形判定
【点评】
本题属于圆的基础证明类题型，解题核心是通过作辅助线将菱形性质与圆的基本性质结合，推导得出相等的圆心角来证明弧相等，能够有效考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
11. 如下图，已知AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，$∠ ABC=65°$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$。
(1)求证：$△ BOC ≌ △ DOC$。
(2)一题多解法 求$∠ ABD$的度数。
(1)求证：$△ BOC ≌ △ DOC$。
(2)一题多解法 求$∠ ABD$的度数。
答案
11. 解:(1)证明:$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,$\therefore BC=DC$.
又$\because BO=DO$,$OC=OC$,
$\therefore △ BOC≌△ DOC$.
(2)$\because OB=OC$,$∠ ABC=65°$,
$\therefore ∠ OCB=∠ OBC=65°$,
$\therefore ∠ BOC=180°-2×65°=50°$.
由(1)知$△ BOC≌△ DOC$,
$\therefore ∠ DOC=∠ BOC=50°$,
$\therefore ∠ AOD=180°-2×50°=80°$.
$\because OB=OD$,
$\therefore ∠ ABD=∠ ODB=\frac{1}{2}∠ AOD=40°$.
一题多解法
(2)$\because OB=OC$,$∠ ABC=65°$,
$\therefore ∠ OCB=∠ OBC=65°$,
$\therefore ∠ BOC=180°-2×65°=50°$.
$\because OB=OD$,$BC=DC$,
$\therefore OC⊥ BD$,
$\therefore ∠ ABD=90°-50°=40°$.
又$\because BO=DO$,$OC=OC$,
$\therefore △ BOC≌△ DOC$.
(2)$\because OB=OC$,$∠ ABC=65°$,
$\therefore ∠ OCB=∠ OBC=65°$,
$\therefore ∠ BOC=180°-2×65°=50°$.
由(1)知$△ BOC≌△ DOC$,
$\therefore ∠ DOC=∠ BOC=50°$,
$\therefore ∠ AOD=180°-2×50°=80°$.
$\because OB=OD$,
$\therefore ∠ ABD=∠ ODB=\frac{1}{2}∠ AOD=40°$.
一题多解法
(2)$\because OB=OC$,$∠ ABC=65°$,
$\therefore ∠ OCB=∠ OBC=65°$,
$\therefore ∠ BOC=180°-2×65°=50°$.
$\because OB=OD$,$BC=DC$,
$\therefore OC⊥ BD$,
$\therefore ∠ ABD=90°-50°=40°$.
解析
【分析】
(1) 要证△BOC≌△DOC，先结合圆的性质：同圆中相等的弧对应的弦相等，由$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$可得$BC=DC$；再结合圆的半径相等得$BO=DO$，加上公共边$OC$，即可用SSS判定全等。
(2) 求∠ABD的度数有两种思路：思路1：先利用等腰△OBC的性质算出∠BOC的度数，再由(1)的全等得∠DOC=∠BOC，进而求出∠AOD的度数，最后利用等腰△ODB的性质计算∠ABD；思路2：由等弧的性质可得OC垂直平分BD，利用直角三角形两锐角互余，直接用90°减去∠BOC的度数即可求解。
【解析】
(1) 证明：
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，同圆中等弧对等弦，$\therefore BC=DC$。
又$\because BO、DO$均为$\odot O$的半径，$\therefore BO=DO$，且$OC=OC$（公共边），
$\therefore △ BOC≌△ DOC$（SSS）。
(2) 解法一：
$\because OB=OC$，$△ OBC$为等腰三角形，$\therefore ∠ OCB=∠ OBC=∠ ABC=65°$，
根据三角形内角和为180°，得$∠ BOC=180°-2×65°=50°$。
由(1)知$△ BOC≌△ DOC$，$\therefore ∠ DOC=∠ BOC=50°$，
$\therefore ∠ AOD=180°-∠ BOC-∠ DOC=180°-2×50°=80°$。
又$\because OB=OD$，$△ OBD$为等腰三角形，
$\therefore ∠ ABD=∠ ODB=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×80°=40°$。
解法二：
$\because OB=OC$，$∠ ABC=65°$，$\therefore ∠ OCB=∠ OBC=65°$，
$\therefore ∠ BOC=180°-2×65°=50°$。
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，O为圆心，$\therefore OC$垂直平分$BD$，
$\therefore ∠ ABD=90°-∠ BOC=90°-50°=40°$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $∠ ABD=40°$
【知识点】
弧弦的关系、全等三角形判定、等腰三角形性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的基本性质与三角形知识结合考查，解题关键是熟练运用同圆中等弧对等弦的性质，灵活转化角之间的关系，两种解题思路可帮助拓展解题思维。
【难度系数】
0.7
(1) 要证△BOC≌△DOC，先结合圆的性质：同圆中相等的弧对应的弦相等，由$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$可得$BC=DC$；再结合圆的半径相等得$BO=DO$，加上公共边$OC$，即可用SSS判定全等。
(2) 求∠ABD的度数有两种思路：思路1：先利用等腰△OBC的性质算出∠BOC的度数，再由(1)的全等得∠DOC=∠BOC，进而求出∠AOD的度数，最后利用等腰△ODB的性质计算∠ABD；思路2：由等弧的性质可得OC垂直平分BD，利用直角三角形两锐角互余，直接用90°减去∠BOC的度数即可求解。
【解析】
(1) 证明：
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，同圆中等弧对等弦，$\therefore BC=DC$。
又$\because BO、DO$均为$\odot O$的半径，$\therefore BO=DO$，且$OC=OC$（公共边），
$\therefore △ BOC≌△ DOC$（SSS）。
(2) 解法一：
$\because OB=OC$，$△ OBC$为等腰三角形，$\therefore ∠ OCB=∠ OBC=∠ ABC=65°$，
根据三角形内角和为180°，得$∠ BOC=180°-2×65°=50°$。
由(1)知$△ BOC≌△ DOC$，$\therefore ∠ DOC=∠ BOC=50°$，
$\therefore ∠ AOD=180°-∠ BOC-∠ DOC=180°-2×50°=80°$。
又$\because OB=OD$，$△ OBD$为等腰三角形，
$\therefore ∠ ABD=∠ ODB=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×80°=40°$。
解法二：
$\because OB=OC$，$∠ ABC=65°$，$\therefore ∠ OCB=∠ OBC=65°$，
$\therefore ∠ BOC=180°-2×65°=50°$。
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，O为圆心，$\therefore OC$垂直平分$BD$，
$\therefore ∠ ABD=90°-∠ BOC=90°-50°=40°$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $∠ ABD=40°$
【知识点】
弧弦的关系、全等三角形判定、等腰三角形性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的基本性质与三角形知识结合考查，解题关键是熟练运用同圆中等弧对等弦的性质，灵活转化角之间的关系，两种解题思路可帮助拓展解题思维。
【难度系数】
0.7
