登录
一、选择题
1. 我国是历史上最早认识和使用负数的国家.如果某仓库运进小麦3 t记为+3 t,那么仓库运出小麦2 t应记为（）
A.+1 t
B.-1 t
C.-2 t
D.-5 t
1. 我国是历史上最早认识和使用负数的国家.如果某仓库运进小麦3 t记为+3 t,那么仓库运出小麦2 t应记为（）
A.+1 t
B.-1 t
C.-2 t
D.-5 t
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确正负数的作用是表示一对具有相反意义的量。题目中已经规定运进小麦记为正，那么与运进相反的运出行为就应该记为负，结合运出的重量即可得到对应的表示结果。
【解析】
正负数可用于表示具有相反意义的量。
已知运进小麦3t记为+3t，即“运进”被规定为正方向，那么与之相反的“运出”就应记为负。
因此运出小麦2t，应记为-2t。
【答案】
C
【知识点】
正负数的意义；相反意义的量
【点评】
本题是正负数应用的基础题型，核心考查对相反意义的量的识别和正负数的表示规则，掌握“一个量记为正，其相反意义的量就记为负”的规则即可轻松解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确正负数的作用是表示一对具有相反意义的量。题目中已经规定运进小麦记为正，那么与运进相反的运出行为就应该记为负，结合运出的重量即可得到对应的表示结果。
【解析】
正负数可用于表示具有相反意义的量。
已知运进小麦3t记为+3t，即“运进”被规定为正方向，那么与之相反的“运出”就应记为负。
因此运出小麦2t，应记为-2t。
【答案】
C
【知识点】
正负数的意义；相反意义的量
【点评】
本题是正负数应用的基础题型，核心考查对相反意义的量的识别和正负数的表示规则，掌握“一个量记为正，其相反意义的量就记为负”的规则即可轻松解题。
【难度系数】
0.9
2.北京与莫斯科的时差为5小时，例如北京时间13:10，同一时刻的莫斯科时间是8:10.小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间14:00至21:00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间()
A.16:00
B.18:00
C.20:00
D.15:00
A.16:00
B.18:00
C.20:00
D.15:00
答案
C
解析
【分析】
首先明确北京和莫斯科的时间换算关系：北京时间比莫斯科时间早5小时，也就是同一时刻，莫斯科时间等于北京时间减去5小时。题目要求两人的当地时间都在14:00到21:00之间，我们可以依次把每个选项的北京时间换算成对应的莫斯科时间，检查两个时间是否都落在14:00~21:00的区间里，符合的就是正确答案。
【解析】
已知同一时刻莫斯科时间=北京时间-5小时，要求北京时间和对应的莫斯科时间都在14:00~21:00之间：
A选项：北京时间16:00，莫斯科时间=16:00-5小时=11:00，11:00不在14:00~21:00范围内，不符合要求；
B选项：北京时间18:00，莫斯科时间=18:00-5小时=13:00，13:00不在14:00~21:00范围内，不符合要求；
C选项：北京时间20:00，莫斯科时间=20:00-5小时=15:00，20:00在14:00~21:00之间，15:00也在14:00~21:00之间，符合要求；
D选项：北京时间15:00，莫斯科时间=15:00-5小时=10:00，10:00不在14:00~21:00范围内，不符合要求。
综上，选择C选项。
【答案】
C
【知识点】
有理数减法运算、时差实际应用
【点评】
本题结合生活中的时差场景出题，解题的核心是准确把握两地时间的换算规则，逐一验证选项即可快速得到答案，很好地考查了将实际问题转化为数学计算的能力。
【难度系数】
0.7
首先明确北京和莫斯科的时间换算关系：北京时间比莫斯科时间早5小时，也就是同一时刻，莫斯科时间等于北京时间减去5小时。题目要求两人的当地时间都在14:00到21:00之间，我们可以依次把每个选项的北京时间换算成对应的莫斯科时间，检查两个时间是否都落在14:00~21:00的区间里，符合的就是正确答案。
【解析】
已知同一时刻莫斯科时间=北京时间-5小时，要求北京时间和对应的莫斯科时间都在14:00~21:00之间：
A选项：北京时间16:00，莫斯科时间=16:00-5小时=11:00，11:00不在14:00~21:00范围内，不符合要求；
B选项：北京时间18:00，莫斯科时间=18:00-5小时=13:00，13:00不在14:00~21:00范围内，不符合要求；
C选项：北京时间20:00，莫斯科时间=20:00-5小时=15:00，20:00在14:00~21:00之间，15:00也在14:00~21:00之间，符合要求；
D选项：北京时间15:00，莫斯科时间=15:00-5小时=10:00，10:00不在14:00~21:00范围内，不符合要求。
综上，选择C选项。
【答案】
C
【知识点】
有理数减法运算、时差实际应用
【点评】
本题结合生活中的时差场景出题，解题的核心是准确把握两地时间的换算规则，逐一验证选项即可快速得到答案，很好地考查了将实际问题转化为数学计算的能力。
【难度系数】
0.7
3.若$|a-1|$与$|b-2|$互为相反数，则$a+b$的值为（）
A.3
B.$-3$
C.0
D.3或$-3$
A.3
B.$-3$
C.0
D.3或$-3$
答案
A
解析
【分析】
首先回忆相反数的性质：互为相反数的两个数之和为0，据此先列出两个绝对值相加等于0的式子。再结合绝对值的非负性（任意一个数的绝对值都是大于或等于0的），两个非负数相加得0，说明这两个非负数各自都等于0，由此分别求出a、b的值，最后计算a+b的结果即可选出正确选项。
【解析】
解：
∵ $|a-1|$与$|b-2|$互为相反数
∴ $|a-1| + |b-2| = 0$
又
∵ 任意数的绝对值都是非负数，即$|a-1|≥0$，$|b-2|≥0$
∴ 只有当$|a-1|=0$且$|b-2|=0$时，等式才成立
即 $a-1=0$，$b-2=0$
解得 $a=1$，$b=2$
∴ $a+b = 1+2 = 3$
故选A
【答案】
A
【知识点】
相反数的性质；绝对值的非负性；代数式求值
【点评】
本题是基础概念综合题，解题核心是掌握“几个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的规律，熟练掌握相反数和绝对值的相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
首先回忆相反数的性质：互为相反数的两个数之和为0，据此先列出两个绝对值相加等于0的式子。再结合绝对值的非负性（任意一个数的绝对值都是大于或等于0的），两个非负数相加得0，说明这两个非负数各自都等于0，由此分别求出a、b的值，最后计算a+b的结果即可选出正确选项。
【解析】
解：
∵ $|a-1|$与$|b-2|$互为相反数
∴ $|a-1| + |b-2| = 0$
又
∵ 任意数的绝对值都是非负数，即$|a-1|≥0$，$|b-2|≥0$
∴ 只有当$|a-1|=0$且$|b-2|=0$时，等式才成立
即 $a-1=0$，$b-2=0$
解得 $a=1$，$b=2$
∴ $a+b = 1+2 = 3$
故选A
【答案】
A
【知识点】
相反数的性质；绝对值的非负性；代数式求值
【点评】
本题是基础概念综合题，解题核心是掌握“几个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的规律，熟练掌握相反数和绝对值的相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
4.若举例说明“如果$|a|＞|2|$，那么$a＞2$”的说法是错误的，则$a$的值可以取（写出一个值即可）
答案
解：
$|2|=2$，取$a=-3$时，$|a|=|-3|=3$，满足$|a|＞|2|$，但$a=-3＜2$，可说明题中说法错误。
故答案为：$\boldsymbol{-3}$（答案不唯一，所有小于-2的数均可）。
$|2|=2$，取$a=-3$时，$|a|=|-3|=3$，满足$|a|＞|2|$，但$a=-3＜2$，可说明题中说法错误。
故答案为：$\boldsymbol{-3}$（答案不唯一，所有小于-2的数均可）。
解析
【分析】
要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例：反例要满足命题的条件（即$|a|＞|2|$），但不满足命题的结论（即$a＞2$）。首先计算得$|2|=2$，根据绝对值的性质，绝对值大于2的数分为两类：大于2的正数、小于-2的负数，其中小于-2的负数既满足$|a|＞2$，又满足$a＜2$，符合反例的要求，任取一个小于-2的数即可。
【解析】
先计算得$|2|=2$，我们取$a=-3$：
此时$|a|=|-3|=3$，满足$|a|＞|2|$的条件；
但$a=-3＜2$，不满足$a＞2$的结论，因此可以说明题中说法错误。
（答案不唯一，所有小于-2的数均可）
【答案】
$-3$（答案不唯一）
【知识点】
绝对值的性质，假命题的判断
【点评】
本题考查对绝对值性质的理解，需要注意绝对值大于某个正数的数包含正、负两种情况，不要忽略负数范畴；同时要掌握判断假命题的方法：只需举出一个符合条件但不符合结论的反例即可。
【难度系数】
0.8
要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例：反例要满足命题的条件（即$|a|＞|2|$），但不满足命题的结论（即$a＞2$）。首先计算得$|2|=2$，根据绝对值的性质，绝对值大于2的数分为两类：大于2的正数、小于-2的负数，其中小于-2的负数既满足$|a|＞2$，又满足$a＜2$，符合反例的要求，任取一个小于-2的数即可。
【解析】
先计算得$|2|=2$，我们取$a=-3$：
此时$|a|=|-3|=3$，满足$|a|＞|2|$的条件；
但$a=-3＜2$，不满足$a＞2$的结论，因此可以说明题中说法错误。
（答案不唯一，所有小于-2的数均可）
【答案】
$-3$（答案不唯一）
【知识点】
绝对值的性质，假命题的判断
【点评】
本题考查对绝对值性质的理解，需要注意绝对值大于某个正数的数包含正、负两种情况，不要忽略负数范畴；同时要掌握判断假命题的方法：只需举出一个符合条件但不符合结论的反例即可。
【难度系数】
0.8
5.如图,数轴上点A表示的数是a,试比较大小: -a (填“＞”“＜”或“=”)-2.
(第5题)
(第5题)答案
$＞$
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先观察数轴，确定点A对应的数a的取值范围；第二步结合有理数大小比较的规则或不等式的基本性质，推导-a和-2的大小关系。首先看数轴，点A位于1和2之间，可得1＜a＜2；要比较-a和-2的大小，可利用不等式性质：不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，对a的范围变形即可得到结论，也可利用负数比较大小“绝对值大的反而小”的规则判断。
【解析】
解：由数轴可知，点A在1和2之间，因此$1 ＜ a ＜ 2$。
根据不等式的基本性质3：不等式两边乘同一个负数，不等号的方向改变，给上述不等式三边同时乘$-1$，可得：
$-1 ＞ -a ＞ -2$
即$-a ＞ -2$。
（也可通过绝对值判断：由$1 ＜ a ＜ 2$得$\vert a\vert ＜ 2$，因此$\vert -a\vert = \vert a\vert ＜ 2 = \vert -2\vert$，负数比较大小，绝对值越小的数越大，因此$-a ＞ -2$）
【答案】
$\boldsymbol{＞}$
【知识点】
数轴的应用，不等式的性质，有理数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，核心考查从数轴提取数的范围的能力，以及不等式性质或有理数大小比较规则的应用，解题时需注意不等式乘负数时不等号方向要发生改变，避免出错。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步先观察数轴，确定点A对应的数a的取值范围；第二步结合有理数大小比较的规则或不等式的基本性质，推导-a和-2的大小关系。首先看数轴，点A位于1和2之间，可得1＜a＜2；要比较-a和-2的大小，可利用不等式性质：不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，对a的范围变形即可得到结论，也可利用负数比较大小“绝对值大的反而小”的规则判断。
【解析】
解：由数轴可知，点A在1和2之间，因此$1 ＜ a ＜ 2$。
根据不等式的基本性质3：不等式两边乘同一个负数，不等号的方向改变，给上述不等式三边同时乘$-1$，可得：
$-1 ＞ -a ＞ -2$
即$-a ＞ -2$。
（也可通过绝对值判断：由$1 ＜ a ＜ 2$得$\vert a\vert ＜ 2$，因此$\vert -a\vert = \vert a\vert ＜ 2 = \vert -2\vert$，负数比较大小，绝对值越小的数越大，因此$-a ＞ -2$）
【答案】
$\boldsymbol{＞}$
【知识点】
数轴的应用，不等式的性质，有理数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，核心考查从数轴提取数的范围的能力，以及不等式性质或有理数大小比较规则的应用，解题时需注意不等式乘负数时不等号方向要发生改变，避免出错。
【难度系数】
0.8
三、解答题
6.如图,在数轴上,每小格的宽度相等.
(1)数轴上点 A 表示的数是,点 B 表示的数是.
(2)点 C 表示的数是$-\frac{1}{3}$,点 D 表示的数是-1,请在数轴上分别标出点 C 和点 D 的位置.
(3)将 A,B,C,D 四个点所表示的数按从大到小的顺序排列,用“＞”连接.
6.如图,在数轴上,每小格的宽度相等.
(1)数轴上点 A 表示的数是,点 B 表示的数是.
(2)点 C 表示的数是$-\frac{1}{3}$,点 D 表示的数是-1,请在数轴上分别标出点 C 和点 D 的位置.
(3)将 A,B,C,D 四个点所表示的数按从大到小的顺序排列,用“＞”连接.
答案
解：
(1) 观察数轴可得每小格代表的长度为$\frac{1}{3}$，点A表示的数是$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$，点B表示的数是$\boldsymbol{\frac{7}{3}}$（或$2\frac{1}{3}$）。
(2) 点D标注在数轴上刻度为$-1$的对应位置；点C标注在原点左侧、距离原点1个小格的位置即可。
(3) 根据数轴上右边的数总大于左边的数，可得从大到小的顺序为：
$\frac{7}{3} ＞ \frac{2}{3} ＞ -\frac{1}{3} ＞ -1$
(1) 观察数轴可得每小格代表的长度为$\frac{1}{3}$，点A表示的数是$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$，点B表示的数是$\boldsymbol{\frac{7}{3}}$（或$2\frac{1}{3}$）。
(2) 点D标注在数轴上刻度为$-1$的对应位置；点C标注在原点左侧、距离原点1个小格的位置即可。
(3) 根据数轴上右边的数总大于左边的数，可得从大到小的顺序为：
$\frac{7}{3} ＞ \frac{2}{3} ＞ -\frac{1}{3} ＞ -1$
解析
【分析】
解题时首先观察数轴刻度，0到1之间被平均分为3个小格，先算出每小格代表的长度为$\frac{1}{3}$，这是解题的基础。(1)问只需数出点A、B距离原点的小格数，乘单位长度即可得到两点表示的数；(2)问根据数的正负确定在原点的左侧还是右侧，再结合数值对应的小格数标注位置即可；(3)问利用数轴上“右边的数总大于左边的数”的规律，按四个点在数轴上的位置从右到左排序即可。
【解析】
(1) 观察数轴可知，0到1之间有3个等距小格，因此每小格代表的长度为$1÷3=\frac{1}{3}$。
点A在原点右侧第2个小格，对应的数为$2×\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$；
点B在2的右侧第1个小格，2可转化为$\frac{6}{3}$，因此对应的数为$\frac{6}{3}+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$（或写作$2\frac{1}{3}$）。
(2) 点D表示的数是-1，直接标注在数轴上刻度为-1的位置即可；
点C表示的数是$-\frac{1}{3}$，是负数，在原点左侧，距离原点1个小格的位置标注即可。
(3) 根据数轴的性质：数轴上越靠右的数越大，对比四个点的位置从右到左依次是B、A、C、D，因此对应的数从大到小排列为：
$\frac{7}{3} ＞ \frac{2}{3} ＞ -\frac{1}{3} ＞ -1$
【答案】
(1) $\frac{2}{3}$；$\frac{7}{3}$（或$2\frac{1}{3}$）
(2) 点D标注在数轴-1刻度处，点C标注在原点左侧第1个小格处
(3) $\frac{7}{3} ＞ \frac{2}{3} ＞ -\frac{1}{3} ＞ -1$
【知识点】
数轴的认识；有理数大小比较；正负数的数轴表示
【点评】
本题是数轴相关的基础题型，重点考查对数轴单位长度的判断、数与数轴上点的对应关系以及有理数大小比较的规律，掌握数轴的基本性质就能快速解题，能很好地巩固有理数与数轴对应的基础知识点。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察数轴刻度，0到1之间被平均分为3个小格，先算出每小格代表的长度为$\frac{1}{3}$，这是解题的基础。(1)问只需数出点A、B距离原点的小格数，乘单位长度即可得到两点表示的数；(2)问根据数的正负确定在原点的左侧还是右侧，再结合数值对应的小格数标注位置即可；(3)问利用数轴上“右边的数总大于左边的数”的规律，按四个点在数轴上的位置从右到左排序即可。
【解析】
(1) 观察数轴可知，0到1之间有3个等距小格，因此每小格代表的长度为$1÷3=\frac{1}{3}$。
点A在原点右侧第2个小格，对应的数为$2×\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$；
点B在2的右侧第1个小格，2可转化为$\frac{6}{3}$，因此对应的数为$\frac{6}{3}+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$（或写作$2\frac{1}{3}$）。
(2) 点D表示的数是-1，直接标注在数轴上刻度为-1的位置即可；
点C表示的数是$-\frac{1}{3}$，是负数，在原点左侧，距离原点1个小格的位置标注即可。
(3) 根据数轴的性质：数轴上越靠右的数越大，对比四个点的位置从右到左依次是B、A、C、D，因此对应的数从大到小排列为：
$\frac{7}{3} ＞ \frac{2}{3} ＞ -\frac{1}{3} ＞ -1$
【答案】
(1) $\frac{2}{3}$；$\frac{7}{3}$（或$2\frac{1}{3}$）
(2) 点D标注在数轴-1刻度处，点C标注在原点左侧第1个小格处
(3) $\frac{7}{3} ＞ \frac{2}{3} ＞ -\frac{1}{3} ＞ -1$
【知识点】
数轴的认识；有理数大小比较；正负数的数轴表示
【点评】
本题是数轴相关的基础题型，重点考查对数轴单位长度的判断、数与数轴上点的对应关系以及有理数大小比较的规律，掌握数轴的基本性质就能快速解题，能很好地巩固有理数与数轴对应的基础知识点。
【难度系数】
0.8
7. 提升题▶体育课上全班男生进行了百米测试，达标成绩为14 s. 下面是第一小组8名男生的成绩记录，其中“＋”表示成绩大于14 s，“－”表示成绩小于14 s.
(1)其中跑得最快的男生百米跑了 s.
(2)这个小组男生百米测试达标的有人.
(3)这个小组8名男生的平均成绩是多少？
(1)其中跑得最快的男生百米跑了 s.
(2)这个小组男生百米测试达标的有人.
(3)这个小组8名男生的平均成绩是多少？
答案
解：
(1) 跑得最快的男生百米跑了 $14 - 1.2 = 12.8\ \mathrm{s}$
(2) 记录中数值小于等于0的成绩对应达标，共有5个，即达标人数为5
(3) 计算8名男生成绩相对14s的偏差总和：
$\begin{aligned}&-1.2 + 0.8 + 0 + (-1) + (-0.3) + 0 + 0.3 + 0.6\\=&-0.8\end{aligned}$
平均偏差为 $-0.8 ÷ 8 = -0.1\ \mathrm{s}$
平均成绩为 $14 + (-0.1) = 13.9\ \mathrm{s}$
答：这个小组8名男生的平均成绩是13.9 s。
(1) 跑得最快的男生百米跑了 $14 - 1.2 = 12.8\ \mathrm{s}$
(2) 记录中数值小于等于0的成绩对应达标，共有5个，即达标人数为5
(3) 计算8名男生成绩相对14s的偏差总和：
$\begin{aligned}&-1.2 + 0.8 + 0 + (-1) + (-0.3) + 0 + 0.3 + 0.6\\=&-0.8\end{aligned}$
平均偏差为 $-0.8 ÷ 8 = -0.1\ \mathrm{s}$
平均成绩为 $14 + (-0.1) = 13.9\ \mathrm{s}$
答：这个小组8名男生的平均成绩是13.9 s。
解析
【分析】
(1) 百米跑用时越少跑得越快，题目中“-”表示成绩小于14s，因此先找到最小的偏差值，用14减去该偏差的绝对值，即可得到最快的成绩。
(2) 达标要求成绩不超过14s，对应记录的数值小于等于0，数出记录中所有≤0的数的个数，就是达标人数。
(3) 计算平均成绩可以先求出8名男生成绩相对14s的偏差总和，再计算平均偏差，最后用14加上平均偏差即可得到平均成绩，该方法比直接计算每个人的成绩再求平均更简便。
【解析】
(1) 跑得最快即用时最少，偏差中最小的是-1.2，因此最快成绩为：
$14 - 1.2 = 12.8\ \mathrm{s}$
(2) 成绩达标即成绩≤14s，对应记录数值≤0，符合要求的记录有-1.2、0、-1、-0.3、0，共5个，因此达标人数为5人。
(3) 先计算8名男生的成绩偏差总和：
$\begin{aligned}&-1.2 + 0.8 + 0 + (-1) + (-0.3) + 0 + 0.3 + 0.6\\=&-0.8\end{aligned}$
平均偏差为：$-0.8 ÷ 8 = -0.1\ \mathrm{s}$
平均成绩为：$14 + (-0.1) = 13.9\ \mathrm{s}$
【答案】
(1) $\boxed{12.8}$
(2) $\boxed{5}$
(3) $\boxed{13.9\ \mathrm{s}}$
【知识点】
正负数的实际应用、有理数加减运算、平均数计算
【点评】
本题结合生活场景考查有理数相关知识，解题核心是准确理解正负数在题中的实际含义，计算时需注意符号的处理，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 百米跑用时越少跑得越快，题目中“-”表示成绩小于14s，因此先找到最小的偏差值，用14减去该偏差的绝对值，即可得到最快的成绩。
(2) 达标要求成绩不超过14s，对应记录的数值小于等于0，数出记录中所有≤0的数的个数，就是达标人数。
(3) 计算平均成绩可以先求出8名男生成绩相对14s的偏差总和，再计算平均偏差，最后用14加上平均偏差即可得到平均成绩，该方法比直接计算每个人的成绩再求平均更简便。
【解析】
(1) 跑得最快即用时最少，偏差中最小的是-1.2，因此最快成绩为：
$14 - 1.2 = 12.8\ \mathrm{s}$
(2) 成绩达标即成绩≤14s，对应记录数值≤0，符合要求的记录有-1.2、0、-1、-0.3、0，共5个，因此达标人数为5人。
(3) 先计算8名男生的成绩偏差总和：
$\begin{aligned}&-1.2 + 0.8 + 0 + (-1) + (-0.3) + 0 + 0.3 + 0.6\\=&-0.8\end{aligned}$
平均偏差为：$-0.8 ÷ 8 = -0.1\ \mathrm{s}$
平均成绩为：$14 + (-0.1) = 13.9\ \mathrm{s}$
【答案】
(1) $\boxed{12.8}$
(2) $\boxed{5}$
(3) $\boxed{13.9\ \mathrm{s}}$
【知识点】
正负数的实际应用、有理数加减运算、平均数计算
【点评】
本题结合生活场景考查有理数相关知识，解题核心是准确理解正负数在题中的实际含义，计算时需注意符号的处理，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7
