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课前预习
答案
$-\frac{b}{a}$，$\frac{c}{a}$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，可通过两种思路解题：一是直接回忆韦达定理的基础结论作答；二是结合已学的一元二次方程求根公式推导：先写出两个实根的求根表达式，再分别计算两根之和与两根之积，化简后即可得到结果，推导过程符合当前学段的知识储备。
【解析】
已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$有两个实数根$x_1$、$x_2$，则判别式$\Delta=b^2-4ac\ge0$，由求根公式可得：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
1. 计算两根之和：
$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$
2. 计算两根之积：
$x_1· x_2=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{2a·2a}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$
【答案】
$-\frac{b}{a}$，$\frac{c}{a}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 一元二次方程求根公式 3. 代数式化简
【点评】
本题属于基础识记类题目，对应的结论是一元二次方程的核心基础知识点，既可以直接记忆，也可以通过求根公式自行推导，是后续解决根与系数相关拓展题型的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系，可通过两种思路解题：一是直接回忆韦达定理的基础结论作答；二是结合已学的一元二次方程求根公式推导：先写出两个实根的求根表达式，再分别计算两根之和与两根之积，化简后即可得到结果，推导过程符合当前学段的知识储备。
【解析】
已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$有两个实数根$x_1$、$x_2$，则判别式$\Delta=b^2-4ac\ge0$，由求根公式可得：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
1. 计算两根之和：
$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$
2. 计算两根之积：
$x_1· x_2=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{2a·2a}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$
【答案】
$-\frac{b}{a}$，$\frac{c}{a}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 一元二次方程求根公式 3. 代数式化简
【点评】
本题属于基础识记类题目，对应的结论是一元二次方程的核心基础知识点，既可以直接记忆，也可以通过求根公式自行推导，是后续解决根与系数相关拓展题型的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
思考1.(1)在使用一元二次方程根与系数的关系解题时,一要先将一元二次方程化为
(2)如果一元二次方程$x^2 + px + q = 0$的两个根为$x_1, x_2$,那么$x_1 + x_2 =$
一般形式
;二是在方程有根的前提下,即$\Delta≥0$
。(2)如果一元二次方程$x^2 + px + q = 0$的两个根为$x_1, x_2$,那么$x_1 + x_2 =$
$-p$
,$x_1 · x_2 =$$q$
。答案
1.(1)一般形式；$\Delta≥0$ (2)$-p$；$q$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的基础知识点，解题时需回忆韦达定理的使用条件和具体公式：①使用韦达定理前首先要统一方程形式，确保能准确找到各项系数；②必须保证方程存在实数根才能应用根与系数的关系；③将给定方程的系数对应代入韦达定理公式即可得到两根和与两根积的结果。
【解析】
(1) 使用一元二次方程根与系数的关系时，第一步需要先将方程化为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，才能准确对应二次项系数、一次项系数和常数项；第二步要保证方程有实数根，即判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，若$\Delta＜0$方程无实根，无法应用根与系数的关系。
(2) 对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根与系数的关系为：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1· x_2=\frac{c}{a}$。题干中方程$x^2 + px + q = 0$的二次项系数$a=1$，一次项系数$b=p$，常数项$c=q$，代入公式可得：$x_1+x_2=-\frac{p}{1}=-p$，$x_1· x_2=\frac{q}{1}=q$。
【答案】
(1)一般形式；$\Delta≥0$ (2)$-p$；$q$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程判别式
3. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查韦达定理的使用前提和基本内容，是后续运用根与系数的关系解决复杂题型的基础，需要牢固掌握相关概念。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的基础知识点，解题时需回忆韦达定理的使用条件和具体公式：①使用韦达定理前首先要统一方程形式，确保能准确找到各项系数；②必须保证方程存在实数根才能应用根与系数的关系；③将给定方程的系数对应代入韦达定理公式即可得到两根和与两根积的结果。
【解析】
(1) 使用一元二次方程根与系数的关系时，第一步需要先将方程化为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，才能准确对应二次项系数、一次项系数和常数项；第二步要保证方程有实数根，即判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，若$\Delta＜0$方程无实根，无法应用根与系数的关系。
(2) 对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根与系数的关系为：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1· x_2=\frac{c}{a}$。题干中方程$x^2 + px + q = 0$的二次项系数$a=1$，一次项系数$b=p$，常数项$c=q$，代入公式可得：$x_1+x_2=-\frac{p}{1}=-p$，$x_1· x_2=\frac{q}{1}=q$。
【答案】
(1)一般形式；$\Delta≥0$ (2)$-p$；$q$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程判别式
3. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查韦达定理的使用前提和基本内容，是后续运用根与系数的关系解决复杂题型的基础，需要牢固掌握相关概念。
【难度系数】
0.9
1.已知$x_1,x_2$是方程$x^2 - 4x + 2 = 0$的两根，则$x_1 + x_2 =$
4
，$x_1 · x_2 =$2
。答案
1. $x_1 + x_2 = 4$，$x_1 · x_2 = 2$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若其两根为$x_1,x_2$，则满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1· x_2=\frac{c}{a}$；接下来先确定题干方程对应的$a、b、c$三个系数的值，再代入上述公式计算即可，计算时要注意系数的符号，避免出错。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1· x_2=\frac{c}{a}$
题干给出的方程为$x^2 - 4x + 2 = 0$，对应可得$a=1$，$b=-4$，$c=2$，代入公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{-4}{1}=4$
$x_1· x_2=\frac{2}{1}=2$
【答案】
4；2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题核心是牢记韦达定理的公式，准确提取方程各项的系数，尤其要注意一次项系数的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若其两根为$x_1,x_2$，则满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1· x_2=\frac{c}{a}$；接下来先确定题干方程对应的$a、b、c$三个系数的值，再代入上述公式计算即可，计算时要注意系数的符号，避免出错。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1· x_2=\frac{c}{a}$
题干给出的方程为$x^2 - 4x + 2 = 0$，对应可得$a=1$，$b=-4$，$c=2$，代入公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{-4}{1}=4$
$x_1· x_2=\frac{2}{1}=2$
【答案】
4；2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题核心是牢记韦达定理的公式，准确提取方程各项的系数，尤其要注意一次项系数的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.9
2.如果一元二次方程$x^2 + px + q = 0$的两个根分别为$x_1=2, x_2=1$，那么$p=$
$-3$
，$q=$2
。答案
2. $p=-3$，$q=2$
解析
【分析】
拿到本题，已知一元二次方程的两根求方程的未知系数，优先选择一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先明确所给方程$x^2 + px + q = 0$的二次项系数$a=1$，一次项系数为$p$，常数项为$q$；根据韦达定理，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数，将已知的两根代入对应公式，即可算出$p$、$q$的值，计算时注意符号不要出错。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + px + q = 0$（$a=1≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{p}{1}=-p$，$x_1x_2 = \frac{q}{1}=q$
将$x_1=2$，$x_2=1$代入上述两个式子：
1. 计算$p$：$2+1=-p$，即$3=-p$，解得$p=-3$
2. 计算$q$：$2×1=q$，解得$q=2$
【答案】
$p=-3$，$q=2$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题，解题核心是准确记忆两根和、两根积与方程系数的对应规则，只要代入计算时留意一次项系数对应的负号，即可顺利得出结果。
【难度系数】
0.9
拿到本题，已知一元二次方程的两根求方程的未知系数，优先选择一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先明确所给方程$x^2 + px + q = 0$的二次项系数$a=1$，一次项系数为$p$，常数项为$q$；根据韦达定理，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数，将已知的两根代入对应公式，即可算出$p$、$q$的值，计算时注意符号不要出错。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + px + q = 0$（$a=1≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{p}{1}=-p$，$x_1x_2 = \frac{q}{1}=q$
将$x_1=2$，$x_2=1$代入上述两个式子：
1. 计算$p$：$2+1=-p$，即$3=-p$，解得$p=-3$
2. 计算$q$：$2×1=q$，解得$q=2$
【答案】
$p=-3$，$q=2$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题，解题核心是准确记忆两根和、两根积与方程系数的对应规则，只要代入计算时留意一次项系数对应的负号，即可顺利得出结果。
【难度系数】
0.9
3.已知关于x的一元二次方程$2x^2 -bx +c=0$的两根分别是$x_1=-1,x_2=-2$,则$b=$
$-6$
,$c=$4
。答案
3. $b=-6$，$c=4$
解析
【分析】
已知一元二次方程的两根求未知系数，可直接运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，无需代入根解方程组，更加简便。解题时首先要准确对应方程的各项系数，本题中方程为$2x^2 -bx +c=0$，二次项系数为2，一次项系数为$-b$，常数项为$c$，再分别根据两根之和、两根之积的公式列等式，代入已知的两根数值计算即可，要注意符号不要出错。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+mx+n=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则根与系数的关系为：
$x_1+x_2=-\frac{m}{a}$，$x_1x_2=\frac{n}{a}$
本题中方程为$2x^2 -bx +c=0$，对应得$a=2$，$m=-b$，$n=c$，已知两根$x_1=-1$，$x_2=-2$：
1. 计算两根之和：$x_1+x_2=-1+(-2)=-3$
根据根与系数关系可得：$x_1+x_2=-\frac{m}{a}=-\frac{(-b)}{2}=\frac{b}{2}$
列等式：$\frac{b}{2}=-3$，解得$b=-6$
2. 计算两根之积：$x_1x_2=(-1)×(-2)=2$
根据根与系数关系可得：$x_1x_2=\frac{n}{a}=\frac{c}{2}$
列等式：$\frac{c}{2}=2$，解得$c=4$
【答案】
$b=-6$，$c=4$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根与系数关系的直接应用，解题的关键是准确识别方程各项的系数，避免因符号混淆出错，熟练掌握韦达定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
已知一元二次方程的两根求未知系数，可直接运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，无需代入根解方程组，更加简便。解题时首先要准确对应方程的各项系数，本题中方程为$2x^2 -bx +c=0$，二次项系数为2，一次项系数为$-b$，常数项为$c$，再分别根据两根之和、两根之积的公式列等式，代入已知的两根数值计算即可，要注意符号不要出错。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+mx+n=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则根与系数的关系为：
$x_1+x_2=-\frac{m}{a}$，$x_1x_2=\frac{n}{a}$
本题中方程为$2x^2 -bx +c=0$，对应得$a=2$，$m=-b$，$n=c$，已知两根$x_1=-1$，$x_2=-2$：
1. 计算两根之和：$x_1+x_2=-1+(-2)=-3$
根据根与系数关系可得：$x_1+x_2=-\frac{m}{a}=-\frac{(-b)}{2}=\frac{b}{2}$
列等式：$\frac{b}{2}=-3$，解得$b=-6$
2. 计算两根之积：$x_1x_2=(-1)×(-2)=2$
根据根与系数关系可得：$x_1x_2=\frac{n}{a}=\frac{c}{2}$
列等式：$\frac{c}{2}=2$，解得$c=4$
【答案】
$b=-6$，$c=4$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根与系数关系的直接应用，解题的关键是准确识别方程各项的系数，避免因符号混淆出错，熟练掌握韦达定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
思考2.把下列代数式变形为含有“$x_1 + x_2$”“$x_1 · x_2$”的式子：$x_1^2 + x_2^2 =$
$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
；$(x_1 - x_2)^2 =$ $(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$
；$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} =$ $\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
；$|x_1 - x_2| =$ $\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$
。答案
$x_1^2 + x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$；$(x_1 - x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$；$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$；$|x_1 - x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$
解析
【分析】
本题要求将常见代数式转化为仅含$x_1+x_2$与$x_1· x_2$的形式，是代数式变形的基础题型，推导思路如下：1. 对于平方和类式子，借助完全平方和公式展开后移项调整即可；2. 对于差的平方，可先展开再替换为两根和与两根积的形式，也可利用完全平方和与完全平方差的关系推导；3. 对于分式相加的形式，先通分再整理分子分母即可；4. 对于绝对值形式，利用“非负数的绝对值等于它本身平方的算术平方根”的性质，结合差的平方的变形结果推导即可。
【解析】
1. 推导$x_1^2+x_2^2$：
由完全平方公式得$(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$，移项可得：
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
2. 推导$(x_1-x_2)^2$：
先展开得$(x_1-x_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2$，将$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$代入得：
$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$
3. 推导$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$：
对两个分式通分，最简公分母为$x_1x_2$，则：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$（$x_1、x_2$均不为0）
4. 推导$|x_1-x_2|$：
由二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$可得$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}$，将$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$代入得：
$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$
【答案】
$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$；$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$；$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$；$\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$
【知识点】
完全平方公式；分式加减运算；代数式恒等变形
【点评】
本题涉及的四个变形是代数式求值、一元二次方程根与系数关系应用中的常用结论，熟练掌握其推导过程和最终形式，可大幅提升相关题型的解题效率，注意分式变形的前提是两根均不为0。
【难度系数】
0.8
本题要求将常见代数式转化为仅含$x_1+x_2$与$x_1· x_2$的形式，是代数式变形的基础题型，推导思路如下：1. 对于平方和类式子，借助完全平方和公式展开后移项调整即可；2. 对于差的平方，可先展开再替换为两根和与两根积的形式，也可利用完全平方和与完全平方差的关系推导；3. 对于分式相加的形式，先通分再整理分子分母即可；4. 对于绝对值形式，利用“非负数的绝对值等于它本身平方的算术平方根”的性质，结合差的平方的变形结果推导即可。
【解析】
1. 推导$x_1^2+x_2^2$：
由完全平方公式得$(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$，移项可得：
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
2. 推导$(x_1-x_2)^2$：
先展开得$(x_1-x_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2$，将$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$代入得：
$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$
3. 推导$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$：
对两个分式通分，最简公分母为$x_1x_2$，则：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$（$x_1、x_2$均不为0）
4. 推导$|x_1-x_2|$：
由二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$可得$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}$，将$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$代入得：
$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$
【答案】
$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$；$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$；$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$；$\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$
【知识点】
完全平方公式；分式加减运算；代数式恒等变形
【点评】
本题涉及的四个变形是代数式求值、一元二次方程根与系数关系应用中的常用结论，熟练掌握其推导过程和最终形式，可大幅提升相关题型的解题效率，注意分式变形的前提是两根均不为0。
【难度系数】
0.8
4.设一元二次方程$x^2 -6x +6=0$的两根分别是$x_1,x_2$，则$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=$
1
，$x_1^2 +x_2^2=$24
。答案
4. $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=1$，$x_1^2 +x_2^2=24$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先明确不需要求解方程的两个根，只需要将所求的代数式变形为用两根之和、两根之积表示的形式；再根据给出的一元二次方程求出两根之和与两根之积；最后代入变形后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
已知方程$x^2 -6x +6=0$，其中$a=1$，$b=-6$，$c=6$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{-6}{1}=6$，$x_1x_2=\frac{6}{1}=6$
1. 计算$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$：
先对分式通分变形：$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}$
代入$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=6$，得：$\frac{6}{6}=1$
2. 计算$x_1^2 +x_2^2$：
根据完全平方公式变形：$x_1^2 +x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
代入数值计算得：$6^2 -2×6=36-12=24$
【答案】
$1$；$24$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式恒等变形
3. 完全平方公式
【点评】
本题是根与系数关系的典型基础应用，解题的核心是掌握代数式的变形技巧，将待求式转化为两根之和、两根之积的组合形式，可避免直接求根带来的复杂计算，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先明确不需要求解方程的两个根，只需要将所求的代数式变形为用两根之和、两根之积表示的形式；再根据给出的一元二次方程求出两根之和与两根之积；最后代入变形后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
已知方程$x^2 -6x +6=0$，其中$a=1$，$b=-6$，$c=6$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{-6}{1}=6$，$x_1x_2=\frac{6}{1}=6$
1. 计算$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$：
先对分式通分变形：$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}$
代入$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=6$，得：$\frac{6}{6}=1$
2. 计算$x_1^2 +x_2^2$：
根据完全平方公式变形：$x_1^2 +x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
代入数值计算得：$6^2 -2×6=36-12=24$
【答案】
$1$；$24$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式恒等变形
3. 完全平方公式
【点评】
本题是根与系数关系的典型基础应用，解题的核心是掌握代数式的变形技巧，将待求式转化为两根之和、两根之积的组合形式，可避免直接求根带来的复杂计算，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
5.设$a,b$是方程$x^2 - 3x -1=0$的两根，且$2a(b^2 -4b -1)+m=5$，则$m=$
3
。答案
5. $m=3$
解析
【分析】
解题思路：首先利用一元二次方程根的定义，将b的二次项降为一次项，简化括号内的代数式，再结合根与系数的关系求出ab的值，代入已知等式即可求解m。具体步骤：1、由b是方程的根，推导得到$b^2=3b+1$，代入括号内的式子化简；2、根据韦达定理求出ab的数值；3、将化简结果代入原等式，解出m的值。
【解析】
解：
∵a，b是方程$x^2 - 3x -1=0$的两根，
∴根据一元二次方程根的定义可得：$b^2 - 3b -1=0$，即$b^2=3b+1$，
根据根与系数的关系可得：$ab=\frac{-1}{1}=-1$。
将$b^2=3b+1$代入$2a(b^2 -4b -1)$得：
$2a[(3b+1)-4b-1]=2a(-b)=-2ab$
把$ab=-1$代入上式得：$-2ab=-2×(-1)=2$
已知$2a(b^2 -4b -1)+m=5$，代入化简结果得：
$2 + m = 5$
解得：$m=3$
【答案】
$3$
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程相关性质的综合运用，通过根的定义实现降次是解题的核心技巧，可大幅简化运算，避免直接求解方程根的繁琐计算。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先利用一元二次方程根的定义，将b的二次项降为一次项，简化括号内的代数式，再结合根与系数的关系求出ab的值，代入已知等式即可求解m。具体步骤：1、由b是方程的根，推导得到$b^2=3b+1$，代入括号内的式子化简；2、根据韦达定理求出ab的数值；3、将化简结果代入原等式，解出m的值。
【解析】
解：
∵a，b是方程$x^2 - 3x -1=0$的两根，
∴根据一元二次方程根的定义可得：$b^2 - 3b -1=0$，即$b^2=3b+1$，
根据根与系数的关系可得：$ab=\frac{-1}{1}=-1$。
将$b^2=3b+1$代入$2a(b^2 -4b -1)$得：
$2a[(3b+1)-4b-1]=2a(-b)=-2ab$
把$ab=-1$代入上式得：$-2ab=-2×(-1)=2$
已知$2a(b^2 -4b -1)+m=5$，代入化简结果得：
$2 + m = 5$
解得：$m=3$
【答案】
$3$
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程相关性质的综合运用，通过根的定义实现降次是解题的核心技巧，可大幅简化运算，避免直接求解方程根的繁琐计算。
【难度系数】
0.7
