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1.已知 $ x_1, x_2 $ 满足 $ x_1 + x_2 = 8 $，$ x_1 x_2 = -12 $，则以 $ x_1, x_2 $ 为根的一元二次方程是（
A.$ x^2 - 8x + 12 = 0 $
B.$ x^2 - 8x - 12 = 0 $
C.$ x^2 + 8x - 12 = 0 $
D.$ x^2 + 8x + 12 = 0 $
B
）。A.$ x^2 - 8x + 12 = 0 $
B.$ x^2 - 8x - 12 = 0 $
C.$ x^2 + 8x - 12 = 0 $
D.$ x^2 + 8x + 12 = 0 $
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先回忆根与系数的关系（韦达定理），对于二次项系数为1的一元二次方程，若两根为$x_1$、$x_2$，则方程可表示为$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$，我们只需要将已知的两根和、两根积代入该公式，就能得到对应的一元二次方程，再匹配选项即可，要特别注意一次项系数的符号，避免符号出错。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系：若二次项系数为1的一元二次方程的两根为$x_1$、$x_2$，则方程为$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$。
已知$x_1+x_2=8$，$x_1x_2=-12$，将其代入上述公式：
一次项系数为$-(x_1+x_2)=-8$，常数项为$x_1x_2=-12$，
因此所求一元二次方程为$x^2 - 8x - 12 = 0$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题的关键是熟记二次项系数为1时方程构造的公式，注意不要混淆一次项系数的符号。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先回忆根与系数的关系（韦达定理），对于二次项系数为1的一元二次方程，若两根为$x_1$、$x_2$，则方程可表示为$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$，我们只需要将已知的两根和、两根积代入该公式，就能得到对应的一元二次方程，再匹配选项即可，要特别注意一次项系数的符号，避免符号出错。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系：若二次项系数为1的一元二次方程的两根为$x_1$、$x_2$，则方程为$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$。
已知$x_1+x_2=8$，$x_1x_2=-12$，将其代入上述公式：
一次项系数为$-(x_1+x_2)=-8$，常数项为$x_1x_2=-12$，
因此所求一元二次方程为$x^2 - 8x - 12 = 0$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题的关键是熟记二次项系数为1时方程构造的公式，注意不要混淆一次项系数的符号。
【难度系数】
0.8
2. 已知$x_1,x_2$是方程$x^2 + 2ax + b = 0$的两根，且$x_1 + x_2 = -3$，$x_1x_2 = 2$，则$a,b$的值分别是(
A.$a=3,b=2$
B.$a=-3,b=-2$
C.$a=\frac{3}{2},b=2$
D.$a=-\frac{3}{2},b=-2$
C
)。A.$a=3,b=2$
B.$a=-3,b=-2$
C.$a=\frac{3}{2},b=2$
D.$a=-\frac{3}{2},b=-2$
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题时首先要明确韦达定理的内容：对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+px+q=0$，两根之和等于$-p$，两根之积等于$q$。我们可以先将题目给出的方程与标准形式对应，得到一次项系数和常数项的表达式，再结合已知的两根和、两根积的数值，分别列等式求解$a$、$b$的值即可。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2+mx+n=0$的两根，则$x_1+x_2=-m$，$x_1x_2=n$。
已知方程为$x^2 + 2ax + b = 0$，对应可得一次项系数为$2a$，常数项为$b$，因此：
1. 由两根之和的关系得：$x_1+x_2=-2a$，已知$x_1+x_2=-3$，代入得：
$-2a=-3$，解得$a=\frac{3}{2}$。
2. 由两根之积的关系得：$x_1x_2=b$，已知$x_1x_2=2$，因此$b=2$。
综上，$a=\frac{3}{2},b=2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题的关键是准确对应方程的各项系数，计算时注意一次项系数前的符号，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题时首先要明确韦达定理的内容：对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+px+q=0$，两根之和等于$-p$，两根之积等于$q$。我们可以先将题目给出的方程与标准形式对应，得到一次项系数和常数项的表达式，再结合已知的两根和、两根积的数值，分别列等式求解$a$、$b$的值即可。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2+mx+n=0$的两根，则$x_1+x_2=-m$，$x_1x_2=n$。
已知方程为$x^2 + 2ax + b = 0$，对应可得一次项系数为$2a$，常数项为$b$，因此：
1. 由两根之和的关系得：$x_1+x_2=-2a$，已知$x_1+x_2=-3$，代入得：
$-2a=-3$，解得$a=\frac{3}{2}$。
2. 由两根之积的关系得：$x_1x_2=b$，已知$x_1x_2=2$，因此$b=2$。
综上，$a=\frac{3}{2},b=2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题的关键是准确对应方程的各项系数，计算时注意一次项系数前的符号，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.8
3.若关于x的一元二次方程$2x^2 - (a - 1)x - a = 0$的两个实数根互为相反数，则a的值是
1
。答案
3.1
解析
【分析】
解题思路：首先梳理题目给出的两个核心条件：①方程是有两个实数根的一元二次方程；②两个实数根互为相反数。我们先利用“互为相反数的两数之和为0”的性质，结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）列出关于a的方程，求出a的初步取值，再代入根的判别式验证方程是否存在两个实数根，排除不符合要求的解即可得到正确结果。
【解析】
解：设该一元二次方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
∵ 两个实数根互为相反数，
∴ $x_1 + x_2 = 0$。
对于一元二次方程$Ax^2 + Bx + C = 0(A≠0)$，根据根与系数的关系，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}$。
本题中方程为$2x^2 - (a - 1)x - a = 0$，其中$A=2$，$B=-(a-1)$，因此可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{-(a-1)}{2} = \frac{a-1}{2}$
令$\frac{a-1}{2} = 0$，解得$a=1$。
检验：当$a=1$时，原方程为$2x^2 - 1 = 0$，判别式$\Delta = [-(a-1)]^2 - 4×2×(-a) = 0 + 8×1 = 8 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，符合题意。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，相反数的性质，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题时需注意题干中“两个实数根”的前提限制，求出参数后要验证判别式是否非负，避免忽略实根要求得到错误答案。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先梳理题目给出的两个核心条件：①方程是有两个实数根的一元二次方程；②两个实数根互为相反数。我们先利用“互为相反数的两数之和为0”的性质，结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）列出关于a的方程，求出a的初步取值，再代入根的判别式验证方程是否存在两个实数根，排除不符合要求的解即可得到正确结果。
【解析】
解：设该一元二次方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
∵ 两个实数根互为相反数，
∴ $x_1 + x_2 = 0$。
对于一元二次方程$Ax^2 + Bx + C = 0(A≠0)$，根据根与系数的关系，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}$。
本题中方程为$2x^2 - (a - 1)x - a = 0$，其中$A=2$，$B=-(a-1)$，因此可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{-(a-1)}{2} = \frac{a-1}{2}$
令$\frac{a-1}{2} = 0$，解得$a=1$。
检验：当$a=1$时，原方程为$2x^2 - 1 = 0$，判别式$\Delta = [-(a-1)]^2 - 4×2×(-a) = 0 + 8×1 = 8 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，符合题意。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，相反数的性质，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题时需注意题干中“两个实数根”的前提限制，求出参数后要验证判别式是否非负，避免忽略实根要求得到错误答案。
【难度系数】
0.7
4.设$a,b$是方程$x^2 + x - 2025 = 0$的两个实数根,则$a^2 + 2a + b=$
2024
。答案
4.2024
解析
【分析】
解题时首先结合一元二次方程根的定义，将根a代入原方程可得到$a^2+a$的取值；再观察所求代数式$a^2+2a+b$的结构，可拆分为$(a^2+a)+(a+b)$两部分，其中$a+b$可通过一元二次方程根与系数的关系直接求出，最后整体代入计算即可，无需单独求解a、b的具体值。
【解析】
∵a是方程$x^2 + x - 2025 = 0$的实数根
∴将$x=a$代入方程得：$a^2 + a - 2025 = 0$，即$a^2 + a = 2025$
∵a、b是方程$x^2 + x - 2025 = 0$的两个实数根
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$a+b = -\frac{1}{1} = -1$
∴$a^2 + 2a + b = (a^2 + a) + (a + b) = 2025 + (-1) = 2024$
【答案】
2024
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是根与系数关系的常规应用题型，核心解题思路是将所求代数式合理拆分变形，结合根的定义和韦达定理采用整体代入的方法求值，简化了计算过程，重点考察整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合一元二次方程根的定义，将根a代入原方程可得到$a^2+a$的取值；再观察所求代数式$a^2+2a+b$的结构，可拆分为$(a^2+a)+(a+b)$两部分，其中$a+b$可通过一元二次方程根与系数的关系直接求出，最后整体代入计算即可，无需单独求解a、b的具体值。
【解析】
∵a是方程$x^2 + x - 2025 = 0$的实数根
∴将$x=a$代入方程得：$a^2 + a - 2025 = 0$，即$a^2 + a = 2025$
∵a、b是方程$x^2 + x - 2025 = 0$的两个实数根
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$a+b = -\frac{1}{1} = -1$
∴$a^2 + 2a + b = (a^2 + a) + (a + b) = 2025 + (-1) = 2024$
【答案】
2024
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是根与系数关系的常规应用题型，核心解题思路是将所求代数式合理拆分变形，结合根的定义和韦达定理采用整体代入的方法求值，简化了计算过程，重点考察整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.7
5.已知p是实数，若a，b是关于x的一元二次方程$x^2 - 2x + p - 2 = 0$的两个非负实数根，则$(a - 2)(b - 2)$的最大值是
1
。答案
5.1
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：
1. 先根据一元二次方程有两个非负实数根的条件，求出参数p的取值范围：需要同时满足判别式Δ≥0（保证有实根）、两根之积≥0（结合两根之和为正，可保证两根非负）。
2. 利用根与系数的关系（韦达定理），将待求式$(a-2)(b-2)$展开，替换为关于p的代数式。
3. 根据p的取值范围，求出该代数式的最大值。
【解析】
步骤1：求参数p的取值范围
已知方程$x^2 - 2x + p - 2 = 0$有两个非负实根a、b：
① 判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(p-2) ≥ 0$
计算得：$4 - 4p + 8 ≥ 0$ → $12 - 4p ≥ 0$ → $p ≤ 3$
② 根据韦达定理，两根之和$a+b=2$，两根之积$ab = p-2$
因为两根均为非负实数，且$a+b=2＞0$，所以两根之积$ab ≥ 0$
即$p-2 ≥ 0$ → $p ≥ 2$
综上，p的取值范围是$2 ≤ p ≤ 3$
步骤2：化简待求式
将$(a-2)(b-2)$展开得：
$(a-2)(b-2) = ab - 2a - 2b + 4 = ab - 2(a+b) + 4$
代入$a+b=2$、$ab=p-2$：
原式$=(p-2) - 2×2 + 4 = p - 2 - 4 + 4 = p - 2$
步骤3：求最大值
因为原式$=p-2$，且p的最大值为3，
所以当p=3时，原式取得最大值：$3 - 2 = 1$
【答案】
1
【知识点】
根的判别式；韦达定理；代数式最值
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的相关性质，解题的关键是先根据根的限制条件准确求出参数的取值范围，再结合韦达定理化简待求式，最后在参数范围内求最值，要注意避免忽略参数范围直接求最值的常见错误。
【难度系数】
0.65
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：
1. 先根据一元二次方程有两个非负实数根的条件，求出参数p的取值范围：需要同时满足判别式Δ≥0（保证有实根）、两根之积≥0（结合两根之和为正，可保证两根非负）。
2. 利用根与系数的关系（韦达定理），将待求式$(a-2)(b-2)$展开，替换为关于p的代数式。
3. 根据p的取值范围，求出该代数式的最大值。
【解析】
步骤1：求参数p的取值范围
已知方程$x^2 - 2x + p - 2 = 0$有两个非负实根a、b：
① 判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(p-2) ≥ 0$
计算得：$4 - 4p + 8 ≥ 0$ → $12 - 4p ≥ 0$ → $p ≤ 3$
② 根据韦达定理，两根之和$a+b=2$，两根之积$ab = p-2$
因为两根均为非负实数，且$a+b=2＞0$，所以两根之积$ab ≥ 0$
即$p-2 ≥ 0$ → $p ≥ 2$
综上，p的取值范围是$2 ≤ p ≤ 3$
步骤2：化简待求式
将$(a-2)(b-2)$展开得：
$(a-2)(b-2) = ab - 2a - 2b + 4 = ab - 2(a+b) + 4$
代入$a+b=2$、$ab=p-2$：
原式$=(p-2) - 2×2 + 4 = p - 2 - 4 + 4 = p - 2$
步骤3：求最大值
因为原式$=p-2$，且p的最大值为3，
所以当p=3时，原式取得最大值：$3 - 2 = 1$
【答案】
1
【知识点】
根的判别式；韦达定理；代数式最值
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的相关性质，解题的关键是先根据根的限制条件准确求出参数的取值范围，再结合韦达定理化简待求式，最后在参数范围内求最值，要注意避免忽略参数范围直接求最值的常见错误。
【难度系数】
0.65
6.已知一元二次方程$x^2 - 3x - 1 = 0$的两个根分别是$x_1, x_2$，求$x_1^2 · x_2 + x_1 · x_2^2$的值。
答案
6.$-3$
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两根组成的代数式的值，不需要直接求解方程得到两个根的具体数值，可按以下思路解题：①先观察所求代数式的结构，通过因式分解将其转化为仅含有两根之和、两根之积的形式；②根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接求出两根之和与两根之积的值；③将求得的数值代入变形后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - 3x - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-3$，$c=-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
两根之和 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 3$，
两根之积 $x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -1$。
对所求代数式因式分解可得：
$x_1^2 · x_2 + x_1 · x_2^2 = x_1 x_2 (x_1 + x_2)$
将$x_1 + x_2=3$，$x_1 x_2=-1$代入上式得：
原式$= -1 × 3 = -3$
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 因式分解的应用
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，解题核心是将待求的对称代数式变形为两根和、两根积的组合形式，能有效简化计算，是该章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
本题要求一元二次方程两根组成的代数式的值，不需要直接求解方程得到两个根的具体数值，可按以下思路解题：①先观察所求代数式的结构，通过因式分解将其转化为仅含有两根之和、两根之积的形式；②根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接求出两根之和与两根之积的值；③将求得的数值代入变形后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - 3x - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-3$，$c=-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
两根之和 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 3$，
两根之积 $x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -1$。
对所求代数式因式分解可得：
$x_1^2 · x_2 + x_1 · x_2^2 = x_1 x_2 (x_1 + x_2)$
将$x_1 + x_2=3$，$x_1 x_2=-1$代入上式得：
原式$= -1 × 3 = -3$
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 因式分解的应用
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，解题核心是将待求的对称代数式变形为两根和、两根积的组合形式，能有效简化计算，是该章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
7.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + (2k + 3)x + k^2 = 0$的两个实数根是$x_1, x_2$。若$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = -1$，求$k$的值。
答案
7.$k$ 的值为 3。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按照以下思路思考：首先，题目明确方程是有两个实数根的一元二次方程，因此首先要通过根的判别式确定k的取值范围，保证根存在；其次，已知条件是两根倒数的和为-1，我们可以先将其通分变形为用两根和、两根积表示的形式，再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）写出两根和与两根积的表达式，代入变形后的等式列方程求解k；最后，要把求出的k值代入之前得到的取值范围检验，舍去不符合条件的解，得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 + (2k + 3)x + k^2 = 0$有两个实数根$x_1,x_2$
∴ 判别式$\Delta ≥ 0$，即：
$\Delta=(2k+3)^2 - 4×1× k^2 = 4k^2 + 12k + 9 - 4k^2 = 12k + 9 ≥ 0$
解得：$k ≥ -\frac{3}{4}$
根据根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = -(2k + 3)$，$x_1x_2 = k^2$（由题意可知$x_1,x_2$均不为0，故$k ≠ 0$）
对$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$通分得：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$
代入已知条件$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = -1$，得：
$\frac{-(2k + 3)}{k^2} = -1$
两边同乘$k^2$（$k^2 ≠ 0$）化简得：
$k^2 - 2k - 3 = 0$
因式分解得：$(k - 3)(k + 1) = 0$
解得：$k_1 = 3$，$k_2 = -1$
∵ $k ≥ -\frac{3}{4}$，$-1 ＜ -\frac{3}{4}$，不符合取值范围，故舍去$k=-1$
∴ $k = 3$
【答案】
$k$的值为3。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 分式方程求解
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规应用题型，解题的易错点是容易忽略方程有两个实根的前提条件，未通过判别式限定参数的取值范围，导致求出错误的解，解题时要养成求解参数后验根的习惯。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以按照以下思路思考：首先，题目明确方程是有两个实数根的一元二次方程，因此首先要通过根的判别式确定k的取值范围，保证根存在；其次，已知条件是两根倒数的和为-1，我们可以先将其通分变形为用两根和、两根积表示的形式，再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）写出两根和与两根积的表达式，代入变形后的等式列方程求解k；最后，要把求出的k值代入之前得到的取值范围检验，舍去不符合条件的解，得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 + (2k + 3)x + k^2 = 0$有两个实数根$x_1,x_2$
∴ 判别式$\Delta ≥ 0$，即：
$\Delta=(2k+3)^2 - 4×1× k^2 = 4k^2 + 12k + 9 - 4k^2 = 12k + 9 ≥ 0$
解得：$k ≥ -\frac{3}{4}$
根据根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = -(2k + 3)$，$x_1x_2 = k^2$（由题意可知$x_1,x_2$均不为0，故$k ≠ 0$）
对$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$通分得：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$
代入已知条件$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = -1$，得：
$\frac{-(2k + 3)}{k^2} = -1$
两边同乘$k^2$（$k^2 ≠ 0$）化简得：
$k^2 - 2k - 3 = 0$
因式分解得：$(k - 3)(k + 1) = 0$
解得：$k_1 = 3$，$k_2 = -1$
∵ $k ≥ -\frac{3}{4}$，$-1 ＜ -\frac{3}{4}$，不符合取值范围，故舍去$k=-1$
∴ $k = 3$
【答案】
$k$的值为3。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 分式方程求解
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规应用题型，解题的易错点是容易忽略方程有两个实根的前提条件，未通过判别式限定参数的取值范围，导致求出错误的解，解题时要养成求解参数后验根的习惯。
【难度系数】
0.6
8. 已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，有下列命题：
①若$a$，$c$异号，则方程$ax^2 + bx + c = 0$必有两个不相等的实数根；
②若$a - b + c = 0$，则方程$ax^2 + bx + c = 0$有一个根为－1；
③若$b = 0$，则方程$ax^2 + bx + c = 0$的两根互为相反数；
④若$a = 2, b = 3, c = 4$，由根与系数的关系可得$x_1 + x_2 = -\frac{3}{2}, x_1 · x_2 = 2$。
其中真命题有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①若$a$，$c$异号，则方程$ax^2 + bx + c = 0$必有两个不相等的实数根；
②若$a - b + c = 0$，则方程$ax^2 + bx + c = 0$有一个根为－1；
③若$b = 0$，则方程$ax^2 + bx + c = 0$的两根互为相反数；
④若$a = 2, b = 3, c = 4$，由根与系数的关系可得$x_1 + x_2 = -\frac{3}{2}, x_1 · x_2 = 2$。
其中真命题有(
B
)。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
8.B
解析
【分析】
这是一道一元二次方程相关性质的判断类题目，解题时需要逐个验证4个命题的真假：首先回忆根的判别式的意义、方程根的定义、根与系数关系的使用前提，分别对每个命题进行推导判断，最终统计真命题的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析每个命题：
1. 分析命题①：
一元二次方程根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$，若$a$、$c$异号，则$ac＜0$，因此$-4ac＞0$，又因为$b^2≥0$，所以$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，方程必有两个不相等的实数根，故①是真命题。
2. 分析命题②：
将$x=-1$代入方程$ax^2+bx+c=0$的左边，得$a·(-1)^2 + b·(-1) + c = a - b + c$，已知$a - b + c = 0$，即$x=-1$时方程左右两边相等，因此$x=-1$是方程的一个根，故②是真命题。
3. 分析命题③：
若$b=0$，方程变为$ax^2 + c = 0$，此时判别式$\Delta = -4ac$，若$ac＞0$，则$\Delta＜0$，方程没有实数根，不存在“两根”，自然谈不上两根互为相反数，故③是假命题。
4. 分析命题④：
当$a=2,b=3,c=4$时，判别式$\Delta = 3^2 - 4×2×4 = 9 - 32 = -23 ＜ 0$，方程没有实数根，初中阶段讨论的根均为实数根，因此此时不能用根与系数的关系计算两根和与积，故④是假命题。
综上，真命题为①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式；方程的根的定义；根与系数的关系
【点评】
本题综合考查一元二次方程的核心性质，解题的易错点在于忽略判别式的前提条件：判断根的关系、使用根与系数的关系时，都要先确认方程有实数根，避免忽略前提导致判断错误。
【难度系数】
0.6
这是一道一元二次方程相关性质的判断类题目，解题时需要逐个验证4个命题的真假：首先回忆根的判别式的意义、方程根的定义、根与系数关系的使用前提，分别对每个命题进行推导判断，最终统计真命题的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析每个命题：
1. 分析命题①：
一元二次方程根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$，若$a$、$c$异号，则$ac＜0$，因此$-4ac＞0$，又因为$b^2≥0$，所以$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，方程必有两个不相等的实数根，故①是真命题。
2. 分析命题②：
将$x=-1$代入方程$ax^2+bx+c=0$的左边，得$a·(-1)^2 + b·(-1) + c = a - b + c$，已知$a - b + c = 0$，即$x=-1$时方程左右两边相等，因此$x=-1$是方程的一个根，故②是真命题。
3. 分析命题③：
若$b=0$，方程变为$ax^2 + c = 0$，此时判别式$\Delta = -4ac$，若$ac＞0$，则$\Delta＜0$，方程没有实数根，不存在“两根”，自然谈不上两根互为相反数，故③是假命题。
4. 分析命题④：
当$a=2,b=3,c=4$时，判别式$\Delta = 3^2 - 4×2×4 = 9 - 32 = -23 ＜ 0$，方程没有实数根，初中阶段讨论的根均为实数根，因此此时不能用根与系数的关系计算两根和与积，故④是假命题。
综上，真命题为①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式；方程的根的定义；根与系数的关系
【点评】
本题综合考查一元二次方程的核心性质，解题的易错点在于忽略判别式的前提条件：判断根的关系、使用根与系数的关系时，都要先确认方程有实数根，避免忽略前提导致判断错误。
【难度系数】
0.6
9.已知关于$x$的一元二次方程$(m-2)x^2 + (2m+1)x + m = 0$有两个实数根$x_1,x_2$。
(1)求$m$的取值范围；
(2)若$|x_1|=|x_2|$，求$m$的值及方程的根。
(1)求$m$的取值范围；
(2)若$|x_1|=|x_2|$，求$m$的值及方程的根。
答案
9.(1)$m≥-\frac{1}{12}$且$m≠2$。
(2)$m$ 的值为$-\frac{1}{12}$,方程的根为$x_1=x_2=\frac{1}{5}$。
(2)$m$ 的值为$-\frac{1}{12}$,方程的根为$x_1=x_2=\frac{1}{5}$。
解析
【分析】
(1) 题目给出的是一元二次方程且有两个实数根，首先要满足一元二次方程的定义：二次项系数不为0；其次有两个实数根说明根的判别式Δ≥0，联立两个条件即可求出m的取值范围。
(2) |x₁|=|x₂|分两种情况讨论：①两根相等即x₁=x₂，此时Δ=0，求解m后代入方程求根即可；②两根互为相反数即x₁=-x₂，此时根据根与系数的关系，两根之和为0，求解m后验证是否符合(1)中m的取值范围，舍去不符合的情况即可。
【解析】
(1)
∵方程$(m-2)x^2 + (2m+1)x + m = 0$是一元二次方程，且有两个实数根
∴$\begin{cases}m-2≠0 \\ \Delta = b^2-4ac≥0 \end{cases}$
其中$a=m-2$，$b=2m+1$，$c=m$，代入判别式得：
$\Delta=(2m+1)^2 - 4×(m-2)× m$
$=4m^2+4m+1 - 4m^2+8m$
$=12m+1$
解不等式组：
由$m-2≠0$得$m≠2$
由$12m+1≥0$得$m≥-\frac{1}{12}$
综上，$m$的取值范围是$m≥-\frac{1}{12}$且$m≠2$。
(2) 由$|x_1|=|x_2|$，分两种情况讨论：
情况1：$x_1=x_2$，此时方程有两个相等的实数根，即$\Delta=0$
∴$12m+1=0$，解得$m=-\frac{1}{12}$，符合(1)中$m$的取值范围
将$m=-\frac{1}{12}$代入原方程得：
$(-\frac{1}{12}-2)x^2 + (2×(-\frac{1}{12})+1)x - \frac{1}{12}=0$
化简得$25x^2 -10x +1=0$，即$(5x-1)^2=0$
解得$x_1=x_2=\frac{1}{5}$
情况2：$x_1=-x_2$，即两根互为相反数，根据根与系数的关系：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{2m+1}{m-2}=0$
∴分子$2m+1=0$，解得$m=-\frac{1}{2}$
∵$-\frac{1}{2}＜-\frac{1}{12}$，不符合(1)中$m$的取值范围，故舍去该情况。
【答案】
(1)$m≥-\frac{1}{12}$且$m≠2$；
(2)$m$的值为$-\frac{1}{12}$，方程的根为$x_1=x_2=\frac{1}{5}$。
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题重点考查一元二次方程的相关性质，解题时需注意二次项系数不为0是容易遗漏的隐含条件，处理绝对值相等的两根关系时要分类讨论，得出结果后要验证是否符合前提的取值范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
(1) 题目给出的是一元二次方程且有两个实数根，首先要满足一元二次方程的定义：二次项系数不为0；其次有两个实数根说明根的判别式Δ≥0，联立两个条件即可求出m的取值范围。
(2) |x₁|=|x₂|分两种情况讨论：①两根相等即x₁=x₂，此时Δ=0，求解m后代入方程求根即可；②两根互为相反数即x₁=-x₂，此时根据根与系数的关系，两根之和为0，求解m后验证是否符合(1)中m的取值范围，舍去不符合的情况即可。
【解析】
(1)
∵方程$(m-2)x^2 + (2m+1)x + m = 0$是一元二次方程，且有两个实数根
∴$\begin{cases}m-2≠0 \\ \Delta = b^2-4ac≥0 \end{cases}$
其中$a=m-2$，$b=2m+1$，$c=m$，代入判别式得：
$\Delta=(2m+1)^2 - 4×(m-2)× m$
$=4m^2+4m+1 - 4m^2+8m$
$=12m+1$
解不等式组：
由$m-2≠0$得$m≠2$
由$12m+1≥0$得$m≥-\frac{1}{12}$
综上，$m$的取值范围是$m≥-\frac{1}{12}$且$m≠2$。
(2) 由$|x_1|=|x_2|$，分两种情况讨论：
情况1：$x_1=x_2$，此时方程有两个相等的实数根，即$\Delta=0$
∴$12m+1=0$，解得$m=-\frac{1}{12}$，符合(1)中$m$的取值范围
将$m=-\frac{1}{12}$代入原方程得：
$(-\frac{1}{12}-2)x^2 + (2×(-\frac{1}{12})+1)x - \frac{1}{12}=0$
化简得$25x^2 -10x +1=0$，即$(5x-1)^2=0$
解得$x_1=x_2=\frac{1}{5}$
情况2：$x_1=-x_2$，即两根互为相反数，根据根与系数的关系：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{2m+1}{m-2}=0$
∴分子$2m+1=0$，解得$m=-\frac{1}{2}$
∵$-\frac{1}{2}＜-\frac{1}{12}$，不符合(1)中$m$的取值范围，故舍去该情况。
【答案】
(1)$m≥-\frac{1}{12}$且$m≠2$；
(2)$m$的值为$-\frac{1}{12}$，方程的根为$x_1=x_2=\frac{1}{5}$。
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题重点考查一元二次方程的相关性质，解题时需注意二次项系数不为0是容易遗漏的隐含条件，处理绝对值相等的两根关系时要分类讨论，得出结果后要验证是否符合前提的取值范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
