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10.小亮运用所学的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根与系数的关系，对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征进行了探究。
定义：
倍根方程：如果关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个实数根（都不为0），且其中一个根相当于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”。
方根方程：如果关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”。
(1)若一元二次方程$x^2 -6x +c=0$是“倍根方程”，求c的值。
(2)根据探究，小亮想设计一个一元二次方程$x^2 +bx +c=0$，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
定义：
倍根方程：如果关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个实数根（都不为0），且其中一个根相当于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”。
方根方程：如果关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”。
(1)若一元二次方程$x^2 -6x +c=0$是“倍根方程”，求c的值。
(2)根据探究，小亮想设计一个一元二次方程$x^2 +bx +c=0$，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
答案
10.(1)$c=8$。
(2)这个方程的根是$x_1=2,x_2=4$,或$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=\frac{1}{4}$。
(2)这个方程的根是$x_1=2,x_2=4$,或$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=\frac{1}{4}$。
解析
【分析】
（1）第一问已知方程是“倍根方程”，根据定义可设两根为$t$和$2t$（$t≠0$），再结合一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于一次项系数的相反数，即可求出$t$的值，最后根据两根之积等于常数项求出$c$即可。
（2）第二问要求方程同时满足“倍根方程”和“方根方程”的定义，设两根为$m$和$n$（$m,n$均不为0），先根据倍根方程定义设其中一根为另一根的2倍，再结合方根方程“一个根的平方等于另一个根”的条件分类讨论列方程求解，排除根为0的情况即可得到结果。
【解析】
(1) 设一元二次方程$x^2 -6x +c=0$的两根分别为$t$和$2t$（$t≠0$），根据根与系数的关系可得：
两根之和：$t + 2t = 6$
解得$3t=6$，即$t=2$
则两根为2和4，因此$c = 2×4 = 8$。
(2) 设方程$x^2 +bx +c=0$的两根为$m$和$n$（$m≠0,n≠0$），
∵ 方程是“倍根方程”，不妨设$n=2m$，
又
∵ 方程是“方根方程”，分两种情况讨论：
① 当$m^2 = n$时，将$n=2m$代入得：
$m^2 = 2m$
∵ $m≠0$，两边同时除以$m$得$m=2$，则$n=2×2=4$；
② 当$n^2 = m$时，将$n=2m$代入得：
$(2m)^2 = m$
化简得$4m^2 = m$
∵ $m≠0$，两边同时除以$m$得$4m=1$，解得$m=\frac{1}{4}$，则$n=2×\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。
综上可得方程的两组根。
【答案】
(1)$c=8$；
(2)这个方程的根是$x_1=2,x_2=4$，或$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=\frac{1}{4}$。
【知识点】
1. 根与系数的关系
2. 新定义题型解法
3. 分类讨论思想
【点评】
本题结合自定义概念考查一元二次方程的应用，解题关键是准确理解新定义的内涵，将新定义条件转化为熟悉的方程关系，考查学生的知识迁移能力和分类讨论意识，整体解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
（1）第一问已知方程是“倍根方程”，根据定义可设两根为$t$和$2t$（$t≠0$），再结合一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于一次项系数的相反数，即可求出$t$的值，最后根据两根之积等于常数项求出$c$即可。
（2）第二问要求方程同时满足“倍根方程”和“方根方程”的定义，设两根为$m$和$n$（$m,n$均不为0），先根据倍根方程定义设其中一根为另一根的2倍，再结合方根方程“一个根的平方等于另一个根”的条件分类讨论列方程求解，排除根为0的情况即可得到结果。
【解析】
(1) 设一元二次方程$x^2 -6x +c=0$的两根分别为$t$和$2t$（$t≠0$），根据根与系数的关系可得：
两根之和：$t + 2t = 6$
解得$3t=6$，即$t=2$
则两根为2和4，因此$c = 2×4 = 8$。
(2) 设方程$x^2 +bx +c=0$的两根为$m$和$n$（$m≠0,n≠0$），
∵ 方程是“倍根方程”，不妨设$n=2m$，
又
∵ 方程是“方根方程”，分两种情况讨论：
① 当$m^2 = n$时，将$n=2m$代入得：
$m^2 = 2m$
∵ $m≠0$，两边同时除以$m$得$m=2$，则$n=2×2=4$；
② 当$n^2 = m$时，将$n=2m$代入得：
$(2m)^2 = m$
化简得$4m^2 = m$
∵ $m≠0$，两边同时除以$m$得$4m=1$，解得$m=\frac{1}{4}$，则$n=2×\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。
综上可得方程的两组根。
【答案】
(1)$c=8$；
(2)这个方程的根是$x_1=2,x_2=4$，或$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=\frac{1}{4}$。
【知识点】
1. 根与系数的关系
2. 新定义题型解法
3. 分类讨论思想
【点评】
本题结合自定义概念考查一元二次方程的应用，解题关键是准确理解新定义的内涵，将新定义条件转化为熟悉的方程关系，考查学生的知识迁移能力和分类讨论意识，整体解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
课前预习
|序号|基础知识|
|----|----|
|1|列方程解应用题的一般步骤|列一元二次方程解应用题的步骤一般归结为审、设、
|2|销售问题和平均增长(降低)率问题|(图1)销售问题常用的关系式是:利润=售价－
续表
|序号|基础知识|
|----|----|
|2|销售问题和平均增长(降低)率问题|(2)如果用$a$表示起始数,$b$表示后来数,用$x$表示平均增长率(或降低率),则第一次增长后的数量为
困惑疑问:
|序号|基础知识|
|----|----|
|1|列方程解应用题的一般步骤|列一元二次方程解应用题的步骤一般归结为审、设、
列
、解、验
、答。||2|销售问题和平均增长(降低)率问题|(图1)销售问题常用的关系式是:利润=售价－
进价
;利润率=$\frac{( )}{( )}$×100%;总利润=单件利润
×销售量
。|续表
|序号|基础知识|
|----|----|
|2|销售问题和平均增长(降低)率问题|(2)如果用$a$表示起始数,$b$表示后来数,用$x$表示平均增长率(或降低率),则第一次增长后的数量为
$a(1+x)$
;第二次增长后的数量为$a(1+x)^2$
;经过两次相等增长(或下降)后建立方程模型为$a(1+x)^2=b$
。|困惑疑问:
答案
1.列、验
2.(1)进价 利润 进价 单件利润 销售量
(2)$a(1+x)$ $a(1+x)^2$ $a(1+x)^2=b$
2.(1)进价 利润 进价 单件利润 销售量
(2)$a(1+x)$ $a(1+x)^2$ $a(1+x)^2=b$
解析
【分析】
本题属于一元二次方程实际应用的基础概念识记类题目，解题时只需回忆对应基础知识点，逐一匹配填空即可。首先回忆列一元二次方程解应用题的完整步骤，再梳理销售类问题的常用数量关系，最后对应平均增长率问题的通用模型，就能准确填出所有空缺。
【解析】
1. 列一元二次方程解应用题的标准步骤为：审（审题，找等量关系）、设（设未知数）、列（根据等量关系列方程）、解（解方程）、验（检验方程的根是否符合实际意义）、答（书写答案），因此两个空缺依次为列、验。
2. (1) 销售问题中，单个商品的利润=售价-进价；利润率是利润占进价的百分比，即$\mathrm{利润率}=\frac{\mathrm{利润}}{\mathrm{进价}}×100\%$；销售总利润等于单件商品的利润乘以总的销售量，因此空缺依次为进价、利润、进价、单件利润、销售量。
(2) 若起始数为$a$，平均增长率为$x$，第一次增长后是在$a$的基础上增加$ax$，即$a+ax=a(1+x)$；第二次增长是在第一次增长后的数量基础上再增长$x$，即$a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)^2$；若两次增长后得到的数为$b$，则可列方程$a(1+x)^2=b$。
【答案】
1.列、验
2.(1)进价 利润 进价 单件利润 销售量
(2)$a(1+x)$ $a(1+x)^2$ $a(1+x)^2=b$
【知识点】
列一元二次方程解应用题步骤；销售问题公式；平均增长率模型
【点评】
本题考查一元二次方程实际应用的核心基础内容，都是后续解决复杂实际应用题的必备知识点，需要熟练记忆、灵活运用。
【难度系数】
0.9
本题属于一元二次方程实际应用的基础概念识记类题目，解题时只需回忆对应基础知识点，逐一匹配填空即可。首先回忆列一元二次方程解应用题的完整步骤，再梳理销售类问题的常用数量关系，最后对应平均增长率问题的通用模型，就能准确填出所有空缺。
【解析】
1. 列一元二次方程解应用题的标准步骤为：审（审题，找等量关系）、设（设未知数）、列（根据等量关系列方程）、解（解方程）、验（检验方程的根是否符合实际意义）、答（书写答案），因此两个空缺依次为列、验。
2. (1) 销售问题中，单个商品的利润=售价-进价；利润率是利润占进价的百分比，即$\mathrm{利润率}=\frac{\mathrm{利润}}{\mathrm{进价}}×100\%$；销售总利润等于单件商品的利润乘以总的销售量，因此空缺依次为进价、利润、进价、单件利润、销售量。
(2) 若起始数为$a$，平均增长率为$x$，第一次增长后是在$a$的基础上增加$ax$，即$a+ax=a(1+x)$；第二次增长是在第一次增长后的数量基础上再增长$x$，即$a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)^2$；若两次增长后得到的数为$b$，则可列方程$a(1+x)^2=b$。
【答案】
1.列、验
2.(1)进价 利润 进价 单件利润 销售量
(2)$a(1+x)$ $a(1+x)^2$ $a(1+x)^2=b$
【知识点】
列一元二次方程解应用题步骤；销售问题公式；平均增长率模型
【点评】
本题考查一元二次方程实际应用的核心基础内容，都是后续解决复杂实际应用题的必备知识点，需要熟练记忆、灵活运用。
【难度系数】
0.9
