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3. 关于$x$的一元二次方程$(m-1)x^2 +2x -1=0$有两个不相等的实数解，则$m$的取值范围是（
A.$m＜-1$
B.$m＞0$
C.$m＜1$且$m≠0$
D.$m＞0$且$m≠1$
D
）。A.$m＜-1$
B.$m＞0$
C.$m＜1$且$m≠0$
D.$m＞0$且$m≠1$
答案
3.D
解析
【分析】
要解决这道题，需要抓住两个关键条件：①题目明确是一元二次方程，因此必须满足二次项系数不为0的要求；②方程有两个不相等的实数解，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式Δ＞0。我们分别根据两个条件列不等式，再取两个不等式解集的公共部分，就能得到m的取值范围。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0：
$m-1≠0$，解得$m≠1$。
第二步：计算方程的根的判别式，对于一元二次方程$ax²+bx+c=0$（$a≠0$），判别式$\Delta = b²-4ac$，本题中$a=m-1$，$b=2$，$c=-1$，代入得：
$\Delta = 2² - 4×(m-1)×(-1) = 4 + 4(m-1) = 4m$
因为方程有两个不相等的实数解，所以$\Delta＞0$，即：
$4m＞0$，解得$m＞0$。
第三步：结合两个条件，m的取值范围是$m＞0$且$m≠1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式应用；解一元一次不等式
【点评】
本题是根的判别式的常规考查题型，易错点是容易忽略“一元二次方程”的前提条件，漏记二次项系数不为0的限制，导致误选B。解题时要先明确方程的类型限制，再结合判别式的取值求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需要抓住两个关键条件：①题目明确是一元二次方程，因此必须满足二次项系数不为0的要求；②方程有两个不相等的实数解，根据一元二次方程根的判别式的性质，此时判别式Δ＞0。我们分别根据两个条件列不等式，再取两个不等式解集的公共部分，就能得到m的取值范围。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0：
$m-1≠0$，解得$m≠1$。
第二步：计算方程的根的判别式，对于一元二次方程$ax²+bx+c=0$（$a≠0$），判别式$\Delta = b²-4ac$，本题中$a=m-1$，$b=2$，$c=-1$，代入得：
$\Delta = 2² - 4×(m-1)×(-1) = 4 + 4(m-1) = 4m$
因为方程有两个不相等的实数解，所以$\Delta＞0$，即：
$4m＞0$，解得$m＞0$。
第三步：结合两个条件，m的取值范围是$m＞0$且$m≠1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式应用；解一元一次不等式
【点评】
本题是根的判别式的常规考查题型，易错点是容易忽略“一元二次方程”的前提条件，漏记二次项系数不为0的限制，导致误选B。解题时要先明确方程的类型限制，再结合判别式的取值求解。
【难度系数】
0.7
4.若关于$x$的一元二次方程$x^2 - (2k - 1)x + k^2 - 2 = 0$有实数根，则$k$的取值范围是（
A.$k ≤ \frac{9}{4}$
B.$k ≥ \frac{9}{4}$
C.$k ＞ \frac{9}{4}$
D.$k ＜ \frac{9}{4}$
A
）。A.$k ≤ \frac{9}{4}$
B.$k ≥ \frac{9}{4}$
C.$k ＞ \frac{9}{4}$
D.$k ＜ \frac{9}{4}$
答案
4.A
解析
【分析】
首先题目明确是一元二次方程且有实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当$\Delta ≥ 0$时方程有实数根，因此我们先确定方程中$a$、$b$、$c$的取值，代入判别式公式得到关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta ≥ 0$时，方程有实数根。
本题中方程为$x^2 - (2k - 1)x + k^2 - 2 = 0$，其中$a=1$，$b=-(2k-1)$，$c=k^2-2$，代入判别式得：
$\Delta = [-(2k-1)]^2 - 4×1×(k^2-2)$
$= (2k-1)^2 -4(k^2-2)$
$=4k^2 -4k +1 -4k^2 +8$
$=-4k +9$
因为方程有实数根，所以$\Delta ≥ 0$，即：
$-4k +9 ≥ 0$
移项得：$-4k ≥ -9$
两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得：
$k ≤ \frac{9}{4}$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是掌握一元二次方程有实数根时判别式的取值要求，计算判别式时注意符号问题，解不等式时两边同除以负数要记得改变不等号方向。
【难度系数】
0.8
首先题目明确是一元二次方程且有实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当$\Delta ≥ 0$时方程有实数根，因此我们先确定方程中$a$、$b$、$c$的取值，代入判别式公式得到关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta ≥ 0$时，方程有实数根。
本题中方程为$x^2 - (2k - 1)x + k^2 - 2 = 0$，其中$a=1$，$b=-(2k-1)$，$c=k^2-2$，代入判别式得：
$\Delta = [-(2k-1)]^2 - 4×1×(k^2-2)$
$= (2k-1)^2 -4(k^2-2)$
$=4k^2 -4k +1 -4k^2 +8$
$=-4k +9$
因为方程有实数根，所以$\Delta ≥ 0$，即：
$-4k +9 ≥ 0$
移项得：$-4k ≥ -9$
两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得：
$k ≤ \frac{9}{4}$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是掌握一元二次方程有实数根时判别式的取值要求，计算判别式时注意符号问题，解不等式时两边同除以负数要记得改变不等号方向。
【难度系数】
0.8
5.若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）有两个相等的实数根，且满足$4a-2b+c=0$，则（
A.$b=a$
B.$c=2a$
C.$a(x+2)^2=0$
D.$-a(x-2)^2=0$
C
）。A.$b=a$
B.$c=2a$
C.$a(x+2)^2=0$
D.$-a(x-2)^2=0$
答案
5.C
解析
【分析】
解题时先从已知条件$4a-2b+c=0$入手，结合一元二次方程解的定义：若将$x=m$代入方程$ax^2+bx+c=0$能使$am^2+bm+c=0$，则$x=m$是方程的解，由此可判断$x=-2$是该方程的根；再结合方程有两个相等实数根的条件，可知两个根均为$-2$，据此可写出方程的完全平方形式，最后逐一核对选项即可得出答案。
【解析】
1. 确定方程的一个根：
将$x=-2$代入一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，左边$=a×(-2)^2 + b×(-2) + c=4a-2b+c$，结合已知$4a-2b+c=0$，可得$x=-2$是方程$ax^2+bx+c=0$的根。
2. 结合重根条件推导方程形式：
因为该一元二次方程有两个相等的实数根，所以方程的两个根均为$x=-2$，因此方程可整理为$a(x+2)^2=0$（$a≠0$）。
3. 逐一验证选项：
展开$a(x+2)^2=0$得$ax^2+4ax+4a=0$，对应系数得$b=4a$，$c=4a$：
A选项$b=a$，与推导结果不符，错误；
B选项$c=2a$，与推导结果不符，错误；
C选项$a(x+2)^2=0$，符合推导结果，正确；
D选项$-a(x-2)^2=0$的根为$x=2$，与推导的根$x=-2$不符，错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的解的定义
3. 一元二次方程的因式分解形式
【点评】
本题综合考查一元二次方程的相关性质，解题的突破口是根据给定的代数式识别出方程的一个根，再结合相等实根的条件确定方程的形式，是一元二次方程章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件$4a-2b+c=0$入手，结合一元二次方程解的定义：若将$x=m$代入方程$ax^2+bx+c=0$能使$am^2+bm+c=0$，则$x=m$是方程的解，由此可判断$x=-2$是该方程的根；再结合方程有两个相等实数根的条件，可知两个根均为$-2$，据此可写出方程的完全平方形式，最后逐一核对选项即可得出答案。
【解析】
1. 确定方程的一个根：
将$x=-2$代入一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，左边$=a×(-2)^2 + b×(-2) + c=4a-2b+c$，结合已知$4a-2b+c=0$，可得$x=-2$是方程$ax^2+bx+c=0$的根。
2. 结合重根条件推导方程形式：
因为该一元二次方程有两个相等的实数根，所以方程的两个根均为$x=-2$，因此方程可整理为$a(x+2)^2=0$（$a≠0$）。
3. 逐一验证选项：
展开$a(x+2)^2=0$得$ax^2+4ax+4a=0$，对应系数得$b=4a$，$c=4a$：
A选项$b=a$，与推导结果不符，错误；
B选项$c=2a$，与推导结果不符，错误；
C选项$a(x+2)^2=0$，符合推导结果，正确；
D选项$-a(x-2)^2=0$的根为$x=2$，与推导的根$x=-2$不符，错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的解的定义
3. 一元二次方程的因式分解形式
【点评】
本题综合考查一元二次方程的相关性质，解题的突破口是根据给定的代数式识别出方程的一个根，再结合相等实根的条件确定方程的形式，是一元二次方程章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
6.对于实数$m$，$n$定义运算“*”为$m*n = n^2 - 2m$，例如：$1*3 = 3^2 - 2×1 = 7$，若关于$x$的方程$k*x = 2x$有两个相等的实数根，则$k$的值为
$-\frac{1}{2}$
。答案
6.$-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时首先要正确理解题目给出的新定义运算规则，先将$k*x$按照新运算转化为常规代数式，再代入已知方程整理为一元二次方程的一般形式；接着根据“方程有两个相等的实数根”这一条件，联想到一元二次方程根的判别式$\Delta=0$，代入系数建立关于$k$的方程，最后求解即可得到$k$的值。
【解析】
根据新运算“*”的定义：$m*n = n^2 - 2m$，可得：
$k*x = x^2 - 2k$
将其代入方程$k*x = 2x$，得：
$x^2 - 2k = 2x$
整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 2x - 2k = 0$
∵该方程有两个相等的实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-2k$
代入得：
$(-2)^2 - 4×1×(-2k) = 0$
计算得：
$4 + 8k = 0$
解得：
$k = -\frac{1}{2}$
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
新定义运算、一元二次方程根的判别式、解一元一次方程
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程根的判别式的应用，解题的核心是准确转化新运算为常规代数式，再利用判别式的性质建立等式求解，整体逻辑清晰，注意不要混淆新运算中两个参数的对应位置即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先要正确理解题目给出的新定义运算规则，先将$k*x$按照新运算转化为常规代数式，再代入已知方程整理为一元二次方程的一般形式；接着根据“方程有两个相等的实数根”这一条件，联想到一元二次方程根的判别式$\Delta=0$，代入系数建立关于$k$的方程，最后求解即可得到$k$的值。
【解析】
根据新运算“*”的定义：$m*n = n^2 - 2m$，可得：
$k*x = x^2 - 2k$
将其代入方程$k*x = 2x$，得：
$x^2 - 2k = 2x$
整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 2x - 2k = 0$
∵该方程有两个相等的实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-2k$
代入得：
$(-2)^2 - 4×1×(-2k) = 0$
计算得：
$4 + 8k = 0$
解得：
$k = -\frac{1}{2}$
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
新定义运算、一元二次方程根的判别式、解一元一次方程
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程根的判别式的应用，解题的核心是准确转化新运算为常规代数式，再利用判别式的性质建立等式求解，整体逻辑清晰，注意不要混淆新运算中两个参数的对应位置即可。
【难度系数】
0.7
7.已知$a,b,c$分别是$△ ABC$的三边长，其中$a=1,c=4$，且关于$x$的方程$x^2 -4x +b=0$有两个相等的实数根，试判断$△ ABC$的形状。
答案
7.等腰三角形。
解析
【分析】
解题时首先从题干给出的“方程有两个相等的实数根”这一条件入手，回忆一元二次方程根的判别式的性质：当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，因此可以先通过判别式列等式求出未知边长b的值；得到b的值后，结合已知的a、c的边长，先验证三条边是否满足三角形三边关系，再根据三边的长度特征判断三角形的形状即可。
【解析】
解：
∵关于x的方程$x^2 -4x +b=0$有两个相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta=(-4)^2 - 4×1× b = 0$，
即$16 - 4b = 0$，
解得$b=4$。
已知△ABC的三边长$a=1$，$c=4$，因此三边长分别为1、4、4，满足三角形三边关系（$1+4＞4$，$4-1＜4$），且$b=c=4$，
∴△ABC为等腰三角形。
【答案】
等腰三角形
【知识点】
一元二次方程根的判别式，三角形三边关系，等腰三角形判定
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是先利用一元二次方程根的判别式求出未知边长，再结合边长特征判断三角形形状，需要注意求出边长后要先验证是否满足三角形的三边构成条件，避免出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先从题干给出的“方程有两个相等的实数根”这一条件入手，回忆一元二次方程根的判别式的性质：当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，因此可以先通过判别式列等式求出未知边长b的值；得到b的值后，结合已知的a、c的边长，先验证三条边是否满足三角形三边关系，再根据三边的长度特征判断三角形的形状即可。
【解析】
解：
∵关于x的方程$x^2 -4x +b=0$有两个相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta=(-4)^2 - 4×1× b = 0$，
即$16 - 4b = 0$，
解得$b=4$。
已知△ABC的三边长$a=1$，$c=4$，因此三边长分别为1、4、4，满足三角形三边关系（$1+4＞4$，$4-1＜4$），且$b=c=4$，
∴△ABC为等腰三角形。
【答案】
等腰三角形
【知识点】
一元二次方程根的判别式，三角形三边关系，等腰三角形判定
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是先利用一元二次方程根的判别式求出未知边长，再结合边长特征判断三角形形状，需要注意求出边长后要先验证是否满足三角形的三边构成条件，避免出错。
【难度系数】
0.8
8.已知关于x的一元二次方程$(1-2k)x^2 - 2\sqrt{k+1}x - 1 = 0$有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
$-1≤ k＜2$且$k≠\frac{1}{2}$
。答案
8.$-1≤ k＜2$ 且 $k≠\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要确定k的取值范围，需结合题目给出的所有限制条件逐一分析：① 题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；② 方程中含有二次根式$\sqrt{k+1}$，需满足二次根式有意义的条件，即被开方数非负；③ 方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式$\Delta＞0$。分别求解三个条件对应的k的范围，再取公共部分即可得到最终结果。
【解析】
根据题意，需同时满足以下三个条件：
1. 一元二次方程的二次项系数不为0：
$1-2k≠0$，解得 $k≠\frac{1}{2}$
2. 二次根式$\sqrt{k+1}$有意义，被开方数非负：
$k+1≥0$，解得 $k≥-1$
3. 方程有两个不相等的实数根，即判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，其中$a=1-2k$，$b=-2\sqrt{k+1}$，$c=-1$：
$\Delta=(-2\sqrt{k+1})^2 - 4×(1-2k)×(-1)$
$=4(k+1)+4(1-2k)$
$=4k+4+4-8k$
$=8-4k＞0$
解得 $k＜2$
综合以上三个条件，取公共部分得：$-1≤ k＜2$且$k≠\frac{1}{2}$
【答案】
$-1≤ k＜2$ 且 $k≠\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是根的判别式的常规应用题型，解题时易出现仅考虑判别式大于0，忽略二次项系数不为0、二次根式被开方数非负的限制条件的错误，需注意全面审题，梳理所有隐含的限制要求。
【难度系数】
0.7
要确定k的取值范围，需结合题目给出的所有限制条件逐一分析：① 题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；② 方程中含有二次根式$\sqrt{k+1}$，需满足二次根式有意义的条件，即被开方数非负；③ 方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式$\Delta＞0$。分别求解三个条件对应的k的范围，再取公共部分即可得到最终结果。
【解析】
根据题意，需同时满足以下三个条件：
1. 一元二次方程的二次项系数不为0：
$1-2k≠0$，解得 $k≠\frac{1}{2}$
2. 二次根式$\sqrt{k+1}$有意义，被开方数非负：
$k+1≥0$，解得 $k≥-1$
3. 方程有两个不相等的实数根，即判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，其中$a=1-2k$，$b=-2\sqrt{k+1}$，$c=-1$：
$\Delta=(-2\sqrt{k+1})^2 - 4×(1-2k)×(-1)$
$=4(k+1)+4(1-2k)$
$=4k+4+4-8k$
$=8-4k＞0$
解得 $k＜2$
综合以上三个条件，取公共部分得：$-1≤ k＜2$且$k≠\frac{1}{2}$
【答案】
$-1≤ k＜2$ 且 $k≠\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是根的判别式的常规应用题型，解题时易出现仅考虑判别式大于0，忽略二次项系数不为0、二次根式被开方数非负的限制条件的错误，需注意全面审题，梳理所有隐含的限制要求。
【难度系数】
0.7
9.已知关于$x$的方程$x^2 - (2m + 1)x + m(m+1)=0$。
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知方程的一个根为0，求代数式$(2m -1)^2 + (3+m)(3 -m)+7m -5$的值（先化简再求值）。
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知方程的一个根为0，求代数式$(2m -1)^2 + (3+m)(3 -m)+7m -5$的值（先化简再求值）。
答案
9.(1)证明:因为 $\Delta =[-(2m+1)]^2 -4m(m+1)=1＞0$,所以方程总有两个不相等的实数根。
(2)原式$=5$。
(2)原式$=5$。
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，需借助根的判别式判断：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，若$\Delta=b^2-4ac＞0$，则方程有两个不相等的实数根。我们只需代入对应系数计算判别式，验证其恒大于0即可完成证明。
(2) 已知方程的根为0，先根据“方程的根满足方程”，将$x=0$代入原方程得到$m$的关系式，再按照整式运算法则先化简待求代数式，最后代入$m$的关系式求值即可，可采用整体代入法简化计算。
【解析】
(1) 证明：方程$x^2 - (2m + 1)x + m(m+1)=0$中，$a=1$，$b=-(2m+1)$，$c=m(m+1)$，
则根的判别式：
$\Delta = [-(2m+1)]^2 - 4×1× m(m+1)$
$=4m^2+4m+1 - 4m^2-4m$
$=1＞0$
所以方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：把$x=0$代入原方程，得$m(m+1)=0$，即$m^2+m=0$。
化简代数式：
$(2m -1)^2 + (3+m)(3 -m)+7m -5$
$=4m^2-4m+1 + 9 - m^2 +7m -5$
$=3m^2+3m+5$
$=3(m^2+m)+5$
将$m^2+m=0$代入上式，得$3×0 +5=5$。
【答案】
(1) 方程总有两个不相等的实数根得证；(2) $\boxed{5}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根的定义，整式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础典型题，第一问直接考察根的判别式的应用，第二问结合整式运算，解题时灵活运用整体代入思想可简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，需借助根的判别式判断：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，若$\Delta=b^2-4ac＞0$，则方程有两个不相等的实数根。我们只需代入对应系数计算判别式，验证其恒大于0即可完成证明。
(2) 已知方程的根为0，先根据“方程的根满足方程”，将$x=0$代入原方程得到$m$的关系式，再按照整式运算法则先化简待求代数式，最后代入$m$的关系式求值即可，可采用整体代入法简化计算。
【解析】
(1) 证明：方程$x^2 - (2m + 1)x + m(m+1)=0$中，$a=1$，$b=-(2m+1)$，$c=m(m+1)$，
则根的判别式：
$\Delta = [-(2m+1)]^2 - 4×1× m(m+1)$
$=4m^2+4m+1 - 4m^2-4m$
$=1＞0$
所以方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：把$x=0$代入原方程，得$m(m+1)=0$，即$m^2+m=0$。
化简代数式：
$(2m -1)^2 + (3+m)(3 -m)+7m -5$
$=4m^2-4m+1 + 9 - m^2 +7m -5$
$=3m^2+3m+5$
$=3(m^2+m)+5$
将$m^2+m=0$代入上式，得$3×0 +5=5$。
【答案】
(1) 方程总有两个不相等的实数根得证；(2) $\boxed{5}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根的定义，整式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础典型题，第一问直接考察根的判别式的应用，第二问结合整式运算，解题时灵活运用整体代入思想可简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
10.如图,四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形,a,b,c是全等的Rt△ABC和Rt△BED的边长,易知$AE=\sqrt{2}c$,这时我们把关于x的形如$ax^2+\sqrt{2}cx +b=0$的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”。请解决下列问题：
(1)求证:关于x的“勾系一元二次方程”$ax^2+\sqrt{2}cx +b=0$必有实数根；
(2)若$x=-1$是“勾系一元二次方程”$ax^2+\sqrt{2}cx +b=0$的一个根,且四边形ACDE的周长是12,求$△ ABC$的面积。
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
(1)求证:关于x的“勾系一元二次方程”$ax^2+\sqrt{2}cx +b=0$必有实数根；
(2)若$x=-1$是“勾系一元二次方程”$ax^2+\sqrt{2}cx +b=0$的一个根,且四边形ACDE的周长是12,求$△ ABC$的面积。
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
答案
10.(1)证明:$\Delta=(\sqrt{2}c)^2 -4ab=2c^2 -4ab$,
因为 $a^2+b^2=c^2$,
所以 $2c^2 -4ab=2(a^2+b^2)-4ab=2(a-b)^2≥0$,
所以关于$x$的“勾系一元二次方程”$ax^2+\sqrt{2}cx +b=0$必有实数根。
(2)$△ ABC$ 的面积$=2$。
因为 $a^2+b^2=c^2$,
所以 $2c^2 -4ab=2(a^2+b^2)-4ab=2(a-b)^2≥0$,
所以关于$x$的“勾系一元二次方程”$ax^2+\sqrt{2}cx +b=0$必有实数根。
(2)$△ ABC$ 的面积$=2$。
解析
【分析】
(1)要证明一元二次方程必有实数根，只需证明其根的判别式$\Delta≥0$。首先写出该方程判别式的表达式，再结合直角三角形的勾股定理$a^2+b^2=c^2$代入化简，判断化简结果的符号即可完成证明。
(2)先将$x=-1$代入方程，得到$a、b、c$的数量关系；再分析四边形$ACDE$的周长组成，列出$a、b、c$的另一个关系式，结合勾股定理求出$ab$的值，即可求出直角三角形$ABC$的面积（直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$）。
【解析】
(1)证明：对于一元二次方程$ax^2+\sqrt{2}cx +b=0$，其根的判别式为：
$\Delta=(\sqrt{2}c)^2 -4ab=2c^2 -4ab$
∵$Rt△ ABC$是直角三角形，由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$
∴将$c^2=a^2+b^2$代入判别式得：
$2c^2 -4ab=2(a^2+b^2)-4ab=2(a^2-2ab+b^2)=2(a-b)^2$
∵平方具有非负性，即$(a-b)^2≥0$，
∴$2(a-b)^2≥0$，即$\Delta≥0$
∴关于$x$的“勾系一元二次方程”$ax^2+\sqrt{2}cx +b=0$必有实数根。
(2)解：
∵$x=-1$是方程$ax^2+\sqrt{2}cx +b=0$的一个根，将$x=-1$代入方程得：
$a× (-1)^2 + \sqrt{2}c× (-1) + b=0$，即$a+b=\sqrt{2}c$
∵四边形$ACDE$是直角梯形，其周长为$AC+CD+DE+AE$，其中$AC=b$，$CD=CB+BD=a+b$，$DE=a$，$AE=\sqrt{2}c$，且周长为12
∴$b+(a+b)+a+\sqrt{2}c=12$，整理得$2a+2b+\sqrt{2}c=12$
将$a+b=\sqrt{2}c$代入上式得：$2\sqrt{2}c + \sqrt{2}c=3\sqrt{2}c=12$，解得$\sqrt{2}c=4$，即$a+b=4$，$c=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$
由勾股定理得$a^2+b^2=c^2=(2\sqrt{2})^2=8$
又
∵$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$a+b=4$，$a^2+b^2=8$代入得：
$4^2=8+2ab$，解得$ab=4$
∴$Rt△ ABC$的面积$=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×4=2$
【答案】
(1)证明见解析；(2)$2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 勾股定理 3. 方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程与几何知识结合的综合题，将根的判别式、方程根的性质和勾股定理相结合，解题的关键是理清各数量之间的关系，熟练运用相关性质进行推导计算。
【难度系数】
0.7
(1)要证明一元二次方程必有实数根，只需证明其根的判别式$\Delta≥0$。首先写出该方程判别式的表达式，再结合直角三角形的勾股定理$a^2+b^2=c^2$代入化简，判断化简结果的符号即可完成证明。
(2)先将$x=-1$代入方程，得到$a、b、c$的数量关系；再分析四边形$ACDE$的周长组成，列出$a、b、c$的另一个关系式，结合勾股定理求出$ab$的值，即可求出直角三角形$ABC$的面积（直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$）。
【解析】
(1)证明：对于一元二次方程$ax^2+\sqrt{2}cx +b=0$，其根的判别式为：
$\Delta=(\sqrt{2}c)^2 -4ab=2c^2 -4ab$
∵$Rt△ ABC$是直角三角形，由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$
∴将$c^2=a^2+b^2$代入判别式得：
$2c^2 -4ab=2(a^2+b^2)-4ab=2(a^2-2ab+b^2)=2(a-b)^2$
∵平方具有非负性，即$(a-b)^2≥0$，
∴$2(a-b)^2≥0$，即$\Delta≥0$
∴关于$x$的“勾系一元二次方程”$ax^2+\sqrt{2}cx +b=0$必有实数根。
(2)解：
∵$x=-1$是方程$ax^2+\sqrt{2}cx +b=0$的一个根，将$x=-1$代入方程得：
$a× (-1)^2 + \sqrt{2}c× (-1) + b=0$，即$a+b=\sqrt{2}c$
∵四边形$ACDE$是直角梯形，其周长为$AC+CD+DE+AE$，其中$AC=b$，$CD=CB+BD=a+b$，$DE=a$，$AE=\sqrt{2}c$，且周长为12
∴$b+(a+b)+a+\sqrt{2}c=12$，整理得$2a+2b+\sqrt{2}c=12$
将$a+b=\sqrt{2}c$代入上式得：$2\sqrt{2}c + \sqrt{2}c=3\sqrt{2}c=12$，解得$\sqrt{2}c=4$，即$a+b=4$，$c=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$
由勾股定理得$a^2+b^2=c^2=(2\sqrt{2})^2=8$
又
∵$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$a+b=4$，$a^2+b^2=8$代入得：
$4^2=8+2ab$，解得$ab=4$
∴$Rt△ ABC$的面积$=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×4=2$
【答案】
(1)证明见解析；(2)$2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 勾股定理 3. 方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程与几何知识结合的综合题，将根的判别式、方程根的性质和勾股定理相结合，解题的关键是理清各数量之间的关系，熟练运用相关性质进行推导计算。
【难度系数】
0.7
