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1. 已知一直角三角形的斜边长为15，其中一条直角边长为12，则它的另一条直角边长为(
A.7
B.9
C.19
D.13
B
)。A.7
B.9
C.19
D.13
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查勾股定理的应用，解题思路如下：首先回忆勾股定理的内容：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。题目已知斜边长和一条直角边长，求另一条直角边，我们可以将勾股定理公式变形，用斜边的平方减去已知直角边的平方，再开算术平方根（因为边长为正数，所以不取负根），即可得到未知直角边的长度。
【解析】
设该直角三角形的斜边长为$c$，已知的直角边长为$a$，待求的直角边长为$b$。
根据题意得：$c=15$，$a=12$。
由勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，变形可得：
$b^2 = c^2 - a^2$
代入数值计算：
$b^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$
因为三角形边长为正数，所以$b = \sqrt{81} = 9$。
因此另一条直角边长为9，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，主要考查对勾股定理公式的掌握和变形运用能力，计算难度低，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
本题考查勾股定理的应用，解题思路如下：首先回忆勾股定理的内容：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。题目已知斜边长和一条直角边长，求另一条直角边，我们可以将勾股定理公式变形，用斜边的平方减去已知直角边的平方，再开算术平方根（因为边长为正数，所以不取负根），即可得到未知直角边的长度。
【解析】
设该直角三角形的斜边长为$c$，已知的直角边长为$a$，待求的直角边长为$b$。
根据题意得：$c=15$，$a=12$。
由勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，变形可得：
$b^2 = c^2 - a^2$
代入数值计算：
$b^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$
因为三角形边长为正数，所以$b = \sqrt{81} = 9$。
因此另一条直角边长为9，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，主要考查对勾股定理公式的掌握和变形运用能力，计算难度低，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
2. 下列每个选项中的三条线段，不能组成直角三角形的是（
A.7,24,25
B.5,12,13
C.$1,\frac{3}{4},\frac{5}{4}$
D.4,5,6
D
）。A.7,24,25
B.5,12,13
C.$1,\frac{3}{4},\frac{5}{4}$
D.4,5,6
答案
2.D
解析
【分析】
这道题考查勾股定理逆定理的应用，判断三条线段能否组成直角三角形的核心思路是：先找到三条线段中的最长边，再验证两条较短线段的平方和是否等于最长线段的平方，若相等则可以构成直角三角形，反之则不能。我们只需逐个计算四个选项的情况即可筛选出正确答案。
【解析】
根据勾股定理逆定理逐一分析选项：
A. 最长边为25，计算得 $7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，满足 $7^2+24^2=25^2$，可以组成直角三角形，不符合题意；
B. 最长边为13，计算得 $5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，满足 $5^2+12^2=13^2$，可以组成直角三角形，不符合题意；
C. 最长边为$\frac{5}{4}$，计算得 $1^2+(\frac{3}{4})^2=1+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$，$(\frac{5}{4})^2=\frac{25}{16}$，满足 $1^2+(\frac{3}{4})^2=(\frac{5}{4})^2$，可以组成直角三角形，不符合题意；
D. 最长边为6，计算得 $4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理逆定理
【点评】
本题属于勾股定理逆定理的基础应用题型，解题时注意先确定最长边再验证平方关系，仔细计算即可得分。
【难度系数】
0.9
这道题考查勾股定理逆定理的应用，判断三条线段能否组成直角三角形的核心思路是：先找到三条线段中的最长边，再验证两条较短线段的平方和是否等于最长线段的平方，若相等则可以构成直角三角形，反之则不能。我们只需逐个计算四个选项的情况即可筛选出正确答案。
【解析】
根据勾股定理逆定理逐一分析选项：
A. 最长边为25，计算得 $7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，满足 $7^2+24^2=25^2$，可以组成直角三角形，不符合题意；
B. 最长边为13，计算得 $5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，满足 $5^2+12^2=13^2$，可以组成直角三角形，不符合题意；
C. 最长边为$\frac{5}{4}$，计算得 $1^2+(\frac{3}{4})^2=1+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$，$(\frac{5}{4})^2=\frac{25}{16}$，满足 $1^2+(\frac{3}{4})^2=(\frac{5}{4})^2$，可以组成直角三角形，不符合题意；
D. 最长边为6，计算得 $4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理逆定理
【点评】
本题属于勾股定理逆定理的基础应用题型，解题时注意先确定最长边再验证平方关系，仔细计算即可得分。
【难度系数】
0.9
3. 如图，由一个直角三角形和两个正方形组成的图形中，直角三角形的面积为24，小正方形的面积为36，则大正方形W的面积为(
A.48
B.54
C.60
D.64
D
)。A.48
B.54
C.60
D.64
答案
3.D
解析
【分析】
要解决本题，首先要明确图形各部分的对应关系：两个正方形的边长分别对应直角三角形的两条直角边，大正方形W的边长是直角三角形的长直角边，因此求W的面积只需计算长直角边的平方即可。第一步先由小正方形的面积求出短直角边的长度；第二步利用直角三角形的面积公式求出长直角边的长度；第三步计算长直角边的平方就能得到W的面积。
【解析】
1. 求直角三角形的短直角边长度：
已知小正方形的面积为36，根据正方形面积公式$S_{\mathrm{正方形}}=\mathrm{边长}^2$，可得小正方形的边长为$\sqrt{36}=6$，即直角三角形的短直角边$a=6$。
2. 求直角三角形的长直角边长度：
已知直角三角形的面积为24，根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（$b$为长直角边），代入$S=24$、$a=6$得：
$24=\frac{1}{2}×6× b$
解得$b=8$。
3. 求大正方形W的面积：
大正方形W的边长等于直角三角形的长直角边$b$，因此$S_{W}=b^2=8^2=64$。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积计算，直角三角形面积计算，乘方运算
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是找准正方形边长与直角三角形直角边的对应关系，熟练运用面积公式即可完成求解，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先要明确图形各部分的对应关系：两个正方形的边长分别对应直角三角形的两条直角边，大正方形W的边长是直角三角形的长直角边，因此求W的面积只需计算长直角边的平方即可。第一步先由小正方形的面积求出短直角边的长度；第二步利用直角三角形的面积公式求出长直角边的长度；第三步计算长直角边的平方就能得到W的面积。
【解析】
1. 求直角三角形的短直角边长度：
已知小正方形的面积为36，根据正方形面积公式$S_{\mathrm{正方形}}=\mathrm{边长}^2$，可得小正方形的边长为$\sqrt{36}=6$，即直角三角形的短直角边$a=6$。
2. 求直角三角形的长直角边长度：
已知直角三角形的面积为24，根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（$b$为长直角边），代入$S=24$、$a=6$得：
$24=\frac{1}{2}×6× b$
解得$b=8$。
3. 求大正方形W的面积：
大正方形W的边长等于直角三角形的长直角边$b$，因此$S_{W}=b^2=8^2=64$。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积计算，直角三角形面积计算，乘方运算
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是找准正方形边长与直角三角形直角边的对应关系，熟练运用面积公式即可完成求解，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$AB^2=5$，$AC=1$，则$BC$的长为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
4.B
解析
【分析】
这道题考查直角三角形中勾股定理的应用，解题思路如下：第一步先确定直角三角形的斜边，因为∠C=90°，所以∠C对应的边AB是斜边；第二步回忆勾股定理内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$AC^2 + BC^2 = AB^2$；第三步将已知数值代入公式，变形求出$BC^2$，再结合边长为正数的特点求出BC的长度即可。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴ AB为斜边，根据勾股定理可得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
已知$AB^2=5$，$AC=1$，代入上式得：
$1^2 + BC^2 =5$
计算得$BC^2=5-1=4$
∵ BC是三角形的边长，长度为正数，
∴ $BC=\sqrt{4}=2$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于基础题，直接考查勾股定理的应用，解题时需先明确直角所对的斜边，再代入公式计算，注意计算出平方后开方要取正的结果。
【难度系数】
0.9
这道题考查直角三角形中勾股定理的应用，解题思路如下：第一步先确定直角三角形的斜边，因为∠C=90°，所以∠C对应的边AB是斜边；第二步回忆勾股定理内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$AC^2 + BC^2 = AB^2$；第三步将已知数值代入公式，变形求出$BC^2$，再结合边长为正数的特点求出BC的长度即可。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴ AB为斜边，根据勾股定理可得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
已知$AB^2=5$，$AC=1$，代入上式得：
$1^2 + BC^2 =5$
计算得$BC^2=5-1=4$
∵ BC是三角形的边长，长度为正数，
∴ $BC=\sqrt{4}=2$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于基础题，直接考查勾股定理的应用，解题时需先明确直角所对的斜边，再代入公式计算，注意计算出平方后开方要取正的结果。
【难度系数】
0.9
5. 一个直角三角形，若三边长的平方和为32，则斜边长为（
A.4
B.5
C.8
D.16
A
）。A.4
B.5
C.8
D.16
答案
5.A
解析
【分析】
遇到直角三角形边长相关的问题，首先联想到勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。我们可以先设两条直角边为a、b，斜边为c，先写出勾股定理的表达式；再结合题目给出的“三边长的平方和为32”这一条件，列出三边长平方和的等式，最后将勾股定理代入该等式，消去直角边的平方项，就能得到只关于斜边c的方程，求解即可得到斜边长，注意边长为正数，结果取正值。
【解析】
设该直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c。
根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$
已知三边长的平方和为32，因此：$a^2 + b^2 + c^2 = 32$
将$a^2 + b^2 = c^2$代入上式，可得：$c^2 + c^2 = 32$
合并同类项得：$2c^2 = 32$，化简得$c^2 = 16$
因为三角形边长为正数，所以$c = \sqrt{16} = 4$，即斜边长为4。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；代数式代入求值
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的核心是利用勾股定理完成直角边平方和与斜边平方的替换，简化运算得到关于斜边的表达式，计算难度低，掌握勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.85
遇到直角三角形边长相关的问题，首先联想到勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。我们可以先设两条直角边为a、b，斜边为c，先写出勾股定理的表达式；再结合题目给出的“三边长的平方和为32”这一条件，列出三边长平方和的等式，最后将勾股定理代入该等式，消去直角边的平方项，就能得到只关于斜边c的方程，求解即可得到斜边长，注意边长为正数，结果取正值。
【解析】
设该直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c。
根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$
已知三边长的平方和为32，因此：$a^2 + b^2 + c^2 = 32$
将$a^2 + b^2 = c^2$代入上式，可得：$c^2 + c^2 = 32$
合并同类项得：$2c^2 = 32$，化简得$c^2 = 16$
因为三角形边长为正数，所以$c = \sqrt{16} = 4$，即斜边长为4。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；代数式代入求值
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的核心是利用勾股定理完成直角边平方和与斜边平方的替换，简化运算得到关于斜边的表达式，计算难度低，掌握勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.85
6. 已知$△ ABC$的三边长为$a,b,c$，三个角为$∠ A,∠ B,∠ C$，下列条件不能判定$△ ABC$为直角三角形的是(
A.$a^2=3,b^2=4,c^2=5$
B.$∠ A=∠ C+∠ B$
C.$a^2+c^2=b^2$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$
A
)。A.$a^2=3,b^2=4,c^2=5$
B.$∠ A=∠ C+∠ B$
C.$a^2+c^2=b^2$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$
答案
6.A
解析
【分析】
判定三角形为直角三角形主要有两种思路：①利用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形；②利用三角形内角和定理：若三角形有一个内角为90°，则该三角形为直角三角形。我们只需逐个验证选项是否满足上述两个条件，即可找出不能判定的选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：已知$a^2=3,b^2=4,c^2=5$，计算较小两个平方的和：$3+4=7≠5$，其余组合$3+5=8≠4$、$4+5=9≠3$，均不满足勾股定理的逆定理，不能判定$△ ABC$为直角三角形；
B选项：根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，将$∠ A=∠ C+∠ B$代入得$2∠ A=180°$，解得$∠ A=90°$，可判定$△ ABC$为直角三角形；
C选项：$a^2+c^2=b^2$直接符合勾股定理的逆定理，说明$∠ B=90°$，可判定$△ ABC$为直角三角形；
D选项：设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，根据内角和得$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则最大角$∠ C=3×30°=90°$，可判定$△ ABC$为直角三角形。
综上，只有A选项不能判定。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理
【点评】
本题是直角三角形判定的基础题，需要熟练掌握边、角两类判定方法，解题时逐一验证选项即可，是三角形部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
判定三角形为直角三角形主要有两种思路：①利用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形；②利用三角形内角和定理：若三角形有一个内角为90°，则该三角形为直角三角形。我们只需逐个验证选项是否满足上述两个条件，即可找出不能判定的选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：已知$a^2=3,b^2=4,c^2=5$，计算较小两个平方的和：$3+4=7≠5$，其余组合$3+5=8≠4$、$4+5=9≠3$，均不满足勾股定理的逆定理，不能判定$△ ABC$为直角三角形；
B选项：根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，将$∠ A=∠ C+∠ B$代入得$2∠ A=180°$，解得$∠ A=90°$，可判定$△ ABC$为直角三角形；
C选项：$a^2+c^2=b^2$直接符合勾股定理的逆定理，说明$∠ B=90°$，可判定$△ ABC$为直角三角形；
D选项：设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，根据内角和得$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则最大角$∠ C=3×30°=90°$，可判定$△ ABC$为直角三角形。
综上，只有A选项不能判定。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理
【点评】
本题是直角三角形判定的基础题，需要熟练掌握边、角两类判定方法，解题时逐一验证选项即可，是三角形部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
7. 如图，图①是第24届国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成的。图②是由图①中四个全等的直角三角形拼成的正方形。若图①中小正方形的面积为5，图②中大正方形的面积为21，则每个直角三角形的面积为（
A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.$\frac{5}{2}$
C
）。A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.$\frac{5}{2}$
答案
7.C
解析
【分析】
我们可以先设直角三角形的两条直角边长分别为a、b（b＞a），分别结合两个图形的面积得到和a、b相关的等式：图①的小正方形边长是两条直角边的差，因此小正方形面积等于$(b-a)^2$；图②的大正方形边长是两条直角边的和，因此大正方形面积等于$(a+b)^2$。将两个等式用完全平方公式展开后作差，即可求出ab的值，进而计算出直角三角形的面积。
【解析】
设每个直角三角形的两条直角边长分别为a、b（b＞a）。
根据图①小正方形面积为5，可得：
$(b-a)^2=5$
展开得：$a^2-2ab+b^2=5$ ①
根据图②大正方形面积为21，可得：
$(a+b)^2=21$
展开得：$a^2+2ab+b^2=21$ ②
用②式减去①式：
$(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=21-5$
化简得$4ab=16$，解得$ab=4$
因此每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，直角三角形面积计算，正方形面积计算
【点评】
本题结合经典的赵爽弦图考查数形结合的解题思想，解题的核心是找到图形边长和直角三角形边长的对应关系，利用完全平方公式的变形简化计算。
【难度系数】
0.7
我们可以先设直角三角形的两条直角边长分别为a、b（b＞a），分别结合两个图形的面积得到和a、b相关的等式：图①的小正方形边长是两条直角边的差，因此小正方形面积等于$(b-a)^2$；图②的大正方形边长是两条直角边的和，因此大正方形面积等于$(a+b)^2$。将两个等式用完全平方公式展开后作差，即可求出ab的值，进而计算出直角三角形的面积。
【解析】
设每个直角三角形的两条直角边长分别为a、b（b＞a）。
根据图①小正方形面积为5，可得：
$(b-a)^2=5$
展开得：$a^2-2ab+b^2=5$ ①
根据图②大正方形面积为21，可得：
$(a+b)^2=21$
展开得：$a^2+2ab+b^2=21$ ②
用②式减去①式：
$(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=21-5$
化简得$4ab=16$，解得$ab=4$
因此每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，直角三角形面积计算，正方形面积计算
【点评】
本题结合经典的赵爽弦图考查数形结合的解题思想，解题的核心是找到图形边长和直角三角形边长的对应关系，利用完全平方公式的变形简化计算。
【难度系数】
0.7
8. 一个可调节的平板支架，其结构示意图如图所示，已知平板宽度 AB 为 16 cm，支架脚 BC 的长度为 12 cm，当∠ABC=90°，且 CB 平分∠ACD 时，点 B 到 CD 的距离是（
A.8 cm
B.8.6 cm
C.9 cm
D.9.6 cm
D
）。A.8 cm
B.8.6 cm
C.9 cm
D.9.6 cm
答案
8.D
解析
【分析】
要计算点B到CD的距离，已知CB平分∠ACD，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点B到CD的距离等于点B到AC的距离。首先在Rt△ABC中，已知两条直角边的长度，可先通过勾股定理求出斜边AC的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方法（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），求出点B到AC的垂线段长度，即可得到所求距离。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=16cm，BC=12cm，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{400}=20\mathrm{cm}$。
过点B作BE⊥AC于点E，设BE的长度为h，
△ABC的面积可表示为：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}×16×12=96\mathrm{cm}^2$，
也可表示为：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· h=\frac{1}{2}×20× h=10h$，
所以$10h=96$，解得$h=9.6\mathrm{cm}$，即点B到AC的距离为9.6cm。
∵CB平分∠ACD，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴点B到CD的距离等于点B到AC的距离，即9.6cm。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合生活中的平板支架场景命题，考查了几何基础知识点的综合应用，解题的关键是通过角平分线的性质将所求距离转化为直角三角形斜边上的高，再用面积法求解，能有效检验学生对知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
要计算点B到CD的距离，已知CB平分∠ACD，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点B到CD的距离等于点B到AC的距离。首先在Rt△ABC中，已知两条直角边的长度，可先通过勾股定理求出斜边AC的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方法（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），求出点B到AC的垂线段长度，即可得到所求距离。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=16cm，BC=12cm，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{400}=20\mathrm{cm}$。
过点B作BE⊥AC于点E，设BE的长度为h，
△ABC的面积可表示为：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}×16×12=96\mathrm{cm}^2$，
也可表示为：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· h=\frac{1}{2}×20× h=10h$，
所以$10h=96$，解得$h=9.6\mathrm{cm}$，即点B到AC的距离为9.6cm。
∵CB平分∠ACD，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴点B到CD的距离等于点B到AC的距离，即9.6cm。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合生活中的平板支架场景命题，考查了几何基础知识点的综合应用，解题的关键是通过角平分线的性质将所求距离转化为直角三角形斜边上的高，再用面积法求解，能有效检验学生对知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
9. 写出一组含有5的勾股数：
3,4,5(答案不唯一)
。答案
9. 3,4,5(答案不唯一)
解析
【分析】
首先要明确勾股数的定义：满足勾股定理的三个正整数叫做勾股数。本题要求勾股数中含有5，可分两种情况思考：①5是斜边（最大数），此时找两个小于5的正整数，满足它们的平方和等于5的平方；②5是直角边，此时找两个正整数，满足其中一个数的平方减另一个数的平方等于5的平方。最容易想到的是第一种情况，计算可得3²+4²=5²，且3、4、5都是正整数，符合要求。
【解析】
勾股数是指满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数$a、b、c$。
要求勾股数含有5，我们先考虑5为斜边的情况：
计算得：$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，且3、4、5均为正整数，满足勾股数的定义，因此3,4,5是符合要求的一组勾股数。
（也可选择5为直角边的情况，如5,12,13等，答案不唯一）
【答案】
3,4,5(答案不唯一)
【知识点】
勾股数的定义、勾股定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要检验对勾股数定义的掌握情况，牢记常见的勾股数可快速得出答案，需要注意勾股数必须全部为正整数。
【难度系数】
0.9
首先要明确勾股数的定义：满足勾股定理的三个正整数叫做勾股数。本题要求勾股数中含有5，可分两种情况思考：①5是斜边（最大数），此时找两个小于5的正整数，满足它们的平方和等于5的平方；②5是直角边，此时找两个正整数，满足其中一个数的平方减另一个数的平方等于5的平方。最容易想到的是第一种情况，计算可得3²+4²=5²，且3、4、5都是正整数，符合要求。
【解析】
勾股数是指满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数$a、b、c$。
要求勾股数含有5，我们先考虑5为斜边的情况：
计算得：$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，且3、4、5均为正整数，满足勾股数的定义，因此3,4,5是符合要求的一组勾股数。
（也可选择5为直角边的情况，如5,12,13等，答案不唯一）
【答案】
3,4,5(答案不唯一)
【知识点】
勾股数的定义、勾股定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要检验对勾股数定义的掌握情况，牢记常见的勾股数可快速得出答案，需要注意勾股数必须全部为正整数。
【难度系数】
0.9
10. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$AC=4$，$AB=m$，$BC=n$，则$(m+n)(m-n)$的值为________。
答案
10. 16
解析
【分析】
首先观察所求代数式$(m+n)(m-n)$，可利用平方差公式先将其展开为$m^2 - n^2$，简化计算目标；再结合题目中直角三角形的条件，根据勾股定理找到$m$、$n$对应的边长关系，代入展开后的式子即可求出结果，无需单独计算$m$、$n$的具体值。
【解析】
1. 化简代数式：根据平方差公式，$(m+n)(m-n)=m^2 - n^2$。
2. 应用勾股定理：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，因此斜边为$AB$，由勾股定理可得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
将$AC=4$，$AB=m$，$BC=n$代入上式得：
$4^2 + n^2 = m^2$
3. 整体代入求值：移项可得$m^2 - n^2 = 4^2 = 16$，因此$(m+n)(m-n)=16$。
【答案】
16
【知识点】
平方差公式，勾股定理
【点评】
本题是代数式化简与直角三角形性质的基础综合题，解题时运用整体代入的思想，避免了不必要的计算，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式$(m+n)(m-n)$，可利用平方差公式先将其展开为$m^2 - n^2$，简化计算目标；再结合题目中直角三角形的条件，根据勾股定理找到$m$、$n$对应的边长关系，代入展开后的式子即可求出结果，无需单独计算$m$、$n$的具体值。
【解析】
1. 化简代数式：根据平方差公式，$(m+n)(m-n)=m^2 - n^2$。
2. 应用勾股定理：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，因此斜边为$AB$，由勾股定理可得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
将$AC=4$，$AB=m$，$BC=n$代入上式得：
$4^2 + n^2 = m^2$
3. 整体代入求值：移项可得$m^2 - n^2 = 4^2 = 16$，因此$(m+n)(m-n)=16$。
【答案】
16
【知识点】
平方差公式，勾股定理
【点评】
本题是代数式化简与直角三角形性质的基础综合题，解题时运用整体代入的思想，避免了不必要的计算，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
11. 若一个直角三角形的面积为24，且其两直角边长$a$和$b$满足$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=k(k＞0)$，则它的斜边长是________。
答案
11. 10
解析
【分析】
解题时先根据给出的比例关系，用参数k表示出两条直角边的长度，再结合直角三角形的面积公式列方程求出k的值，进而得到两直角边的具体长度，最后利用勾股定理计算斜边长即可。
【解析】
解：
∵ $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=k(k＞0)$
∴ $a=3k$，$b=4k$
∵ 该三角形是直角三角形，面积为24
∴ $\frac{1}{2}ab=24$
将$a=3k$，$b=4k$代入得：
$\frac{1}{2} × 3k × 4k = 24$
化简得：$6k^2=24$
解得：$k^2=4$
∵ $k＞0$，
∴ $k=2$
∴ $a=3×2=6$，$b=4×2=8$
由勾股定理得，斜边长为：
$\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
【答案】
10
【知识点】
比例的性质、直角三角形面积公式、勾股定理
【点评】
本题是基础综合题，解题的核心是用参数法将比例关系转化为代数式，再结合直角三角形的相关性质求解，熟练掌握基础公式即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时先根据给出的比例关系，用参数k表示出两条直角边的长度，再结合直角三角形的面积公式列方程求出k的值，进而得到两直角边的具体长度，最后利用勾股定理计算斜边长即可。
【解析】
解：
∵ $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=k(k＞0)$
∴ $a=3k$，$b=4k$
∵ 该三角形是直角三角形，面积为24
∴ $\frac{1}{2}ab=24$
将$a=3k$，$b=4k$代入得：
$\frac{1}{2} × 3k × 4k = 24$
化简得：$6k^2=24$
解得：$k^2=4$
∵ $k＞0$，
∴ $k=2$
∴ $a=3×2=6$，$b=4×2=8$
由勾股定理得，斜边长为：
$\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
【答案】
10
【知识点】
比例的性质、直角三角形面积公式、勾股定理
【点评】
本题是基础综合题，解题的核心是用参数法将比例关系转化为代数式，再结合直角三角形的相关性质求解，熟练掌握基础公式即可快速作答。
【难度系数】
0.8
