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12. 如图所示的是由边长为1的正方形组成的3×4网格，其中点A,B,C分别在格点(正方形的顶点)上，试判断△ABC的形状，并说明理由。
答案
12. 解:△ABC为等腰直角三角形。理由如下：
因为 $AC^2 = 1^2 + 3^3 = 10, BC^2 = 1^2 + 3^3 = 10, AB^2 = 2^2 + 4^2 = 20,$
所以 $AC=BC,AB^2 = BC^2 + AC^2 ,$
所以△ABC 为等腰直角三角形。
因为 $AC^2 = 1^2 + 3^3 = 10, BC^2 = 1^2 + 3^3 = 10, AB^2 = 2^2 + 4^2 = 20,$
所以 $AC=BC,AB^2 = BC^2 + AC^2 ,$
所以△ABC 为等腰直角三角形。
解析
【分析】
要判断网格中△ABC的形状，我们可以结合勾股定理及其逆定理分析：首先明确每个小正方形边长为1，分别构造以AC、BC、AB为斜边的直角三角形，用勾股定理计算出三条边的平方；其次对比AC²和BC²，判断是否两边相等，确定是否为等腰三角形；最后验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方，用勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形，结合两个结论就能确定三角形的形状。
【解析】
解：△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各边的平方：
$AC^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$，
$BC^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$，
$AB^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$，
由此可得$AC^2 = BC^2$，即$AC = BC$，△ABC为等腰三角形；
又因为$AC^2 + BC^2 = 10 + 10 = 20 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理可知$∠ ACB = 90°$，
因此△ABC是等腰直角三角形。
【答案】
△ABC为等腰直角三角形
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形判定
【点评】
本题是网格背景下判断三角形形状的基础典型题，解题的关键是熟练掌握网格中线段长度的计算方法，灵活运用勾股定理及其逆定理通过边的数量关系判断三角形的形状，是勾股定理应用板块的常考题型。
【难度系数】
0.8
要判断网格中△ABC的形状，我们可以结合勾股定理及其逆定理分析：首先明确每个小正方形边长为1，分别构造以AC、BC、AB为斜边的直角三角形，用勾股定理计算出三条边的平方；其次对比AC²和BC²，判断是否两边相等，确定是否为等腰三角形；最后验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方，用勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形，结合两个结论就能确定三角形的形状。
【解析】
解：△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各边的平方：
$AC^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$，
$BC^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$，
$AB^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$，
由此可得$AC^2 = BC^2$，即$AC = BC$，△ABC为等腰三角形；
又因为$AC^2 + BC^2 = 10 + 10 = 20 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理可知$∠ ACB = 90°$，
因此△ABC是等腰直角三角形。
【答案】
△ABC为等腰直角三角形
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形判定
【点评】
本题是网格背景下判断三角形形状的基础典型题，解题的关键是熟练掌握网格中线段长度的计算方法，灵活运用勾股定理及其逆定理通过边的数量关系判断三角形的形状，是勾股定理应用板块的常考题型。
【难度系数】
0.8
13. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=10$，$BC=6$，点$D$在$AC$上，$DE⊥ AB$，垂足为点$E$，且$AE=BE$，求$CD$的长。
答案
13. 解:如图,连接BD,因为 $DE⊥AB,$
所以$∠AED=∠BED=90°$。
又因为 $AE=BE,$
所以$△ADE≌△BDE(SAS),$
所以 $AD=BD$。
在$△ABC$中,$∠C=90°,AB=10,$ $BC=6$, 由勾股定理得 $AC^2 = AB^2 - BC^2 = 64,$
所以 $AC=8$。
设 $AD=BD=x$,则 $CD=8-x,$
在 $\mathrm{Rt}△BCD$ 中,由勾股定理得$(8-x)^2+6^2=x^2,$
解得 $x=\frac{25}{4}$,所以 $CD=8-\frac{25}{4}=\frac{7}{4}$。
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：DE垂直AB且AE=BE，可先通过全等三角形判定得到AD=BD的等量关系；其次先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度；再通过设AD=BD为x，用含x的式子表示CD的长度，最后在Rt△BCD中利用勾股定理列方程求解，即可得到CD的长。
【解析】
解：如图，连接BD，
∵ $DE⊥AB$，
∴ $∠AED=∠BED=90°$，
又
∵ $AE=BE$，$DE=DE$，
∴ $△ADE≌△BDE(SAS)$，
∴ $AD=BD$。
在$△ABC$中，$∠C=90°$，$AB=10$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 10^2 - 6^2 = 64$，
∴ $AC=8$。
设$AD=BD=x$，则$CD=8-x$，
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，由勾股定理得：
$CD^2 + BC^2 = BD^2$，即$(8-x)^2+6^2=x^2$，
展开化简得$100-16x=0$，解得$x=\frac{25}{4}$，
∴ $CD=8-\frac{25}{4}=\frac{7}{4}$。
【答案】
CD的长为$\frac{7}{4}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 全等三角形判定与性质
3. 方程法解几何题
【点评】
本题是直角三角形相关性质的综合应用题，解题关键是通过连接辅助线BD得到AD=BD的等量关系，再利用勾股定理列方程求解，需要熟练掌握勾股定理的应用，学会用代数方法解决几何计算问题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：DE垂直AB且AE=BE，可先通过全等三角形判定得到AD=BD的等量关系；其次先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度；再通过设AD=BD为x，用含x的式子表示CD的长度，最后在Rt△BCD中利用勾股定理列方程求解，即可得到CD的长。
【解析】
解：如图，连接BD，
∵ $DE⊥AB$，
∴ $∠AED=∠BED=90°$，
又
∵ $AE=BE$，$DE=DE$，
∴ $△ADE≌△BDE(SAS)$，
∴ $AD=BD$。
在$△ABC$中，$∠C=90°$，$AB=10$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 10^2 - 6^2 = 64$，
∴ $AC=8$。
设$AD=BD=x$，则$CD=8-x$，
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，由勾股定理得：
$CD^2 + BC^2 = BD^2$，即$(8-x)^2+6^2=x^2$，
展开化简得$100-16x=0$，解得$x=\frac{25}{4}$，
∴ $CD=8-\frac{25}{4}=\frac{7}{4}$。
【答案】
CD的长为$\frac{7}{4}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 全等三角形判定与性质
3. 方程法解几何题
【点评】
本题是直角三角形相关性质的综合应用题，解题关键是通过连接辅助线BD得到AD=BD的等量关系，再利用勾股定理列方程求解，需要熟练掌握勾股定理的应用，学会用代数方法解决几何计算问题。
【难度系数】
0.7
14. 某教学楼走廊的左右两侧是竖直的墙，走廊宽$AB=2.2\ \mathrm{m}$，一架梯子$OM$在走廊上斜靠在左墙上，梯子底端$O$到左墙的距离$OA=0.7\ \mathrm{m}$，顶端$M$到地面的距离$MA=2.4\ \mathrm{m}$。（图中所有点均在同一平面内）
(1)求梯子$OM$的长；
(2)如果保持底端位置$O$不动，将梯子斜靠在右墙上，求梯子顶端$N$距离地面的高度$NB$的长。
(1)求梯子$OM$的长；
(2)如果保持底端位置$O$不动，将梯子斜靠在右墙上，求梯子顶端$N$距离地面的高度$NB$的长。
答案
14. 解:(1)由题意知 $MA⊥AB$,所以$∠MAB=90°$。
在 $\mathrm{Rt}△MAO$ 中,因为 $OA=0.7\ \mathrm{m},MA=2.4\ \mathrm{m},$
所以 $MO^2=MA^2+OA^2=2.4^2+0.7^2=6.25,$
所以 $OM=2.5\ \mathrm{m},$
即梯子 $OM$ 的长为 $2.5\ \mathrm{m}$。
(2)由题意知 $NB⊥AB$,所以$∠NBA=90°$。
在 $\mathrm{Rt}△NBO$ 中,$NB^2=NO^2-OB^2$。
因为 $AB=2.2\ \mathrm{m},$
所以 $OB=AB-OA=1.5\ \mathrm{m},$
所以 $NB^2=2.5^2-1.5^2=4,$所以 $NB=2\ \mathrm{m},$
即梯子顶端 $N$ 距离地面的高度 $NB$ 的长为 $2\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△MAO$ 中,因为 $OA=0.7\ \mathrm{m},MA=2.4\ \mathrm{m},$
所以 $MO^2=MA^2+OA^2=2.4^2+0.7^2=6.25,$
所以 $OM=2.5\ \mathrm{m},$
即梯子 $OM$ 的长为 $2.5\ \mathrm{m}$。
(2)由题意知 $NB⊥AB$,所以$∠NBA=90°$。
在 $\mathrm{Rt}△NBO$ 中,$NB^2=NO^2-OB^2$。
因为 $AB=2.2\ \mathrm{m},$
所以 $OB=AB-OA=1.5\ \mathrm{m},$
所以 $NB^2=2.5^2-1.5^2=4,$所以 $NB=2\ \mathrm{m},$
即梯子顶端 $N$ 距离地面的高度 $NB$ 的长为 $2\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
(1) 首先根据题意可知MA垂直于AB，可判定$△ MAO$是直角三角形，已知两条直角边OA、MA的长度，要求斜边OM的长度，直接使用勾股定理计算即可。
(2) 梯子底端O不动，所以梯子长度不变，即$ON=OM$。首先通过AB和OA的长度计算出OB的长度，再根据NB垂直AB可判定$△ NBO$是直角三角形，已知斜边ON和直角边OB的长度，利用勾股定理即可求出另一条直角边NB的长度。
【解析】
(1) 由题意得 $MA⊥ AB$，因此 $∠ MAB=90°$，$△ MAO$为直角三角形。
在 $\mathrm{Rt}△ MAO$ 中，$OA=0.7\ \mathrm{m}$，$MA=2.4\ \mathrm{m}$，根据勾股定理：
$MO^2=MA^2+OA^2=2.4^2+0.7^2=5.76+0.49=6.25$
因此 $OM=\sqrt{6.25}=2.5\ \mathrm{m}$。
(2) 由题意得 $NB⊥ AB$，因此 $∠ NBA=90°$，$△ NBO$为直角三角形。
梯子长度不变，故 $ON=OM=2.5\ \mathrm{m}$。
已知 $AB=2.2\ \mathrm{m}$，所以 $OB=AB-OA=2.2-0.7=1.5\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ NBO$ 中，根据勾股定理：
$NB^2=ON^2-OB^2=2.5^2-1.5^2=6.25-2.25=4$
因此 $NB=\sqrt{4}=2\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 梯子$OM$的长为$\boldsymbol{2.5\ \mathrm{m}}$；
(2) 梯子顶端$N$距离地面的高度$NB$的长为$\boldsymbol{2\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题是勾股定理在实际生活场景中的基础应用，解题核心是从实际问题中抽象出直角三角形模型，同时抓住梯子长度不变这一隐含条件，结合勾股定理列式计算即可，侧重考查学生对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
(1) 首先根据题意可知MA垂直于AB，可判定$△ MAO$是直角三角形，已知两条直角边OA、MA的长度，要求斜边OM的长度，直接使用勾股定理计算即可。
(2) 梯子底端O不动，所以梯子长度不变，即$ON=OM$。首先通过AB和OA的长度计算出OB的长度，再根据NB垂直AB可判定$△ NBO$是直角三角形，已知斜边ON和直角边OB的长度，利用勾股定理即可求出另一条直角边NB的长度。
【解析】
(1) 由题意得 $MA⊥ AB$，因此 $∠ MAB=90°$，$△ MAO$为直角三角形。
在 $\mathrm{Rt}△ MAO$ 中，$OA=0.7\ \mathrm{m}$，$MA=2.4\ \mathrm{m}$，根据勾股定理：
$MO^2=MA^2+OA^2=2.4^2+0.7^2=5.76+0.49=6.25$
因此 $OM=\sqrt{6.25}=2.5\ \mathrm{m}$。
(2) 由题意得 $NB⊥ AB$，因此 $∠ NBA=90°$，$△ NBO$为直角三角形。
梯子长度不变，故 $ON=OM=2.5\ \mathrm{m}$。
已知 $AB=2.2\ \mathrm{m}$，所以 $OB=AB-OA=2.2-0.7=1.5\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ NBO$ 中，根据勾股定理：
$NB^2=ON^2-OB^2=2.5^2-1.5^2=6.25-2.25=4$
因此 $NB=\sqrt{4}=2\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 梯子$OM$的长为$\boldsymbol{2.5\ \mathrm{m}}$；
(2) 梯子顶端$N$距离地面的高度$NB$的长为$\boldsymbol{2\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题是勾股定理在实际生活场景中的基础应用，解题核心是从实际问题中抽象出直角三角形模型，同时抓住梯子长度不变这一隐含条件，结合勾股定理列式计算即可，侧重考查学生对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
