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1. 如果三角形的三条边的长度$a,b,c$满足________，那么这个三角形是________。
答案
1. $a^2+b^2=c^2$ 直角三角形
解析
【分析】
本题考查勾股定理逆定理的内容，解题时首先回忆通过边长判定直角三角形的规则：要通过三角形三边长度判断是否为直角三角形，核心是验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方，本题默认c为三边中的最长边，因此对应的关系式和三角形类型可直接根据定理内容得出。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长$a,b,c$满足$a^2+b^2=c^2$（其中$c$为最长边），那么这个三角形是直角三角形，因此两个空依次对应填写即可。
【答案】
$a^2+b^2=c^2$；直角三角形
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念类填空题，侧重对核心定理内容的识记，熟练掌握勾股定理逆定理的表述即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
本题考查勾股定理逆定理的内容，解题时首先回忆通过边长判定直角三角形的规则：要通过三角形三边长度判断是否为直角三角形，核心是验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方，本题默认c为三边中的最长边，因此对应的关系式和三角形类型可直接根据定理内容得出。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长$a,b,c$满足$a^2+b^2=c^2$（其中$c$为最长边），那么这个三角形是直角三角形，因此两个空依次对应填写即可。
【答案】
$a^2+b^2=c^2$；直角三角形
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念类填空题，侧重对核心定理内容的识记，熟练掌握勾股定理逆定理的表述即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
2.勾股数:满足
的三个
$a^2+b^2=c^2$
的三个正整数
，称为勾股数。答案
2. $a^2+b^2=c^2$ 正整数
解析
【分析】
这道题考查勾股数的基础定义，解题时只需回忆勾股数的两个核心判定条件即可：①三个数需符合勾股定理的关系式，即两个较小数的平方和等于最大数的平方；②三个数的类型必须是正整数，二者缺一不可。
【解析】
根据勾股数的定义可知，需要同时满足两个要求：第一是数量关系上符合勾股定理的表达式$a^2+b^2=c^2$，第二是这三个数都必须为正整数，同时满足这两点的三个数才能称为勾股数，据此填入对应内容即可。
【答案】
$a^2+b^2=c^2$；正整数
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，直接对应教材核心定义，作答时要注意勾股数不仅要满足勾股定理的等量关系，还必须都是正整数，不要遗漏第二个条件。
【难度系数】
0.9
这道题考查勾股数的基础定义，解题时只需回忆勾股数的两个核心判定条件即可：①三个数需符合勾股定理的关系式，即两个较小数的平方和等于最大数的平方；②三个数的类型必须是正整数，二者缺一不可。
【解析】
根据勾股数的定义可知，需要同时满足两个要求：第一是数量关系上符合勾股定理的表达式$a^2+b^2=c^2$，第二是这三个数都必须为正整数，同时满足这两点的三个数才能称为勾股数，据此填入对应内容即可。
【答案】
$a^2+b^2=c^2$；正整数
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，直接对应教材核心定义，作答时要注意勾股数不仅要满足勾股定理的等量关系，还必须都是正整数，不要遗漏第二个条件。
【难度系数】
0.9
3. 常见的勾股数有：
3,4,5;6,8,10;9,12,15;5,12,13;7,24,25;8,15,17等
。答案
3. 3,4,5;6,8,10;9,12,15;5,12,13;7,24,25;8,15,17等
解析
【分析】
解题时首先要明确勾股数的定义：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数叫做勾股数。首先回忆最基础的勾股数3,4,5，它的任意正整数倍得到的三个数仍然满足勾股定理，也是勾股数，比如乘2得6,8,10、乘3得9,12,15；另外还有几组做题时经常用到的非倍数关系的常见勾股数，直接识记积累即可。
【解析】
勾股数指的是满足勾股定理$a^2+b^2=c^2$的三个正整数，常见的勾股数分为两类：一类是基础勾股数3,4,5的正整数倍，如6,8,10、9,12,15等；另一类是常用的独立勾股数组，如5,12,13、7,24,25、8,15,17等。
【答案】
3,4,5;6,8,10;9,12,15;5,12,13;7,24,25;8,15,17等
【知识点】
勾股数的定义、常见勾股数
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对常见勾股数的掌握情况，熟练记忆常用勾股数能够有效提升直角三角形判定、勾股定理应用类题目的解题速度，日常学习中要注意相关基础内容的积累。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确勾股数的定义：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数叫做勾股数。首先回忆最基础的勾股数3,4,5，它的任意正整数倍得到的三个数仍然满足勾股定理，也是勾股数，比如乘2得6,8,10、乘3得9,12,15；另外还有几组做题时经常用到的非倍数关系的常见勾股数，直接识记积累即可。
【解析】
勾股数指的是满足勾股定理$a^2+b^2=c^2$的三个正整数，常见的勾股数分为两类：一类是基础勾股数3,4,5的正整数倍，如6,8,10、9,12,15等；另一类是常用的独立勾股数组，如5,12,13、7,24,25、8,15,17等。
【答案】
3,4,5;6,8,10;9,12,15;5,12,13;7,24,25;8,15,17等
【知识点】
勾股数的定义、常见勾股数
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对常见勾股数的掌握情况，熟练记忆常用勾股数能够有效提升直角三角形判定、勾股定理应用类题目的解题速度，日常学习中要注意相关基础内容的积累。
【难度系数】
0.9
1. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（
A.5,12,13
B.0.3,0.4,0.5
C.9,12,15
D.8,9,10
D
）。A.5,12,13
B.0.3,0.4,0.5
C.9,12,15
D.8,9,10
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查勾股定理逆定理的应用，解题思路如下：判断三条线段能否构成直角三角形，只需先找出三边中的最长边，再验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则可以构成直角三角形，反之则不能。我们只需逐个验证选项即可找到答案。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A. 最长边为13，计算得$5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，满足$5^2+12^2=13^2$，可以作为直角三角形三边长；
B. 最长边为0.5，计算得$0.3^2+0.4^2=0.09+0.16=0.25$，$0.5^2=0.25$，满足$0.3^2+0.4^2=0.5^2$，可以作为直角三角形三边长；
C. 最长边为15，计算得$9^2+12^2=81+144=225$，$15^2=225$，满足$9^2+12^2=15^2$，可以作为直角三角形三边长；
D. 最长边为10，计算得$8^2+9^2=64+81=145$，$10^2=100$，$145≠100$，不满足勾股定理逆定理，不能作为直角三角形三边长。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题是基础题型，重点考查勾股定理逆定理的应用，解题时要先确定最长边，再验证平方关系，注意计算时不要混淆边长，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.85
本题考查勾股定理逆定理的应用，解题思路如下：判断三条线段能否构成直角三角形，只需先找出三边中的最长边，再验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则可以构成直角三角形，反之则不能。我们只需逐个验证选项即可找到答案。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A. 最长边为13，计算得$5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，满足$5^2+12^2=13^2$，可以作为直角三角形三边长；
B. 最长边为0.5，计算得$0.3^2+0.4^2=0.09+0.16=0.25$，$0.5^2=0.25$，满足$0.3^2+0.4^2=0.5^2$，可以作为直角三角形三边长；
C. 最长边为15，计算得$9^2+12^2=81+144=225$，$15^2=225$，满足$9^2+12^2=15^2$，可以作为直角三角形三边长；
D. 最长边为10，计算得$8^2+9^2=64+81=145$，$10^2=100$，$145≠100$，不满足勾股定理逆定理，不能作为直角三角形三边长。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题是基础题型，重点考查勾股定理逆定理的应用，解题时要先确定最长边，再验证平方关系，注意计算时不要混淆边长，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.85
2. 下列各组数，是勾股数的一组是（
A.6,8,9
B.7,24,25
C.8,15,16
D.10,20,26
B
）。A.6,8,9
B.7,24,25
C.8,15,16
D.10,20,26
答案
2.B
解析
【分析】
要判断一组数是不是勾股数，首先需明确勾股数的两个判定条件：一是三个数都为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时只需对每个选项逐一验证第二个条件即可（本题所有选项均为正整数），先找出每组数中的最大数，再计算另外两个数的平方和，将其与最大数的平方对比，相等的即为勾股数。
【解析】
勾股数的判定要求：两个较小正整数的平方和等于最大正整数的平方，我们逐个验证选项：
A. 最大数为9，$6^2+8^2=36+64=100$，$9^2=81$，$100≠81$，不是勾股数；
B. 最大数为25，$7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，等式成立，是勾股数；
C. 最大数为16，$8^2+15^2=64+225=289$，$16^2=256$，$289≠256$，不是勾股数；
D. 最大数为26，$10^2+20^2=100+400=500$，$26^2=676$，$500≠676$，不是勾股数。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股数的概念、勾股定理的应用
【点评】
本题是基础考查题，核心是掌握勾股数的判定规则，解题时注意准确计算平方值，避免计算失误即可得分。
【难度系数】
0.85
要判断一组数是不是勾股数，首先需明确勾股数的两个判定条件：一是三个数都为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时只需对每个选项逐一验证第二个条件即可（本题所有选项均为正整数），先找出每组数中的最大数，再计算另外两个数的平方和，将其与最大数的平方对比，相等的即为勾股数。
【解析】
勾股数的判定要求：两个较小正整数的平方和等于最大正整数的平方，我们逐个验证选项：
A. 最大数为9，$6^2+8^2=36+64=100$，$9^2=81$，$100≠81$，不是勾股数；
B. 最大数为25，$7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，等式成立，是勾股数；
C. 最大数为16，$8^2+15^2=64+225=289$，$16^2=256$，$289≠256$，不是勾股数；
D. 最大数为26，$10^2+20^2=100+400=500$，$26^2=676$，$500≠676$，不是勾股数。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股数的概念、勾股定理的应用
【点评】
本题是基础考查题，核心是掌握勾股数的判定规则，解题时注意准确计算平方值，避免计算失误即可得分。
【难度系数】
0.85
3. 将直角三角形的三条边长同时扩大同样的倍数，得到的三角形是(
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形
C
)。A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形
答案
3.C
解析
【分析】
要判断边长扩大相同倍数后的三角形形状，我们可以结合勾股定理和勾股定理的逆定理来推导：首先设出原直角三角形的三边长，利用勾股定理写出三边的数量关系；再表示出扩大倍数后的三边长，验证新三边是否满足勾股定理的逆定理，即可判断三角形类型。
【解析】
设原直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，根据勾股定理可得：
$a^2 + b^2 = c^2$
设三条边同时扩大$k$倍（$k＞0$），则新三角形的三边长分别为$ka$、$kb$、$kc$。
对新三边计算平方和：
$(ka)^2 + (kb)^2 = k^2a^2 + k^2b^2 = k^2(a^2 + b^2)$
将$a^2 + b^2 = c^2$代入上式，可得：
$(ka)^2 + (kb)^2 = k^2c^2 = (kc)^2$
根据勾股定理的逆定理，可知新三角形为直角三角形。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础题型，核心考查勾股定理及其逆定理的应用，通过设参数的方式推导边长变化后的数量关系即可快速解题，掌握相关定理是做对本题的关键。
【难度系数】
0.9
要判断边长扩大相同倍数后的三角形形状，我们可以结合勾股定理和勾股定理的逆定理来推导：首先设出原直角三角形的三边长，利用勾股定理写出三边的数量关系；再表示出扩大倍数后的三边长，验证新三边是否满足勾股定理的逆定理，即可判断三角形类型。
【解析】
设原直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，根据勾股定理可得：
$a^2 + b^2 = c^2$
设三条边同时扩大$k$倍（$k＞0$），则新三角形的三边长分别为$ka$、$kb$、$kc$。
对新三边计算平方和：
$(ka)^2 + (kb)^2 = k^2a^2 + k^2b^2 = k^2(a^2 + b^2)$
将$a^2 + b^2 = c^2$代入上式，可得：
$(ka)^2 + (kb)^2 = k^2c^2 = (kc)^2$
根据勾股定理的逆定理，可知新三角形为直角三角形。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础题型，核心考查勾股定理及其逆定理的应用，通过设参数的方式推导边长变化后的数量关系即可快速解题，掌握相关定理是做对本题的关键。
【难度系数】
0.9
4. 已知$|a - 6| + |b - 8| + (c - 10)^2 = 0$，则以$a,b,c$为三边长的三角形是(
A.等腰三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
C
)。A.等腰三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
答案
4.C
解析
【分析】
解题时先利用非负数的性质：绝对值和平方数的结果都是非负数，若几个非负数相加和为0，则每个非负数的值都为0，据此求出a、b、c的具体数值；再根据勾股定理的逆定理，验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断三角形的形状。
【解析】
∵ |a-6|≥0，|b-8|≥0，(c-10)²≥0，且三者的和为0
∴ 每个非负项均为0，即：
a-6=0，解得a=6
b-8=0，解得b=8
c-10=0，解得c=10
计算三边的平方可得：
6²+8²=36+64=100，10²=100
即6²+8²=10²，符合勾股定理的逆定理，因此以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础综合题，将非负数的性质与直角三角形的判定结合考查，解题的关键是先求出三边长，再用勾股定理逆定理验证三边关系即可得出结论。
【难度系数】
0.8
解题时先利用非负数的性质：绝对值和平方数的结果都是非负数，若几个非负数相加和为0，则每个非负数的值都为0，据此求出a、b、c的具体数值；再根据勾股定理的逆定理，验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断三角形的形状。
【解析】
∵ |a-6|≥0，|b-8|≥0，(c-10)²≥0，且三者的和为0
∴ 每个非负项均为0，即：
a-6=0，解得a=6
b-8=0，解得b=8
c-10=0，解得c=10
计算三边的平方可得：
6²+8²=36+64=100，10²=100
即6²+8²=10²，符合勾股定理的逆定理，因此以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础综合题，将非负数的性质与直角三角形的判定结合考查，解题的关键是先求出三边长，再用勾股定理逆定理验证三边关系即可得出结论。
【难度系数】
0.8
5. 如图，小明家里铺的是正方形地砖，他连接其中的三个顶点A，B，C，构成了一个三角形，则这个三角形是（
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.以上都不对
A
）。A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.以上都不对
答案
5.A
解析
【分析】
要判断三角形ABC的形状，我们可以借助勾股定理的逆定理来分析。首先设每个小正方形地砖的边长为1，利用勾股定理分别计算出三角形三条边长度的平方，再验证两条较短边的平方和与最长边的平方的关系：如果两者相等，就是直角三角形；如果两条较短边平方和大于最长边平方，是锐角三角形；反之是钝角三角形。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
根据勾股定理，分别计算三边的平方：
$AC^2 = 1^2 + 3^2 = 1+9=10$，
$AB^2 = 2^2 + 6^2 = 4+36=40$，
$BC^2 = 1^2 + 7^2 =1+49=50$。
验证可得：$AC^2 + AB^2 = 10+40=50 = BC^2$。
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，网格线段计算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的典型应用题型，解题核心是借助网格的特征，用勾股定理算出三边长度的平方，再通过逆定理判断三角形形状，掌握相关定理就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断三角形ABC的形状，我们可以借助勾股定理的逆定理来分析。首先设每个小正方形地砖的边长为1，利用勾股定理分别计算出三角形三条边长度的平方，再验证两条较短边的平方和与最长边的平方的关系：如果两者相等，就是直角三角形；如果两条较短边平方和大于最长边平方，是锐角三角形；反之是钝角三角形。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
根据勾股定理，分别计算三边的平方：
$AC^2 = 1^2 + 3^2 = 1+9=10$，
$AB^2 = 2^2 + 6^2 = 4+36=40$，
$BC^2 = 1^2 + 7^2 =1+49=50$。
验证可得：$AC^2 + AB^2 = 10+40=50 = BC^2$。
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，网格线段计算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的典型应用题型，解题核心是借助网格的特征，用勾股定理算出三边长度的平方，再通过逆定理判断三角形形状，掌握相关定理就能快速解题。
【难度系数】
0.8
6. 在$△ ABC$中，若$AB=12\ \mathrm{cm}$，$AC=9\ \mathrm{cm}$，$BC=15\ \mathrm{cm}$，则$△ ABC$的面积为
$54\ \mathrm{cm}^2$
。答案
6. $54\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
要求三角形的面积，先观察给出的三边长度，可先利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形：先计算两条较短边的平方和，再与最长边的平方比较，若相等则为直角三角形，两条短边即为直角边，再用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵ $AB=12\ \mathrm{cm}$，$AC=9\ \mathrm{cm}$，$BC=15\ \mathrm{cm}$
∴ $AB^2=12^2=144$，$AC^2=9^2=81$，$BC^2=15^2=225$
∵ $144+81=225$，即 $AB^2+AC^2=BC^2$
∴ 根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ A=90°$
∴ $△ ABC$的面积$=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×12×9=54\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$54\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题为基础题型，解题关键是先通过三边的数量关系判断三角形为直角三角形，再代入面积公式计算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.8
要求三角形的面积，先观察给出的三边长度，可先利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形：先计算两条较短边的平方和，再与最长边的平方比较，若相等则为直角三角形，两条短边即为直角边，再用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵ $AB=12\ \mathrm{cm}$，$AC=9\ \mathrm{cm}$，$BC=15\ \mathrm{cm}$
∴ $AB^2=12^2=144$，$AC^2=9^2=81$，$BC^2=15^2=225$
∵ $144+81=225$，即 $AB^2+AC^2=BC^2$
∴ 根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ A=90°$
∴ $△ ABC$的面积$=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×12×9=54\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$54\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题为基础题型，解题关键是先通过三边的数量关系判断三角形为直角三角形，再代入面积公式计算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.8
7. 在$△ ABC$中，$∠ A,∠ B,∠ C$所对的边的长分别是$a,b,c$，且满足$(a-b)^2 + |a^2 + b^2 - c^2| = 0$，则$△ ABC$是________三角形。
答案
7. 等腰直角
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：若干个非负数的和为0时，每个非负数都等于0。据此我们可以将已知等式拆成两个等式分别分析：一是从平方项为0推导边的等量关系，判断是否为等腰三角形；二是从绝对值内的式子为0，结合勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形，最后结合两个结论确定三角形的形状。
【解析】
解：
∵ 平方和绝对值都具有非负性，即$(a-b)^2 ≥ 0$，$|a^2 + b^2 - c^2| ≥ 0$，
且$(a-b)^2 + |a^2 + b^2 - c^2| = 0$，
∴ $\begin{cases} (a-b)^2 = 0 \\ |a^2 + b^2 - c^2| = 0 \end{cases}$，
由$(a-b)^2 = 0$可得：$a - b = 0$，即$a = b$，因此$△ ABC$是等腰三角形；
由$|a^2 + b^2 - c^2| = 0$可得：$a^2 + b^2 - c^2 = 0$，即$a^2 + b^2 = c^2$，根据勾股定理的逆定理可知$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C$为直角。
综上，$△ ABC$同时满足等腰、直角两个条件，因此是等腰直角三角形。
【答案】
等腰直角
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理；等腰三角形判定
【点评】
本题是三角形形状判定的基础题型，解题的核心是熟练掌握非负数的性质，同时能灵活运用勾股定理的逆定理判断直角三角形，需要注意结合两个结论共同确定最终的三角形形状。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆非负数的性质：若干个非负数的和为0时，每个非负数都等于0。据此我们可以将已知等式拆成两个等式分别分析：一是从平方项为0推导边的等量关系，判断是否为等腰三角形；二是从绝对值内的式子为0，结合勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形，最后结合两个结论确定三角形的形状。
【解析】
解：
∵ 平方和绝对值都具有非负性，即$(a-b)^2 ≥ 0$，$|a^2 + b^2 - c^2| ≥ 0$，
且$(a-b)^2 + |a^2 + b^2 - c^2| = 0$，
∴ $\begin{cases} (a-b)^2 = 0 \\ |a^2 + b^2 - c^2| = 0 \end{cases}$，
由$(a-b)^2 = 0$可得：$a - b = 0$，即$a = b$，因此$△ ABC$是等腰三角形；
由$|a^2 + b^2 - c^2| = 0$可得：$a^2 + b^2 - c^2 = 0$，即$a^2 + b^2 = c^2$，根据勾股定理的逆定理可知$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C$为直角。
综上，$△ ABC$同时满足等腰、直角两个条件，因此是等腰直角三角形。
【答案】
等腰直角
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理；等腰三角形判定
【点评】
本题是三角形形状判定的基础题型，解题的核心是熟练掌握非负数的性质，同时能灵活运用勾股定理的逆定理判断直角三角形，需要注意结合两个结论共同确定最终的三角形形状。
【难度系数】
0.8
8. 如图，在$△ ABC$中，$AB=10$，$AC=6$，$BC=8$，$CD$是$AB$边上的高，则$CD=$
4.8
。答案
8. 4.8
解析
【分析】
解题时首先观察△ABC的三边长度，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状：先计算两条短边的平方和，再和最长边的平方比较，若相等则该三角形为直角三角形。判断出是直角三角形后，要求斜边上的高CD，可利用面积法：直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上高的一半计算，两个面积表达式相等，即可列方程求出CD的长度。
【解析】
解：
∵AC=6，BC=8，AB=10
∴$AC^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100$，$AB^2=10^2=100$
∴$AC^2+BC^2=AB^2$
∴△ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$
△ABC的面积可表示为：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC$
也可表示为：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD$
∴$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10×CD$
化简得：$24=5CD$
解得：$CD=4.8$
【答案】
4.8
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题是基础常考题，解题的关键是先借助勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再灵活运用面积法建立等量关系求解斜边上的高，很好地体现了几何中“等积法”的应用思路。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察△ABC的三边长度，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状：先计算两条短边的平方和，再和最长边的平方比较，若相等则该三角形为直角三角形。判断出是直角三角形后，要求斜边上的高CD，可利用面积法：直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上高的一半计算，两个面积表达式相等，即可列方程求出CD的长度。
【解析】
解：
∵AC=6，BC=8，AB=10
∴$AC^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100$，$AB^2=10^2=100$
∴$AC^2+BC^2=AB^2$
∴△ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$
△ABC的面积可表示为：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC$
也可表示为：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD$
∴$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10×CD$
化简得：$24=5CD$
解得：$CD=4.8$
【答案】
4.8
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题是基础常考题，解题的关键是先借助勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再灵活运用面积法建立等量关系求解斜边上的高，很好地体现了几何中“等积法”的应用思路。
【难度系数】
0.8
9. 满足下列条件的$△ ABC$,不是直角三角形的是(
A.$b^2 = c^2 - a^2$
B.$a:b:c=3:4:5$
C.$∠ C=∠ A-∠ B$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=12:13:15$
D
)。A.$b^2 = c^2 - a^2$
B.$a:b:c=3:4:5$
C.$∠ C=∠ A-∠ B$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=12:13:15$
答案
9.D
解析
【分析】
本题考查直角三角形的判定，可从边和角两个角度逐一验证选项：一是利用勾股定理逆定理，判断三角形三边是否满足“两边的平方和等于第三边的平方”；二是利用三角形内角和为180°，判断是否存在内角为90°，通过逐个排查选项即可得出答案。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
选项A：对$b^2 = c^2 - a^2$移项得$a^2+b^2=c^2$，符合勾股定理逆定理，$△ ABC$是直角三角形，不符合题意；
选项B：设$a=3k$，$b=4k$，$c=5k$（$k＞0$），计算得$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$，符合勾股定理逆定理，$△ ABC$是直角三角形，不符合题意；
选项C：由$∠ C=∠ A-∠ B$可得$∠ A=∠ B+∠ C$，根据三角形内角和为$180°$，$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，代入得$2∠ A=180°$，解得$∠ A=90°$，$△ ABC$是直角三角形，不符合题意；
选项D：设$∠ A=12x$，$∠ B=13x$，$∠ C=15x$，根据三角形内角和为$180°$，得$12x+13x+15x=180°$，解得$x=4.5°$，最大角$∠ C=15×4.5°=67.5°＜90°$，$△ ABC$不是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理逆定理、三角形内角和定理、直角三角形判定
【点评】
本题是直角三角形判定的常规基础题，需要熟练掌握从边、角两个维度判断直角三角形的方法，按比例设未知量计算角的度数或边的平方关系时，能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.8
本题考查直角三角形的判定，可从边和角两个角度逐一验证选项：一是利用勾股定理逆定理，判断三角形三边是否满足“两边的平方和等于第三边的平方”；二是利用三角形内角和为180°，判断是否存在内角为90°，通过逐个排查选项即可得出答案。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
选项A：对$b^2 = c^2 - a^2$移项得$a^2+b^2=c^2$，符合勾股定理逆定理，$△ ABC$是直角三角形，不符合题意；
选项B：设$a=3k$，$b=4k$，$c=5k$（$k＞0$），计算得$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$，符合勾股定理逆定理，$△ ABC$是直角三角形，不符合题意；
选项C：由$∠ C=∠ A-∠ B$可得$∠ A=∠ B+∠ C$，根据三角形内角和为$180°$，$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，代入得$2∠ A=180°$，解得$∠ A=90°$，$△ ABC$是直角三角形，不符合题意；
选项D：设$∠ A=12x$，$∠ B=13x$，$∠ C=15x$，根据三角形内角和为$180°$，得$12x+13x+15x=180°$，解得$x=4.5°$，最大角$∠ C=15×4.5°=67.5°＜90°$，$△ ABC$不是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理逆定理、三角形内角和定理、直角三角形判定
【点评】
本题是直角三角形判定的常规基础题，需要熟练掌握从边、角两个维度判断直角三角形的方法，按比例设未知量计算角的度数或边的平方关系时，能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.8
10.如图,下列三角形中,是直角三角形的有
②③
。(填序号) 答案
10. ②③
解析
【分析】
我们可以先设每个小方格的边长为1，解题核心是利用勾股定理的逆定理判断直角三角形：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。我们只需要分别求出每个三角形三条边长度的平方，再验证是否满足上述关系即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别计算各三角形三边的平方：
1. ①号三角形：三边平方分别为$1^2+2^2=5$，$2^2+2^2=8$，$1^2+3^2=10$，$5+8=13≠10$，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形；
2. ②号三角形：三边平方分别为$1^2+3^2=10$，$1^2+3^2=10$，$2^2+4^2=20$，$10+10=20$，满足勾股定理逆定理，是直角三角形；
3. ③号三角形：三边平方分别为$2^2+2^2=8$，$3^2+3^2=18$，$1^2+5^2=26$，$8+18=26$，满足勾股定理逆定理，是直角三角形；
4. ④号三角形：三边平方分别为$1^2+2^2=5$，$1^2+3^2=10$，$2^2+3^2=13$，$5+10=15≠13$，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形；
5. ⑤号三角形：三边平方分别为$1^2+3^2=10$，$2^2+3^2=13$，$1^2+4^2=17$，$10+13=23≠17$，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形。
综上，是直角三角形的为②③。
【答案】
②③
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础应用题，解题时通过将边长的计算转化为边长平方的计算，能避免开方运算，简化计算过程，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的核心。
【难度系数】
0.7
我们可以先设每个小方格的边长为1，解题核心是利用勾股定理的逆定理判断直角三角形：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。我们只需要分别求出每个三角形三条边长度的平方，再验证是否满足上述关系即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别计算各三角形三边的平方：
1. ①号三角形：三边平方分别为$1^2+2^2=5$，$2^2+2^2=8$，$1^2+3^2=10$，$5+8=13≠10$，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形；
2. ②号三角形：三边平方分别为$1^2+3^2=10$，$1^2+3^2=10$，$2^2+4^2=20$，$10+10=20$，满足勾股定理逆定理，是直角三角形；
3. ③号三角形：三边平方分别为$2^2+2^2=8$，$3^2+3^2=18$，$1^2+5^2=26$，$8+18=26$，满足勾股定理逆定理，是直角三角形；
4. ④号三角形：三边平方分别为$1^2+2^2=5$，$1^2+3^2=10$，$2^2+3^2=13$，$5+10=15≠13$，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形；
5. ⑤号三角形：三边平方分别为$1^2+3^2=10$，$2^2+3^2=13$，$1^2+4^2=17$，$10+13=23≠17$，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形。
综上，是直角三角形的为②③。
【答案】
②③
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础应用题，解题时通过将边长的计算转化为边长平方的计算，能避免开方运算，简化计算过程，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的核心。
【难度系数】
0.7
