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13. 已知等腰三角形的底边长为 10 cm，腰长为 13 cm，求该等腰三角形的面积。
答案
13. 解:如图,AB=AC,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,则 BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=5 cm。
在 Rt△ABD 中,由勾股定理得
$AD^2+5^2=13^2$,
所以 $AD^2=13^2-5^2=144=12^2$,
所以 AD=12 cm,
所以 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}×10×12=60(\mathrm{cm}^2)$。
所以该等腰三角形的面积为 60 $\mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
要计算等腰三角形的面积，已知底边长，只需求出底边上的高即可。首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，过顶点作底边的垂线，可将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，此时直角三角形的斜边为等腰三角形的腰长，一条直角边为底边长度的一半，再借助勾股定理就能求出另一条直角边（即底边上的高），最后代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
已知该三角形为等腰三角形，腰长13cm，底边长10cm。过顶点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形三线合一的性质，可得：
$BD=CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$
在Rt△ABD中，由勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），可得：
$AD^2+BD^2=AB^2$
代入数值：$AD^2+5^2=13^2$
计算得：$AD^2=13^2-5^2=169-25=144$
因为线段长度为正数，所以$AD=\sqrt{144}=12\ \mathrm{cm}$
再根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入数据得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×10×12=60\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
该等腰三角形的面积为60 $\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理结合等腰三角形性质的基础应用题，解题关键是利用等腰三角形三线合一构造直角三角形，再通过勾股定理求出高，整体解题思路清晰，属于基础得分题。
【难度系数】
0.85
要计算等腰三角形的面积，已知底边长，只需求出底边上的高即可。首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，过顶点作底边的垂线，可将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，此时直角三角形的斜边为等腰三角形的腰长，一条直角边为底边长度的一半，再借助勾股定理就能求出另一条直角边（即底边上的高），最后代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
已知该三角形为等腰三角形，腰长13cm，底边长10cm。过顶点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形三线合一的性质，可得：
$BD=CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$
在Rt△ABD中，由勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），可得：
$AD^2+BD^2=AB^2$
代入数值：$AD^2+5^2=13^2$
计算得：$AD^2=13^2-5^2=169-25=144$
因为线段长度为正数，所以$AD=\sqrt{144}=12\ \mathrm{cm}$
再根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入数据得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×10×12=60\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
该等腰三角形的面积为60 $\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理结合等腰三角形性质的基础应用题，解题关键是利用等腰三角形三线合一构造直角三角形，再通过勾股定理求出高，整体解题思路清晰，属于基础得分题。
【难度系数】
0.85
14.【数学应用】我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间的关系的问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法。请你用等面积法来探究下列问题：
(1)图①是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请你用它验证勾股定理；
(2)如图②，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是$AB$边上的高，$AC=4$，$BC=3$，求$CD$的长；
(3)尝试构造一个图形，使它的面积能够解释$(a+b)(a+2b)=a^2+3ab+2b^2$，并在图中标注出$a,b$所表示的线段。
(1)图①是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请你用它验证勾股定理；
(2)如图②，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是$AB$边上的高，$AC=4$，$BC=3$，求$CD$的长；
(3)尝试构造一个图形，使它的面积能够解释$(a+b)(a+2b)=a^2+3ab+2b^2$，并在图中标注出$a,b$所表示的线段。
答案
14. 解:(1)因为大正方形的面积为$c^2$,直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$,小正方形的面积为$(b-a)^2$,所以 $c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2=2ab+b^2-2ab+a^2$,即 $c^2=a^2+b^2$。
(2)在 Rt△ABC 中,因为$∠ACB=90°$,
所以由勾股定理可得
$AB^2=3^2+4^2=5^2$,即 AB=5。
又因为 CD⊥AB,
所以 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}AC·BC$,所以 $CD=\frac{12}{5}$。
(3)如图,大长方形的面积既可以表示为$(a+b)(a+2b)$,也可以表示为$a^2+3ab+2b^2$。因此$(a+b)(a+2b)=a^2+3ab+2b^2$。(答案不唯一,合理即可)
解析
【分析】
(1) 验证勾股定理可采用等面积法：分别计算大正方形的总面积、4个全等直角三角形的面积和、中间小正方形的面积，根据“大正方形面积=4个直角三角形面积和+小正方形面积”建立等式，化简后即可得到勾股定理的表达式。
(2) 求CD的长度时，先利用勾股定理计算出Rt△ABC的斜边AB的长，再根据三角形面积的两种计算方法（直角边乘积的一半、斜边与斜边上高乘积的一半）列等积式，即可求出CD的长度。
(3) 解释恒等式$(a+b)(a+2b)=a^2+3ab+2b^2$时，可将左边看作长为$a+2b$、宽为$a+b$的长方形的面积，右边则对应大长方形拆分后的1个边长为a的正方形、3个长为a宽为b的长方形、2个边长为b的正方形的面积和，据此即可画出对应的图形。
【解析】
(1) 图①中大正方形的边长为$c$，因此大正方形面积为$c^2$；
每个直角三角形的两条直角边分别为$a$、$b$，单个直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$；
中间小正方形的边长为$b-a$，因此小正方形面积为$(b-a)^2$；
由面积关系可得：$c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$
化简得：$c^2=2ab+b^2-2ab+a^2$，即$c^2=a^2+b^2$，勾股定理得证。
(2) 在$Rt△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2=4^2+3^2=25$，因此$AB=5$。
因为$CD⊥AB$，所以$△ ABC$的面积可表示为：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$
代入数值可得：$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5×CD$，解得$CD=\frac{12}{5}$。
(3) 构造长为$a+2b$、宽为$a+b$的长方形，将其拆分为1个边长为$a$的正方形、3个长为$a$宽为$b$的长方形、2个边长为$b$的正方形，大长方形的面积既可表示为$(a+b)(a+2b)$，也可表示为所有小图形面积之和$a^2+3ab+2b^2$，因此可验证该恒等式。
【答案】
(1) 因为大正方形的面积为$c^2$,直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$,小正方形的面积为$(b-a)^2$,所以 $c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2=2ab+b^2-2ab+a^2$,即 $c^2=a^2+b^2$。
(2) 在 Rt△ABC 中,因为$∠ACB=90°$,所以由勾股定理可得$AB^2=3^2+4^2=5^2$,即 AB=5。又因为 CD⊥AB,所以 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}AC·BC$,所以 $CD=\frac{12}{5}$。
(3) 如图,大长方形的面积既可以表示为$(a+b)(a+2b)$,也可以表示为$a^2+3ab+2b^2$。因此$(a+b)(a+2b)=a^2+3ab+2b^2$。(答案不唯一,合理即可)
【知识点】
勾股定理；等面积法；整式乘法的几何意义
【点评】
本题以等面积法为核心，考查了勾股定理的验证、直角三角形斜边上高的计算、代数恒等式的几何解释，体现了数形结合的数学思想，有助于提升学生对图形与代数关系转化的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 验证勾股定理可采用等面积法：分别计算大正方形的总面积、4个全等直角三角形的面积和、中间小正方形的面积，根据“大正方形面积=4个直角三角形面积和+小正方形面积”建立等式，化简后即可得到勾股定理的表达式。
(2) 求CD的长度时，先利用勾股定理计算出Rt△ABC的斜边AB的长，再根据三角形面积的两种计算方法（直角边乘积的一半、斜边与斜边上高乘积的一半）列等积式，即可求出CD的长度。
(3) 解释恒等式$(a+b)(a+2b)=a^2+3ab+2b^2$时，可将左边看作长为$a+2b$、宽为$a+b$的长方形的面积，右边则对应大长方形拆分后的1个边长为a的正方形、3个长为a宽为b的长方形、2个边长为b的正方形的面积和，据此即可画出对应的图形。
【解析】
(1) 图①中大正方形的边长为$c$，因此大正方形面积为$c^2$；
每个直角三角形的两条直角边分别为$a$、$b$，单个直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$；
中间小正方形的边长为$b-a$，因此小正方形面积为$(b-a)^2$；
由面积关系可得：$c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$
化简得：$c^2=2ab+b^2-2ab+a^2$，即$c^2=a^2+b^2$，勾股定理得证。
(2) 在$Rt△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2=4^2+3^2=25$，因此$AB=5$。
因为$CD⊥AB$，所以$△ ABC$的面积可表示为：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$
代入数值可得：$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5×CD$，解得$CD=\frac{12}{5}$。
(3) 构造长为$a+2b$、宽为$a+b$的长方形，将其拆分为1个边长为$a$的正方形、3个长为$a$宽为$b$的长方形、2个边长为$b$的正方形，大长方形的面积既可表示为$(a+b)(a+2b)$，也可表示为所有小图形面积之和$a^2+3ab+2b^2$，因此可验证该恒等式。
【答案】
(1) 因为大正方形的面积为$c^2$,直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$,小正方形的面积为$(b-a)^2$,所以 $c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2=2ab+b^2-2ab+a^2$,即 $c^2=a^2+b^2$。
(2) 在 Rt△ABC 中,因为$∠ACB=90°$,所以由勾股定理可得$AB^2=3^2+4^2=5^2$,即 AB=5。又因为 CD⊥AB,所以 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}AC·BC$,所以 $CD=\frac{12}{5}$。
(3) 如图,大长方形的面积既可以表示为$(a+b)(a+2b)$,也可以表示为$a^2+3ab+2b^2$。因此$(a+b)(a+2b)=a^2+3ab+2b^2$。(答案不唯一,合理即可)
【知识点】
勾股定理；等面积法；整式乘法的几何意义
【点评】
本题以等面积法为核心，考查了勾股定理的验证、直角三角形斜边上高的计算、代数恒等式的几何解释，体现了数形结合的数学思想，有助于提升学生对图形与代数关系转化的应用能力。
【难度系数】
0.7
