登录
5.【数学应用】如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”。他们仅仅少走了
4
步（假设2步为1 m），却踩伤了花草。答案
5.4
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确走拐角的路程是两条直角边的长度和，走“捷径”的路程是直角三角形的斜边长度。解题步骤为：①利用勾股定理求出斜边即“路”的长度；②计算走拐角和走“捷径”的路程差；③根据“2步为1m”的换算关系，将路程差转换为少走的步数。
【解析】
1. 求“路”的长度：
由图可知，“路”是直角边长分别为3m、4m的直角三角形的斜边，根据勾股定理，斜边长度为：
$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$（m）
2. 计算路程差：
走拐角的总路程为$3+4=7$（m），走“捷径”的路程为5m，因此少走的距离为：
$7-5=2$（m）
3. 换算为步数：
已知2步为1m，因此少走的步数为$2×2=4$（步）
【答案】
4
【知识点】
勾股定理，路程差计算
【点评】
本题结合生活实际场景考察勾股定理的基础应用，难度不高，既可以巩固所学知识，也能引导学生树立爱护公共环境的意识，兼具知识性和教育意义。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确走拐角的路程是两条直角边的长度和，走“捷径”的路程是直角三角形的斜边长度。解题步骤为：①利用勾股定理求出斜边即“路”的长度；②计算走拐角和走“捷径”的路程差；③根据“2步为1m”的换算关系，将路程差转换为少走的步数。
【解析】
1. 求“路”的长度：
由图可知，“路”是直角边长分别为3m、4m的直角三角形的斜边，根据勾股定理，斜边长度为：
$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$（m）
2. 计算路程差：
走拐角的总路程为$3+4=7$（m），走“捷径”的路程为5m，因此少走的距离为：
$7-5=2$（m）
3. 换算为步数：
已知2步为1m，因此少走的步数为$2×2=4$（步）
【答案】
4
【知识点】
勾股定理，路程差计算
【点评】
本题结合生活实际场景考察勾股定理的基础应用，难度不高，既可以巩固所学知识，也能引导学生树立爱护公共环境的意识，兼具知识性和教育意义。
【难度系数】
0.8
6. 如图，由四个全等的直角三角形拼成的图中，两条直角边长分别为2，3，则大正方形的面积为
13
。答案
6.13
解析
【分析】
观察图形可知该图为经典的赵爽弦图，大正方形的边长对应四个全等直角三角形的斜边。求解大正方形面积有两种思路：思路1：利用勾股定理先求出直角三角形斜边的平方，正方形面积等于边长的平方，也就是斜边的平方，直接计算即可；思路2：大正方形的面积等于4个全等直角三角形的面积和加上中间小正方形的面积，分别计算两部分面积再求和即可。
【解析】
方法一：已知直角三角形的两条直角边长分别为2、3，根据勾股定理，直角三角形斜边长的平方为$2^2+3^2=4+9=13$。
因为大正方形的边长等于该直角三角形的斜边长，所以大正方形的面积等于边长的平方，即13。
方法二：先计算4个全等直角三角形的面积和：$4×(\frac{1}{2}×2×3)=12$；
中间小正方形的边长为直角三角形两条直角边的差，即$3-2=1$，小正方形面积为$1×1=1$；
因此大正方形的面积为$12+1=13$。
【答案】
13
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算；全等图形性质
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，结合经典的赵爽弦图设计，解题方法灵活，既可以直接借助勾股定理求解，也可以通过面积和的思路计算，能够帮助学生深化对勾股定理和面积计算的理解。
【难度系数】
0.8
观察图形可知该图为经典的赵爽弦图，大正方形的边长对应四个全等直角三角形的斜边。求解大正方形面积有两种思路：思路1：利用勾股定理先求出直角三角形斜边的平方，正方形面积等于边长的平方，也就是斜边的平方，直接计算即可；思路2：大正方形的面积等于4个全等直角三角形的面积和加上中间小正方形的面积，分别计算两部分面积再求和即可。
【解析】
方法一：已知直角三角形的两条直角边长分别为2、3，根据勾股定理，直角三角形斜边长的平方为$2^2+3^2=4+9=13$。
因为大正方形的边长等于该直角三角形的斜边长，所以大正方形的面积等于边长的平方，即13。
方法二：先计算4个全等直角三角形的面积和：$4×(\frac{1}{2}×2×3)=12$；
中间小正方形的边长为直角三角形两条直角边的差，即$3-2=1$，小正方形面积为$1×1=1$；
因此大正方形的面积为$12+1=13$。
【答案】
13
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算；全等图形性质
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，结合经典的赵爽弦图设计，解题方法灵活，既可以直接借助勾股定理求解，也可以通过面积和的思路计算，能够帮助学生深化对勾股定理和面积计算的理解。
【难度系数】
0.8
7. 如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积为
81
。答案
7.81
解析
【分析】
解题时先观察图形结构：首先右侧是已知两条边长的直角三角形，我们可以先通过勾股定理求出它的另一条直角边，这条边就是中间空白正方形的边长；再看左侧，两个阴影正方形的边长恰好是夹在它们和中间空白正方形之间的直角三角形的两条直角边，该直角三角形的斜边就是中间空白正方形的边长。根据勾股定理，两个阴影正方形的面积和（即两条直角边的平方和）等于斜边的平方，也就是中间空白正方形的面积，由此可直接算出阴影部分总面积。
【解析】
解：首先计算右侧直角三角形的未知直角边长，根据勾股定理：
未知直角边长度 = √(15² - 12²) = √(225 - 144) = √81 = 9
该长度即为中间空白正方形的边长，因此中间空白正方形的面积为9²=81。
设两个阴影正方形的边长分别为a、b，由图形可知a、b是左侧空白直角三角形的两条直角边，斜边为中间正方形的边长9，根据勾股定理可得：
a² + b² = 9² = 81
两个阴影正方形的面积分别为a²、b²，因此阴影部分总面积为a² + b² = 81。
【答案】
81
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题考查勾股定理的灵活应用，解题的关键是理解勾股定理的几何意义：直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积，无需分别计算两个阴影正方形的面积，利用整体思想即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形结构：首先右侧是已知两条边长的直角三角形，我们可以先通过勾股定理求出它的另一条直角边，这条边就是中间空白正方形的边长；再看左侧，两个阴影正方形的边长恰好是夹在它们和中间空白正方形之间的直角三角形的两条直角边，该直角三角形的斜边就是中间空白正方形的边长。根据勾股定理，两个阴影正方形的面积和（即两条直角边的平方和）等于斜边的平方，也就是中间空白正方形的面积，由此可直接算出阴影部分总面积。
【解析】
解：首先计算右侧直角三角形的未知直角边长，根据勾股定理：
未知直角边长度 = √(15² - 12²) = √(225 - 144) = √81 = 9
该长度即为中间空白正方形的边长，因此中间空白正方形的面积为9²=81。
设两个阴影正方形的边长分别为a、b，由图形可知a、b是左侧空白直角三角形的两条直角边，斜边为中间正方形的边长9，根据勾股定理可得：
a² + b² = 9² = 81
两个阴影正方形的面积分别为a²、b²，因此阴影部分总面积为a² + b² = 81。
【答案】
81
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题考查勾股定理的灵活应用，解题的关键是理解勾股定理的几何意义：直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积，无需分别计算两个阴影正方形的面积，利用整体思想即可快速求解。
【难度系数】
0.7
8. 如图，点E在正方形ABCD内，且满足$∠ AEB=90°$，$AE=6$，$BE=8$，则阴影部分的面积是
76
。答案
8.76
解析
【分析】
观察图形可得，阴影部分的面积等于正方形ABCD的面积减去直角三角形ABE的面积。解题时首先在Rt△AEB中，利用勾股定理求出正方形的边长AB的平方（直接用平方值计算正方形面积更简便），再分别计算正方形和直角三角形ABE的面积，最后作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：
∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
∴在Rt△ABE中，根据勾股定理得：
$AB^2 = AE^2 + BE^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，
∴正方形ABCD的面积为$AB^2=100$，
又
∵$S_{△ ABE} = \frac{1}{2} × AE × BE = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$，
∴阴影部分的面积 = $S_{正方形ABCD} - S_{△ ABE} = 100 - 24 = 76$。
【答案】
76
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心是将不规则阴影部分的面积转化为两个规则图形面积的差求解，熟练掌握勾股定理和常见图形的面积公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
观察图形可得，阴影部分的面积等于正方形ABCD的面积减去直角三角形ABE的面积。解题时首先在Rt△AEB中，利用勾股定理求出正方形的边长AB的平方（直接用平方值计算正方形面积更简便），再分别计算正方形和直角三角形ABE的面积，最后作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：
∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
∴在Rt△ABE中，根据勾股定理得：
$AB^2 = AE^2 + BE^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，
∴正方形ABCD的面积为$AB^2=100$，
又
∵$S_{△ ABE} = \frac{1}{2} × AE × BE = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$，
∴阴影部分的面积 = $S_{正方形ABCD} - S_{△ ABE} = 100 - 24 = 76$。
【答案】
76
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心是将不规则阴影部分的面积转化为两个规则图形面积的差求解，熟练掌握勾股定理和常见图形的面积公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
9. 图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。若$AC=6$，$BC=5$，将四个直角三角形中长为6的直角边向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围的周长是（
A.72
B.52
C.80
D.76
D
）。A.72
B.52
C.80
D.76
答案
9.D
解析
【分析】
解题时首先要明确风车外围周长的组成：观察图形可知，外围由4条等长的斜边和4条等长的短边构成。第一步先确定延长后直角三角形的边长：已知将长为6的直角边向外延长一倍，因此新的长直角边长度为$6×2=12$，短直角边仍为$BC=5$；第二步利用勾股定理计算新直角三角形的斜边长度；第三步可知短边长度就是延长的6，最后将所有外围边相加即可得到周长。
【解析】
解：由题意得，将AC向外延长一倍后，新的长直角边长度为$6×2=12$，
已知短直角边$BC=5$，根据勾股定理，可求得延长后形成的直角三角形的斜边长为：
$\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
观察“数学风车”的外围，它由4条上述斜边和4条长度为6的延长边组成，
因此外围周长为$4×13 + 4×6=52+24=76$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，周长计算
【点评】
本题依托古代数学图形的变形考查勾股定理的实际应用，解题的关键是准确识别外围周长的边的组成，避免漏算、错算边长。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确风车外围周长的组成：观察图形可知，外围由4条等长的斜边和4条等长的短边构成。第一步先确定延长后直角三角形的边长：已知将长为6的直角边向外延长一倍，因此新的长直角边长度为$6×2=12$，短直角边仍为$BC=5$；第二步利用勾股定理计算新直角三角形的斜边长度；第三步可知短边长度就是延长的6，最后将所有外围边相加即可得到周长。
【解析】
解：由题意得，将AC向外延长一倍后，新的长直角边长度为$6×2=12$，
已知短直角边$BC=5$，根据勾股定理，可求得延长后形成的直角三角形的斜边长为：
$\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
观察“数学风车”的外围，它由4条上述斜边和4条长度为6的延长边组成，
因此外围周长为$4×13 + 4×6=52+24=76$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，周长计算
【点评】
本题依托古代数学图形的变形考查勾股定理的实际应用，解题的关键是准确识别外围周长的边的组成，避免漏算、错算边长。
【难度系数】
0.7
10. 如图，直线$l$上有三个正方形A,B,C，若正方形A,C的面积分别为5和11，则正方形B的面积为（
A.4
B.6
C.16
D.55
C
）。A.4
B.6
C.16
D.55
答案
10.C
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：正方形B的两侧各有一个直角三角形，结合正方形四条边相等、四个角都是直角的性质，可先证明这两个直角三角形全等，将正方形A、C的边长转化为同一个直角三角形的两条直角边，再利用勾股定理得到正方形B的边长平方（即面积）与A、C面积的关系，代入数值计算即可。
【解析】
设正方形A、B、C的边长分别为$a$、$b$、$c$，根据正方形面积公式可知：$S_A=a^2=5$，$S_C=c^2=11$。
1. 证明三角形全等：
正方形B的边均相等，且四个角为直角，因此两个直角三角形的斜边均为$b$，且一组锐角互余，可得两个三角形的对应角相等，结合直角相等，根据AAS可证两个直角三角形全等。
2. 利用勾股定理计算：
由全等可得，这两个直角三角形的两条直角边长度分别为$a$和$c$。
在以$b$为斜边的直角三角形中，根据勾股定理：$b^2=a^2+c^2$。
代入数值：$b^2=5+11=16$，即正方形B的面积为16。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【点评】
本题是勾股定理结合正方形、全等三角形的典型基础题，解题核心是通过全等三角形完成边长的转化，进而利用勾股定理推导出三个正方形的面积关系，掌握这类模型能快速解决同类型的几何题。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：正方形B的两侧各有一个直角三角形，结合正方形四条边相等、四个角都是直角的性质，可先证明这两个直角三角形全等，将正方形A、C的边长转化为同一个直角三角形的两条直角边，再利用勾股定理得到正方形B的边长平方（即面积）与A、C面积的关系，代入数值计算即可。
【解析】
设正方形A、B、C的边长分别为$a$、$b$、$c$，根据正方形面积公式可知：$S_A=a^2=5$，$S_C=c^2=11$。
1. 证明三角形全等：
正方形B的边均相等，且四个角为直角，因此两个直角三角形的斜边均为$b$，且一组锐角互余，可得两个三角形的对应角相等，结合直角相等，根据AAS可证两个直角三角形全等。
2. 利用勾股定理计算：
由全等可得，这两个直角三角形的两条直角边长度分别为$a$和$c$。
在以$b$为斜边的直角三角形中，根据勾股定理：$b^2=a^2+c^2$。
代入数值：$b^2=5+11=16$，即正方形B的面积为16。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【点评】
本题是勾股定理结合正方形、全等三角形的典型基础题，解题核心是通过全等三角形完成边长的转化，进而利用勾股定理推导出三个正方形的面积关系，掌握这类模型能快速解决同类型的几何题。
【难度系数】
0.7
11. 如图,在长方形ABCD中,点E在边AB上,将长方形ABCD沿直线DE折叠,点A恰好落在边BC上的点F处。若AE=5,BF=3,则CD的长为(
A.7
B.8
C.9
D.10
C
)。A.7
B.8
C.9
D.10
答案
11.C
解析
【分析】
解题时首先利用折叠的性质得到相等线段，再结合长方形的性质确定直角三角形，最后用勾股定理计算未知线段长度：第一步，由折叠前后对应边相等，可得EF与AE长度相等；第二步，长方形的角B是直角，因此△BEF是直角三角形，已知EF和BF的长度，可通过勾股定理求出BE的长度；第三步，长方形对边相等，CD=AB，AB是AE与BE的和，计算出AB长度即可得到CD的长。
【解析】
解：根据折叠的性质，可得：$EF=AE=5$。
∵四边形ABCD是长方形，
∴$∠ B=90°$，$CD=AB$。
在$Rt△ BEF$中，$EF=5$，$BF=3$，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{EF^2-BF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。
∴$AB=AE+BE=5+4=9$，
∴$CD=AB=9$。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，长方形的性质
【点评】
本题是折叠类的基础计算题，解题关键是找准折叠变换中相等的线段，将已知条件集中到直角三角形中，结合勾股定理求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用折叠的性质得到相等线段，再结合长方形的性质确定直角三角形，最后用勾股定理计算未知线段长度：第一步，由折叠前后对应边相等，可得EF与AE长度相等；第二步，长方形的角B是直角，因此△BEF是直角三角形，已知EF和BF的长度，可通过勾股定理求出BE的长度；第三步，长方形对边相等，CD=AB，AB是AE与BE的和，计算出AB长度即可得到CD的长。
【解析】
解：根据折叠的性质，可得：$EF=AE=5$。
∵四边形ABCD是长方形，
∴$∠ B=90°$，$CD=AB$。
在$Rt△ BEF$中，$EF=5$，$BF=3$，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{EF^2-BF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。
∴$AB=AE+BE=5+4=9$，
∴$CD=AB=9$。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，长方形的性质
【点评】
本题是折叠类的基础计算题，解题关键是找准折叠变换中相等的线段，将已知条件集中到直角三角形中，结合勾股定理求解。
【难度系数】
0.7
12. 如图,点A和点B之间有一座山,从点A到点B需要绕行至点C,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$, $AC = 300$ m, $BC = 400$ m,若打通穿山隧道,建成A,B两地的高铁,则AB=
500
m,一辆全长200 m的动车组,以350 km/h的速度全部通过该隧道需要7.2
s。答案
12. 500 7.2
解析
【分析】
本题分为两个小问，解题思路如下：1. 求AB的长度：已知△ABC是直角三角形，∠C为直角，要求斜边AB的长度，直接运用勾股定理，代入两直角边的数值计算即可。2. 求动车组全部通过隧道的时间：首先明确“全部通过隧道”的行驶总路程等于隧道长度（即AB的长度）加上动车组自身的长度；再统一速度、路程的单位，最后根据“时间=路程÷速度”计算出所需时间。
【解析】
1. 计算AB的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$AB^2=AC^2+BC^2$
代入$AC=300\ \mathrm{m}$，$BC=400\ \mathrm{m}$，得：
$AB^2=300^2+400^2=90000+160000=250000$
因此$AB=\sqrt{250000}=500\ \mathrm{m}$。
2. 计算动车组全部通过隧道的时间：
动车组全部通过隧道行驶的总路程$s=AB_{\mathrm{隧道长}}+L_{\mathrm{车长}}=500+200=700\ \mathrm{m}=0.7\ \mathrm{km}$
已知速度$v=350\ \mathrm{km/h}$，根据$t=\frac{s}{v}$可得：
$t=\frac{0.7}{350}=0.002\ \mathrm{h}$
换算为秒：$0.002×3600=7.2\ \mathrm{s}$。
【答案】
500；7.2
【知识点】
勾股定理；行程问题计算；单位换算
【点评】
本题将几何知识和生活实际结合，既考查了勾股定理在实际测量中的应用，也考查了行程问题的计算，解题时要注意车辆过隧道的路程需包含车身长度，同时要做好单位的统一，避免因单位不符出现计算错误。
【难度系数】
0.7
本题分为两个小问，解题思路如下：1. 求AB的长度：已知△ABC是直角三角形，∠C为直角，要求斜边AB的长度，直接运用勾股定理，代入两直角边的数值计算即可。2. 求动车组全部通过隧道的时间：首先明确“全部通过隧道”的行驶总路程等于隧道长度（即AB的长度）加上动车组自身的长度；再统一速度、路程的单位，最后根据“时间=路程÷速度”计算出所需时间。
【解析】
1. 计算AB的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$AB^2=AC^2+BC^2$
代入$AC=300\ \mathrm{m}$，$BC=400\ \mathrm{m}$，得：
$AB^2=300^2+400^2=90000+160000=250000$
因此$AB=\sqrt{250000}=500\ \mathrm{m}$。
2. 计算动车组全部通过隧道的时间：
动车组全部通过隧道行驶的总路程$s=AB_{\mathrm{隧道长}}+L_{\mathrm{车长}}=500+200=700\ \mathrm{m}=0.7\ \mathrm{km}$
已知速度$v=350\ \mathrm{km/h}$，根据$t=\frac{s}{v}$可得：
$t=\frac{0.7}{350}=0.002\ \mathrm{h}$
换算为秒：$0.002×3600=7.2\ \mathrm{s}$。
【答案】
500；7.2
【知识点】
勾股定理；行程问题计算；单位换算
【点评】
本题将几何知识和生活实际结合，既考查了勾股定理在实际测量中的应用，也考查了行程问题的计算，解题时要注意车辆过隧道的路程需包含车身长度，同时要做好单位的统一，避免因单位不符出现计算错误。
【难度系数】
0.7
