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2. 图①、图②都能够验证勾股定理:在图①中,大正方形ABCD的面积既可以表示为$(a+b)^2$,也可以表示为$4×\frac{1}{2}ab + c^2$,由同一图形的面积相等,可以列出等式$(a+b)^2 = 4×\frac{1}{2}ab + c^2$,化简可得$a^2 + b^2 = c^2$。在图②中,梯形EFGH的面积既可以表示为
$\frac{1}{2}(a+b)^2$
,也可以表示为$\frac{1}{2}ab×2+\frac{1}{2}c^2$
,根据同一图形的面积相等
,可以列出等式$\frac{1}{2}(a+b)^2=\frac{1}{2}ab×2+\frac{1}{2}c^2$
,化简可得$a^2+b^2=c^2$
。答案
2. $\frac{1}{2}(a+b)^2$ $\frac{1}{2}ab×2+\frac{1}{2}c^2$ 同一图形的面积相等
$\frac{1}{2}(a+b)^2=\frac{1}{2}ab×2+\frac{1}{2}c^2$
$a^2+b^2=c^2$
$\frac{1}{2}(a+b)^2=\frac{1}{2}ab×2+\frac{1}{2}c^2$
$a^2+b^2=c^2$
解析
【分析】
本题仿照图①的面积法验证勾股定理的思路，思考路径如下：第一步先通过梯形面积公式写出梯形EFGH的面积表达式，需先确定梯形的上底、下底和高：上底长为a，下底长为b，高为a+b，代入公式即可得到第一种面积表示；第二步用分割法求面积，将梯形拆分为3个三角形，分别计算三个三角形的面积求和，得到第二种面积表示；第三步根据同一图形的面积相等列等式，最后化简等式即可得到勾股定理。
【解析】
1. 用梯形面积公式计算：
梯形EFGH的上底$EF=a$，下底$HG=b$，高$FG=a+b$，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，可得面积为：
$S=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$
2. 用分割法计算面积：
梯形由2个直角边为a、b的直角三角形，和1个直角边为c的等腰直角三角形组成，每个小直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，等腰直角三角形面积为$\frac{1}{2}c^2$，因此总面积为：
$S=2×\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}ab×2+\frac{1}{2}c^2$
3. 列等式化简：
根据同一图形的面积相等，可得等式：
$\frac{1}{2}(a+b)^2=\frac{1}{2}ab×2+\frac{1}{2}c^2$
两边同时乘2得：$(a+b)^2=2ab + c^2$，展开左边得$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，消去两边的$2ab$，最终化简得$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
$\frac{1}{2}(a+b)^2$；$\frac{1}{2}ab×2+\frac{1}{2}c^2$；同一图形的面积相等；$\frac{1}{2}(a+b)^2=\frac{1}{2}ab×2+\frac{1}{2}c^2$；$a^2+b^2=c^2$
【知识点】
梯形面积计算，三角形面积计算，勾股定理验证
【点评】
本题是面积法验证勾股定理的基础题型，通过两种不同方式表示同一图形的面积建立等量关系，直观体现了数形结合的思想，能帮助加深对勾股定理推导过程的理解。
【难度系数】
0.8
本题仿照图①的面积法验证勾股定理的思路，思考路径如下：第一步先通过梯形面积公式写出梯形EFGH的面积表达式，需先确定梯形的上底、下底和高：上底长为a，下底长为b，高为a+b，代入公式即可得到第一种面积表示；第二步用分割法求面积，将梯形拆分为3个三角形，分别计算三个三角形的面积求和，得到第二种面积表示；第三步根据同一图形的面积相等列等式，最后化简等式即可得到勾股定理。
【解析】
1. 用梯形面积公式计算：
梯形EFGH的上底$EF=a$，下底$HG=b$，高$FG=a+b$，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，可得面积为：
$S=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$
2. 用分割法计算面积：
梯形由2个直角边为a、b的直角三角形，和1个直角边为c的等腰直角三角形组成，每个小直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，等腰直角三角形面积为$\frac{1}{2}c^2$，因此总面积为：
$S=2×\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}ab×2+\frac{1}{2}c^2$
3. 列等式化简：
根据同一图形的面积相等，可得等式：
$\frac{1}{2}(a+b)^2=\frac{1}{2}ab×2+\frac{1}{2}c^2$
两边同时乘2得：$(a+b)^2=2ab + c^2$，展开左边得$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，消去两边的$2ab$，最终化简得$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
$\frac{1}{2}(a+b)^2$；$\frac{1}{2}ab×2+\frac{1}{2}c^2$；同一图形的面积相等；$\frac{1}{2}(a+b)^2=\frac{1}{2}ab×2+\frac{1}{2}c^2$；$a^2+b^2=c^2$
【知识点】
梯形面积计算，三角形面积计算，勾股定理验证
【点评】
本题是面积法验证勾股定理的基础题型，通过两种不同方式表示同一图形的面积建立等量关系，直观体现了数形结合的思想，能帮助加深对勾股定理推导过程的理解。
【难度系数】
0.8
1. “赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了一个重要的数学定理，这是我国古代数学的骄傲。如图，利用这个图形证明的定理是(
A. 三角形内角和定理
C
)。A. 三角形内角和定理
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先回忆“赵爽弦图”的相关背景与用途，赵爽弦图是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的经典图形，核心是利用面积拼接的等量关系推导直角三角形三边的数量关系。首先排除与该图形无关的选项：三角形内角和定理是研究三角形内角的度数关系，和本题的面积拼接证明无关，再结合对应知识即可判断正确选项。
【解析】
图中的图形为赵爽弦图，由4个全等的直角三角形和中间1个小正方形拼接成大正方形，可通过面积法推导定理：
设直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c：
1. 大正方形的面积为$c^2$；
2. 4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$；
3. 中间小正方形的边长为$b-a$，面积为$(b-a)^2$。
根据面积相等关系：大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积，代入得：
$c^2=2ab+(b-a)^2$
展开化简：$c^2=2ab+a^2-2ab+b^2$，即$c^2=a^2+b^2$，该式就是勾股定理的表达式，因此这个图形证明的是勾股定理，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
赵爽弦图；勾股定理的证明；面积法
【点评】
本题考查我国古代数学成就与勾股定理的证明相关知识，属于基础识记类题目，了解赵爽弦图的作用即可快速作答，也体现了我国古代数学家的智慧。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆“赵爽弦图”的相关背景与用途，赵爽弦图是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的经典图形，核心是利用面积拼接的等量关系推导直角三角形三边的数量关系。首先排除与该图形无关的选项：三角形内角和定理是研究三角形内角的度数关系，和本题的面积拼接证明无关，再结合对应知识即可判断正确选项。
【解析】
图中的图形为赵爽弦图，由4个全等的直角三角形和中间1个小正方形拼接成大正方形，可通过面积法推导定理：
设直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c：
1. 大正方形的面积为$c^2$；
2. 4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$；
3. 中间小正方形的边长为$b-a$，面积为$(b-a)^2$。
根据面积相等关系：大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积，代入得：
$c^2=2ab+(b-a)^2$
展开化简：$c^2=2ab+a^2-2ab+b^2$，即$c^2=a^2+b^2$，该式就是勾股定理的表达式，因此这个图形证明的是勾股定理，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
赵爽弦图；勾股定理的证明；面积法
【点评】
本题考查我国古代数学成就与勾股定理的证明相关知识，属于基础识记类题目，了解赵爽弦图的作用即可快速作答，也体现了我国古代数学家的智慧。
【难度系数】
0.9
2. 如图，$a$，$b$，$c$分别表示以直角三角形的三边为边分别向外作的正方形的面积，下列关系正确的是（
A.$a+b=c$
B.$a^2 + b^2 = c^2$
C.$ab=c$
D.$a+b=c^2$
A
）。A.$a+b=c$
B.$a^2 + b^2 = c^2$
C.$ab=c$
D.$a+b=c^2$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先明确三个正方形的面积分别对应直角三角形三边的平方，再结合勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，即可推导三个面积的关系，进而选出正确选项。
【解析】
设直角三角形的两条直角边长分别为$m$、$n$，斜边长为$l$。
根据正方形面积公式，可得：
$a = m^2$，$b = n^2$，$c = l^2$。
根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即$m^2 + n^2 = l^2$。
将面积表达式代入上式，可得$a + b = c$，因此选项A正确。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的典型基础应用，将几何图形面积与勾股定理结合，解题关键是建立正方形面积和直角三角形边长平方的对应关系，掌握这类题型能加深对勾股定理几何意义的理解。
【难度系数】
0.8
解题时先明确三个正方形的面积分别对应直角三角形三边的平方，再结合勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，即可推导三个面积的关系，进而选出正确选项。
【解析】
设直角三角形的两条直角边长分别为$m$、$n$，斜边长为$l$。
根据正方形面积公式，可得：
$a = m^2$，$b = n^2$，$c = l^2$。
根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即$m^2 + n^2 = l^2$。
将面积表达式代入上式，可得$a + b = c$，因此选项A正确。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的典型基础应用，将几何图形面积与勾股定理结合，解题关键是建立正方形面积和直角三角形边长平方的对应关系，掌握这类题型能加深对勾股定理几何意义的理解。
【难度系数】
0.8
3. 如图，阴影部分是正方形，其面积是（
A.16
B.8
C.4
D.2
B
）。A.16
B.8
C.4
D.2
答案
3.B
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察图形，右侧与正方形相邻的三角形是直角三角形（正方形的内角为90°，故该三角形有一个内角为90°），已知该三角形有一个45°的内角，可判定其为等腰直角三角形，两条直角边长度相等且等于正方形的边长。要求正方形的面积，只需求出边长的平方即可，结合勾股定理可直接计算得到边长的平方，无需单独求边长，简化计算过程。
【解析】
设正方形的边长为$ a $。
1. 判定三角形类型：因为阴影部分是正方形，所以右侧三角形为直角三角形，又已知其一个锐角为$ 45° $，因此该三角形是等腰直角三角形，两条直角边的长度均等于正方形的边长$ a $。
2. 应用勾股定理：在等腰直角三角形中，由勾股定理可得：
$ a^2 + a^2 = 4^2 $
整理得$ 2a^2 = 16 $，解得$ a^2 = 8 $。
3. 求正方形面积：正方形的面积等于边长的平方，即$ S = a^2 = 8 $。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；等腰直角三角形的性质；正方形面积计算
【点评】
本题将正方形性质、等腰直角三角形性质与勾股定理结合考查，解题的关键是建立正方形边长和等腰直角三角形直角边的关联，直接求解边长的平方得到面积，避免了不必要的开方运算，体现了整体代入的解题思想。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先观察图形，右侧与正方形相邻的三角形是直角三角形（正方形的内角为90°，故该三角形有一个内角为90°），已知该三角形有一个45°的内角，可判定其为等腰直角三角形，两条直角边长度相等且等于正方形的边长。要求正方形的面积，只需求出边长的平方即可，结合勾股定理可直接计算得到边长的平方，无需单独求边长，简化计算过程。
【解析】
设正方形的边长为$ a $。
1. 判定三角形类型：因为阴影部分是正方形，所以右侧三角形为直角三角形，又已知其一个锐角为$ 45° $，因此该三角形是等腰直角三角形，两条直角边的长度均等于正方形的边长$ a $。
2. 应用勾股定理：在等腰直角三角形中，由勾股定理可得：
$ a^2 + a^2 = 4^2 $
整理得$ 2a^2 = 16 $，解得$ a^2 = 8 $。
3. 求正方形面积：正方形的面积等于边长的平方，即$ S = a^2 = 8 $。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；等腰直角三角形的性质；正方形面积计算
【点评】
本题将正方形性质、等腰直角三角形性质与勾股定理结合考查，解题的关键是建立正方形边长和等腰直角三角形直角边的关联，直接求解边长的平方得到面积，避免了不必要的开方运算，体现了整体代入的解题思想。
【难度系数】
0.7
4. 如图，点A，C之间隔有一湖，在与AC方向成$90°$角的CB方向上的点B处测得$BA=50\ \mathrm{m}$，$BC=40\ \mathrm{m}$，则A，C两点之间的距离为（
A.30 m
B.40 m
C.50 m
D.60 m
A
）。A.30 m
B.40 m
C.50 m
D.60 m
答案
4.A
解析
【分析】
首先根据题意可知，CB与AC方向夹角为90°，因此△ABC是直角三角形且∠C为直角，要求A、C两点的距离就是求直角边AC的长度，已知斜边AB和另一条直角边BC的长度，直接运用勾股定理即可计算出AC的长度。
【解析】
由题意得$∠ C=90°$，$△ ABC$是直角三角形。
根据勾股定理：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得$AC^2+BC^2=AB^2$。
将$AB=50\ \mathrm{m}$，$BC=40\ \mathrm{m}$代入公式：
$AC^2=AB^2-BC^2=50^2-40^2=2500-1600=900$
因为线段长度为正数，所以$AC=\sqrt{900}=30\ \mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用
【点评】
本题是勾股定理在实际测量场景中的基础应用，解题核心是先根据题干条件确定直角三角形，再准确区分直角边和斜边后代入公式计算，需要注意计算得到的边长结果要取正值。
【难度系数】
0.8
首先根据题意可知，CB与AC方向夹角为90°，因此△ABC是直角三角形且∠C为直角，要求A、C两点的距离就是求直角边AC的长度，已知斜边AB和另一条直角边BC的长度，直接运用勾股定理即可计算出AC的长度。
【解析】
由题意得$∠ C=90°$，$△ ABC$是直角三角形。
根据勾股定理：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得$AC^2+BC^2=AB^2$。
将$AB=50\ \mathrm{m}$，$BC=40\ \mathrm{m}$代入公式：
$AC^2=AB^2-BC^2=50^2-40^2=2500-1600=900$
因为线段长度为正数，所以$AC=\sqrt{900}=30\ \mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用
【点评】
本题是勾股定理在实际测量场景中的基础应用，解题核心是先根据题干条件确定直角三角形，再准确区分直角边和斜边后代入公式计算，需要注意计算得到的边长结果要取正值。
【难度系数】
0.8
