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11. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,BC=15,AC=20,CD$是$AB$边上的高。求：
(1)$AB$的长；
(2)$CD$的长。
(1)$AB$的长；
(2)$CD$的长。
答案
11. 解:(1)因为在△ABC中，∠ACB = 90°, BC= 15,AC=20,
所以AB²=AC²+BC²=400+225=625,
所以AB=25。
(2)$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} AC · BC = \frac{1}{2} × 20 × 15 = 150$。
因为CD是AB边上的高，
所以$\frac{1}{2} AB · CD = 150$,
所以$CD=12$。
所以AB²=AC²+BC²=400+225=625,
所以AB=25。
(2)$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} AC · BC = \frac{1}{2} × 20 × 15 = 150$。
因为CD是AB边上的高，
所以$\frac{1}{2} AB · CD = 150$,
所以$CD=12$。
解析
【分析】
(1) 已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，题目给出了两条直角边BC、AC的长度，要求斜边AB的长，直接运用勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），代入数值计算即可得到AB的长度。
(2) CD是AB边上的高，求CD的长可利用等面积法：同一个三角形的面积是固定的，△ABC的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边和斜边上高的乘积的一半计算，两种方法计算的面积相等，列出等式即可求出CD的长度。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠ACB=90°，根据勾股定理可得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
代入BC=15，AC=20，得：
$AB^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$
因为三角形边长为正数，所以$AB=\sqrt{625}=25$。
(2) 用两条直角边计算△ABC的面积：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 20 × 15 = 150$
因为CD是AB边上的高，所以△ABC的面积也可以表示为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × CD$
将$S_{△ ABC}=150$，$AB=25$代入上式得：
$\frac{1}{2} × 25 × CD = 150$
解得$CD = \frac{150 × 2}{25} = 12$。
【答案】
(1) $AB=25$；(2) $CD=12$
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，主要考查勾股定理的直接运用和利用三角形面积的不同计算方法求解斜边上的高，掌握核心公式和等面积思路即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，题目给出了两条直角边BC、AC的长度，要求斜边AB的长，直接运用勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），代入数值计算即可得到AB的长度。
(2) CD是AB边上的高，求CD的长可利用等面积法：同一个三角形的面积是固定的，△ABC的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边和斜边上高的乘积的一半计算，两种方法计算的面积相等，列出等式即可求出CD的长度。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠ACB=90°，根据勾股定理可得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
代入BC=15，AC=20，得：
$AB^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$
因为三角形边长为正数，所以$AB=\sqrt{625}=25$。
(2) 用两条直角边计算△ABC的面积：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 20 × 15 = 150$
因为CD是AB边上的高，所以△ABC的面积也可以表示为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × CD$
将$S_{△ ABC}=150$，$AB=25$代入上式得：
$\frac{1}{2} × 25 × CD = 150$
解得$CD = \frac{150 × 2}{25} = 12$。
【答案】
(1) $AB=25$；(2) $CD=12$
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，主要考查勾股定理的直接运用和利用三角形面积的不同计算方法求解斜边上的高，掌握核心公式和等面积思路即可快速解题。
【难度系数】
0.8
12.【数学应用】如图，身高1.6 m的小明(AB)想利用“勾股定理”计算出风筝的高度CE，已知他测得BD的长度为25 m，并根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长度为65 m。求风筝的高度CE。
答案
12. 解:在Rt△BCD中,$BD^2 + CD^2 = BC^2$,
即$25^2 + CD^2 = 65^2$,
所以$CD=60\ \mathrm{m}$。
又因为$DE=AB=1.6\ \mathrm{m}$,
所以$CE=CD+DE=60+1.6=61.6(\mathrm{m})$。
所以风筝的高度CE为61.6 m。
即$25^2 + CD^2 = 65^2$,
所以$CD=60\ \mathrm{m}$。
又因为$DE=AB=1.6\ \mathrm{m}$,
所以$CE=CD+DE=60+1.6=61.6(\mathrm{m})$。
所以风筝的高度CE为61.6 m。
解析
【分析】
解题时先从图形中确定直角三角形：因为BD⊥CD，所以△BCD是直角三角形。已知斜边BC长65m，一条直角边BD长25m，首先利用勾股定理求出CD的长度；再由AB、DE均垂直于地面，BD平行于地面，可得四边形ABDE是矩形，因此DE=AB=1.6m；最后风筝的高度CE为CD与DE的长度之和，代入数值计算即可。
【解析】
在$Rt△ BCD$中，根据勾股定理有：
$BD^2 + CD^2 = BC^2$
将$BD=25\ \mathrm{m}$，$BC=65\ \mathrm{m}$代入得：
$25^2 + CD^2 = 65^2$
计算得$CD^2=65^2-25^2=4225-625=3600$，因此$CD=60\ \mathrm{m}$（线段长度为正）。
由题意可知四边形ABDE为矩形，故$DE=AB=1.6\ \mathrm{m}$，
所以$CE=CD+DE=60+1.6=61.6(\mathrm{m})$。
【答案】
$\boldsymbol{61.6\ \mathrm{m}}$
【知识点】
勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题属于勾股定理的实际应用题型，核心是将生活场景转化为几何模型，找到对应的直角三角形和相等线段，计算时需注意不要遗漏小明身高对应的DE段长度，避免出现结果少加1.6m的错误。
【难度系数】
0.8
解题时先从图形中确定直角三角形：因为BD⊥CD，所以△BCD是直角三角形。已知斜边BC长65m，一条直角边BD长25m，首先利用勾股定理求出CD的长度；再由AB、DE均垂直于地面，BD平行于地面，可得四边形ABDE是矩形，因此DE=AB=1.6m；最后风筝的高度CE为CD与DE的长度之和，代入数值计算即可。
【解析】
在$Rt△ BCD$中，根据勾股定理有：
$BD^2 + CD^2 = BC^2$
将$BD=25\ \mathrm{m}$，$BC=65\ \mathrm{m}$代入得：
$25^2 + CD^2 = 65^2$
计算得$CD^2=65^2-25^2=4225-625=3600$，因此$CD=60\ \mathrm{m}$（线段长度为正）。
由题意可知四边形ABDE为矩形，故$DE=AB=1.6\ \mathrm{m}$，
所以$CE=CD+DE=60+1.6=61.6(\mathrm{m})$。
【答案】
$\boldsymbol{61.6\ \mathrm{m}}$
【知识点】
勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题属于勾股定理的实际应用题型，核心是将生活场景转化为几何模型，找到对应的直角三角形和相等线段，计算时需注意不要遗漏小明身高对应的DE段长度，避免出现结果少加1.6m的错误。
【难度系数】
0.8
13.【数学文化】第24届国际数学家大会在北京举行，这是21世纪全世界数学家的一次大聚会，这次大会的会徽选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图(如图)，这充分肯定了我国数学的成就，也弘扬了我国古代的数学文化。弦图是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形中较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，请求出$(a+b)^2$的值。
答案
13. 解:根据勾股定理,可得$a^2 + b^2 = 13$,
因为四个直角三角形的面积是$\frac{1}{2} ab × 4 = 13 - 1 = 12$,
即$2ab=12$,
所以$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 13 + 12 = 25$。
因为四个直角三角形的面积是$\frac{1}{2} ab × 4 = 13 - 1 = 12$,
即$2ab=12$,
所以$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 13 + 12 = 25$。
解析
【分析】
要求$(a+b)^2$的值，可先利用完全平方公式将其展开为$a^2+2ab+b^2$，因此只需要分别求出$a^2+b^2$和$2ab$的值即可。首先，大正方形的边长是直角三角形的斜边，结合勾股定理可知$a^2+b^2$等于大正方形的面积；其次，四个直角三角形的总面积等于大正方形面积减去中间小正方形的面积，而四个直角三角形的面积和恰好等于$2ab$，最后将两个结果代入展开式计算即可得到答案。
【解析】
解：根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，大正方形的边长为直角三角形的斜边，因此可得：
$a^2 + b^2 = 13$
四个相同直角三角形的总面积为大正方形面积减去小正方形面积，即：
$\frac{1}{2} ab × 4 = 13 - 1 = 12$
化简得：$2ab=12$
根据完全平方公式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，将$a^2+b^2=13$、$2ab=12$代入可得：
$(a+b)^2 = 13 + 12 = 25$
【答案】
25
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形面积计算
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，结合数学文化考查基础公式的应用，解题的关键是理解弦图中各部分图形的面积关系，灵活运用勾股定理和完全平方公式进行转化计算。
【难度系数】
0.7
要求$(a+b)^2$的值，可先利用完全平方公式将其展开为$a^2+2ab+b^2$，因此只需要分别求出$a^2+b^2$和$2ab$的值即可。首先，大正方形的边长是直角三角形的斜边，结合勾股定理可知$a^2+b^2$等于大正方形的面积；其次，四个直角三角形的总面积等于大正方形面积减去中间小正方形的面积，而四个直角三角形的面积和恰好等于$2ab$，最后将两个结果代入展开式计算即可得到答案。
【解析】
解：根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，大正方形的边长为直角三角形的斜边，因此可得：
$a^2 + b^2 = 13$
四个相同直角三角形的总面积为大正方形面积减去小正方形面积，即：
$\frac{1}{2} ab × 4 = 13 - 1 = 12$
化简得：$2ab=12$
根据完全平方公式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，将$a^2+b^2=13$、$2ab=12$代入可得：
$(a+b)^2 = 13 + 12 = 25$
【答案】
25
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形面积计算
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，结合数学文化考查基础公式的应用，解题的关键是理解弦图中各部分图形的面积关系，灵活运用勾股定理和完全平方公式进行转化计算。
【难度系数】
0.7
