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11. 一个三角形的三边长之比为$3:4:5$，且其周长为60 cm，其面积为
$150\ \mathrm{cm}^2$
。答案
11. $150\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
解题时先结合边长的比例关系，设每份长度为未知数，利用周长列方程求出三边长；再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，发现是直角三角形后，代入直角三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
解：设三角形的三边长分别为$3x\ \mathrm{cm}$、$4x\ \mathrm{cm}$、$5x\ \mathrm{cm}$。
由周长为$60\ \mathrm{cm}$可得：
$3x + 4x + 5x = 60$
合并同类项得$12x = 60$
解得$x = 5$
因此三边长分别为：$3×5=15\ \mathrm{cm}$，$4×5=20\ \mathrm{cm}$，$5×5=25\ \mathrm{cm}$。
验证是否为直角三角形：
$15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$，$25^2 = 625$，即$15^2 + 20^2 = 25^2$，根据勾股定理的逆定理可知该三角形是直角三角形，且两条直角边为15 cm和20 cm。
则面积为：$\frac{1}{2}×15×20 = 150\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$150\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理逆定理、按比例分配、直角三角形面积计算
【点评】
本题是基础题型，解题关键是先通过比例和周长求出三边长度，再利用勾股定理逆定理判定三角形为直角三角形后计算面积，是勾股定理逆定理的典型应用考题。
【难度系数】
0.8
解题时先结合边长的比例关系，设每份长度为未知数，利用周长列方程求出三边长；再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，发现是直角三角形后，代入直角三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
解：设三角形的三边长分别为$3x\ \mathrm{cm}$、$4x\ \mathrm{cm}$、$5x\ \mathrm{cm}$。
由周长为$60\ \mathrm{cm}$可得：
$3x + 4x + 5x = 60$
合并同类项得$12x = 60$
解得$x = 5$
因此三边长分别为：$3×5=15\ \mathrm{cm}$，$4×5=20\ \mathrm{cm}$，$5×5=25\ \mathrm{cm}$。
验证是否为直角三角形：
$15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$，$25^2 = 625$，即$15^2 + 20^2 = 25^2$，根据勾股定理的逆定理可知该三角形是直角三角形，且两条直角边为15 cm和20 cm。
则面积为：$\frac{1}{2}×15×20 = 150\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$150\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理逆定理、按比例分配、直角三角形面积计算
【点评】
本题是基础题型，解题关键是先通过比例和周长求出三边长度，再利用勾股定理逆定理判定三角形为直角三角形后计算面积，是勾股定理逆定理的典型应用考题。
【难度系数】
0.8
12. 如图，在△ABC中，AB:BC:CA=3:4:5，且其周长为36 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动。如果点P，Q同时出发，经过3 s，△PBQ的面积为多少？
答案
12. 解:由题意可知,$AB=9\ \mathrm{cm},BC=12\ \mathrm{cm},CA=15\ \mathrm{cm}$,
因为$AB^2+BC^2=CA^2$,所以$∠ B=90°$。
3 s后,$PB=9-1×3=6(\mathrm{cm}),BQ=2×3=6(\mathrm{cm})$,
所以$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}×6×6=18(\mathrm{cm}^2)$。
因为$AB^2+BC^2=CA^2$,所以$∠ B=90°$。
3 s后,$PB=9-1×3=6(\mathrm{cm}),BQ=2×3=6(\mathrm{cm})$,
所以$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}×6×6=18(\mathrm{cm}^2)$。
解析
【分析】
要计算△PBQ的面积，首先需要明确该三角形的形状与对应边长：第一步，根据△ABC的三边比例和周长，先求出三边的具体长度；第二步，利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，得到∠B=90°，可知△PBQ为直角三角形，直角顶点为B；第三步，根据点P、Q的移动速度和运动时间，计算出3秒后PB、BQ的长度，最后代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：设AB=3x cm，BC=4x cm，CA=5x cm，
∵△ABC周长为36 cm，
∴3x+4x+5x=36，解得x=3，
∴AB=9 cm，BC=12 cm，CA=15 cm。
∵$AB^2+BC^2=9^2+12^2=81+144=225=15^2=CA^2$，
∴根据勾股定理的逆定理可得∠B=90°，即△PBQ是直角三角形，直角为∠B。
经过3 s后，点P移动的距离为$1×3=3\ \mathrm{cm}$，点Q移动的距离为$2×3=6\ \mathrm{cm}$，
∴$PB=AB-AP=9-3=6\ \mathrm{cm}$，$BQ=6\ \mathrm{cm}$，
∴$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}×PB×BQ=\frac{1}{2}×6×6=18(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$18\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理逆定理，直角三角形面积计算，动点线段求解
【点评】
本题属于基础综合题，将边长比例、直角三角形判定和动点问题相结合，解题的核心是先判断出∠B为直角，再准确计算运动后两条直角边的长度，计算时注意单位统一即可。
【难度系数】
0.7
要计算△PBQ的面积，首先需要明确该三角形的形状与对应边长：第一步，根据△ABC的三边比例和周长，先求出三边的具体长度；第二步，利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，得到∠B=90°，可知△PBQ为直角三角形，直角顶点为B；第三步，根据点P、Q的移动速度和运动时间，计算出3秒后PB、BQ的长度，最后代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：设AB=3x cm，BC=4x cm，CA=5x cm，
∵△ABC周长为36 cm，
∴3x+4x+5x=36，解得x=3，
∴AB=9 cm，BC=12 cm，CA=15 cm。
∵$AB^2+BC^2=9^2+12^2=81+144=225=15^2=CA^2$，
∴根据勾股定理的逆定理可得∠B=90°，即△PBQ是直角三角形，直角为∠B。
经过3 s后，点P移动的距离为$1×3=3\ \mathrm{cm}$，点Q移动的距离为$2×3=6\ \mathrm{cm}$，
∴$PB=AB-AP=9-3=6\ \mathrm{cm}$，$BQ=6\ \mathrm{cm}$，
∴$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}×PB×BQ=\frac{1}{2}×6×6=18(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$18\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理逆定理，直角三角形面积计算，动点线段求解
【点评】
本题属于基础综合题，将边长比例、直角三角形判定和动点问题相结合，解题的核心是先判断出∠B为直角，再准确计算运动后两条直角边的长度，计算时注意单位统一即可。
【难度系数】
0.7
13.【综合与实践】数学老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
由上表可知，当$n=2$时，$a=3$，$b=4$，$c=5$；当$n=3$时，$a=8$，$b=6$，$c=10$。
(1)当$n=6$时，$a=$
(2)请你分别观察$a,b,c$与$n(n＞1)$之间的关系，并分别用含$n$的代数式表示$a$，$b,c$，$a=$
(3)猜想以$a,b,c$为边长的三角形是不是直角三角形，并说明理由。
由上表可知，当$n=2$时，$a=3$，$b=4$，$c=5$；当$n=3$时，$a=8$，$b=6$，$c=10$。
(1)当$n=6$时，$a=$
35
，$b=$12
，$c=$37
；(2)请你分别观察$a,b,c$与$n(n＞1)$之间的关系，并分别用含$n$的代数式表示$a$，$b,c$，$a=$
$n^2-1$
，$b=$$2n$
，$c=$$n^2+1$
；(3)猜想以$a,b,c$为边长的三角形是不是直角三角形，并说明理由。
答案
13. 解:(1)35 12 37
(2)$n^2-1$ $2n$ $n^2+1$
(3)以$a,b,c$为边长的三角形是直角三角形。
理由如下：
因为$a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4+2n^2+1$,
$c^2=(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$,
所以$a^2+b^2=c^2$。
所以以$a,b,c$为边长的三角形是直角三角形。
(2)$n^2-1$ $2n$ $n^2+1$
(3)以$a,b,c$为边长的三角形是直角三角形。
理由如下：
因为$a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4+2n^2+1$,
$c^2=(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$,
所以$a^2+b^2=c^2$。
所以以$a,b,c$为边长的三角形是直角三角形。
解析
【分析】
解决本题先从数表的规律探究入手：①分别观察a、b、c与n的对应数值，先推导三者和n的关系：观察a的数值：n=2时a=3=2²-1，n=3时a=8=3²-1，可推出a=n²-1；观察b的数值：n=2时b=4=2×2，n=3时b=6=2×3，可推出b=2n；观察c的数值：n=2时c=5=2²+1，n=3时c=10=3²+1，可推出c=n²+1。②第一问将n=6代入三个表达式即可求得结果；③第三问判断是否为直角三角形，用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方即可。
【解析】
(1)根据推导的规律：a=n²-1，b=2n，c=n²+1，当n=6时，
a=6²-1=36-1=35，
b=2×6=12，
c=6²+1=36+1=37。
(2)结合数表数值规律归纳可得：
a=n²-1，b=2n，c=n²+1（n＞1）。
(3)以a,b,c为边长的三角形是直角三角形，理由如下：
先计算a²+b²的值：
$a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4-2n^2+1+4n^2=n^4+2n^2+1$，
再计算c²的值：
$c^2=(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$，
因此可得$a^2+b^2=c^2$，根据勾股定理的逆定理，可知以a,b,c为边长的三角形是直角三角形。
【答案】
(1)35；12；37
(2)$n^2-1$；$2n$；$n^2+1$
(3)以$a,b,c$为边长的三角形是直角三角形，理由见解析。
【知识点】
数字规律探究；列代数式；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是规律探究与几何判定结合的综合题，既考查学生观察、归纳数字规律的能力，又考查对勾股定理逆定理的应用能力，需要先准确归纳出代数表达式，再通过整式运算完成几何结论的验证，是典型的代数几何结合基础题。
【难度系数】
0.7
解决本题先从数表的规律探究入手：①分别观察a、b、c与n的对应数值，先推导三者和n的关系：观察a的数值：n=2时a=3=2²-1，n=3时a=8=3²-1，可推出a=n²-1；观察b的数值：n=2时b=4=2×2，n=3时b=6=2×3，可推出b=2n；观察c的数值：n=2时c=5=2²+1，n=3时c=10=3²+1，可推出c=n²+1。②第一问将n=6代入三个表达式即可求得结果；③第三问判断是否为直角三角形，用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方即可。
【解析】
(1)根据推导的规律：a=n²-1，b=2n，c=n²+1，当n=6时，
a=6²-1=36-1=35，
b=2×6=12，
c=6²+1=36+1=37。
(2)结合数表数值规律归纳可得：
a=n²-1，b=2n，c=n²+1（n＞1）。
(3)以a,b,c为边长的三角形是直角三角形，理由如下：
先计算a²+b²的值：
$a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4-2n^2+1+4n^2=n^4+2n^2+1$，
再计算c²的值：
$c^2=(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$，
因此可得$a^2+b^2=c^2$，根据勾股定理的逆定理，可知以a,b,c为边长的三角形是直角三角形。
【答案】
(1)35；12；37
(2)$n^2-1$；$2n$；$n^2+1$
(3)以$a,b,c$为边长的三角形是直角三角形，理由见解析。
【知识点】
数字规律探究；列代数式；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是规律探究与几何判定结合的综合题，既考查学生观察、归纳数字规律的能力，又考查对勾股定理逆定理的应用能力，需要先准确归纳出代数表达式，再通过整式运算完成几何结论的验证，是典型的代数几何结合基础题。
【难度系数】
0.7
