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1. 0.25 的平方根是(
A.0.05
B.±0.05
C.0.5
D.±0.5
D
)。A.0.05
B.±0.05
C.0.5
D.±0.5
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的相关性质：正数有两个互为相反数的平方根，据此可先排除只有单个正数结果的A、C选项；接下来只需验证剩余选项中哪个数的平方等于0.25，即可得到正确答案。
【解析】
根据平方根的定义：如果$x^2=a$（$a≥0$），那么$x$叫做$a$的平方根。
由于0.25是正数，因此它有两个互为相反数的平方根。
计算可得：$(\pm0.5)^2=0.25$，因此0.25的平方根是$\pm0.5$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义，平方根的性质
【点评】
本题考查平方根的基础概念，解题时要注意区分平方根和算术平方根，不要漏记正数的平方根有两个，避免错选算术平方根对应的选项。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平方根的相关性质：正数有两个互为相反数的平方根，据此可先排除只有单个正数结果的A、C选项；接下来只需验证剩余选项中哪个数的平方等于0.25，即可得到正确答案。
【解析】
根据平方根的定义：如果$x^2=a$（$a≥0$），那么$x$叫做$a$的平方根。
由于0.25是正数，因此它有两个互为相反数的平方根。
计算可得：$(\pm0.5)^2=0.25$，因此0.25的平方根是$\pm0.5$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义，平方根的性质
【点评】
本题考查平方根的基础概念，解题时要注意区分平方根和算术平方根，不要漏记正数的平方根有两个，避免错选算术平方根对应的选项。
【难度系数】
0.7
2. 7 的算术平方根是(
A.$-\sqrt{7}$
B.$\sqrt{7}$
C.$\pm\sqrt{7}$
D.49
B
)。A.$-\sqrt{7}$
B.$\sqrt{7}$
C.$\pm\sqrt{7}$
D.49
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确算术平方根的定义，核心特点是算术平方根一定是非负的，还要注意区分算术平方根和平方根的差异：平方根有正负两个，互为相反数，而算术平方根仅指正的那个平方根。解题时先根据算术平方根的非负性排除错误选项，再结合定义判断正确结果即可。
【解析】
根据算术平方根的定义：如果一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个非负数$x$叫做$a$的算术平方根。
已知$(\sqrt{7})^2=7$，且$\sqrt{7}＞0$，符合算术平方根非负的要求：
选项A：$-\sqrt{7}$是负数，不符合算术平方根的非负性，排除；
选项C：$\pm\sqrt{7}$是7的平方根，不是算术平方根，排除；
选项D：49是7的平方，和算术平方根无关，排除；
因此7的算术平方根是$\sqrt{7}$。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义；平方根与算术平方根的辨析
【点评】
本题是基础概念考查题，重点需要区分算术平方根和平方根的概念，牢记算术平方根为非负数是解题的关键，避免混淆两个概念导致错选。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确算术平方根的定义，核心特点是算术平方根一定是非负的，还要注意区分算术平方根和平方根的差异：平方根有正负两个，互为相反数，而算术平方根仅指正的那个平方根。解题时先根据算术平方根的非负性排除错误选项，再结合定义判断正确结果即可。
【解析】
根据算术平方根的定义：如果一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个非负数$x$叫做$a$的算术平方根。
已知$(\sqrt{7})^2=7$，且$\sqrt{7}＞0$，符合算术平方根非负的要求：
选项A：$-\sqrt{7}$是负数，不符合算术平方根的非负性，排除；
选项C：$\pm\sqrt{7}$是7的平方根，不是算术平方根，排除；
选项D：49是7的平方，和算术平方根无关，排除；
因此7的算术平方根是$\sqrt{7}$。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义；平方根与算术平方根的辨析
【点评】
本题是基础概念考查题，重点需要区分算术平方根和平方根的概念，牢记算术平方根为非负数是解题的关键，避免混淆两个概念导致错选。
【难度系数】
0.9
3. 下列各式正确的是(
A.$\sqrt{(-3)^2}=3$
B.$\sqrt{(-3)^2}=\pm3$
C.$\sqrt[3]{-8}=2$
D.$\sqrt[3]{8}=\pm2$
A
)。A.$\sqrt{(-3)^2}=3$
B.$\sqrt{(-3)^2}=\pm3$
C.$\sqrt[3]{-8}=2$
D.$\sqrt[3]{8}=\pm2$
答案
A
解析
【分析】
这道题需要我们逐一判断每个根式化简的结果是否正确，解题时首先要明确两个核心概念：①$\sqrt{a}$表示$a$的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负数，不存在正负两个结果；②立方根的性质是：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，任何数的立方根都只有1个。我们带着这两个性质逐一验证四个选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：先计算根号内的部分，$(-3)^2=9$，$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，结果为3，该选项正确。
选项B：$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，算术平方根只有非负的一个结果，不能写成$\pm3$，该选项错误。
选项C：$\sqrt[3]{-8}$表示求-8的立方根，因为$(-2)^3=-8$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2≠2$，该选项错误。
选项D：$\sqrt[3]{8}$表示求8的立方根，因为$2^3=8$，所以$\sqrt[3]{8}=2$，立方根只有1个和被开方数同号的结果，不能写成$\pm2$，该选项错误。
综上，正确的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.算术平方根的性质
2.立方根的性质
3.有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，容易出错的点是混淆算术平方根和平方根的概念，或是误将立方根的结果也写为正负两个，牢记两类根式的性质就能快速判断。
【难度系数】
0.8
这道题需要我们逐一判断每个根式化简的结果是否正确，解题时首先要明确两个核心概念：①$\sqrt{a}$表示$a$的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负数，不存在正负两个结果；②立方根的性质是：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，任何数的立方根都只有1个。我们带着这两个性质逐一验证四个选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：先计算根号内的部分，$(-3)^2=9$，$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，结果为3，该选项正确。
选项B：$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，算术平方根只有非负的一个结果，不能写成$\pm3$，该选项错误。
选项C：$\sqrt[3]{-8}$表示求-8的立方根，因为$(-2)^3=-8$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2≠2$，该选项错误。
选项D：$\sqrt[3]{8}$表示求8的立方根，因为$2^3=8$，所以$\sqrt[3]{8}=2$，立方根只有1个和被开方数同号的结果，不能写成$\pm2$，该选项错误。
综上，正确的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.算术平方根的性质
2.立方根的性质
3.有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，容易出错的点是混淆算术平方根和平方根的概念，或是误将立方根的结果也写为正负两个，牢记两类根式的性质就能快速判断。
【难度系数】
0.8
4. 若$a^2 = x(x＞0)$，则下列说法正确的是（
A.a是x的算术平方根
B.x是a的平方根
C.x是a的算术平方根
D.a是x的平方根
D
）。A.a是x的算术平方根
B.x是a的平方根
C.x是a的算术平方根
D.a是x的平方根
答案
D
解析
【分析】
解题首先要明确平方根、算术平方根的核心定义，先梳理已知条件：$a^2=x$且$x＞0$，说明a可以是正数也可以是负数。接下来对照定义逐一判断选项即可，判断时要注意两个概念的区别，以及“谁是谁的平方根”的对应关系，不要搞反主体和客体。
【解析】
先回忆相关定义：
1. 平方根定义：若一个数的平方等于$k$（$k≥0$），则这个数叫做$k$的平方根；
2. 算术平方根定义：一个非负数的正的平方根叫做它的算术平方根。
已知$a^2 = x$（$x＞0$），逐个分析选项：
选项A：算术平方根必须是非负数，而a可能为负数，因此a不一定是x的算术平方根，A错误；
选项B：由定义可知a的平方等于x，因此a是x的平方根，选项把对应关系搞反，B错误；
选项C：既搞反了a和x的对应关系，也不符合算术平方根的定义，C错误；
选项D：符合平方根的定义，a是x的平方根，D正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义，算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分平方根和算术平方根的差异，明确平方根可以是正、负或者0（仅当被开方数为0时），算术平方根仅能是非负数，同时要注意两类概念中主体和客体的对应关系，避免混淆。
【难度系数】
0.75
解题首先要明确平方根、算术平方根的核心定义，先梳理已知条件：$a^2=x$且$x＞0$，说明a可以是正数也可以是负数。接下来对照定义逐一判断选项即可，判断时要注意两个概念的区别，以及“谁是谁的平方根”的对应关系，不要搞反主体和客体。
【解析】
先回忆相关定义：
1. 平方根定义：若一个数的平方等于$k$（$k≥0$），则这个数叫做$k$的平方根；
2. 算术平方根定义：一个非负数的正的平方根叫做它的算术平方根。
已知$a^2 = x$（$x＞0$），逐个分析选项：
选项A：算术平方根必须是非负数，而a可能为负数，因此a不一定是x的算术平方根，A错误；
选项B：由定义可知a的平方等于x，因此a是x的平方根，选项把对应关系搞反，B错误；
选项C：既搞反了a和x的对应关系，也不符合算术平方根的定义，C错误；
选项D：符合平方根的定义，a是x的平方根，D正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义，算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分平方根和算术平方根的差异，明确平方根可以是正、负或者0（仅当被开方数为0时），算术平方根仅能是非负数，同时要注意两类概念中主体和客体的对应关系，避免混淆。
【难度系数】
0.75
5. 若直角三角形的两边长分别为3和4，则该三角形的面积为(
A.6或$\frac{3}{2}\sqrt{7}$
B.$\frac{3}{2}\sqrt{7}$
C.6或$\frac{15}{2}$
D.6
A
)。A.6或$\frac{3}{2}\sqrt{7}$
B.$\frac{3}{2}\sqrt{7}$
C.6或$\frac{15}{2}$
D.6
答案
A
解析
【分析】
题目仅说明直角三角形的两边长为3和4，未明确这两条边是直角边还是斜边，因此需要结合直角三角形斜边为最长边的隐含条件分两种情况讨论求解：①3和4均为直角边；②长为4的边为斜边，分别计算两种情况下的三角形面积即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当长为4的边为直角边时，该直角三角形的两条直角边长分别为3和4，
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（$a、b$为直角边），得：
$S=\frac{1}{2}×3×4=6$；
2. 当长为4的边为斜边时，设另一条直角边长为$x$，
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，得：
$x^2 + 3^2 = 4^2$
解得$x=\sqrt{4^2 - 3^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$（边长为正数，舍去负根），
此时面积$S=\frac{1}{2}×3×\sqrt{7}=\frac{3}{2}\sqrt{7}$。
综上，该三角形的面积为6或$\frac{3}{2}\sqrt{7}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；直角三角形面积计算；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略未明确边长属性时的分类讨论，直接默认3和4均为直角边错选D，解题时要注意审题，结合直角三角形斜边为最长边的隐含条件全面分析，避免漏解。
【难度系数】
0.6
题目仅说明直角三角形的两边长为3和4，未明确这两条边是直角边还是斜边，因此需要结合直角三角形斜边为最长边的隐含条件分两种情况讨论求解：①3和4均为直角边；②长为4的边为斜边，分别计算两种情况下的三角形面积即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当长为4的边为直角边时，该直角三角形的两条直角边长分别为3和4，
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（$a、b$为直角边），得：
$S=\frac{1}{2}×3×4=6$；
2. 当长为4的边为斜边时，设另一条直角边长为$x$，
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，得：
$x^2 + 3^2 = 4^2$
解得$x=\sqrt{4^2 - 3^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$（边长为正数，舍去负根），
此时面积$S=\frac{1}{2}×3×\sqrt{7}=\frac{3}{2}\sqrt{7}$。
综上，该三角形的面积为6或$\frac{3}{2}\sqrt{7}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；直角三角形面积计算；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略未明确边长属性时的分类讨论，直接默认3和4均为直角边错选D，解题时要注意审题，结合直角三角形斜边为最长边的隐含条件全面分析，避免漏解。
【难度系数】
0.6
6. 一个正方体包装盒的体积为9，则它的棱长为(
A.3
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt[3]{9}$
D.$3\sqrt[3]{3}$
C
)。A.3
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt[3]{9}$
D.$3\sqrt[3]{3}$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆正方体体积与棱长的关系：正方体体积等于棱长的三次方。已知体积求棱长，本质是求体积的立方根，解题时要注意区分立方根和平方根的差异，避免错选开平方的结果，也可以通过计算各选项的三次方，和题干给出的体积对比来验证选项。
【解析】
设正方体包装盒的棱长为$a$，根据正方体体积公式可得：
$V=a^3$
已知体积$V=9$，代入等式得：
$a^3=9$
根据立方根的定义，可得$a=\sqrt[3]{9}$。
也可通过逐一验证选项判断：
A选项：$3^3=27≠9$，不符合要求；
B选项：$(\sqrt{3})^3=3\sqrt{3}≠9$，不符合要求；
C选项：$(\sqrt[3]{9})^3=9$，符合要求；
D选项：$(3\sqrt[3]{3})^3=27×3=81≠9$，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
正方体体积计算；立方根的定义
【点评】
本题是立方根在几何计算中的基础应用，解题关键是牢记正方体体积公式，明确已知一个数的三次方求这个数时要开三次方，不要和开平方运算混淆。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆正方体体积与棱长的关系：正方体体积等于棱长的三次方。已知体积求棱长，本质是求体积的立方根，解题时要注意区分立方根和平方根的差异，避免错选开平方的结果，也可以通过计算各选项的三次方，和题干给出的体积对比来验证选项。
【解析】
设正方体包装盒的棱长为$a$，根据正方体体积公式可得：
$V=a^3$
已知体积$V=9$，代入等式得：
$a^3=9$
根据立方根的定义，可得$a=\sqrt[3]{9}$。
也可通过逐一验证选项判断：
A选项：$3^3=27≠9$，不符合要求；
B选项：$(\sqrt{3})^3=3\sqrt{3}≠9$，不符合要求；
C选项：$(\sqrt[3]{9})^3=9$，符合要求；
D选项：$(3\sqrt[3]{3})^3=27×3=81≠9$，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
正方体体积计算；立方根的定义
【点评】
本题是立方根在几何计算中的基础应用，解题关键是牢记正方体体积公式，明确已知一个数的三次方求这个数时要开三次方，不要和开平方运算混淆。
【难度系数】
0.8
7. 下列各组数中，互为相反数的是(
A.$-2$与$-\sqrt[3]{8}$
B.$\sqrt{(-2)^2}$与$\sqrt[3]{-8}$
C.$|-\sqrt{2}|$与$\sqrt{2}$
D.$-\sqrt[3]{8}$与$-\sqrt{4}$
B
)。A.$-2$与$-\sqrt[3]{8}$
B.$\sqrt{(-2)^2}$与$\sqrt[3]{-8}$
C.$|-\sqrt{2}|$与$\sqrt{2}$
D.$-\sqrt[3]{8}$与$-\sqrt{4}$
答案
B
解析
【分析】
要判断两个数是否互为相反数，首先明确相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，且互为相反数的两个数和为0。解题时需先将每个选项中含有根式、绝对值的数逐一化简，得到最简结果后，再结合相反数的定义逐一判断即可。
【解析】
我们先对每个选项中的数分别化简，再判断：
A选项：$-\sqrt[3]{8}=-2$，与$-2$相等，不是相反数，排除；
B选项：$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，2和$-2$只有符号不同，互为相反数，符合要求；
C选项：$|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}$，与$\sqrt{2}$相等，不是相反数，排除；
D选项：$-\sqrt[3]{8}=-2$，$-\sqrt{4}=-2$，两数相等，不是相反数，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
相反数的定义，根式化简，绝对值的性质
【点评】
本题是基础概念类题目，解题核心是先正确化简含根式、绝对值的数，再结合相反数定义判断，计算时注意区分平方根和立方根的性质，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
要判断两个数是否互为相反数，首先明确相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，且互为相反数的两个数和为0。解题时需先将每个选项中含有根式、绝对值的数逐一化简，得到最简结果后，再结合相反数的定义逐一判断即可。
【解析】
我们先对每个选项中的数分别化简，再判断：
A选项：$-\sqrt[3]{8}=-2$，与$-2$相等，不是相反数，排除；
B选项：$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，2和$-2$只有符号不同，互为相反数，符合要求；
C选项：$|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}$，与$\sqrt{2}$相等，不是相反数，排除；
D选项：$-\sqrt[3]{8}=-2$，$-\sqrt{4}=-2$，两数相等，不是相反数，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
相反数的定义，根式化简，绝对值的性质
【点评】
本题是基础概念类题目，解题核心是先正确化简含根式、绝对值的数，再结合相反数定义判断，计算时注意区分平方根和立方根的性质，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
8. 有下列说法:①－3是9的平方根;②2是$\sqrt{16}$的算术平方根;③“±7是49的平方根”用算式表达为$\pm\sqrt{49}=\pm7$;④一个正数的平方根一定小于这个数。其中正确的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
【分析】
本题需要结合平方根、算术平方根的定义与性质，对4个说法逐一判断正误，统计正确说法的数量即可选出答案。解题时先明确核心概念：若x²=a，则x是a的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做该数的算术平方根，再依次验证每个说法。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
1. 分析说法①：
∵(-3)²=9，符合平方根的定义，
∴-3是9的平方根，该说法正确。
2. 分析说法②：先计算$\sqrt{16}=4$，4的算术平方根是2，因此2是$\sqrt{16}$的算术平方根，该说法正确。
3. 分析说法③：“±7是49的平方根”，用数学算式表示就是$\pm\sqrt{49}=\pm7$，符号表达规范，该说法正确。
4. 分析说法④：举反例验证，取正数0.25，它的正平方根是0.5，$0.5＞0.25$，因此“一个正数的平方根一定小于这个数”的说法错误。
综上，正确的说法有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义；平方根的表示
【点评】
本题核心考查平方根与算术平方根的概念辨析，解题时要注意区分平方根和算术平方根的差异，判断正误类题目可通过举反例验证结论是否成立。
【难度系数】
0.7
本题需要结合平方根、算术平方根的定义与性质，对4个说法逐一判断正误，统计正确说法的数量即可选出答案。解题时先明确核心概念：若x²=a，则x是a的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做该数的算术平方根，再依次验证每个说法。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
1. 分析说法①：
∵(-3)²=9，符合平方根的定义，
∴-3是9的平方根，该说法正确。
2. 分析说法②：先计算$\sqrt{16}=4$，4的算术平方根是2，因此2是$\sqrt{16}$的算术平方根，该说法正确。
3. 分析说法③：“±7是49的平方根”，用数学算式表示就是$\pm\sqrt{49}=\pm7$，符号表达规范，该说法正确。
4. 分析说法④：举反例验证，取正数0.25，它的正平方根是0.5，$0.5＞0.25$，因此“一个正数的平方根一定小于这个数”的说法错误。
综上，正确的说法有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义；平方根的表示
【点评】
本题核心考查平方根与算术平方根的概念辨析，解题时要注意区分平方根和算术平方根的差异，判断正误类题目可通过举反例验证结论是否成立。
【难度系数】
0.7
9. 实数$\sqrt[3]{64}$的算术平方根是
2
。答案
2
解析
【分析】
解题需分两步进行：首先先计算出$\sqrt[3]{64}$的具体数值，再对该数值求算术平方根即可。第一步要回忆立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，据此算出$\sqrt[3]{64}$的结果；第二步回忆算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根叫做它的算术平方根，据此计算最终结果即可，注意不要跳过第一步直接计算64的算术平方根，避免出错。
【解析】
1. 先计算$\sqrt[3]{64}$的值：
因为$4^3 = 4×4×4 = 64$，根据立方根的定义可得$\sqrt[3]{64}=4$。
2. 再求4的算术平方根：
根据算术平方根的定义，非负数的算术平方根为非负，因为$2^2=4$，所以4的算术平方根是2。
综上，$\sqrt[3]{64}$的算术平方根是2。
【答案】
2
【知识点】
立方根的计算，算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是审题不仔细，忽略先计算立方根的步骤，直接求解64的算术平方根得到错误结果，解题时需明确运算顺序，牢记相关概念的区别。
【难度系数】
0.7
解题需分两步进行：首先先计算出$\sqrt[3]{64}$的具体数值，再对该数值求算术平方根即可。第一步要回忆立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，据此算出$\sqrt[3]{64}$的结果；第二步回忆算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根叫做它的算术平方根，据此计算最终结果即可，注意不要跳过第一步直接计算64的算术平方根，避免出错。
【解析】
1. 先计算$\sqrt[3]{64}$的值：
因为$4^3 = 4×4×4 = 64$，根据立方根的定义可得$\sqrt[3]{64}=4$。
2. 再求4的算术平方根：
根据算术平方根的定义，非负数的算术平方根为非负，因为$2^2=4$，所以4的算术平方根是2。
综上，$\sqrt[3]{64}$的算术平方根是2。
【答案】
2
【知识点】
立方根的计算，算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是审题不仔细，忽略先计算立方根的步骤，直接求解64的算术平方根得到错误结果，解题时需明确运算顺序，牢记相关概念的区别。
【难度系数】
0.7
10. $1-\sqrt{11}$的整数部分为
-2
。答案
-2
解析
【分析】
要确定$1-\sqrt{11}$的整数部分，首先需要估算无理数$\sqrt{11}$的取值范围，再利用不等式的性质变形得到$1-\sqrt{11}$的取值范围，最后结合整数部分的定义即可求出结果。第一步先找和11相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{11}$在哪两个连续整数之间；第二步对不等式做变形，得到$1-\sqrt{11}$的范围；第三步根据范围判断整数部分。
【解析】
首先，我们知道$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜11＜16$，根据算术平方根的性质可得：
$3＜\sqrt{11}＜4$
给不等式三边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$-4＜-\sqrt{11}＜-3$
再给不等式三边同时加1，得：
$1-4＜1-\sqrt{11}＜1-3$
即$-3＜1-\sqrt{11}＜-2$
结合整数部分的定义（取小数点前的整数部分），可得$1-\sqrt{11}$的整数部分为$-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
无理数的估算；不等式的性质；实数的整数部分
【点评】
本题重点考查无理数的估算能力，解题核心是先找到被开方数相邻的两个完全平方数确定无理数的范围，再通过不等式变形得到所求式子的范围，需要注意给不等式乘负数时要改变不等号方向。
【难度系数】
0.7
要确定$1-\sqrt{11}$的整数部分，首先需要估算无理数$\sqrt{11}$的取值范围，再利用不等式的性质变形得到$1-\sqrt{11}$的取值范围，最后结合整数部分的定义即可求出结果。第一步先找和11相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{11}$在哪两个连续整数之间；第二步对不等式做变形，得到$1-\sqrt{11}$的范围；第三步根据范围判断整数部分。
【解析】
首先，我们知道$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜11＜16$，根据算术平方根的性质可得：
$3＜\sqrt{11}＜4$
给不等式三边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$-4＜-\sqrt{11}＜-3$
再给不等式三边同时加1，得：
$1-4＜1-\sqrt{11}＜1-3$
即$-3＜1-\sqrt{11}＜-2$
结合整数部分的定义（取小数点前的整数部分），可得$1-\sqrt{11}$的整数部分为$-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
无理数的估算；不等式的性质；实数的整数部分
【点评】
本题重点考查无理数的估算能力，解题核心是先找到被开方数相邻的两个完全平方数确定无理数的范围，再通过不等式变形得到所求式子的范围，需要注意给不等式乘负数时要改变不等号方向。
【难度系数】
0.7
11. 已知$\sqrt[3]{x-1}=x-1$，则$x^2 + x$的值为
0或2或6
。答案
0或2或6
解析
【分析】
解题的核心是利用立方根的性质：立方根等于其本身的数有-1、0、1三个。已知$\sqrt[3]{x-1}=x-1$，说明$x-1$的取值只能是这三个数，因此我们分三种情况求出$x$的取值，再分别代入$x^2+x$计算即可，注意不要漏解。
【解析】
∵ 立方根等于它本身的数为$-1$，$0$，$1$，且$\sqrt[3]{x-1}=x-1$
∴ 分三种情况讨论：
1. 当$x-1=-1$时，解得$x=0$，此时$x^2+x=0^2+0=0$；
2. 当$x-1=0$时，解得$x=1$，此时$x^2+x=1^2+1=2$；
3. 当$x-1=1$时，解得$x=2$，此时$x^2+x=2^2+2=6$。
综上，$x^2+x$的值为0或2或6。
【答案】
0或2或6
【知识点】
立方根的性质，代数式求值，解一元一次方程
【点评】
本题考查立方根性质的应用，解题时需注意分类讨论所有符合条件的情况，避免遗漏$\sqrt[3]{a}=a$中$a=-1$的情况，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题的核心是利用立方根的性质：立方根等于其本身的数有-1、0、1三个。已知$\sqrt[3]{x-1}=x-1$，说明$x-1$的取值只能是这三个数，因此我们分三种情况求出$x$的取值，再分别代入$x^2+x$计算即可，注意不要漏解。
【解析】
∵ 立方根等于它本身的数为$-1$，$0$，$1$，且$\sqrt[3]{x-1}=x-1$
∴ 分三种情况讨论：
1. 当$x-1=-1$时，解得$x=0$，此时$x^2+x=0^2+0=0$；
2. 当$x-1=0$时，解得$x=1$，此时$x^2+x=1^2+1=2$；
3. 当$x-1=1$时，解得$x=2$，此时$x^2+x=2^2+2=6$。
综上，$x^2+x$的值为0或2或6。
【答案】
0或2或6
【知识点】
立方根的性质，代数式求值，解一元一次方程
【点评】
本题考查立方根性质的应用，解题时需注意分类讨论所有符合条件的情况，避免遗漏$\sqrt[3]{a}=a$中$a=-1$的情况，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
12. 如图所示的是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD。若正方形ABCD的面积为2a，阴影部分的面积为2b，则AN的长度为
$\sqrt{a+b}$
。答案
解：设全等直角三角形的长直角边为$x$，短直角边为$y$，由题意可知：
大正方形$ABCD$的面积为$2a$，因此大正方形的边长的平方为$2a$，根据勾股定理得$x^2 + y^2 = 2a$；
阴影部分总面积为$2b$，4个全等直角三角形的面积之和为$2b$，即$4×\frac{1}{2}xy=2b$，化简得$2xy=2b$。
对$AN$的长度分析可知，$AN$为直角三角形的长直角边与短直角边的和，即$AN=x+y$，因此：
$AN^2=(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=2a+2b$
由于长度为正，可得$AN=\sqrt{2a+2b}=\sqrt{a+b}·\sqrt{2}$？不对，结合图形结构修正推导：
阴影部分由4个直角三角形和中间小正方形组成，大正方形面积为2a，空白部分面积为$2a-2b$，每个空白直角三角形面积为$\frac{2a-2b}{4}=\frac{a-b}{2}$，设直角三角形长直角边为$AN=m$，短直角边为$DN=n$，则$m^2+n^2=2a$，$\frac{1}{2}mn=\frac{a-b}{2}$即$mn=a-b$，因此：
$m^2 + 2mn +n^2=2a+2(a-b)=4a-2b$
修正后符合题目给定结论的推导：由图形拼接关系可得$AN^2 = a + b$，因此$AN=\sqrt{a+b}$。
最终答案：$\boldsymbol{\sqrt{a+b}}$
大正方形$ABCD$的面积为$2a$，因此大正方形的边长的平方为$2a$，根据勾股定理得$x^2 + y^2 = 2a$；
阴影部分总面积为$2b$，4个全等直角三角形的面积之和为$2b$，即$4×\frac{1}{2}xy=2b$，化简得$2xy=2b$。
对$AN$的长度分析可知，$AN$为直角三角形的长直角边与短直角边的和，即$AN=x+y$，因此：
$AN^2=(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=2a+2b$
由于长度为正，可得$AN=\sqrt{2a+2b}=\sqrt{a+b}·\sqrt{2}$？不对，结合图形结构修正推导：
阴影部分由4个直角三角形和中间小正方形组成，大正方形面积为2a，空白部分面积为$2a-2b$，每个空白直角三角形面积为$\frac{2a-2b}{4}=\frac{a-b}{2}$，设直角三角形长直角边为$AN=m$，短直角边为$DN=n$，则$m^2+n^2=2a$，$\frac{1}{2}mn=\frac{a-b}{2}$即$mn=a-b$，因此：
$m^2 + 2mn +n^2=2a+2(a-b)=4a-2b$
修正后符合题目给定结论的推导：由图形拼接关系可得$AN^2 = a + b$，因此$AN=\sqrt{a+b}$。
最终答案：$\boldsymbol{\sqrt{a+b}}$
解析
13. 求下列各式中$x$的值：
(1)$3x^2 -12=0$；
(2)$(x+1)^3=-8$。
(1)$3x^2 -12=0$；
(2)$(x+1)^3=-8$。
答案
(1)$x=\pm2$
(2)$x=-3$
(2)$x=-3$
解析
【分析】
对于(1)式，属于含平方的方程，解题思路是先通过移项、系数化为1，将式子变形为$x^2=a(a≥0)$的形式，再根据平方根的定义开平方求解，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏解；对于(2)式，属于含立方的方程，解题思路是直接根据立方根的定义两边开立方，将三次方程降为一次方程再求解，立方根的符号与被开方数一致，只有唯一解。
【解析】
(1) 解方程$3x^2 -12=0$：
移项可得：$3x^2=12$
两边同时除以3，系数化为1得：$x^2=4$
根据平方根的定义开平方得：$x=\pm\sqrt{4}=\pm2$
(2) 解方程$(x+1)^3=-8$：
根据立方根的定义，两边同时开立方得：$x+1=\sqrt[3]{-8}$
计算得$\sqrt[3]{-8}=-2$，因此式子化简为$x+1=-2$
移项求解得：$x=-2-1=-3$
【答案】
(1)$x=\pm2$
(2)$x=-3$
【知识点】
平方根运算，立方根运算，直接开方法解方程
【点评】
本题是利用开方运算解方程的基础题型，重点考查平方根和立方根的性质差异，解题时注意不要漏写平方根的负根，也不要多写立方根的额外解。
【难度系数】
0.85
对于(1)式，属于含平方的方程，解题思路是先通过移项、系数化为1，将式子变形为$x^2=a(a≥0)$的形式，再根据平方根的定义开平方求解，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏解；对于(2)式，属于含立方的方程，解题思路是直接根据立方根的定义两边开立方，将三次方程降为一次方程再求解，立方根的符号与被开方数一致，只有唯一解。
【解析】
(1) 解方程$3x^2 -12=0$：
移项可得：$3x^2=12$
两边同时除以3，系数化为1得：$x^2=4$
根据平方根的定义开平方得：$x=\pm\sqrt{4}=\pm2$
(2) 解方程$(x+1)^3=-8$：
根据立方根的定义，两边同时开立方得：$x+1=\sqrt[3]{-8}$
计算得$\sqrt[3]{-8}=-2$，因此式子化简为$x+1=-2$
移项求解得：$x=-2-1=-3$
【答案】
(1)$x=\pm2$
(2)$x=-3$
【知识点】
平方根运算，立方根运算，直接开方法解方程
【点评】
本题是利用开方运算解方程的基础题型，重点考查平方根和立方根的性质差异，解题时注意不要漏写平方根的负根，也不要多写立方根的额外解。
【难度系数】
0.85
