14. 已知a,b均为实数,a的平方根分别是2x−5与x−7,b是27的立方根,求a−2b的算术平方根。

解:因为a的平方根分别是2x−5与x−7，
所以2x−5+x−7=0,所以x=4，
所以2x−5=3,所以a=3²=9。
因为b是27的立方根,所以b=3，
所以a−2b=9−2×3=3。
因为3的算术平方根为$\sqrt{3}$，
所以a−2b的算术平方根为$\sqrt{3}$。

【分析】
解题时先利用平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，二者相加和为0，据此列方程求出x的值，代入平方根表达式平方后即可得到a的值；再根据立方根的定义求出27的立方根，得到b的值；随后计算a-2b的结果，最后根据算术平方根为非负平方根的定义，求出a-2b的算术平方根即可。
【解析】
解：因为a的平方根分别是2x−5与x−7，
所以2x−5+x−7=0，解得x=4，
所以2x−5=2×4−5=3，所以a=3²=9。
因为b是27的立方根，所以b=∛27=3，
所以a−2b=9−2×3=3。
因为3的算术平方根为$\sqrt{3}$，
所以a−2b的算术平方根为$\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
平方根的性质；立方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题属于实数概念的基础考查题，解题核心是熟练掌握平方根、立方根、算术平方根的相关性质与定义，做题时注意区分不同概念的差异，避免混淆导致计算错误。
【难度系数】
0.8

15. 经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离$h(\mathrm{m})$和下落时间$t(\mathrm{s})$可以用公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$来估计。
(1)一个物体从45 m高的楼顶自由下落，落到地面需要几秒？
(2)一个物体从高空某处落到地面用了2 s，物体下落前距离地面多少米？

解:(1)当h=45时，
$t=\sqrt{\frac{h}{5}}=\sqrt{\frac{45}{5}}=\sqrt{9}=3$，
即一个物体从45 m高的楼顶自由下落,落到地面需要3 s。
(2)当t=2时,$\sqrt{\frac{h}{5}}=2,\frac{h}{5}=4$,解得h=20，
即物体下落前距离地面20 m。

【分析】
本题给出了自由下落物体下落时间$t$和下落高度$h$的对应公式，分两类场景求解：
(1)第一问已知下落高度求时间，直接将$h$的数值代入给定公式，按照算术平方根的运算规则计算即可，因时间为正数，直接取正的算术平方根作为结果；
(2)第二问已知下落时间求高度，先将$t$的数值代入公式，再利用平方和开平方互为逆运算的性质，等式两边同时平方去掉根号，解关于$h$的一元一次方程即可，结果需符合高度为正的实际要求。
【解析】
(1)把$h=45$代入公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$：
$t=\sqrt{\frac{45}{5}}=\sqrt{9}=3$
即物体从45m高的楼顶落到地面需要3s。
(2)把$t=2$代入公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$：
$\sqrt{\frac{h}{5}}=2$
等式两边同时平方得：$\frac{h}{5}=4$
解得$h=4×5=20$
即物体下落前距离地面20m。
【答案】
(1)3 s；(2)20 m
【知识点】
算术平方根计算，二次根式的实际应用，等式的性质
【点评】
本题结合实际场景考查二次根式的基础运算，属于常规应用题，核心考查代入求值的能力以及平方与开平方的互逆运算关系，计算时注意结合实际意义取舍结果即可。
【难度系数】
0.9