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6.如图，半径为1的$\odot O$是正方形$ABCD$，正六边形$DEFBGH$的外接圆，则$\overset{\frown}{AE}$的长为（
A.$\dfrac{π}{3}$
B.$\dfrac{π}{6}$
C.$\dfrac{π}{12}$
D.$\dfrac{π}{24}$
B
）。A.$\dfrac{π}{3}$
B.$\dfrac{π}{6}$
C.$\dfrac{π}{12}$
D.$\dfrac{π}{24}$
答案
6.B
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{AE}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧所对圆心角度数，$r$为圆半径）。已知圆$O$半径$r=1$，因此核心是求$\overset{\frown}{AE}$对应的圆心角度数。首先，内接正$n$边形的每条边对应的圆心角为$\frac{360°}{n}$，分别算出正方形、正六边形的边对应的圆心角，再通过两个圆心角的差求出$\overset{\frown}{AE}$的圆心角，最后代入弧长公式即可求解。
【解析】
解：已知$\odot O$的半径$r=1$。
1. 求正方形边对应的圆心角：
正方形$ABCD$是$\odot O$的内接正方形，它的每条边所对的圆心角为$\frac{360°}{4}=90°$，因此$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角$∠ AOD=90°$。
2. 求正六边形边对应的圆心角：
正六边形$DEFBGH$是$\odot O$的内接正六边形，它的每条边所对的圆心角为$\frac{360°}{6}=60°$，因此$\overset{\frown}{ED}$对应的圆心角$∠ EOD=60°$。
3. 计算$\overset{\frown}{AE}$的圆心角：
$∠ AOE=∠ AOD-∠ EOD=90°-60°=30°$。
4. 代入弧长公式计算：
$l_{\overset{\frown}{AE}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{30×π×1}{180}=\frac{π}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
弧长计算；正多边形与圆；圆心角计算
【点评】
本题解题关键是掌握内接正多边形的中心角计算方法，以及弧长公式的应用，通过拆分所求弧对应的圆心角，就能快速求出结果。
【难度系数】
0.7
要求$\overset{\frown}{AE}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧所对圆心角度数，$r$为圆半径）。已知圆$O$半径$r=1$，因此核心是求$\overset{\frown}{AE}$对应的圆心角度数。首先，内接正$n$边形的每条边对应的圆心角为$\frac{360°}{n}$，分别算出正方形、正六边形的边对应的圆心角，再通过两个圆心角的差求出$\overset{\frown}{AE}$的圆心角，最后代入弧长公式即可求解。
【解析】
解：已知$\odot O$的半径$r=1$。
1. 求正方形边对应的圆心角：
正方形$ABCD$是$\odot O$的内接正方形，它的每条边所对的圆心角为$\frac{360°}{4}=90°$，因此$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角$∠ AOD=90°$。
2. 求正六边形边对应的圆心角：
正六边形$DEFBGH$是$\odot O$的内接正六边形，它的每条边所对的圆心角为$\frac{360°}{6}=60°$，因此$\overset{\frown}{ED}$对应的圆心角$∠ EOD=60°$。
3. 计算$\overset{\frown}{AE}$的圆心角：
$∠ AOE=∠ AOD-∠ EOD=90°-60°=30°$。
4. 代入弧长公式计算：
$l_{\overset{\frown}{AE}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{30×π×1}{180}=\frac{π}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
弧长计算；正多边形与圆；圆心角计算
【点评】
本题解题关键是掌握内接正多边形的中心角计算方法，以及弧长公式的应用，通过拆分所求弧对应的圆心角，就能快速求出结果。
【难度系数】
0.7
1. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧。如图①，点M表示筒车的一个盛水桶。如图②，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，$\sqrt{13}$ m为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为$\sqrt{17}$ m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（
A. $\frac{\sqrt{13}+\sqrt{5}}{2}$ m
B
）。A. $\frac{\sqrt{13}+\sqrt{5}}{2}$ m
答案
1.B
2. 在如图所示的方格型网格图中，取3个格点A，B，C并顺次连接得到△ABC，则△ABC的外心是(
A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
A
)。A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
答案
2.A
解析
【分析】
要确定△ABC的外心，首先回忆三角形外心的性质：外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等。首先观察△ABC的特征，AB为水平边，它的垂直平分线是过AB中点的竖直直线，因此外心一定在这条竖直线上，可先排除不在这条线上的点G。接下来只需要验证剩余的D、E、F三个点到A、C的距离是否相等，距离相等的点就是外心，计算距离可借助网格用勾股定理求解。
【解析】
三角形的外心是三角形外接圆的圆心，即三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。
1. 观察AB边：AB为水平格点线段，其垂直平分线为过AB中点的竖直直线，点G不在该竖直线上，首先排除选项D。
2. 设每个小方格的边长为1，计算各候选点到顶点的距离：
点D：到点A的横向距离为4，纵向距离为3，由勾股定理得$AD=\sqrt{4^2+3^2}=5$；同理$BD=5$；点D和点C在同一条竖直线上，纵向距离为5，故$CD=5$，满足$AD=BD=CD$，符合外心的性质。
验证其余点：点E到A的距离为$\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}≠5$，点F到A的距离为$\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}≠5$，均不满足到三个顶点距离相等，排除B、C选项。
综上，△ABC的外心是点D。
【答案】
A
【知识点】
三角形外心的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题解题的核心是抓住外心到三角形三个顶点距离相等的性质，先利用对称性缩小筛选范围，再通过勾股定理计算验证即可，解题思路清晰，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
要确定△ABC的外心，首先回忆三角形外心的性质：外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等。首先观察△ABC的特征，AB为水平边，它的垂直平分线是过AB中点的竖直直线，因此外心一定在这条竖直线上，可先排除不在这条线上的点G。接下来只需要验证剩余的D、E、F三个点到A、C的距离是否相等，距离相等的点就是外心，计算距离可借助网格用勾股定理求解。
【解析】
三角形的外心是三角形外接圆的圆心，即三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。
1. 观察AB边：AB为水平格点线段，其垂直平分线为过AB中点的竖直直线，点G不在该竖直线上，首先排除选项D。
2. 设每个小方格的边长为1，计算各候选点到顶点的距离：
点D：到点A的横向距离为4，纵向距离为3，由勾股定理得$AD=\sqrt{4^2+3^2}=5$；同理$BD=5$；点D和点C在同一条竖直线上，纵向距离为5，故$CD=5$，满足$AD=BD=CD$，符合外心的性质。
验证其余点：点E到A的距离为$\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}≠5$，点F到A的距离为$\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}≠5$，均不满足到三个顶点距离相等，排除B、C选项。
综上，△ABC的外心是点D。
【答案】
A
【知识点】
三角形外心的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题解题的核心是抓住外心到三角形三个顶点距离相等的性质，先利用对称性缩小筛选范围，再通过勾股定理计算验证即可，解题思路清晰，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
3. 如图，AB是$\odot O$的直径，D为$\odot O$上一点，且$OD ⊥ AB$于点O，C是$\overset{\frown}{AD}$的中点，连接BC交OD于点E，连接AC，CD，OC。则下列结论：①$∠ ABC = 22.5°$；②E为OD中点；③$CD = CE$；④$AC ＜ 2OE$。其中正确的是（
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
C
）。A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
答案
3.C
解析
【分析】
解题时先依据已知的垂直关系和弧中点的条件确定各段弧对应的圆心角、圆周角的度数，逐一验证结论①；再通过角度计算推导△CDE的角度关系判断③；结合特殊角的三角函数值计算OE的长度判断②；最后对比AC和2OE的长度关系判断④，最终筛选出正确结论。
【解析】
1. 验证结论①：
∵OD⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴$\overset{\frown}{AD}$的度数为90°，
∵C是$\overset{\frown}{AD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=45°$，
∠ABC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，因此$∠ABC=\frac{1}{2}×45°=22.5°$，①正确。
2. 验证结论②：
设⊙O半径为r，在Rt△OBE中，∠OBE=22.5°，∠BOE=90°，
则$OE=OB·\tan22.5°=r(\sqrt{2}-1)≈0.414r＜0.5r$，即OE≠$\frac{1}{2}$OD，E不是OD中点，②错误。
3. 验证结论③：
∵∠COD=45°，OC=OD，
∴$∠ODC=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，
又
∵∠OEB=90°-∠OBE=90°-22.5°=67.5°，∠CED=∠OEB，
∴∠CDE=∠CED=67.5°，
∴CD=CE，③正确。
4. 验证结论④：
在△AOC中，∠AOC=45°，OA=OC=r，可得$AC=r\sqrt{2-\sqrt{2}}≈0.765r$，
而$2OE=2r(\sqrt{2}-1)≈0.828r$，因此AC＜2OE，④正确。
综上，①③④正确。
【答案】C
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形判定，圆的基本性质
【点评】
本题属于圆的综合基础题，需要结合角度推导、线段长度计算逐一判断每个结论，解题时可借助特殊角度的性质简化推导过程。
【难度系数】
0.65
解题时先依据已知的垂直关系和弧中点的条件确定各段弧对应的圆心角、圆周角的度数，逐一验证结论①；再通过角度计算推导△CDE的角度关系判断③；结合特殊角的三角函数值计算OE的长度判断②；最后对比AC和2OE的长度关系判断④，最终筛选出正确结论。
【解析】
1. 验证结论①：
∵OD⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴$\overset{\frown}{AD}$的度数为90°，
∵C是$\overset{\frown}{AD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=45°$，
∠ABC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，因此$∠ABC=\frac{1}{2}×45°=22.5°$，①正确。
2. 验证结论②：
设⊙O半径为r，在Rt△OBE中，∠OBE=22.5°，∠BOE=90°，
则$OE=OB·\tan22.5°=r(\sqrt{2}-1)≈0.414r＜0.5r$，即OE≠$\frac{1}{2}$OD，E不是OD中点，②错误。
3. 验证结论③：
∵∠COD=45°，OC=OD，
∴$∠ODC=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，
又
∵∠OEB=90°-∠OBE=90°-22.5°=67.5°，∠CED=∠OEB，
∴∠CDE=∠CED=67.5°，
∴CD=CE，③正确。
4. 验证结论④：
在△AOC中，∠AOC=45°，OA=OC=r，可得$AC=r\sqrt{2-\sqrt{2}}≈0.765r$，
而$2OE=2r(\sqrt{2}-1)≈0.828r$，因此AC＜2OE，④正确。
综上，①③④正确。
【答案】C
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形判定，圆的基本性质
【点评】
本题属于圆的综合基础题，需要结合角度推导、线段长度计算逐一判断每个结论，解题时可借助特殊角度的性质简化推导过程。
【难度系数】
0.65
4.如图,点 E 是$△ ABC$ 的内心,AE 的延长线和$△ ABC$ 的外接圆相交于点 D,与 BC相交于点 G。则下列结论:①$∠ BAD = ∠ CAD$;②若$∠ BAC = 60°$,则$∠ BEC = 120°$;③若 G 为 BC 的中点,则$∠ BGD = 90°$;④$AE = DE = DB$。其中不一定正确的是(
A.①
B.②
C.③
D.④
D
)。A.①
B.②
C.③
D.④
答案
4.D
解析
【分析】
首先明确三角形内心是三个内角角平分线的交点，结合圆周角定理、等腰三角形判定、垂直平分线性质，逐一分析4个结论是否一定成立，找出不一定正确的选项。①先根据内心性质，判断AE是∠BAC的角平分线；②利用三角形内角和，结合内心平分内角的性质计算∠BEC的度数；③根据圆周角与弧的对应关系，结合垂直平分线性质判断垂直；④先推导DB=DE，再判断AE与DE是否必然相等。
【解析】
我们逐个分析结论：
1. 分析结论①：
∵点E是△ABC的内心，内心是三角形内角平分线的交点，
∴AE平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，故①一定正确。
2. 分析结论②：
若∠BAC=60°，则∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵E是内心，
∴BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=60°，
∴∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=180°-60°=120°，故②一定正确。
3. 分析结论③：
由①知∠BAD=∠CAD，根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，可得弧BD=弧CD，
∴点D在BC的垂直平分线上，
又
∵G为BC的中点，
∴DG是BC的垂直平分线的一部分，即DG⊥BC，
∴∠BGD=90°，故③一定正确。
4. 分析结论④：
先证DB=DE：
∠DBE=∠DBC+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，
∵∠DBC和∠DAC都是弧DC所对的圆周角，
∴∠DBC=∠DAC，
又
∵∠DAC=∠BAD，∠CBE=∠ABE（BE是角平分线），
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE。
但AE和DE没有必然相等的关系，仅当△ABC为特殊三角形（如等边三角形）时AE=DE，普通三角形中该关系不成立，故④不一定正确。
综上，不一定正确的是④，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形内心的性质；圆周角定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础综合题，解题的关键是熟练掌握三角形内心的性质、圆周角定理的应用，注意分析结论时要考虑是否对任意三角形都成立，不要被特殊情况误导。
【难度系数】
0.7
首先明确三角形内心是三个内角角平分线的交点，结合圆周角定理、等腰三角形判定、垂直平分线性质，逐一分析4个结论是否一定成立，找出不一定正确的选项。①先根据内心性质，判断AE是∠BAC的角平分线；②利用三角形内角和，结合内心平分内角的性质计算∠BEC的度数；③根据圆周角与弧的对应关系，结合垂直平分线性质判断垂直；④先推导DB=DE，再判断AE与DE是否必然相等。
【解析】
我们逐个分析结论：
1. 分析结论①：
∵点E是△ABC的内心，内心是三角形内角平分线的交点，
∴AE平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，故①一定正确。
2. 分析结论②：
若∠BAC=60°，则∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵E是内心，
∴BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=60°，
∴∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=180°-60°=120°，故②一定正确。
3. 分析结论③：
由①知∠BAD=∠CAD，根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，可得弧BD=弧CD，
∴点D在BC的垂直平分线上，
又
∵G为BC的中点，
∴DG是BC的垂直平分线的一部分，即DG⊥BC，
∴∠BGD=90°，故③一定正确。
4. 分析结论④：
先证DB=DE：
∠DBE=∠DBC+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，
∵∠DBC和∠DAC都是弧DC所对的圆周角，
∴∠DBC=∠DAC，
又
∵∠DAC=∠BAD，∠CBE=∠ABE（BE是角平分线），
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE。
但AE和DE没有必然相等的关系，仅当△ABC为特殊三角形（如等边三角形）时AE=DE，普通三角形中该关系不成立，故④不一定正确。
综上，不一定正确的是④，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形内心的性质；圆周角定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础综合题，解题的关键是熟练掌握三角形内心的性质、圆周角定理的应用，注意分析结论时要考虑是否对任意三角形都成立，不要被特殊情况误导。
【难度系数】
0.7
