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例4 如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与$\odot A$相交于点F。若$\overset{\frown}{EF}$的长为$\frac{π}{2}$，求图中阴影部分的面积。
答案
图中阴影部的面积为$2-\frac{π}{2}$。
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，结合切线性质和平行四边形性质推导角度关系：CD与⊙A相切可得AC⊥CD，结合平行四边形AB//CD推出AC⊥AB，又AB=AC（均为圆半径），可证△ACD是等腰直角三角形，得到弧EF对应的圆心角为45°；第二步，利用弧长公式代入已知弧长，求出圆的半径；第三步，阴影部分为不规则图形，可转化为等腰直角△ACD的面积减去扇形ACE的面积，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵CD与⊙A相切于点C，
∴AC⊥CD，即$∠ ACD=90°$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=CD。
又
∵AB是⊙A的半径，
∴AB=AC，因此AC=CD，即△ACD是等腰直角三角形，
∴$∠ CAD=45°$，也就是弧EF对应的圆心角为45°。
已知$\overset{\frown}{EF}$的长为$\frac{π}{2}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入$n=45$，$l=\frac{π}{2}$得：
$\frac{45π r}{180}=\frac{π}{2}$，解得$r=2$，即$AC=CD=2$。
∴$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× CD=\frac{1}{2}×2×2=2$。
扇形ACE的圆心角$∠ CAD=45°$，半径$r=2$，
∴$S_{扇形ACE}=\frac{45π×2^2}{360}=\frac{π}{2}$。
∴$S_{阴影}=S_{△ ACD}-S_{扇形ACE}=2-\frac{π}{2}$。
【答案】
$2-\frac{π}{2}$
【知识点】
切线的性质，弧长计算，阴影面积计算
【点评】
本题综合考查了平行四边形性质、圆的切线性质、弧长与扇形面积公式，解题核心是将不规则阴影面积转化为规则图形面积的差，需要熟练掌握几何性质的综合运用。
【难度系数】
0.65
解题思路分为三步：第一步，结合切线性质和平行四边形性质推导角度关系：CD与⊙A相切可得AC⊥CD，结合平行四边形AB//CD推出AC⊥AB，又AB=AC（均为圆半径），可证△ACD是等腰直角三角形，得到弧EF对应的圆心角为45°；第二步，利用弧长公式代入已知弧长，求出圆的半径；第三步，阴影部分为不规则图形，可转化为等腰直角△ACD的面积减去扇形ACE的面积，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵CD与⊙A相切于点C，
∴AC⊥CD，即$∠ ACD=90°$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=CD。
又
∵AB是⊙A的半径，
∴AB=AC，因此AC=CD，即△ACD是等腰直角三角形，
∴$∠ CAD=45°$，也就是弧EF对应的圆心角为45°。
已知$\overset{\frown}{EF}$的长为$\frac{π}{2}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入$n=45$，$l=\frac{π}{2}$得：
$\frac{45π r}{180}=\frac{π}{2}$，解得$r=2$，即$AC=CD=2$。
∴$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× CD=\frac{1}{2}×2×2=2$。
扇形ACE的圆心角$∠ CAD=45°$，半径$r=2$，
∴$S_{扇形ACE}=\frac{45π×2^2}{360}=\frac{π}{2}$。
∴$S_{阴影}=S_{△ ACD}-S_{扇形ACE}=2-\frac{π}{2}$。
【答案】
$2-\frac{π}{2}$
【知识点】
切线的性质，弧长计算，阴影面积计算
【点评】
本题综合考查了平行四边形性质、圆的切线性质、弧长与扇形面积公式，解题核心是将不规则阴影面积转化为规则图形面积的差，需要熟练掌握几何性质的综合运用。
【难度系数】
0.65
5. 如图,已知AD是$\odot O$的直径,B,C为圆上的点,$OE ⊥ AB,BC ⊥ AD$,垂足分别为E,F。
(1)求证:$2OE=CD$;
(2)若$∠ BAD=30°,AD=4$,求阴影部分的面积。
(1)求证:$2OE=CD$;
(2)若$∠ BAD=30°,AD=4$,求阴影部分的面积。
答案
(1)略
(2)阴影部分的面积为$\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$。
(2)阴影部分的面积为$\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$。
解析
【分析】
(1) 要证2OE=CD，首先利用垂径定理可得E是AB中点，结合O是AD中点，可知OE是△ABD的中位线，得到2OE=BD，再通过垂径定理证明BD=CD，即可得证；
(2) 阴影部分为不规则图形，可转化为扇形AOB的面积减去△AOB的面积求解。先根据已知条件求出圆的半径、圆心角∠AOB的度数，再分别计算扇形和三角形的面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ OE⊥AB，OE过圆心O，
∴ E是AB的中点（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦），
又
∵ O是AD的中点，
∴ OE是△ABD的中位线，
∴ 2OE = BD。
∵ AD是⊙O的直径，BC⊥AD，
∴ 弧BD=弧CD（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦所对的弧），
∴ BD=CD，
∴ 2OE=CD。
(2) 解：
∵ AD=4，
∴ ⊙O的半径OA=OB=2，
∵ OA=OB，∠BAD=30°，
∴ ∠ABO=∠BAD=30°，
∴ ∠AOB=180°-30°-30°=120°。
∵ OE⊥AB，∠BAD=30°，
∴ OE=$\frac{1}{2}$OA=1，
在Rt△AOE中，AE=$\sqrt{OA^2-OE^2}$=$\sqrt{2^2-1^2}$=$\sqrt{3}$，
∴ AB=2AE=2$\sqrt{3}$，
∴ $S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × AB × OE=\frac{1}{2} × 2\sqrt{3} × 1=\sqrt{3}$，
扇形AOB的面积：$S_{扇形AOB}=\frac{120°}{360°} × π × 2^2=\frac{4π}{3}$，
∴ 阴影部分面积$S_{阴影}=S_{扇形AOB}-S_{△ AOB}=\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理，三角形中位线定理，扇形面积计算
【点评】
本题属于圆的综合基础题，解题的关键是灵活运用垂径定理得到线段、弧的等量关系，求解不规则图形面积时常用割补法，将其转化为规则图形面积的和差计算。
【难度系数】
0.65
(1) 要证2OE=CD，首先利用垂径定理可得E是AB中点，结合O是AD中点，可知OE是△ABD的中位线，得到2OE=BD，再通过垂径定理证明BD=CD，即可得证；
(2) 阴影部分为不规则图形，可转化为扇形AOB的面积减去△AOB的面积求解。先根据已知条件求出圆的半径、圆心角∠AOB的度数，再分别计算扇形和三角形的面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ OE⊥AB，OE过圆心O，
∴ E是AB的中点（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦），
又
∵ O是AD的中点，
∴ OE是△ABD的中位线，
∴ 2OE = BD。
∵ AD是⊙O的直径，BC⊥AD，
∴ 弧BD=弧CD（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦所对的弧），
∴ BD=CD，
∴ 2OE=CD。
(2) 解：
∵ AD=4，
∴ ⊙O的半径OA=OB=2，
∵ OA=OB，∠BAD=30°，
∴ ∠ABO=∠BAD=30°，
∴ ∠AOB=180°-30°-30°=120°。
∵ OE⊥AB，∠BAD=30°，
∴ OE=$\frac{1}{2}$OA=1，
在Rt△AOE中，AE=$\sqrt{OA^2-OE^2}$=$\sqrt{2^2-1^2}$=$\sqrt{3}$，
∴ AB=2AE=2$\sqrt{3}$，
∴ $S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × AB × OE=\frac{1}{2} × 2\sqrt{3} × 1=\sqrt{3}$，
扇形AOB的面积：$S_{扇形AOB}=\frac{120°}{360°} × π × 2^2=\frac{4π}{3}$，
∴ 阴影部分面积$S_{阴影}=S_{扇形AOB}-S_{△ AOB}=\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理，三角形中位线定理，扇形面积计算
【点评】
本题属于圆的综合基础题，解题的关键是灵活运用垂径定理得到线段、弧的等量关系，求解不规则图形面积时常用割补法，将其转化为规则图形面积的和差计算。
【难度系数】
0.65
例5 若正六边形的边心距为$\sqrt{3}$，则该正六边形的边长是(
A.$\sqrt{3}$ B.2 C.3 D.$2\sqrt{3}$
思路导引
先运用正六边形的性质，正六边形的边长等于其外接圆的半径，再利用勾股定理解决。
B.$\dfrac{2\sqrt{13}-\sqrt{35}}{2}\ \mathrm{m}$
C.$\dfrac{2\sqrt{13}-\sqrt{31}}{2}\ \mathrm{m}$
D.$\dfrac{2\sqrt{3}+\sqrt{35}}{2}\ \mathrm{m}$
B
)。A.$\sqrt{3}$ B.2 C.3 D.$2\sqrt{3}$
思路导引
先运用正六边形的性质，正六边形的边长等于其外接圆的半径，再利用勾股定理解决。
B.$\dfrac{2\sqrt{13}-\sqrt{35}}{2}\ \mathrm{m}$
C.$\dfrac{2\sqrt{13}-\sqrt{31}}{2}\ \mathrm{m}$
D.$\dfrac{2\sqrt{3}+\sqrt{35}}{2}\ \mathrm{m}$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆正六边形的性质：正六边形的中心角为60°，因此它的外接圆半径与边长相等，其边心距就是中心到边的垂直距离，可与外接圆半径、边长的一半共同构成直角三角形，随后利用勾股定理列方程即可求解边长。
【解析】
设该正六边形的边长为$a$。
∵正六边形的中心角为$360°÷6=60°$，且正六边形外接圆的半径等于边长，
∴正六边形的中心与任意一边的两个端点构成的三角形是边长为$a$的等边三角形。
边心距是该等边三角形的高，它将等边三角形分为两个全等的直角三角形：一条直角边为边心距$\sqrt{3}$，另一条直角边为边长的一半$\frac{a}{2}$，斜边为等边三角形的边长$a$。
根据勾股定理可得：
$(\frac{a}{2})^2 + (\sqrt{3})^2 = a^2$
整理得：$\frac{a^2}{4} + 3 = a^2$
移项化简得：$\frac{3a^2}{4}=3$，即$a^2=4$
∵边长为正数，
∴$a=2$
【答案】
B
【知识点】
正六边形的性质，勾股定理，正多边形与圆
【点评】
本题属于正多边形的基础计算题，解题核心是掌握正六边形边长与外接圆半径相等的性质，通过构造直角三角形即可快速求解，熟练掌握常见正多边形的性质可提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆正六边形的性质：正六边形的中心角为60°，因此它的外接圆半径与边长相等，其边心距就是中心到边的垂直距离，可与外接圆半径、边长的一半共同构成直角三角形，随后利用勾股定理列方程即可求解边长。
【解析】
设该正六边形的边长为$a$。
∵正六边形的中心角为$360°÷6=60°$，且正六边形外接圆的半径等于边长，
∴正六边形的中心与任意一边的两个端点构成的三角形是边长为$a$的等边三角形。
边心距是该等边三角形的高，它将等边三角形分为两个全等的直角三角形：一条直角边为边心距$\sqrt{3}$，另一条直角边为边长的一半$\frac{a}{2}$，斜边为等边三角形的边长$a$。
根据勾股定理可得：
$(\frac{a}{2})^2 + (\sqrt{3})^2 = a^2$
整理得：$\frac{a^2}{4} + 3 = a^2$
移项化简得：$\frac{3a^2}{4}=3$，即$a^2=4$
∵边长为正数，
∴$a=2$
【答案】
B
【知识点】
正六边形的性质，勾股定理，正多边形与圆
【点评】
本题属于正多边形的基础计算题，解题核心是掌握正六边形边长与外接圆半径相等的性质，通过构造直角三角形即可快速求解，熟练掌握常见正多边形的性质可提升解题效率。
【难度系数】
0.7
