登录
10.综合与实践:小亮同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣,并进行研究。
【初步尝试】我们知道:$\tan 60° =$
发现:$\tan A$
【实践探究】在解决“如图①,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°,AC=2,BC=1$,求$\tan(\frac{1}{2}∠ BAC)$的值”这一问题时,小亮想构造包含$\frac{1}{2}∠ BAC$的直角三角形,延长$CA$到点$D$,使$DA=AB$,连接$BD$,所以可得$∠ D=\frac{1}{2}∠ BAC$,问题即转化为求$∠ D$的正切值,请按小亮的思路求$\tan(\frac{1}{2}∠ BAC)$的值。
【拓展延伸】如图②,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°,AC=3,\tan A=\frac{1}{3}$。请模仿小亮的思路或者用你的新思路,试着求一求$\tan2A$的值。
【初步尝试】我们知道:$\tan 60° =$
$\sqrt{3}$
,$\tan 30° =$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
。发现:$\tan A$
≠
$2\tan(\frac{1}{2}A)$(填“=”或“≠”)。【实践探究】在解决“如图①,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°,AC=2,BC=1$,求$\tan(\frac{1}{2}∠ BAC)$的值”这一问题时,小亮想构造包含$\frac{1}{2}∠ BAC$的直角三角形,延长$CA$到点$D$,使$DA=AB$,连接$BD$,所以可得$∠ D=\frac{1}{2}∠ BAC$,问题即转化为求$∠ D$的正切值,请按小亮的思路求$\tan(\frac{1}{2}∠ BAC)$的值。
【拓展延伸】如图②,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°,AC=3,\tan A=\frac{1}{3}$。请模仿小亮的思路或者用你的新思路,试着求一求$\tan2A$的值。
答案
10.【初步尝试】$\sqrt{3}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ≠
【实践探究】$\tan(\frac{1}{2}∠ BAC)=\sqrt{5}-2$。
【拓展延伸】$\tan2A=\frac{3}{4}$。
【实践探究】$\tan(\frac{1}{2}∠ BAC)=\sqrt{5}-2$。
【拓展延伸】$\tan2A=\frac{3}{4}$。
解析
【分析】
1. 初步尝试部分：直接回忆30°、60°的正切值，计算2倍的30°正切值后和60°正切值对比，即可得到两者的大小关系；
2. 实践探究部分：先利用勾股定理求出Rt△ABC中AB的长度，由DA=AB得到AD的长度，进而求出DC的总长度；再根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角的性质，推导出∠D=1/2∠BAC，最后在Rt△BCD中根据正切的定义计算tanD，即为所求的tan(1/2∠BAC)的值；
3. 拓展延伸部分：先根据tanA的定义和AC的长度求出BC的长，再构造等腰三角形得到倍角：在AC边上取点D使∠DBA=∠A，可得∠BDC=2∠A且AD=BD，设CD为x，用含x的式子表示BD后，在Rt△BCD中用勾股定理列方程求出x，最后根据正切的定义计算tan2A的值。
【解析】
初步尝试
根据特殊角的三角函数值可知：$\tan60°=\sqrt{3}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
计算得$2\tan30°=2×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，显然$\sqrt{3}≠\frac{2\sqrt{3}}{3}$，因此$\tan A≠2\tan(\frac{1}{2}A)$。
实践探究
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$BC=1$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
因为$DA=AB$，所以$DA=\sqrt{5}$，则$DC=DA+AC=\sqrt{5}+2$。
由$DA=AB$得$∠ D=∠ ABD$，又$∠ BAC=∠ D+∠ ABD$（三角形外角等于不相邻两内角和），因此$∠ BAC=2∠ D$，即$∠ D=\frac{1}{2}∠ BAC$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$\tan D=\frac{BC}{DC}=\frac{1}{\sqrt{5}+2}=\sqrt{5}-2$，即$\tan(\frac{1}{2}∠ BAC)=\sqrt{5}-2$。
拓展延伸
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$，因此$BC=AC×\frac{1}{3}=1$。
在AC边上取点D，使$∠ DBA=∠ A$，则$AD=BD$，且$∠ BDC=∠ A+∠ DBA=2∠ A$。
设$CD=x$，则$AD=3-x$，即$BD=3-x$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$中由勾股定理得：$BC^2+CD^2=BD^2$，代入得：
$1^2+x^2=(3-x)^2$
化简得$6x=8$，解得$x=\frac{4}{3}$。
因此$\tan∠ BDC=\frac{BC}{CD}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$，即$\tan2A=\frac{3}{4}$。
【答案】
【初步尝试】$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$≠$；
【实践探究】$\tan(\frac{1}{2}∠ BAC)=\sqrt{5}-2$；
【拓展延伸】$\tan2A=\frac{3}{4}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，勾股定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题围绕倍角、半角的三角函数值展开探究，既考查了基础的特殊角三角函数记忆，又通过构造等腰三角形实现角的转化，将未知的倍角、半角三角函数问题转化为直角三角形的边长比值问题，渗透了转化的数学思想，能够锻炼知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
1. 初步尝试部分：直接回忆30°、60°的正切值，计算2倍的30°正切值后和60°正切值对比，即可得到两者的大小关系；
2. 实践探究部分：先利用勾股定理求出Rt△ABC中AB的长度，由DA=AB得到AD的长度，进而求出DC的总长度；再根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角的性质，推导出∠D=1/2∠BAC，最后在Rt△BCD中根据正切的定义计算tanD，即为所求的tan(1/2∠BAC)的值；
3. 拓展延伸部分：先根据tanA的定义和AC的长度求出BC的长，再构造等腰三角形得到倍角：在AC边上取点D使∠DBA=∠A，可得∠BDC=2∠A且AD=BD，设CD为x，用含x的式子表示BD后，在Rt△BCD中用勾股定理列方程求出x，最后根据正切的定义计算tan2A的值。
【解析】
初步尝试
根据特殊角的三角函数值可知：$\tan60°=\sqrt{3}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
计算得$2\tan30°=2×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，显然$\sqrt{3}≠\frac{2\sqrt{3}}{3}$，因此$\tan A≠2\tan(\frac{1}{2}A)$。
实践探究
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$BC=1$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
因为$DA=AB$，所以$DA=\sqrt{5}$，则$DC=DA+AC=\sqrt{5}+2$。
由$DA=AB$得$∠ D=∠ ABD$，又$∠ BAC=∠ D+∠ ABD$（三角形外角等于不相邻两内角和），因此$∠ BAC=2∠ D$，即$∠ D=\frac{1}{2}∠ BAC$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$\tan D=\frac{BC}{DC}=\frac{1}{\sqrt{5}+2}=\sqrt{5}-2$，即$\tan(\frac{1}{2}∠ BAC)=\sqrt{5}-2$。
拓展延伸
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$，因此$BC=AC×\frac{1}{3}=1$。
在AC边上取点D，使$∠ DBA=∠ A$，则$AD=BD$，且$∠ BDC=∠ A+∠ DBA=2∠ A$。
设$CD=x$，则$AD=3-x$，即$BD=3-x$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$中由勾股定理得：$BC^2+CD^2=BD^2$，代入得：
$1^2+x^2=(3-x)^2$
化简得$6x=8$，解得$x=\frac{4}{3}$。
因此$\tan∠ BDC=\frac{BC}{CD}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$，即$\tan2A=\frac{3}{4}$。
【答案】
【初步尝试】$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$≠$；
【实践探究】$\tan(\frac{1}{2}∠ BAC)=\sqrt{5}-2$；
【拓展延伸】$\tan2A=\frac{3}{4}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，勾股定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题围绕倍角、半角的三角函数值展开探究，既考查了基础的特殊角三角函数记忆，又通过构造等腰三角形实现角的转化，将未知的倍角、半角三角函数问题转化为直角三角形的边长比值问题，渗透了转化的数学思想，能够锻炼知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
