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9.如图,在某张航海图上,标明了三个观测点的坐标,分别是$O(0,0),B(6,0),C(6,8)$,由这三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区。
(1)画出圆形区域的中心位置$P$,并写出点$P$的坐标。
(2)若在观测点$O$测得一艘渔船$D$的位置为$(4,8.5)$,试问该渔船是否已进入海洋生物保护区?请通过计算回答。
(1)画出圆形区域的中心位置$P$,并写出点$P$的坐标。
(2)若在观测点$O$测得一艘渔船$D$的位置为$(4,8.5)$,试问该渔船是否已进入海洋生物保护区?请通过计算回答。
答案
9.解:(1)
点 P 的坐标为$(3,4)$。(2)如图②,过点 P 作 $PE⊥ OB$,交 OB 于点 E,
并延长 EP 交$\odot O$于点 F，
过点 D 作 $DM⊥ EF$ 交 EF 于点 M,连接 DP，
因为点 D 为$(4,8.5)$,点 P 为$(3,4)$，
所以 $DM=4-3=1$,而 $MP=8.5-4=4.5$。
在 $\mathrm{Rt}△ DMP$ 中,由勾股定理可求得 $DP=\sqrt{21.25}＜5$,所以点 D 在$\odot P$ 内。所以该渔船已进入海洋生物保护区。
解析
【分析】
(1)要确定圆的圆心P，根据圆的性质：圆心到圆上任意点的距离相等，即圆心是圆上任意两条弦的垂直平分线的交点。选择弦OB和弦BC，二者分别为水平、竖直线段，便于求垂直平分线：OB的中点为(3,0)，垂直平分线为直线x=3；BC的中点为(6,4)，垂直平分线为直线y=4，两条垂直平分线的交点就是圆心P。
(2)判断渔船是否进入保护区，本质是判断点D与⊙P的位置关系：若点D到圆心P的距离小于半径，则点在圆内，即渔船进入保护区。先算出⊙P的半径，再通过勾股定理计算DP的长度，和半径比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 弦OB在x轴上，端点为O(0,0)、B(6,0)，它的垂直平分线是过OB中点且垂直于x轴的直线$x=3$；弦BC为竖直线段，端点为B(6,0)、C(6,8)，它的垂直平分线是过BC中点且垂直于y轴的直线$y=4$。两条垂直平分线的交点即为圆心P，坐标为$(3,4)$。
(2) 首先计算⊙P的半径：$OP=\sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=5$。
过点P作$PE⊥OB$交OB于点E，延长EP交⊙P于点F，过点D(4,8.5)作$DM⊥EF$交EF于点M，连接DP。
由P(3,4)、D(4,8.5)可得：水平距离$DM=4-3=1$，竖直距离$MP=8.5-4=4.5$。
在$\mathrm{Rt}△DMP$中，由勾股定理得：
$DP=\sqrt{DM^2+MP^2}=\sqrt{1^2+4.5^2}=\sqrt{1+20.25}=\sqrt{21.25}$
因为$\sqrt{21.25}＜5$，即$DP＜$半径，所以点D在⊙P内，该渔船已进入海洋生物保护区。
【答案】
(1)点P的坐标为$\boldsymbol{(3,4)}$。
(2)该渔船已进入海洋生物保护区。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题结合实际场景考查圆的基本性质，解题核心是掌握圆心的确定方法，以及通过距离比较判断点和圆的位置关系，能有效锻炼数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1)要确定圆的圆心P，根据圆的性质：圆心到圆上任意点的距离相等，即圆心是圆上任意两条弦的垂直平分线的交点。选择弦OB和弦BC，二者分别为水平、竖直线段，便于求垂直平分线：OB的中点为(3,0)，垂直平分线为直线x=3；BC的中点为(6,4)，垂直平分线为直线y=4，两条垂直平分线的交点就是圆心P。
(2)判断渔船是否进入保护区，本质是判断点D与⊙P的位置关系：若点D到圆心P的距离小于半径，则点在圆内，即渔船进入保护区。先算出⊙P的半径，再通过勾股定理计算DP的长度，和半径比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 弦OB在x轴上，端点为O(0,0)、B(6,0)，它的垂直平分线是过OB中点且垂直于x轴的直线$x=3$；弦BC为竖直线段，端点为B(6,0)、C(6,8)，它的垂直平分线是过BC中点且垂直于y轴的直线$y=4$。两条垂直平分线的交点即为圆心P，坐标为$(3,4)$。
(2) 首先计算⊙P的半径：$OP=\sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=5$。
过点P作$PE⊥OB$交OB于点E，延长EP交⊙P于点F，过点D(4,8.5)作$DM⊥EF$交EF于点M，连接DP。
由P(3,4)、D(4,8.5)可得：水平距离$DM=4-3=1$，竖直距离$MP=8.5-4=4.5$。
在$\mathrm{Rt}△DMP$中，由勾股定理得：
$DP=\sqrt{DM^2+MP^2}=\sqrt{1^2+4.5^2}=\sqrt{1+20.25}=\sqrt{21.25}$
因为$\sqrt{21.25}＜5$，即$DP＜$半径，所以点D在⊙P内，该渔船已进入海洋生物保护区。
【答案】
(1)
点P的坐标为$\boldsymbol{(3,4)}$。(2)该渔船已进入海洋生物保护区。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题结合实际场景考查圆的基本性质，解题核心是掌握圆心的确定方法，以及通过距离比较判断点和圆的位置关系，能有效锻炼数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
10.定义:我们称能完全覆盖某平面图形的圆(即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上)为该平面图形的覆盖圆。其中,能完全覆盖平面图形的最小的圆(即直径最小)称为该平面图形的最小覆盖圆。爱动脑筋的小明思考:任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖,那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗?如图,在△ABC中,∠C=120°,AC=3,BC=2。
(1)在图中,作出△ABC的外接圆(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)。
(2)△ABC的外接圆是它的最小覆盖圆吗?如果是,请说明理由;如果不是,请求出该三角形的最小覆盖圆的直径。
(1)在图中,作出△ABC的外接圆(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)。
(2)△ABC的外接圆是它的最小覆盖圆吗?如果是,请说明理由;如果不是,请求出该三角形的最小覆盖圆的直径。
答案
10.解:(1)
,$\odot O$ 即为所求。(2)不是。
,作 $BH⊥ AC$ 交 AC 的延长线于点 H，因为 $∠ 1+∠ 2=180°,∠ 1=120°$,所以 $∠ 2=60°$。
在 $\mathrm{Rt}△ CBH$ 中, $CH=\frac{1}{2}BC=1$, $BH=\sqrt{BC^2-CH^2}=\sqrt{3}$，
则 $AH=AC+CH=3+1=4$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABH$ 中,$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{19}$。
所以这个三角形最小覆盖圆的直径为$\sqrt{19}$。
解析
【分析】
(1) 作三角形外接圆的核心是确定圆心：三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，因此只需作出△ABC任意两边的垂直平分线，交点即为外接圆圆心O，再以O为圆心，OA（或OB、OC）为半径画圆即可得到△ABC的外接圆。
(2) 首先判断三角形类型：△ABC中∠C=120°是钝角，对于钝角三角形，其最小覆盖圆不是外接圆，而是以最长边为直径的圆，因为钝角顶点会落在以最长边为直径的圆内，其余两个顶点在圆上，该圆的直径比外接圆直径更小。因此需要先求出最长边AB的长度，即为最小覆盖圆的直径。求解AB时，可通过作AC延长线的垂线构造直角三角形，利用勾股定理分步计算即可。
【解析】
(1) 分别作线段AC、BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA长为半径作圆，所得☉O即为△ABC的外接圆。
(2) △ABC的外接圆不是它的最小覆盖圆，求解过程如下：
作$BH⊥ AC$，交AC的延长线于点H。
因为$∠1+∠2=180°$，$∠1=∠ACB=120°$，所以$∠2=180°-120°=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ CBH$中，$∠CBH=30°$，因此$CH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1$，
由勾股定理得：$BH=\sqrt{BC^2-CH^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
则$AH=AC+CH=3+1=4$。
在$\mathrm{Rt}△ ABH$中，再由勾股定理得：$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{4^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{19}$。
因此该三角形的最小覆盖圆的直径为AB的长度。
【答案】
(1)，$\odot O$ 即为所求。
(2) 不是，该三角形的最小覆盖圆的直径为$\sqrt{19}$。
【知识点】
1. 外接圆尺规作图
2. 最小覆盖圆定义
3. 勾股定理应用
【点评】
本题结合新定义“最小覆盖圆”考查了尺规作图能力、直角三角形性质和勾股定理的应用，解题关键是明确不同类型三角形的最小覆盖圆的区别，避免直接默认外接圆就是最小覆盖圆，能有效锻炼对新定义的理解和迁移应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 作三角形外接圆的核心是确定圆心：三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，因此只需作出△ABC任意两边的垂直平分线，交点即为外接圆圆心O，再以O为圆心，OA（或OB、OC）为半径画圆即可得到△ABC的外接圆。
(2) 首先判断三角形类型：△ABC中∠C=120°是钝角，对于钝角三角形，其最小覆盖圆不是外接圆，而是以最长边为直径的圆，因为钝角顶点会落在以最长边为直径的圆内，其余两个顶点在圆上，该圆的直径比外接圆直径更小。因此需要先求出最长边AB的长度，即为最小覆盖圆的直径。求解AB时，可通过作AC延长线的垂线构造直角三角形，利用勾股定理分步计算即可。
【解析】
(1) 分别作线段AC、BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA长为半径作圆，所得☉O即为△ABC的外接圆。
(2) △ABC的外接圆不是它的最小覆盖圆，求解过程如下：
作$BH⊥ AC$，交AC的延长线于点H。
因为$∠1+∠2=180°$，$∠1=∠ACB=120°$，所以$∠2=180°-120°=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ CBH$中，$∠CBH=30°$，因此$CH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1$，
由勾股定理得：$BH=\sqrt{BC^2-CH^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
则$AH=AC+CH=3+1=4$。
在$\mathrm{Rt}△ ABH$中，再由勾股定理得：$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{4^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{19}$。
因此该三角形的最小覆盖圆的直径为AB的长度。
【答案】
(1)
，$\odot O$ 即为所求。(2) 不是，该三角形的最小覆盖圆的直径为$\sqrt{19}$。
【知识点】
1. 外接圆尺规作图
2. 最小覆盖圆定义
3. 勾股定理应用
【点评】
本题结合新定义“最小覆盖圆”考查了尺规作图能力、直角三角形性质和勾股定理的应用，解题关键是明确不同类型三角形的最小覆盖圆的区别，避免直接默认外接圆就是最小覆盖圆，能有效锻炼对新定义的理解和迁移应用能力。
【难度系数】
0.6
