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6.将图中破损的轮子复原。
已知弧上三点A,B,C。
(1)画出该轮子的圆心；
(2)连接BC,若A是$\overset{\frown}{BC}$的中点，$BC=8$，点A到BC的距离是3，求轮子的半径。
已知弧上三点A,B,C。
(1)画出该轮子的圆心；
(2)连接BC,若A是$\overset{\frown}{BC}$的中点，$BC=8$，点A到BC的距离是3，求轮子的半径。
答案
6.解:(1)
点O即为所求轮子的圆心；
(2)连接OA交BC于点D,连接OB,
因为 A 是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
所以 $OA⊥ BC,BD=\frac{1}{2}BC=4$。
因为点 A 到 BC 的距离是 3，
所以 $AD=3$。
设轮子的半径为 r,则 $OA=OB=r,OD=r-3$，
在 $\mathrm{Rt}△ BOD$ 中,$OD^2+BD^2=OB^2$,
所以 $(r-3)^2+4^2=r^2$,解得 $r=\frac{25}{6}$。
所以轮子的半径为$\frac{25}{6}$。
解析
【分析】
(1) 要确定圆弧对应的圆心，根据圆的性质：圆上任意一条弦的垂直平分线都经过圆心，因此只需作出弧上两条不平行的弦（如AB、BC）的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是所求的圆心O。
(2) 求半径时，先利用A是$\overset{\frown}{BC}$中点的条件，结合垂径定理的推论可得OA垂直平分BC，得到BD的长度与AD的长度，再设半径为r，用r表示出OD的长度，最后在直角三角形BOD中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 分别作弦AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，，点O即为所求轮子的圆心。
(2) 连接OA交BC于点D，连接OB，。
因为A是$\overset{\frown}{BC}$的中点，根据垂径定理的推论可得：$OA⊥ BC$，$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
又因为点A到BC的距离是3，所以$AD=3$。
设轮子的半径为$r$，则$OA=OB=r$，$OD=r-3$。
在$\mathrm{Rt}△ BOD$中，由勾股定理得$OD^2+BD^2=OB^2$，代入数据得：
$(r-3)^2+4^2=r^2$
展开得$r^2-6r+9+16=r^2$，
化简解得$r=\frac{25}{6}$。
【答案】
(1)，点O即为所求轮子的圆心；
(2) 轮子的半径为$\frac{25}{6}$。
【知识点】
垂径定理及推论，垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆的性质的实际应用类题目，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解线段长度，是圆中求半径的典型考法，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定圆弧对应的圆心，根据圆的性质：圆上任意一条弦的垂直平分线都经过圆心，因此只需作出弧上两条不平行的弦（如AB、BC）的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是所求的圆心O。
(2) 求半径时，先利用A是$\overset{\frown}{BC}$中点的条件，结合垂径定理的推论可得OA垂直平分BC，得到BD的长度与AD的长度，再设半径为r，用r表示出OD的长度，最后在直角三角形BOD中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 分别作弦AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，
，点O即为所求轮子的圆心。(2) 连接OA交BC于点D，连接OB，
。因为A是$\overset{\frown}{BC}$的中点，根据垂径定理的推论可得：$OA⊥ BC$，$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
又因为点A到BC的距离是3，所以$AD=3$。
设轮子的半径为$r$，则$OA=OB=r$，$OD=r-3$。
在$\mathrm{Rt}△ BOD$中，由勾股定理得$OD^2+BD^2=OB^2$，代入数据得：
$(r-3)^2+4^2=r^2$
展开得$r^2-6r+9+16=r^2$，
化简解得$r=\frac{25}{6}$。
【答案】
(1)
，点O即为所求轮子的圆心；(2) 轮子的半径为$\frac{25}{6}$。
【知识点】
垂径定理及推论，垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆的性质的实际应用类题目，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解线段长度，是圆中求半径的典型考法，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键。
【难度系数】
0.7
7. 如图①，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编修的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一。
如图②，是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用$\overset{\frown}{ACB}$表示，点O是$\overset{\frown}{ACB}$所在圆的圆心，AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高。现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图。
如图③，已知月洞门的横跨为AB，拱高为a。作法如下：
①作线段AB的垂直平分线MN，垂足为D；
②在射线DM上截取DC＝a；
③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O；
④以点O为圆心，OC的长为半径作$\overset{\frown}{ACB}$。
则$\overset{\frown}{ACB}$就是所要作的圆弧。
解答下列问题：
(1)请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图③中作出月洞门的设计图(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若AB＝1 m，CD＝2.5 m，求$\odot O$的半径。
如图②，是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用$\overset{\frown}{ACB}$表示，点O是$\overset{\frown}{ACB}$所在圆的圆心，AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高。现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图。
如图③，已知月洞门的横跨为AB，拱高为a。作法如下：
①作线段AB的垂直平分线MN，垂足为D；
②在射线DM上截取DC＝a；
③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O；
④以点O为圆心，OC的长为半径作$\overset{\frown}{ACB}$。
则$\overset{\frown}{ACB}$就是所要作的圆弧。
解答下列问题：
(1)请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图③中作出月洞门的设计图(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若AB＝1 m，CD＝2.5 m，求$\odot O$的半径。
答案
7.解:(1)月洞门的设计图如图①所示。
(2)如图②,连接 OA,设$\odot O$的半径为 r,则 OA $=OC=r\ \mathrm{m},OD=(2.5-r)\ \mathrm{m}$,
由题意可知,CD 垂直平分 AB，
所以$∠ ODA=90°,AD=\frac{1}{2}AB=0.5\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ OAD$ 中,$OA^2=OD^2+AD^2$,
即 $r^2=(2.5-r)^2+0.5^2$,
解得 $r=1.3$。
所以$\odot O$ 的半径为 1.3 m。
解析
【分析】
（1）作图题严格按照题干给出的4步操作即可：先作AB的垂直平分线找到垂足D，再在垂直平分线上截取DC=a，接着作AC的垂直平分线交点即为圆心O，最后以O为圆心、OC长为半径画弧，注意保留所有作图痕迹。
（2）求圆半径可结合垂径定理与勾股定理，用方程思想求解：连接半径OA，设半径为r，将OD、AD的长度用含r的代数式和已知条件表示，在直角三角形ODA中利用勾股定理列方程，解方程即可得到半径长度。
【解析】
（1）按照题干给出的作图步骤依次操作，保留作图痕迹即可，最终图形如下。
（2）如图②，连接OA，设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OA=OC=r\ \mathrm{m}$，$OD=CD-OC=(2.5-r)\ \mathrm{m}$。
由题意可知CD垂直平分AB，因此$∠ ODA=90°$，$AD=\frac{1}{2}AB=0.5\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，根据勾股定理得$OA^2=OD^2+AD^2$，代入对应数值：
$r^2=(2.5-r)^2+0.5^2$
展开整理得：$r^2=6.25-5r+r^2+0.25$，消去$r^2$后解得$r=1.3$。
【答案】
(1) 月洞门的设计图如图①所示。
(2) $\odot O$的半径为1.3 m。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，尺规作图
【点评】
本题结合中国古典建筑的文化背景设计，既考查了尺规作图的基本操作能力，又考查了圆中结合垂径定理、勾股定理列方程求解的方法，渗透了方程思想，注重几何知识的实际应用，是典型的几何基础应用题。
【难度系数】
0.7
（1）作图题严格按照题干给出的4步操作即可：先作AB的垂直平分线找到垂足D，再在垂直平分线上截取DC=a，接着作AC的垂直平分线交点即为圆心O，最后以O为圆心、OC长为半径画弧，注意保留所有作图痕迹。
（2）求圆半径可结合垂径定理与勾股定理，用方程思想求解：连接半径OA，设半径为r，将OD、AD的长度用含r的代数式和已知条件表示，在直角三角形ODA中利用勾股定理列方程，解方程即可得到半径长度。
【解析】
（1）按照题干给出的作图步骤依次操作，保留作图痕迹即可，最终图形如下。
（2）如图②，连接OA，设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OA=OC=r\ \mathrm{m}$，$OD=CD-OC=(2.5-r)\ \mathrm{m}$。
由题意可知CD垂直平分AB，因此$∠ ODA=90°$，$AD=\frac{1}{2}AB=0.5\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，根据勾股定理得$OA^2=OD^2+AD^2$，代入对应数值：
$r^2=(2.5-r)^2+0.5^2$
展开整理得：$r^2=6.25-5r+r^2+0.25$，消去$r^2$后解得$r=1.3$。
【答案】
(1) 月洞门的设计图如图①所示。
(2) $\odot O$的半径为1.3 m。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，尺规作图
【点评】
本题结合中国古典建筑的文化背景设计，既考查了尺规作图的基本操作能力，又考查了圆中结合垂径定理、勾股定理列方程求解的方法，渗透了方程思想，注重几何知识的实际应用，是典型的几何基础应用题。
【难度系数】
0.7
8.如图,在$5×7$网格中,各小正方形边长均为1,点$O,A,B,C,D,E$均在格点上,点$O$是$△ ABC$的外心。在不添加其他字母的情况下,则除$△ ABC$外,把你认为外心也是$O$的三角形都写出来：
△ABD,△ACD,△BCD
。答案
8.$△ ABD,△ ACD,△ BCD$
解析
【分析】
要找出外心也是O的三角形，首先回忆三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。因此我们只需先计算点O到A、B、C、D、E各点的距离，筛选出到O的距离等于OA（已知O是△ABC的外心，故OA=OB=OC）的点，再将这些点任意三个组合（排除△ABC）即可得到答案。
【解析】
解：设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各点到O的距离：
∵ O是△ABC的外心，
∴ OA=OB=OC。
经计算可得：$OD=OA=OB=OC$，$OE≠OA$，
因此A、B、C、D四点在以O为圆心、OA长为半径的同一个圆上，四点共圆。
从A、B、C、D四个点中任取三个构成的三角形，外接圆都是以O为圆心的圆，即外心均为O，除△ABC外，符合条件的三角形为△ABD、△ACD、△BCD。
【答案】
$△ ABD,△ ACD,△ BCD$
【知识点】
三角形外心的性质，勾股定理，四点共圆的判定
【点评】
本题解题核心是抓住外心到三角形三个顶点距离相等的性质，通过计算格点间距离筛选出共圆的点，再组合得到符合要求的三角形，解题时注意不要错选含点E的三角形，也不要漏写符合条件的三角形。
【难度系数】
0.7
要找出外心也是O的三角形，首先回忆三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。因此我们只需先计算点O到A、B、C、D、E各点的距离，筛选出到O的距离等于OA（已知O是△ABC的外心，故OA=OB=OC）的点，再将这些点任意三个组合（排除△ABC）即可得到答案。
【解析】
解：设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各点到O的距离：
∵ O是△ABC的外心，
∴ OA=OB=OC。
经计算可得：$OD=OA=OB=OC$，$OE≠OA$，
因此A、B、C、D四点在以O为圆心、OA长为半径的同一个圆上，四点共圆。
从A、B、C、D四个点中任取三个构成的三角形，外接圆都是以O为圆心的圆，即外心均为O，除△ABC外，符合条件的三角形为△ABD、△ACD、△BCD。
【答案】
$△ ABD,△ ACD,△ BCD$
【知识点】
三角形外心的性质，勾股定理，四点共圆的判定
【点评】
本题解题核心是抓住外心到三角形三个顶点距离相等的性质，通过计算格点间距离筛选出共圆的点，再组合得到符合要求的三角形，解题时注意不要错选含点E的三角形，也不要漏写符合条件的三角形。
【难度系数】
0.7
