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定理:两边
成比例
且夹角
相等的两个三角形相似。答案
成比例 夹角
解析
【分析】
本题考查相似三角形的判定定理中涉及两边关系的内容，解题时先回忆相似三角形的常见判定方法：两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例。其中涉及两边的判定条件，需要注意只有两边对应成比例，且两边的夹角相等时，才能判定两个三角形相似，若相等的角是其中一边的对角，则无法判定相似，由此即可确定要填的内容。
【解析】
根据相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。需要注意相等的角必须是成比例的两组边的夹角，若为边的对角则不满足判定条件，因此两个空依次填写成比例、夹角。
【答案】
成比例；夹角
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对相似三角形判定定理的识记与理解，学习时要注意区分相似判定中两边相关的条件，牢记相等的角必须是两组对应边的夹角，避免因概念模糊出错。
【难度系数】
0.9
本题考查相似三角形的判定定理中涉及两边关系的内容，解题时先回忆相似三角形的常见判定方法：两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例。其中涉及两边的判定条件，需要注意只有两边对应成比例，且两边的夹角相等时，才能判定两个三角形相似，若相等的角是其中一边的对角，则无法判定相似，由此即可确定要填的内容。
【解析】
根据相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。需要注意相等的角必须是成比例的两组边的夹角，若为边的对角则不满足判定条件，因此两个空依次填写成比例、夹角。
【答案】
成比例；夹角
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对相似三角形判定定理的识记与理解，学习时要注意区分相似判定中两边相关的条件，牢记相等的角必须是两组对应边的夹角，避免因概念模糊出错。
【难度系数】
0.9
1. 能判定$△ ABC ∽ △ A'B'C'$的条件是（
A.$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$
B.$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$且$∠ A=∠ A'$
C.$\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{A'C'}$且$∠ B=∠ C'$
D.$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$且$∠ B=∠ B'$
B
）。A.$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$
B.$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$且$∠ A=∠ A'$
C.$\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{A'C'}$且$∠ B=∠ C'$
D.$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$且$∠ B=∠ B'$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查相似三角形“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定定理的应用，解题思路如下：首先明确该判定定理的两个核心要求：一是两组对应边成比例，二是相等的角必须是这两组对应边的夹角，二者缺一不可。接下来逐一核对每个选项是否同时满足两个要求，同时注意边、角的对应关系是否匹配，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，逐一分析选项：
选项A：仅给出$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，缺少两组对应边的夹角相等的条件，无法判定两个三角形相似，故A错误；
选项B：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，且∠A是AB、AC的夹角，∠A'是A'B'、A'C'的夹角，满足“两边对应成比例且夹角相等”，可判定$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，故B正确；
选项C：成比例的边对应关系混乱，且相等的∠B和∠C'不是对应成比例的两组边的夹角，无法判定相似，故C错误；
选项D：∠B和∠B'不是成比例的边AB、AC与A'B'、A'C'的夹角，属于两边及其中一边的对角相等，不满足判定定理要求，无法判定相似，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 相似三角形判定
2. 对应边与对应角识别
【点评】
本题重点考查对相似三角形“两边及夹角”判定定理的理解，易错点是忽略“夹角”的限定，误选两边及一边对角相等的选项，做题时要注意对应边和对应角的匹配关系，严格按照判定定理判断。
【难度系数】
0.7
本题考查相似三角形“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定定理的应用，解题思路如下：首先明确该判定定理的两个核心要求：一是两组对应边成比例，二是相等的角必须是这两组对应边的夹角，二者缺一不可。接下来逐一核对每个选项是否同时满足两个要求，同时注意边、角的对应关系是否匹配，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，逐一分析选项：
选项A：仅给出$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，缺少两组对应边的夹角相等的条件，无法判定两个三角形相似，故A错误；
选项B：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，且∠A是AB、AC的夹角，∠A'是A'B'、A'C'的夹角，满足“两边对应成比例且夹角相等”，可判定$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，故B正确；
选项C：成比例的边对应关系混乱，且相等的∠B和∠C'不是对应成比例的两组边的夹角，无法判定相似，故C错误；
选项D：∠B和∠B'不是成比例的边AB、AC与A'B'、A'C'的夹角，属于两边及其中一边的对角相等，不满足判定定理要求，无法判定相似，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 相似三角形判定
2. 对应边与对应角识别
【点评】
本题重点考查对相似三角形“两边及夹角”判定定理的理解，易错点是忽略“夹角”的限定，误选两边及一边对角相等的选项，做题时要注意对应边和对应角的匹配关系，严格按照判定定理判断。
【难度系数】
0.7
2.如图,已知△ABC为等腰三角形,则下列四个三角形中与△ABC相似的是(
C
)。答案
2.C
解析
【分析】
首先先明确已知△ABC是等腰三角形，AB=AC=6，已知底角∠B=75°，先根据等腰三角形性质和三角形内角和定理计算出△ABC三个内角的度数：两底角∠B=∠C=75°，顶角∠A=180°-2×75°=30°。判断两个等腰三角形相似，可通过“两角对应相等的两个三角形相似”或者“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”来验证，接下来逐个分析选项中三角形的内角度数或者边和夹角的关系，找到符合相似判定条件的选项即可。
【解析】
解：已知△ABC中，AB=AC=6，∠B=75°，
∴∠C=∠B=75°（等腰三角形两底角相等），
∴顶角∠A=180°-∠B-∠C=180°-75°×2=30°。
接下来逐个分析选项：
A选项：三角形两边长均为5，夹角为75°，则其两底角为$(180°-75°)÷2=52.5°$，三个角与△ABC均不对应相等，不相似；
B选项：三角形三边均为5，是等边三角形，三个内角均为60°，与△ABC角度不对应相等，不相似；
C选项：三角形两边长均为5，夹角为30°，对应边比例为$\frac{6}{5}=\frac{6}{5}$，对应边成比例，且夹角都等于30°，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”；也可计算其底角为$(180°-30°)÷2=75°$，与△ABC的底角相等，满足两角对应相等，两三角形相似，故该三角形与△ABC相似；
D选项：三角形两边长均为5，夹角为40°，则其底角为$(180°-40°)÷2=70°$，与△ABC角度不对应相等，不相似。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和定理、相似三角形判定
【点评】
本题考查等腰三角形性质和相似三角形的判定，解题的关键是先求出已知三角形的各个内角度数，再结合相似判定条件逐一验证选项，等腰三角形相似的判定可优先对比顶角或底角是否相等，能够简化计算过程。
【难度系数】
0.7
首先先明确已知△ABC是等腰三角形，AB=AC=6，已知底角∠B=75°，先根据等腰三角形性质和三角形内角和定理计算出△ABC三个内角的度数：两底角∠B=∠C=75°，顶角∠A=180°-2×75°=30°。判断两个等腰三角形相似，可通过“两角对应相等的两个三角形相似”或者“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”来验证，接下来逐个分析选项中三角形的内角度数或者边和夹角的关系，找到符合相似判定条件的选项即可。
【解析】
解：已知△ABC中，AB=AC=6，∠B=75°，
∴∠C=∠B=75°（等腰三角形两底角相等），
∴顶角∠A=180°-∠B-∠C=180°-75°×2=30°。
接下来逐个分析选项：
A选项：三角形两边长均为5，夹角为75°，则其两底角为$(180°-75°)÷2=52.5°$，三个角与△ABC均不对应相等，不相似；
B选项：三角形三边均为5，是等边三角形，三个内角均为60°，与△ABC角度不对应相等，不相似；
C选项：三角形两边长均为5，夹角为30°，对应边比例为$\frac{6}{5}=\frac{6}{5}$，对应边成比例，且夹角都等于30°，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”；也可计算其底角为$(180°-30°)÷2=75°$，与△ABC的底角相等，满足两角对应相等，两三角形相似，故该三角形与△ABC相似；
D选项：三角形两边长均为5，夹角为40°，则其底角为$(180°-40°)÷2=70°$，与△ABC角度不对应相等，不相似。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和定理、相似三角形判定
【点评】
本题考查等腰三角形性质和相似三角形的判定，解题的关键是先求出已知三角形的各个内角度数，再结合相似判定条件逐一验证选项，等腰三角形相似的判定可优先对比顶角或底角是否相等，能够简化计算过程。
【难度系数】
0.7
3.如图,线段AC与BD相交于点O,且OA=12,OC=54,OB=18,OD=36,则△ABO与△DCO
相似
。(填“相似”或“不相似”)答案
3.相似
解析
【分析】
要判断△ABO与△DCO是否相似，可结合已知条件选择合适的相似判定定理分析：首先AC与BD相交于点O，可得∠AOB与∠DOC是对顶角，二者相等；已知两个三角形夹这组等角的四条边的长度，只需验证两组对应边的比值是否相等，若比值相等，即可根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定二者相似。
【解析】
解：
∵线段AC与BD相交于点O，
∴∠AOB=∠DOC（对顶角相等）。
由已知边长计算对应边的比值：
$\frac{OA}{OD}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$，$\frac{OB}{OC}=\frac{18}{54}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$。
根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得△ABO∽△DCO。
【答案】
相似
【知识点】
1. 对顶角的性质
2. 相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用，解题的关键是准确找到对应相等的夹角，正确计算对应边的比值，牢记相似三角形的判定定理即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
要判断△ABO与△DCO是否相似，可结合已知条件选择合适的相似判定定理分析：首先AC与BD相交于点O，可得∠AOB与∠DOC是对顶角，二者相等；已知两个三角形夹这组等角的四条边的长度，只需验证两组对应边的比值是否相等，若比值相等，即可根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定二者相似。
【解析】
解：
∵线段AC与BD相交于点O，
∴∠AOB=∠DOC（对顶角相等）。
由已知边长计算对应边的比值：
$\frac{OA}{OD}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$，$\frac{OB}{OC}=\frac{18}{54}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$。
根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得△ABO∽△DCO。
【答案】
相似
【知识点】
1. 对顶角的性质
2. 相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用，解题的关键是准确找到对应相等的夹角，正确计算对应边的比值，牢记相似三角形的判定定理即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
4.如图,已知 D 是△ABC 的边 BC 上的一点,AB=2,BD=1,DC=3。
求证:△DBA∽△ABC。
求证:△DBA∽△ABC。
答案
4. 证明:$\because BC=BD+DC=1+3=4$,
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
$\therefore \frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}$,
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$。
又$\because ∠B=∠B$,
$\therefore △ DBA∽△ ABC$。
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
$\therefore \frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}$,
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$。
又$\because ∠B=∠B$,
$\therefore △ DBA∽△ ABC$。
解析
【分析】
要证明△DBA∽△ABC，首先观察到两个三角形有公共角∠B，因此优先选用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理推导。第一步先计算BC的总长度，第二步计算夹公共角∠B的两组对应边的比值，验证比值相等后，结合公共角相等即可完成证明。
【解析】
证明：先计算BC的长度：$BC=BD+DC=1+3=4$，
再计算两组对应边的比值：$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}$，
可得$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$，
又因为∠B是△DBA和△ABC的公共角，即$∠B=∠B$，
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证得△DBA∽△ABC。
【答案】
证明:$\because BC=BD+DC=1+3=4$,
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
$\therefore \frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}$,
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$。
又$\because ∠B=∠B$,
$\therefore △ DBA∽△ ABC$。
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 线段和差计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题的关键是找准公共角，再验证夹公共角的两组边对应成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
要证明△DBA∽△ABC，首先观察到两个三角形有公共角∠B，因此优先选用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理推导。第一步先计算BC的总长度，第二步计算夹公共角∠B的两组对应边的比值，验证比值相等后，结合公共角相等即可完成证明。
【解析】
证明：先计算BC的长度：$BC=BD+DC=1+3=4$，
再计算两组对应边的比值：$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}$，
可得$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$，
又因为∠B是△DBA和△ABC的公共角，即$∠B=∠B$，
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证得△DBA∽△ABC。
【答案】
证明:$\because BC=BD+DC=1+3=4$,
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
$\therefore \frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}$,
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$。
又$\because ∠B=∠B$,
$\therefore △ DBA∽△ ABC$。
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 线段和差计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题的关键是找准公共角，再验证夹公共角的两组边对应成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
5.如图,在$□ ABCD$中,$AB=10$,$AD=6$,$E$是$AD$的中点,在$AB$上取一点$F$,使$△ CBF ∽ △ CDE$,则$BF$的长是(
A.8.2
B.6.4
C.5
D.1.8
D
)。A.8.2
B.6.4
C.5
D.1.8
答案
5.D
解析
【分析】
首先利用平行四边形对边相等的性质，求出CD、BC的长度，再结合E是AD中点的条件得到DE的长度；已知△CBF∽△CDE，根据相似三角形对应边成比例的性质，按照对应顶点顺序找准对应边列出比例式，代入已知数值即可求出BF的长，解题时要注意对应边不要混淆。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=6，
∴CD=AB=10，BC=AD=6，
∵E是AD的中点，
∴$DE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×6=3$，
又
∵$△ CBF ∽ △ CDE$，
∴$\frac{CB}{CD}=\frac{BF}{DE}$，
将CB=6，CD=10，DE=3代入比例式得：
$\frac{6}{10}=\frac{BF}{3}$，
解得：$BF=\frac{6×3}{10}=1.8$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的性质；线段中点的定义
【点评】
本题属于基础类考题，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的性质，要特别注意相似三角形的对应边和对应顶点的顺序一一对应，避免因对应关系混淆出现计算错误。
【难度系数】
0.7
首先利用平行四边形对边相等的性质，求出CD、BC的长度，再结合E是AD中点的条件得到DE的长度；已知△CBF∽△CDE，根据相似三角形对应边成比例的性质，按照对应顶点顺序找准对应边列出比例式，代入已知数值即可求出BF的长，解题时要注意对应边不要混淆。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=6，
∴CD=AB=10，BC=AD=6，
∵E是AD的中点，
∴$DE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×6=3$，
又
∵$△ CBF ∽ △ CDE$，
∴$\frac{CB}{CD}=\frac{BF}{DE}$，
将CB=6，CD=10，DE=3代入比例式得：
$\frac{6}{10}=\frac{BF}{3}$，
解得：$BF=\frac{6×3}{10}=1.8$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的性质；线段中点的定义
【点评】
本题属于基础类考题，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的性质，要特别注意相似三角形的对应边和对应顶点的顺序一一对应，避免因对应关系混淆出现计算错误。
【难度系数】
0.7
6. 如图，$∠ AOD = 90°$，$OA = OB = BC = CD$，以下结论成立的是（
A.$△ OAB ∼ △ OCA$
B.$△ OAB ∼ △ ODA$
C.$△ BAC ∼ △ BDA$
D.以上结论都不对
C
）。A.$△ OAB ∼ △ OCA$
B.$△ OAB ∼ △ ODA$
C.$△ BAC ∼ △ BDA$
D.以上结论都不对
答案
6.C
解析
【分析】
本题为三角形相似的判定题，已知条件给出多组等长线段和直角∠AOD，无具体角度值，因此解题思路为：①先设OA=OB=BC=CD=1（设为1可简化计算），利用勾股定理计算出各个待判定三角形的边长；②逐一验证选项，优先找两个三角形的公共角，再验证夹公共角的两组边是否对应成比例，符合“两边成比例且夹角相等”即可判定相似。
【解析】
设OA=OB=BC=CD=1，
∵∠AOD=90°，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{1^2+(1+1)^2}=\sqrt{5}$，
$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{1^2+(1+1+1)^2}=\sqrt{10}$，
且$BD=BC+CD=2$。
逐一验证选项：
A选项：△OAB和△OCA中，$\frac{OA}{OC}=\frac{1}{2}$，$\frac{OB}{OA}=\frac{1}{1}$，两组边比例不相等，不相似，排除；
B选项：△OAB和△ODA中，$\frac{OA}{OD}=\frac{1}{3}$，$\frac{OB}{OA}=\frac{1}{1}$，两组边比例不相等，不相似，排除；
C选项：△BAC和△BDA中，公共角∠ABC=∠DBA，
且$\frac{BC}{BA}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{BA}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{BC}{BA}=\frac{BA}{BD}$，
根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得△BAC∽△BDA，本选项成立；
D选项显然错误。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、勾股定理、比例运算
【点评】
本题解题核心是通过设参数简化边长计算，利用相似三角形的“两边成比例且夹角相等”判定定理验证即可，做题时要注意对应边不要找错。
【难度系数】
0.7
本题为三角形相似的判定题，已知条件给出多组等长线段和直角∠AOD，无具体角度值，因此解题思路为：①先设OA=OB=BC=CD=1（设为1可简化计算），利用勾股定理计算出各个待判定三角形的边长；②逐一验证选项，优先找两个三角形的公共角，再验证夹公共角的两组边是否对应成比例，符合“两边成比例且夹角相等”即可判定相似。
【解析】
设OA=OB=BC=CD=1，
∵∠AOD=90°，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{1^2+(1+1)^2}=\sqrt{5}$，
$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{1^2+(1+1+1)^2}=\sqrt{10}$，
且$BD=BC+CD=2$。
逐一验证选项：
A选项：△OAB和△OCA中，$\frac{OA}{OC}=\frac{1}{2}$，$\frac{OB}{OA}=\frac{1}{1}$，两组边比例不相等，不相似，排除；
B选项：△OAB和△ODA中，$\frac{OA}{OD}=\frac{1}{3}$，$\frac{OB}{OA}=\frac{1}{1}$，两组边比例不相等，不相似，排除；
C选项：△BAC和△BDA中，公共角∠ABC=∠DBA，
且$\frac{BC}{BA}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{BA}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{BC}{BA}=\frac{BA}{BD}$，
根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得△BAC∽△BDA，本选项成立；
D选项显然错误。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、勾股定理、比例运算
【点评】
本题解题核心是通过设参数简化边长计算，利用相似三角形的“两边成比例且夹角相等”判定定理验证即可，做题时要注意对应边不要找错。
【难度系数】
0.7
