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7.如图,在钝角三角形ABC中,AB=6 cm,AC=12 cm,动点D从点A出发沿AB运动到点B,动点E从点C出发沿CA运动到点A,点D运动的速度为1 cm/s,点E运动的速度为2 cm/s。如果两点同时从起点开始运动,那么当以点A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时,运动的时间是
3 s 或 4.8 s
。答案
7. 3 s 或 4.8 s
解析
【分析】
首先设两点的运动时间为t s，先根据动点的速度和运动方向，用含t的代数式表示出AD、AE的长度。由于以A、D、E为顶点的三角形与△ABC的对应顶点未明确给出，且两个三角形有公共角∠A，因此需要分两种相似情况讨论：①△ADE∽△ABC；②△ADE∽△ACB。分别根据相似三角形对应边成比例列方程求解，最后验证解是否符合动点的运动时间范围即可。
【解析】
设运动时间为t s（$0≤ t≤6$，D从A到B最多需$6÷1=6\ \mathrm{s}$，E从C到A最多需$12÷2=6\ \mathrm{s}$）。
由题意得：$AD = t\ \mathrm{cm}$，$AE = AC - CE = (12 - 2t)\ \mathrm{cm}$，∠A是△ADE和△ABC的公共角，分两种情况讨论：
1. 当$△ ADE ∽ △ ABC$时，对应边成比例：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
代入数值：$\frac{t}{6}=\frac{12-2t}{12}$
化简得：$12t=6×(12-2t)$
$24t=72$
解得$t=3$，符合取值范围。
2. 当$△ ADE ∽ △ ACB$时，对应边成比例：$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
代入数值：$\frac{t}{12}=\frac{12-2t}{6}$
化简得：$6t=12×(12-2t)$
$30t=144$
解得$t=4.8$，符合取值范围。
【答案】
3 s 或 4.8 s
【知识点】
相似三角形的判定，动点问题，分类讨论
【点评】
本题易错点是容易忽略相似三角形对应顶点的不确定性，漏写其中一种相似情况。解题时要结合公共角的条件分类讨论两种对应关系，同时求出的解要验证是否符合动点的实际运动范围，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
首先设两点的运动时间为t s，先根据动点的速度和运动方向，用含t的代数式表示出AD、AE的长度。由于以A、D、E为顶点的三角形与△ABC的对应顶点未明确给出，且两个三角形有公共角∠A，因此需要分两种相似情况讨论：①△ADE∽△ABC；②△ADE∽△ACB。分别根据相似三角形对应边成比例列方程求解，最后验证解是否符合动点的运动时间范围即可。
【解析】
设运动时间为t s（$0≤ t≤6$，D从A到B最多需$6÷1=6\ \mathrm{s}$，E从C到A最多需$12÷2=6\ \mathrm{s}$）。
由题意得：$AD = t\ \mathrm{cm}$，$AE = AC - CE = (12 - 2t)\ \mathrm{cm}$，∠A是△ADE和△ABC的公共角，分两种情况讨论：
1. 当$△ ADE ∽ △ ABC$时，对应边成比例：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
代入数值：$\frac{t}{6}=\frac{12-2t}{12}$
化简得：$12t=6×(12-2t)$
$24t=72$
解得$t=3$，符合取值范围。
2. 当$△ ADE ∽ △ ACB$时，对应边成比例：$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
代入数值：$\frac{t}{12}=\frac{12-2t}{6}$
化简得：$6t=12×(12-2t)$
$30t=144$
解得$t=4.8$，符合取值范围。
【答案】
3 s 或 4.8 s
【知识点】
相似三角形的判定，动点问题，分类讨论
【点评】
本题易错点是容易忽略相似三角形对应顶点的不确定性，漏写其中一种相似情况。解题时要结合公共角的条件分类讨论两种对应关系，同时求出的解要验证是否符合动点的实际运动范围，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
8.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,过点C任作一直线$l$,过点A作$AD⊥ l$于点D,过点B作$BE⊥ l$于点E。
(1)指出图中的一对相似三角形并证明；
(2)若使$△ ABC∽△ CBE$,需添加一个条件,这个条件可以是
(1)指出图中的一对相似三角形并证明；
(2)若使$△ ABC∽△ CBE$,需添加一个条件,这个条件可以是
$∠BAC=∠BCE$(答案不唯一)
。(写一种情况即可)答案
8.(1)解:$△ ACD∽△ CBE$。
证明:$\because AD⊥ l$于点$D$,$BE⊥ l$于点$E$,
$\therefore ∠ADC=∠CEB=90°$。
$\because ∠ACB=90°$,
$\therefore ∠DAC+∠DCA=∠BCE+∠DCA=90°$。
$\therefore ∠DAC=∠ECB$。
$\therefore △ ACD∽△ CBE$。
(2)$∠BAC=∠BCE$(答案不唯一)
证明:$\because AD⊥ l$于点$D$,$BE⊥ l$于点$E$,
$\therefore ∠ADC=∠CEB=90°$。
$\because ∠ACB=90°$,
$\therefore ∠DAC+∠DCA=∠BCE+∠DCA=90°$。
$\therefore ∠DAC=∠ECB$。
$\therefore △ ACD∽△ CBE$。
(2)$∠BAC=∠BCE$(答案不唯一)
解析
【分析】
(1) 要判定相似三角形，首先观察图形中的直角条件：由$AD⊥ l$、$BE⊥ l$可得$∠ ADC=∠ CEB=90°$，再结合$∠ ACB=90°$，可推出$∠ DAC$和$∠ ECB$都是$∠ DCA$的余角，根据同角的余角相等得到一组锐角相等，利用“两角分别相等的两个三角形相似”即可判定。
(2) $△ ABC$和$△ CBE$中已有$∠ ACB=∠ CEB=90°$，根据相似三角形的判定定理，只需再添加一组对应角相等，或夹直角的两边对应成比例即可，任选一个符合要求的条件即可。
【解析】
(1) $△ ACD ∽ △ CBE$，证明如下：
$\because AD⊥ l$于点$D$，$BE⊥ l$于点$E$，
$\therefore ∠ ADC = ∠ CEB = 90°$。
$\because ∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ DAC + ∠ DCA = 90°$，$∠ BCE + ∠ DCA = 90°$，
$\therefore ∠ DAC = ∠ ECB$。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ACD ∽ △ CBE$。
(2) 已知$∠ ACB=∠ CEB=90°$，若添加$∠ BAC=∠ BCE$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可推出$△ ABC ∽ △ CBE$。（答案不唯一）
【答案】
(1) $△ ACD ∽ △ CBE$，证明见解析；
(2) $∠ BAC=∠ BCE$（答案不唯一）
【知识点】
相似三角形的判定，同角的余角相等，垂直的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定，解题核心是熟练掌握相似三角形的判定定理，结合已知直角条件推导相等的锐角。第二问为开放性问题，只要满足相似判定条件的答案均正确。
【难度系数】
0.8
(1) 要判定相似三角形，首先观察图形中的直角条件：由$AD⊥ l$、$BE⊥ l$可得$∠ ADC=∠ CEB=90°$，再结合$∠ ACB=90°$，可推出$∠ DAC$和$∠ ECB$都是$∠ DCA$的余角，根据同角的余角相等得到一组锐角相等，利用“两角分别相等的两个三角形相似”即可判定。
(2) $△ ABC$和$△ CBE$中已有$∠ ACB=∠ CEB=90°$，根据相似三角形的判定定理，只需再添加一组对应角相等，或夹直角的两边对应成比例即可，任选一个符合要求的条件即可。
【解析】
(1) $△ ACD ∽ △ CBE$，证明如下：
$\because AD⊥ l$于点$D$，$BE⊥ l$于点$E$，
$\therefore ∠ ADC = ∠ CEB = 90°$。
$\because ∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ DAC + ∠ DCA = 90°$，$∠ BCE + ∠ DCA = 90°$，
$\therefore ∠ DAC = ∠ ECB$。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ACD ∽ △ CBE$。
(2) 已知$∠ ACB=∠ CEB=90°$，若添加$∠ BAC=∠ BCE$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可推出$△ ABC ∽ △ CBE$。（答案不唯一）
【答案】
(1) $△ ACD ∽ △ CBE$，证明见解析；
(2) $∠ BAC=∠ BCE$（答案不唯一）
【知识点】
相似三角形的判定，同角的余角相等，垂直的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定，解题核心是熟练掌握相似三角形的判定定理，结合已知直角条件推导相等的锐角。第二问为开放性问题，只要满足相似判定条件的答案均正确。
【难度系数】
0.8
9. 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点E,F在边BC上,点Q在边AB上,且CF=BE,AE²=AQ·AB。
求证:(1)∠CAE=∠BAF；
(2)CF·FQ=AF·BQ。
求证:(1)∠CAE=∠BAF；
(2)CF·FQ=AF·BQ。
答案
9. 证明:(1)$\because AB=AC$,
$\therefore ∠B=∠C$。
$\because CF=BE$,
$\therefore CF-EF=BE-EF$,
即$CE=BF$。
在$△ ACE$和$△ ABF$中,
$\because AC=AB,∠C=∠B,CE=BF$,
$\therefore △ ACE≌△ ABF(SAS)$。
$\therefore ∠CAE=∠BAF$。
(2)$\because △ ACE≌△ ABF$,
$\therefore AE=AF,∠CAE=∠BAF$。
$\because AE^2=AQ· AB,AC=AB$,
$\therefore \frac{AE}{AQ}=\frac{AC}{AF}$。
$\therefore △ ACE∽△ AFQ$。
$\therefore ∠AEC=∠AQF$。
$\therefore ∠AEF=∠BQF$。
$\because AE=AF$,
$\therefore ∠AEF=∠AFE$。
$\therefore ∠BQF=∠AFE$。
$\because ∠B=∠C$,
$\therefore △ CAF∽△ BFQ$。
$\therefore \frac{CF}{BQ}=\frac{AF}{FQ}$,
即$CF· FQ=AF· BQ$。
$\therefore ∠B=∠C$。
$\because CF=BE$,
$\therefore CF-EF=BE-EF$,
即$CE=BF$。
在$△ ACE$和$△ ABF$中,
$\because AC=AB,∠C=∠B,CE=BF$,
$\therefore △ ACE≌△ ABF(SAS)$。
$\therefore ∠CAE=∠BAF$。
(2)$\because △ ACE≌△ ABF$,
$\therefore AE=AF,∠CAE=∠BAF$。
$\because AE^2=AQ· AB,AC=AB$,
$\therefore \frac{AE}{AQ}=\frac{AC}{AF}$。
$\therefore △ ACE∽△ AFQ$。
$\therefore ∠AEC=∠AQF$。
$\therefore ∠AEF=∠BQF$。
$\because AE=AF$,
$\therefore ∠AEF=∠AFE$。
$\therefore ∠BQF=∠AFE$。
$\because ∠B=∠C$,
$\therefore △ CAF∽△ BFQ$。
$\therefore \frac{CF}{BQ}=\frac{AF}{FQ}$,
即$CF· FQ=AF· BQ$。
解析
【分析】
(1) 要证明∠CAE=∠BAF，可通过证明两角所在的三角形全等推导。首先由等腰三角形AB=AC可得∠B=∠C，再结合CF=BE，两边同时减去公共线段EF得到CE=BF，利用SAS判定△ACE≌△ABF，根据全等三角形对应角相等即可得证。
(2) 要证明等积式CF·FQ=AF·BQ，可先转化为比例式$\frac{CF}{BQ}=\frac{AF}{FQ}$，通过证明△CAF∽△BFQ实现。首先由(1)的全等结论得AE=AF，结合已知$AE^2=AQ·AB$、AB=AC，可转化得到比例式证明△ACE∽△AFQ，推导得到角相等的关系，再结合等腰三角形的性质得到△CAF和△BFQ的两组对应角相等，即可证明两三角形相似，对应边成比例即可推导出待证等积式。
【解析】
证明：
(1) $\because AB=AC$，
$\therefore ∠B=∠C$。
$\because CF=BE$，
$\therefore CF-EF=BE-EF$，即$CE=BF$。
在$△ ACE$和$△ ABF$中，
$\because \{\begin{array}{l}AC=AB\\ ∠C=∠B\\ CE=BF\end{array} $
$\therefore △ ACE≌△ ABF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠CAE=∠BAF$。
(2) $\because △ ACE≌△ ABF$，
$\therefore AE=AF$，$∠CAE=∠BAF$。
$\because AE^2=AQ·AB$，$AC=AB$，
$\therefore \frac{AE}{AQ}=\frac{AC}{AF}$。
$\therefore △ ACE∽△ AFQ$，
$\therefore ∠AEC=∠AQF$，
$\therefore ∠AEF=∠BQF$。
$\because AE=AF$，
$\therefore ∠AEF=∠AFE$，
$\therefore ∠BQF=∠AFE$。
$\because ∠B=∠C$，
$\therefore △ CAF∽△ BFQ$，
$\therefore \frac{CF}{BQ}=\frac{AF}{FQ}$，
即$CF·FQ=AF·BQ$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠CAE=∠BAF}$，得证；
(2) $\boldsymbol{CF·FQ=AF·BQ}$，得证。
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查全等、相似的判定与性质，解题时要注意将待证等积式转化为比例式，结合已知条件寻找对应相似三角形，对提升几何逻辑推理能力有很大帮助。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明∠CAE=∠BAF，可通过证明两角所在的三角形全等推导。首先由等腰三角形AB=AC可得∠B=∠C，再结合CF=BE，两边同时减去公共线段EF得到CE=BF，利用SAS判定△ACE≌△ABF，根据全等三角形对应角相等即可得证。
(2) 要证明等积式CF·FQ=AF·BQ，可先转化为比例式$\frac{CF}{BQ}=\frac{AF}{FQ}$，通过证明△CAF∽△BFQ实现。首先由(1)的全等结论得AE=AF，结合已知$AE^2=AQ·AB$、AB=AC，可转化得到比例式证明△ACE∽△AFQ，推导得到角相等的关系，再结合等腰三角形的性质得到△CAF和△BFQ的两组对应角相等，即可证明两三角形相似，对应边成比例即可推导出待证等积式。
【解析】
证明：
(1) $\because AB=AC$，
$\therefore ∠B=∠C$。
$\because CF=BE$，
$\therefore CF-EF=BE-EF$，即$CE=BF$。
在$△ ACE$和$△ ABF$中，
$\because \{\begin{array}{l}AC=AB\\ ∠C=∠B\\ CE=BF\end{array} $
$\therefore △ ACE≌△ ABF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠CAE=∠BAF$。
(2) $\because △ ACE≌△ ABF$，
$\therefore AE=AF$，$∠CAE=∠BAF$。
$\because AE^2=AQ·AB$，$AC=AB$，
$\therefore \frac{AE}{AQ}=\frac{AC}{AF}$。
$\therefore △ ACE∽△ AFQ$，
$\therefore ∠AEC=∠AQF$，
$\therefore ∠AEF=∠BQF$。
$\because AE=AF$，
$\therefore ∠AEF=∠AFE$，
$\therefore ∠BQF=∠AFE$。
$\because ∠B=∠C$，
$\therefore △ CAF∽△ BFQ$，
$\therefore \frac{CF}{BQ}=\frac{AF}{FQ}$，
即$CF·FQ=AF·BQ$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠CAE=∠BAF}$，得证；
(2) $\boldsymbol{CF·FQ=AF·BQ}$，得证。
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查全等、相似的判定与性质，解题时要注意将待证等积式转化为比例式，结合已知条件寻找对应相似三角形，对提升几何逻辑推理能力有很大帮助。
【难度系数】
0.6
