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9.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E是DC上一点,∠DAE=∠BAC,则EC的长为
$\frac{3}{2}$
。答案
9.$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
首先利用矩形的性质可得∠D=∠B=90°，AD=BC，DC=AB，结合已知∠DAE=∠BAC，可判定△ADE与△ABC相似，再根据相似三角形对应边成比例求出DE的长度，最后用DC的长度减去DE的长度即可得到EC的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=1，DC=AB=2，∠D=∠B=90°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
将AD=1，AB=2，BC=1代入比例式得：
$\frac{1}{2}=\frac{DE}{1}$，解得$DE=\frac{1}{2}$，
∴$EC=DC-DE=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是结合矩形的角的性质找到相等角，证明三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质列式求解，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
首先利用矩形的性质可得∠D=∠B=90°，AD=BC，DC=AB，结合已知∠DAE=∠BAC，可判定△ADE与△ABC相似，再根据相似三角形对应边成比例求出DE的长度，最后用DC的长度减去DE的长度即可得到EC的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=1，DC=AB=2，∠D=∠B=90°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
将AD=1，AB=2，BC=1代入比例式得：
$\frac{1}{2}=\frac{DE}{1}$，解得$DE=\frac{1}{2}$，
∴$EC=DC-DE=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是结合矩形的角的性质找到相等角，证明三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质列式求解，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
10.如图,四边形ABCD为菱形,点E在AC的延长线上,∠ACD=∠ABE。
(1)求证:$△ ABC ∽ △ AEB$;
(2)当$AB=6,AC=4$时,求AE的长。
(1)求证:$△ ABC ∽ △ AEB$;
(2)当$AB=6,AC=4$时,求AE的长。
答案
10.(1)证明:
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ACD=∠BCA。
∵∠ACD=∠ABE，
∴∠BCA=∠ABE。
∵∠BAC=∠EAB，
∴△ABC∽△AEB。
(2)解:
∵△ABC∽△AEB，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AB}$。
∵AB=6,AC=4，
∴$\frac{6}{AE}=\frac{4}{6}$，
∴$AE=\frac{36}{4}=9$。
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ACD=∠BCA。
∵∠ACD=∠ABE，
∴∠BCA=∠ABE。
∵∠BAC=∠EAB，
∴△ABC∽△AEB。
(2)解:
∵△ABC∽△AEB，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AB}$。
∵AB=6,AC=4，
∴$\frac{6}{AE}=\frac{4}{6}$，
∴$AE=\frac{36}{4}=9$。
解析
【分析】
(1)要证明△ABC∽△AEB，可使用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先利用菱形的性质：菱形的对角线平分一组内角，可得∠ACD=∠BCA，结合已知条件∠ACD=∠ABE，可推出∠BCA=∠ABE；同时两个三角形有公共角∠BAC=∠EAB，满足相似的判定条件。
(2)在证得△ABC∽△AEB的基础上，根据相似三角形对应边成比例的性质，可列出AB、AE、AC三边的比例关系，代入已知的AB、AC的长度，即可求出AE的长。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠BCD，即$∠ ACD=∠ BCA$。
∵$∠ ACD=∠ ABE$，
∴$∠ BCA=∠ ABE$。
又
∵$∠ BAC=∠ EAB$，
∴$△ ABC ∽ △ AEB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2)解：
∵$△ ABC ∽ △ AEB$，
∴对应边成比例，即$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AB}$。
将$AB=6$，$AC=4$代入比例式得：
$\frac{6}{AE}=\frac{4}{6}$，
交叉计算得$4AE=36$，
解得$AE=9$。
【答案】
(1)证明成立；(2)$AE=9$
【知识点】
菱形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是基础的几何综合题，核心是结合菱形性质找到相等的角，利用公共角完成相似三角形的证明，再通过相似的比例性质求解线段长度，是对相似三角形基础应用的典型考查。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△ABC∽△AEB，可使用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先利用菱形的性质：菱形的对角线平分一组内角，可得∠ACD=∠BCA，结合已知条件∠ACD=∠ABE，可推出∠BCA=∠ABE；同时两个三角形有公共角∠BAC=∠EAB，满足相似的判定条件。
(2)在证得△ABC∽△AEB的基础上，根据相似三角形对应边成比例的性质，可列出AB、AE、AC三边的比例关系，代入已知的AB、AC的长度，即可求出AE的长。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠BCD，即$∠ ACD=∠ BCA$。
∵$∠ ACD=∠ ABE$，
∴$∠ BCA=∠ ABE$。
又
∵$∠ BAC=∠ EAB$，
∴$△ ABC ∽ △ AEB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2)解：
∵$△ ABC ∽ △ AEB$，
∴对应边成比例，即$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AB}$。
将$AB=6$，$AC=4$代入比例式得：
$\frac{6}{AE}=\frac{4}{6}$，
交叉计算得$4AE=36$，
解得$AE=9$。
【答案】
(1)证明成立；(2)$AE=9$
【知识点】
菱形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是基础的几何综合题，核心是结合菱形性质找到相等的角，利用公共角完成相似三角形的证明，再通过相似的比例性质求解线段长度，是对相似三角形基础应用的典型考查。
【难度系数】
0.7
11.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,OA=8,OC=6,连接AC,D为AC的中点,点P在坐标轴上。若以P,A,D为顶点的三角形与△ABC相似,则点P的坐标为
$(4,0)$或$(\frac{7}{4},0)$或$(0,-\frac{7}{3})$
。答案
11.$(4,0)$或$(\frac{7}{4},0)$或$(0,-\frac{7}{3})$
解析
【分析】
解题时首先根据矩形边长确定各顶点坐标，再利用中点坐标公式求出D点坐标，计算出△ABC各边长。由于相似三角形直角顶点位置不确定，且P在坐标轴上，因此分P在x轴、P在y轴两大类情况讨论，结合相似三角形对应角相等、对应边成比例的性质，分别求解符合条件的P点坐标，最后验证结果是否符合相似要求即可。
【解析】
解：
∵四边形OABC是矩形，OA=8，OC=6，
∴各点坐标为：$A(8,0)$，$C(0,6)$，$B(8,6)$，
由勾股定理得$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，
∵D是AC中点，由中点坐标公式得D点坐标为$(\frac{8+0}{2},\frac{0+6}{2})=(4,3)$，$AD=\frac{1}{2}AC=5$，
△ABC中，$∠ B=90°$，$AB=6$，$BC=8$。
分两种情况讨论P点位置：
1. P在x轴上，设$P(p,0)$：
① 当$∠ APD=90°$时，$△ APD ∽ △ CBA$，$∠ APD=∠ B=90°$，对应边成比例：
$\frac{AD}{AC}=\frac{AP}{BC}$，代入得$\frac{5}{10}=\frac{AP}{8}$，解得$AP=4$，
∴$8-p=4$，$p=4$，即$P(4,0)$；
② 当$∠ ADP=90°$时，$△ ADP ∽ △ ABC$，$∠ ADP=∠ B=90°$，对应边成比例：
$\frac{AD}{BC}=\frac{AP}{AC}$，代入得$\frac{5}{8}=\frac{AP}{10}$，解得$AP=\frac{25}{4}$，
∴$8-p=\frac{25}{4}$，$p=8-\frac{25}{4}=\frac{7}{4}$，即$P(\frac{7}{4},0)$；
2. P在y轴上，设$P(0,y)$：
当$∠ ADP=90°$时，$△ ADP$为直角三角形，满足勾股定理：$AD^2 + DP^2 = AP^2$，
代入数据：$5^2 + (4-0)^2 + (3-y)^2 = (8-0)^2 + (0-y)^2$，
计算得：$25 + 16 + 9 -6y + y^2 = 64 + y^2$，
化简得：$50-6y=64$，解得$y=-\frac{7}{3}$，即$P(0,-\frac{7}{3})$。
经检验，以上三个点均满足$△ PAD$与$△ ABC$相似的要求。
【答案】
$(4,0)$或$(\frac{7}{4},0)$或$(0,-\frac{7}{3})$
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查相似三角形的相关计算，解题关键是根据相似三角形直角顶点的不确定性进行分类讨论，避免漏解，同时要注意验证结果的合理性。
【难度系数】
0.4
解题时首先根据矩形边长确定各顶点坐标，再利用中点坐标公式求出D点坐标，计算出△ABC各边长。由于相似三角形直角顶点位置不确定，且P在坐标轴上，因此分P在x轴、P在y轴两大类情况讨论，结合相似三角形对应角相等、对应边成比例的性质，分别求解符合条件的P点坐标，最后验证结果是否符合相似要求即可。
【解析】
解：
∵四边形OABC是矩形，OA=8，OC=6，
∴各点坐标为：$A(8,0)$，$C(0,6)$，$B(8,6)$，
由勾股定理得$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，
∵D是AC中点，由中点坐标公式得D点坐标为$(\frac{8+0}{2},\frac{0+6}{2})=(4,3)$，$AD=\frac{1}{2}AC=5$，
△ABC中，$∠ B=90°$，$AB=6$，$BC=8$。
分两种情况讨论P点位置：
1. P在x轴上，设$P(p,0)$：
① 当$∠ APD=90°$时，$△ APD ∽ △ CBA$，$∠ APD=∠ B=90°$，对应边成比例：
$\frac{AD}{AC}=\frac{AP}{BC}$，代入得$\frac{5}{10}=\frac{AP}{8}$，解得$AP=4$，
∴$8-p=4$，$p=4$，即$P(4,0)$；
② 当$∠ ADP=90°$时，$△ ADP ∽ △ ABC$，$∠ ADP=∠ B=90°$，对应边成比例：
$\frac{AD}{BC}=\frac{AP}{AC}$，代入得$\frac{5}{8}=\frac{AP}{10}$，解得$AP=\frac{25}{4}$，
∴$8-p=\frac{25}{4}$，$p=8-\frac{25}{4}=\frac{7}{4}$，即$P(\frac{7}{4},0)$；
2. P在y轴上，设$P(0,y)$：
当$∠ ADP=90°$时，$△ ADP$为直角三角形，满足勾股定理：$AD^2 + DP^2 = AP^2$，
代入数据：$5^2 + (4-0)^2 + (3-y)^2 = (8-0)^2 + (0-y)^2$，
计算得：$25 + 16 + 9 -6y + y^2 = 64 + y^2$，
化简得：$50-6y=64$，解得$y=-\frac{7}{3}$，即$P(0,-\frac{7}{3})$。
经检验，以上三个点均满足$△ PAD$与$△ ABC$相似的要求。
【答案】
$(4,0)$或$(\frac{7}{4},0)$或$(0,-\frac{7}{3})$
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查相似三角形的相关计算，解题关键是根据相似三角形直角顶点的不确定性进行分类讨论，避免漏解，同时要注意验证结果的合理性。
【难度系数】
0.4
12. 如图①，$△ ABC$为等边三角形，$AB=20$，$D$为边$BC$上的动点（点$D$不与点$B$，$C$重合），且$∠ ADE=∠ B$，$DE$交边$AC$于点$E$。
(1)求证：$△ ABD ∽ △ DCE$；
(2)如图②，当点$D$运动到$BC$的中点时，求线段$CE$的长。
(1)求证：$△ ABD ∽ △ DCE$；
(2)如图②，当点$D$运动到$BC$的中点时，求线段$CE$的长。
答案
12.(1)证明:
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°。
∵∠ADC = ∠B + ∠BAD，∠ADC = ∠ADE+∠CDE，
∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE。
∵∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠CDE。
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE。
(2)解:
∵△ABC是等边三角形,D是BC的中点,AB=20，
∴AD⊥BC,BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=10。
∴∠ADC=90°。
∵∠ADE=∠ABC=60°，
∴∠CDE=30°。
∵∠C=60°，
∴∠DEC=90°。
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=5。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°。
∵∠ADC = ∠B + ∠BAD，∠ADC = ∠ADE+∠CDE，
∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE。
∵∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠CDE。
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE。
(2)解:
∵△ABC是等边三角形,D是BC的中点,AB=20，
∴AD⊥BC,BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=10。
∴∠ADC=90°。
∵∠ADE=∠ABC=60°，
∴∠CDE=30°。
∵∠C=60°，
∴∠DEC=90°。
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=5。
解析
【分析】
(1)要证明△ABD∽△DCE，可依据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先由等边三角形的性质可得∠B=∠C=60°，再结合三角形外角的性质，通过角的等量代换推出∠BAD=∠CDE，得到两组对应角相等，即可证明相似。
(2)当D为BC中点时，利用等边三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，先求出CD的长度，再结合已知角度推出∠CDE=30°，最后利用含30°角的直角三角形的性质即可求出CE的长度。
【解析】
(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°。
∵∠ADC = ∠B + ∠BAD，∠ADC = ∠ADE+∠CDE，
∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE。
∵∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠CDE。
又
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE。
(2)解：
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，AB=20，
∴AD⊥BC，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB=10，
∴∠ADC=90°。
∵∠ADE=∠ABC=60°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-60°=30°。
∵∠C=60°，
∴∠DEC=180°-∠C-∠CDE=90°，即△DEC为直角三角形。
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×10=5。
【答案】
(1)证明成立；(2)$CE=5$
【知识点】
等边三角形的性质，相似三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础类几何综合题，将等边三角形性质、相似三角形判定和特殊直角三角形的性质结合考查，解题的核心是熟练掌握角的等量代换方法以及特殊三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△ABD∽△DCE，可依据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先由等边三角形的性质可得∠B=∠C=60°，再结合三角形外角的性质，通过角的等量代换推出∠BAD=∠CDE，得到两组对应角相等，即可证明相似。
(2)当D为BC中点时，利用等边三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，先求出CD的长度，再结合已知角度推出∠CDE=30°，最后利用含30°角的直角三角形的性质即可求出CE的长度。
【解析】
(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°。
∵∠ADC = ∠B + ∠BAD，∠ADC = ∠ADE+∠CDE，
∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE。
∵∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠CDE。
又
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE。
(2)解：
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，AB=20，
∴AD⊥BC，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB=10，
∴∠ADC=90°。
∵∠ADE=∠ABC=60°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-60°=30°。
∵∠C=60°，
∴∠DEC=180°-∠C-∠CDE=90°，即△DEC为直角三角形。
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×10=5。
【答案】
(1)证明成立；(2)$CE=5$
【知识点】
等边三角形的性质，相似三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础类几何综合题，将等边三角形性质、相似三角形判定和特殊直角三角形的性质结合考查，解题的核心是熟练掌握角的等量代换方法以及特殊三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
