1.定义:三角分别、三边的两个三角形叫作相似三角形。

1. 相等 成比例

【分析】
本题是相似三角形定义的识记类基础题，解题时只需回忆教材中相似三角形的定义内容即可：相似三角形需同时满足两个核心特征，一是三个角分别相等，二是三条边成比例，直接对应空缺内容填空即可。
【解析】
根据相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫作相似三角形，因此两个空缺依次填入对应内容即可。
【答案】
相等 成比例
【知识点】
相似三角形的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，只要熟练掌握教材中的基础定义即可快速作答，是巩固基础概念的典型习题。
【难度系数】
0.9

2.定理:两角分别的两个三角形相似。

2. 相等

【分析】
本题是基础概念识记类题目，考查三角形相似的判定定理。解题思路为先回忆教材中三角形相似的判定相关内容：三角形的内角和为180°，若两个三角形有两个角分别相等，则第三个角也一定对应相等，此时两个三角形三个角都对应相等，符合相似的定义，因此可直接得出空缺处的内容。
【解析】
根据三角形相似的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，因此横线处应填“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
相似三角形的判定定理
【点评】
本题是对教材基础定理的直接考查，难度较低，学习过程中要注重对课本核心概念、定理的记忆，即可快速解答此类题目。
【难度系数】
0.9

1. 下列各组图形中有可能不相似的是()。

A.各有一个角是45°的两个等腰三角形
B.各有一个角是60°的两个等腰三角形
C.各有一个角是105°的两个等腰三角形
D.两个等腰直角三角形

1.A

【分析】
要判断各组等腰三角形是否相似，核心依据是“两角分别相等的两个三角形相似”。解题时需结合等腰三角形的性质，对已知角是顶角还是底角进行分类讨论：如果已知角是钝角，那它只能是等腰三角形的顶角（因为等腰三角形两个底角相等，和不能超过180°，所以底角只能是锐角），此时两个三角形的角度必然对应相等；如果已知角是锐角，就要考虑它是顶角还是底角的两种情况，看是否存在角度不对应的可能，逐一分析选项即可得出结果。
【解析】
依据相似三角形的判定定理“两角分别相等的两个三角形相似”，逐个分析选项：
A. 当45°是其中一个等腰三角形的顶角时，它的两个底角均为(180°-45°)÷2=67.5°，三角形三个角为45°、67.5°、67.5°；当45°是另一个等腰三角形的底角时，它的顶角为180°-45°×2=90°，三角形三个角为90°、45°、45°，此时两个三角形没有两组对应角相等，不相似，因此该组图形有可能不相似。
B. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，所有等边三角形的内角都为60°，角对应相等，一定相似。
C. 105°是钝角，只能作为等腰三角形的顶角，因此两个三角形的底角均为(180°-105°)÷2=37.5°，三个角对应相等，一定相似。
D. 等腰直角三角形的三个内角固定为90°、45°、45°，角对应相等，一定相似。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 等腰三角形的性质
【点评】
本题易错点是忽略对等腰三角形已知锐角的位置分类讨论，解题时要注意：等腰三角形中若已知角为钝角，仅能为顶角；若已知角为锐角，则可能是顶角也可能是底角，结合相似三角形判定条件分析即可。
【难度系数】
0.7

2.下列说法正确的有()。
①全等的两个三角形相似；
②有一个锐角相等的两直角三角形相似；
③所有的等边三角形相似；
④有一个角相等的两个直角三角形相似。

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

2.B

【分析】
解题时需先明确三角形相似的基本判定：两角分别相等的两个三角形相似，同时全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，接下来逐一验证4个说法的正误即可得出答案。
【解析】
我们对4个说法逐一判断：
①全等的两个三角形对应角全部相等，满足相似三角形的判定条件，且相似比为1，因此全等的两个三角形一定相似，该说法正确；
②有一个锐角相等的两个直角三角形，本身已存在一组相等的直角，加上这组相等的锐角，就有两组角对应相等，符合相似三角形的判定，因此这两个直角三角形相似，该说法正确；
③所有等边三角形的内角都是60°，任意两个等边三角形都满足三组角对应相等，因此所有的等边三角形都相似，该说法正确；
④有一个角相等的两个直角三角形，若相等的角是两个三角形的直角，则剩余的锐角不一定对应相等，例如一个直角三角形的锐角为30°、60°，另一个直角三角形的锐角为45°、45°，二者都有直角相等，但不相似，因此该说法错误。
综上，正确的说法有①②③，共3个。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；全等与相似的关系；等边三角形的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的应用，解题时要注意特殊三角形的隐含角的条件，尤其判断直角三角形相似时，要区分相等的角是直角还是锐角，避免因忽略细节出错。
【难度系数】
0.7

3.在$△ ABC$和$△ A_{1}B_{1}C_{1}$中，$∠ A=54°$，$∠ B=46°$，$∠ A_{1}=54°$，$∠ C_{1}=80°$，则这两个三角形________（填“相似”或“不相似”），根据是________。

3.相似 两角分别相等的两个三角形相似

【分析】
要判断两个三角形是否相似，首先结合已知角的度数，利用三角形内角和定理求出△ABC的未知内角度数，再对比两个三角形的内角，查看是否存在两组对应相等的角，最后对照相似三角形的判定定理得出结论即可。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-54°-46°=80°$
已知△$A_1B_1C_1$中$∠ A_1=54°$，$∠ C_1=80°$，因此：
$∠ A=∠ A_1=54°$，$∠ C=∠ C_1=80°$
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定两个三角形相似。
【答案】
相似 两角分别相等的两个三角形相似
【知识点】
1.三角形内角和定理 2.相似三角形的判定
【点评】
本题是三角形相似判定的基础题型，解题关键是先利用内角和求出未知角，再对应匹配相等的角，结合判定定理即可得出结论，侧重对基础概念和定理的应用考察。
【难度系数】
0.8

4.如图,在△ABC中,DE//AB,CD:DA=2:3,DE=4,则AB的长为。

4.10

【分析】
解题时首先观察到DE//AB，可据此推导△CDE与△CAB相似：首先由平行线的性质得到两组同位角相等，满足“两角分别相等的两个三角形相似”的判定条件；再结合已知CD:DA=2:3，算出CD与CA的比值；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入DE的长度即可求出AB的长。
【解析】
解：
∵DE//AB，
∴∠CDE=∠A，∠CED=∠B（两直线平行，同位角相等），
∴△CDE∽△CAB（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵CD:DA=2:3，
∴CD:CA=CD:(CD+DA)=2:(2+3)=2:5。
由相似三角形对应边成比例，可得$\frac{CD}{CA}=\frac{DE}{AB}$，
将DE=4代入得：$\frac{2}{5}=\frac{4}{AB}$，
解得AB=10。
【答案】
10
【知识点】
平行线的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，核心是通过平行线构造相似三角形，再结合相似三角形边的比例关系求解未知线段长度，熟练掌握相似的判定和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

5.如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,且∠1=∠2=∠B,则图中的相似三角形有对。

5.4

【分析】
解题时先回忆“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，结合已知条件∠1=∠2=∠B，按顺序排查相似三角形：首先找含有公共角∠A的三角形，先得到3组两两相似的三角形；再根据∠1=∠B推出DE//BC，得到内错角相等，推出第四组相似三角形，排查时注意不要漏数。
【解析】
根据两角分别相等的两个三角形相似，逐一判断：
① 在$△ ADE$和$△ ABC$中：
$∠ A=∠ A$（公共角），$∠ 1=∠ B$（已知），因此$△ ADE ∽ △ ABC$；
② 在$△ ADE$和$△ ACD$中：
$∠ A=∠ A$（公共角），$∠ 1=∠ 2$（已知），因此$△ ADE ∽ △ ACD$；
③ 在$△ ACD$和$△ ABC$中：
$∠ A=∠ A$（公共角），$∠ 2=∠ B$（已知），因此$△ ACD ∽ △ ABC$；
④ 由$∠ 1=∠ B$，可得$DE// BC$（同位角相等，两直线平行），因此$∠ EDC=∠ DCB$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ CDE$和$△ BCD$中：
$∠ 2=∠ B$（已知），$∠ EDC=∠ DCB$（已证），因此$△ CDE ∽ △ BCD$。
综上，共有4对相似三角形。
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的判定、平行线的判定与性质
【点评】
本题考查相似三角形的判定，解题时要有序寻找公共角、平行线带来的等角条件，避免漏算相似三角形的对数。
【难度系数】
0.6

6.如图,在△ABC中,∠ADE=∠C,则下列等式成立的是()。

A.$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{BD}$
B.$\frac{AE}{BC}=\frac{AD}{BD}$
C.$\frac{DE}{CB}=\frac{AE}{AB}$
D.$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
（第6题）

6.C

【分析】
首先观察已知条件，△ADE和△ACB有公共角∠A，同时题目给出∠ADE=∠C，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，再结合相似三角形对应边成比例的性质，逐一核对选项即可。解题时要注意准确匹配相似三角形的对应顶点，避免对应边混淆出错。
【解析】
解：在△ADE和△ACB中：
∵ ∠A = ∠A（公共角），∠ADE = ∠C（已知）
∴ △ADE ∽ △ACB（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} = \frac{DE}{CB}$
逐一分析选项：
A. $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{BD}$：BD不是相似三角形的对应边，等式不成立，错误；
B. $\frac{AE}{BC}=\frac{AD}{BD}$：BD不是相似三角形的对应边，且AE与BC不是对应边，等式不成立，错误；
C. $\frac{DE}{CB}=\frac{AE}{AB}$：符合相似三角形对应边成比例的结论，等式成立，正确；
D. $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$：对应边匹配错误，应为$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，等式不成立，错误。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形判定和性质的基础应用题型，解题的核心是先根据已知角的关系证明三角形相似，再准确对应相似三角形的边，即可判断比例式是否成立，需注意不要混淆对应顶点。
【难度系数】
0.6

7.如图，在菱形ABCD中，E是边BC上的点，连接AE交BD于点F。若EC=2BE，则$\frac{BF}{FD}$的值是（）。

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$

7.B

【分析】
解题时首先从菱形的性质入手，菱形的对边平行且相等，可得AD//BC、AD=BC；再结合已知EC=2BE，推导出BE与AD的长度比值；最后根据AD与BC平行的关系，可证明△BEF和△DAF相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出$\frac{BF}{FD}$的值。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AD=BC。
∵EC=2BE，
∴BC=BE+EC=3BE，即$\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3}$。
∵AD//BC，
∴∠FBE=∠FDA，∠FEB=∠FAD（两直线平行，内错角相等），
∴△BEF∽△DAF（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{BF}{FD}=\frac{BE}{AD}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的线段比例求解类几何题，将菱形的基础性质与相似三角形的判定、性质相结合考查，解题的关键是准确找到相似三角形，再结合已知条件推导边长的比例关系。
【难度系数】
0.7

8.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且∠BEF=90°,则三角形Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ中一定相似的是()。


A.Ⅰ和Ⅲ
B.Ⅲ和Ⅳ
C.Ⅰ和Ⅳ
D.Ⅱ和Ⅳ

8.A

【分析】
要判断哪两个三角形一定相似，首先结合矩形的性质，可知矩形的四个内角都是直角，因此∠A和∠D都为90°；再结合已知∠BEF=90°，利用“同角的余角相等”推导两个三角形的对应锐角相等，最后根据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，即可确定相似的三角形。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴在Rt△ABE中，∠ABE + ∠AEB = 90°，
∵∠BEF=90°，
∴∠AEB + ∠DEF = 180° - ∠BEF = 90°，
∴∠ABE = ∠DEF（同角的余角相等），
又
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABE∽△DEF（两角分别相等的两个三角形相似），
即三角形Ⅰ和Ⅲ一定相似。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定，余角的性质
【点评】
本题属于三角形相似判定的基础题型，解题的核心是结合矩形的直角特征和直角三角形两锐角互余的性质，找到两组对应相等的角，掌握相似三角形的基础判定方法就能快速解题。
【难度系数】
0.7