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13.如图，点D，E分别在$△ ABC$的边AB，AC上，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$，且$△ ABC$与$△ ADE$的周长之差为15 cm，求$△ ABC$与$△ ADE$的周长。
答案
解:$\because \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$，
$\therefore \frac{AD+AE+DE}{AB+AC+BC}=\frac{2}{3}$，
即$\frac{△ ADE 的周长}{△ ABC 的周长}=\frac{2}{3}$。
设$△ ADE$的周长为$2x$ cm,则$△ ABC$的周长为$3x$ cm。
$\because △ ABC$与$△ ADE$ 的周长之差为15 cm，
$\therefore 3x-2x=15$,解得 $x=15$。
$\therefore △ ABC$的周长为45 cm,$△ ADE$的周长为30 cm。
$\therefore \frac{AD+AE+DE}{AB+AC+BC}=\frac{2}{3}$，
即$\frac{△ ADE 的周长}{△ ABC 的周长}=\frac{2}{3}$。
设$△ ADE$的周长为$2x$ cm,则$△ ABC$的周长为$3x$ cm。
$\because △ ABC$与$△ ADE$ 的周长之差为15 cm，
$\therefore 3x-2x=15$,解得 $x=15$。
$\therefore △ ABC$的周长为45 cm,$△ ADE$的周长为30 cm。
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，题目给出△ADE与△ABC三组对应边的比值均为$\frac{2}{3}$，根据等比性质，可直接推出两个三角形的周长比等于对应边的比值$\frac{2}{3}$。接下来结合已知的“两三角形周长差为15cm”的条件，我们可以采用设参数的方法，设△ADE的周长为2x cm，△ABC的周长为3x cm，根据周长差列一元一次方程求解，即可得到两个三角形的周长。
【解析】
解：$\because \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$，
根据等比性质可得$\frac{AD+AE+DE}{AB+AC+BC}=\frac{2}{3}$，
即$\frac{△ ADE 的周长}{△ ABC 的周长}=\frac{2}{3}$。
设$△ ADE$的周长为$2x$ cm,则$△ ABC$的周长为$3x$ cm。
$\because △ ABC$与$△ ADE$ 的周长之差为15 cm，
$\therefore 3x-2x=15$,解得 $x=15$。
$\therefore △ ABC$的周长为$3x=3×15=45$ cm,$△ ADE$的周长为$2x=2×15=30$ cm。
【答案】
△ABC的周长为45 cm，△ADE的周长为30 cm
【知识点】
等比性质；相似三角形周长性质；一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础题型，重点考查等比性质的应用和利用方程思想解决几何问题的能力，解题的核心是准确推导两个三角形的周长比，再结合周长差建立等量关系求解，熟练掌握相似三角形周长比等于相似比的性质可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，题目给出△ADE与△ABC三组对应边的比值均为$\frac{2}{3}$，根据等比性质，可直接推出两个三角形的周长比等于对应边的比值$\frac{2}{3}$。接下来结合已知的“两三角形周长差为15cm”的条件，我们可以采用设参数的方法，设△ADE的周长为2x cm，△ABC的周长为3x cm，根据周长差列一元一次方程求解，即可得到两个三角形的周长。
【解析】
解：$\because \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$，
根据等比性质可得$\frac{AD+AE+DE}{AB+AC+BC}=\frac{2}{3}$，
即$\frac{△ ADE 的周长}{△ ABC 的周长}=\frac{2}{3}$。
设$△ ADE$的周长为$2x$ cm,则$△ ABC$的周长为$3x$ cm。
$\because △ ABC$与$△ ADE$ 的周长之差为15 cm，
$\therefore 3x-2x=15$,解得 $x=15$。
$\therefore △ ABC$的周长为$3x=3×15=45$ cm,$△ ADE$的周长为$2x=2×15=30$ cm。
【答案】
△ABC的周长为45 cm，△ADE的周长为30 cm
【知识点】
等比性质；相似三角形周长性质；一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础题型，重点考查等比性质的应用和利用方程思想解决几何问题的能力，解题的核心是准确推导两个三角形的周长比，再结合周长差建立等量关系求解，熟练掌握相似三角形周长比等于相似比的性质可快速解题。
【难度系数】
0.7
14. 已知 $a, b, c$ 是 $△ ABC$ 的三边，$\frac{a+4}{3} = \frac{b+3}{2} = \frac{c+8}{4}$，且 $a + b + c = 12$，试判断 $△ ABC$ 的形状。
答案
解:设$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}=k$, 则 $a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8$。
将$a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8$代入$a+b+c=12$,得 $3k-4+2k-3+4k-8=12$,解得 $k=3$。
$\therefore a=5,b=3,c=4$。
$\because 3^2+4^2=5^2$,$\therefore b^2+c^2=a^2$。
$\therefore △ ABC$是直角三角形。
将$a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8$代入$a+b+c=12$,得 $3k-4+2k-3+4k-8=12$,解得 $k=3$。
$\therefore a=5,b=3,c=4$。
$\because 3^2+4^2=5^2$,$\therefore b^2+c^2=a^2$。
$\therefore △ ABC$是直角三角形。
解析
【分析】
遇到连等的比例式时，我们通常采用设参数k的方法解题：第一步先把a、b、c三边分别用含k的代数式表示；第二步将表示a、b、c的代数式代入a+b+c=12的条件，求解得到k的值；第三步代入k的值算出三角形三边的具体长度；最后用勾股定理的逆定理验证三边的平方关系，即可判断三角形的形状。
【解析】
设$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}=k$，则可得：
$a=3k-4$，$b=2k-3$，$c=4k-8$
将上述三个式子代入$a+b+c=12$，得：
$3k-4+2k-3+4k-8=12$
合并同类项得$9k-15=12$，解得$k=3$
将$k=3$代回，计算三边长：
$a=3×3-4=5$，$b=2×3-3=3$，$c=4×3-8=4$
$\because 3^2+4^2=9+16=25=5^2$，即$b^2+c^2=a^2$
$\therefore$ 根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
$△ ABC$是直角三角形
【知识点】
比例设k法、勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于三角形形状判断的基础题型，解题关键是熟练掌握比例式的设参技巧，结合已知条件求出三边长后，再利用勾股定理逆定理判断即可，是考试中常见的基础得分题。
【难度系数】
0.7
遇到连等的比例式时，我们通常采用设参数k的方法解题：第一步先把a、b、c三边分别用含k的代数式表示；第二步将表示a、b、c的代数式代入a+b+c=12的条件，求解得到k的值；第三步代入k的值算出三角形三边的具体长度；最后用勾股定理的逆定理验证三边的平方关系，即可判断三角形的形状。
【解析】
设$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}=k$，则可得：
$a=3k-4$，$b=2k-3$，$c=4k-8$
将上述三个式子代入$a+b+c=12$，得：
$3k-4+2k-3+4k-8=12$
合并同类项得$9k-15=12$，解得$k=3$
将$k=3$代回，计算三边长：
$a=3×3-4=5$，$b=2×3-3=3$，$c=4×3-8=4$
$\because 3^2+4^2=9+16=25=5^2$，即$b^2+c^2=a^2$
$\therefore$ 根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
$△ ABC$是直角三角形
【知识点】
比例设k法、勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于三角形形状判断的基础题型，解题关键是熟练掌握比例式的设参技巧，结合已知条件求出三边长后，再利用勾股定理逆定理判断即可，是考试中常见的基础得分题。
【难度系数】
0.7
15.已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}$。
（1）求代数式$\frac{2a+3b-5c}{a-2b+3c}$的值；
（2）当$2a + b + 3c = 44$时，求$a,b,c$的值。
（1）求代数式$\frac{2a+3b-5c}{a-2b+3c}$的值；
（2）当$2a + b + 3c = 44$时，求$a,b,c$的值。
答案
解:(1)设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=k$, 则 $a=2k,b=3k,c=5k$。
$\therefore \frac{2a+3b-5c}{a-2b+3c}=\frac{4k+9k-25k}{2k-6k+15k}=\frac{-12k}{11k}=-\frac{12}{11}$。
(2)把$a=2k,b=3k,c=5k$ 代入 $2a+b+3c=44$,得 $4k+3k+15k=44$,
解得 $k=2$。
$\therefore a=4,b=6,c=10$。
$\therefore \frac{2a+3b-5c}{a-2b+3c}=\frac{4k+9k-25k}{2k-6k+15k}=\frac{-12k}{11k}=-\frac{12}{11}$。
(2)把$a=2k,b=3k,c=5k$ 代入 $2a+b+3c=44$,得 $4k+3k+15k=44$,
解得 $k=2$。
$\therefore a=4,b=6,c=10$。
解析
【分析】
遇到连等的比例式时，我们通常采用设参数的方法求解：设这个相等的比值为k，就可以将a、b、c三个未知量都用含k的代数式表示，减少未知量数量。第（1）问将用k表示的a、b、c代入待求代数式，分子分母的非零k可以直接约去，快速算出比值；第（2）问将用k表示的a、b、c代入已知等式，得到关于k的一元一次方程，解出k的值后，就能反推出a、b、c的具体值。
【解析】
(1) 设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=k$（$k≠0$，否则分式分母为0无意义），则 $a=2k,b=3k,c=5k$。
将$a=2k,b=3k,c=5k$代入代数式得：
$\frac{2a+3b-5c}{a-2b+3c}=\frac{2×2k + 3×3k - 5×5k}{2k - 2×3k + 3×5k}=\frac{4k+9k-25k}{2k-6k+15k}=\frac{-12k}{11k}=-\frac{12}{11}$
(2) 把$a=2k,b=3k,c=5k$ 代入 $2a+b+3c=44$，得：
$2×2k + 3k + 3×5k = 44$
整理得$4k+3k+15k=44$，即$22k=44$，解得 $k=2$。
$\therefore a=2×2=4,b=3×2=6,c=5×2=10$
【答案】
(1) $-\frac{12}{11}$；(2) $a=4,b=6,c=10$
【知识点】
比例的性质；代数式求值；解一元一次方程
【点评】
本题是比例相关的基础常考题，核心解题技巧是对连等比例式设公共参数，将多变量问题转化为单参数问题求解，该方法在比例类计算中应用非常广泛，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.75
遇到连等的比例式时，我们通常采用设参数的方法求解：设这个相等的比值为k，就可以将a、b、c三个未知量都用含k的代数式表示，减少未知量数量。第（1）问将用k表示的a、b、c代入待求代数式，分子分母的非零k可以直接约去，快速算出比值；第（2）问将用k表示的a、b、c代入已知等式，得到关于k的一元一次方程，解出k的值后，就能反推出a、b、c的具体值。
【解析】
(1) 设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=k$（$k≠0$，否则分式分母为0无意义），则 $a=2k,b=3k,c=5k$。
将$a=2k,b=3k,c=5k$代入代数式得：
$\frac{2a+3b-5c}{a-2b+3c}=\frac{2×2k + 3×3k - 5×5k}{2k - 2×3k + 3×5k}=\frac{4k+9k-25k}{2k-6k+15k}=\frac{-12k}{11k}=-\frac{12}{11}$
(2) 把$a=2k,b=3k,c=5k$ 代入 $2a+b+3c=44$，得：
$2×2k + 3k + 3×5k = 44$
整理得$4k+3k+15k=44$，即$22k=44$，解得 $k=2$。
$\therefore a=2×2=4,b=3×2=6,c=5×2=10$
【答案】
(1) $-\frac{12}{11}$；(2) $a=4,b=6,c=10$
【知识点】
比例的性质；代数式求值；解一元一次方程
【点评】
本题是比例相关的基础常考题，核心解题技巧是对连等比例式设公共参数，将多变量问题转化为单参数问题求解，该方法在比例类计算中应用非常广泛，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.75
16. 阅读理解。
题目:已知$\frac{x}{a-b}=\frac{y}{b-c}=\frac{z}{c-a}$(a,b,c互不相等),求$x+y+z$的值。
解:设$\frac{x}{a-b}=\frac{y}{b-c}=\frac{z}{c-a}=k$,
则$x=k(a-b),y=k(b-c),z=k(c-a)$。
$\therefore x+y+z=k(a-b+b-c+c-a)=k·0=0$。
依照上述方法回答下面的问题:
已知$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}(x+y+z≠0)$,
求$\frac{x-y-z}{x+y+z}$的值。
题目:已知$\frac{x}{a-b}=\frac{y}{b-c}=\frac{z}{c-a}$(a,b,c互不相等),求$x+y+z$的值。
解:设$\frac{x}{a-b}=\frac{y}{b-c}=\frac{z}{c-a}=k$,
则$x=k(a-b),y=k(b-c),z=k(c-a)$。
$\therefore x+y+z=k(a-b+b-c+c-a)=k·0=0$。
依照上述方法回答下面的问题:
已知$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}(x+y+z≠0)$,
求$\frac{x-y-z}{x+y+z}$的值。
答案
解:设$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}=k$，
则 $y+z=xk,z+x=yk,x+y=zk$。
$\therefore 2(x+y+z)=k(x+y+z)$，
解得 $k=2$。
$\therefore y+z=2x,z+x=2y,x+y=2z$。
$\therefore x=y=z$。
$\therefore \frac{x-y-z}{x+y+z}=-\frac{1}{3}$。
则 $y+z=xk,z+x=yk,x+y=zk$。
$\therefore 2(x+y+z)=k(x+y+z)$，
解得 $k=2$。
$\therefore y+z=2x,z+x=2y,x+y=2z$。
$\therefore x=y=z$。
$\therefore \frac{x-y-z}{x+y+z}=-\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
这是一道模仿类的比例求值题，解题思路与题给示例一致，采用设比例系数的参数法：第一步先将三个相等的比值设为参数k，把各分子转化为含k和对应分母的等式；第二步将三个等式左右两侧分别相加，结合已知条件$x+y+z≠0$，可约去公因式求出k的值；第三步根据k的值得出x与y+z的关系，最后代入所求代数式计算即可。
【解析】
解：设$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}=k$，
则 $y+z=xk$，$z+x=yk$，$x+y=zk$。
将三个等式左右两边分别相加，得：
$y+z+z+x+x+y = kx + ky + kz$
整理得 $2(x+y+z)=k(x+y+z)$，
∵ $x+y+z≠0$，
∴ 两边同时除以$(x+y+z)$，解得 $k=2$。
∴ $y+z=2x$，
将$y+z=2x$代入$\frac{x-y-z}{x+y+z}$得：
原式$=\frac{x-(y+z)}{x+(y+z)}=\frac{x-2x}{x+2x}=\frac{-x}{3x}=-\frac{1}{3}$。
【答案】
$-\frac{1}{3}$
【知识点】
比例的性质、参数法解题、代数式化简求值
【点评】
本题属于阅读理解型的比例计算问题，解题核心是模仿题给方法引入参数k，要注意题目给出的$x+y+z≠0$的限制条件，避免约分时出现错误，代入化简时注意整体代换思想的运用可简化计算。
【难度系数】
0.7
这是一道模仿类的比例求值题，解题思路与题给示例一致，采用设比例系数的参数法：第一步先将三个相等的比值设为参数k，把各分子转化为含k和对应分母的等式；第二步将三个等式左右两侧分别相加，结合已知条件$x+y+z≠0$，可约去公因式求出k的值；第三步根据k的值得出x与y+z的关系，最后代入所求代数式计算即可。
【解析】
解：设$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}=k$，
则 $y+z=xk$，$z+x=yk$，$x+y=zk$。
将三个等式左右两边分别相加，得：
$y+z+z+x+x+y = kx + ky + kz$
整理得 $2(x+y+z)=k(x+y+z)$，
∵ $x+y+z≠0$，
∴ 两边同时除以$(x+y+z)$，解得 $k=2$。
∴ $y+z=2x$，
将$y+z=2x$代入$\frac{x-y-z}{x+y+z}$得：
原式$=\frac{x-(y+z)}{x+(y+z)}=\frac{x-2x}{x+2x}=\frac{-x}{3x}=-\frac{1}{3}$。
【答案】
$-\frac{1}{3}$
【知识点】
比例的性质、参数法解题、代数式化简求值
【点评】
本题属于阅读理解型的比例计算问题，解题核心是模仿题给方法引入参数k，要注意题目给出的$x+y+z≠0$的限制条件，避免约分时出现错误，代入化简时注意整体代换思想的运用可简化计算。
【难度系数】
0.7
