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10.如图所示的几何体的俯视图是(
C
)。答案
10.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确俯视图的定义：俯视图是从几何体的正上方向下观察得到的平面图形。解题思路如下：第一步，先确定观察角度为正上方；第二步，分析几何体的组成结构，明确从上方看能看到的轮廓和被遮挡的轮廓；第三步，结合视图绘制规则（可见轮廓用实线，不可见轮廓用虚线），逐一比对选项，排除不符合的选项，最终锁定正确答案。
【解析】
1. 明确俯视图的判断规则：从几何体正上方观察，可见的棱用实线表示，被遮挡不可见的棱用虚线表示。
2. 逐一分析选项：
选项A：轮廓形状与从上方观察到的几何体结构不符，排除；
选项B：存在多余或缺失的轮廓线条，不符合实际观察结果，排除；
选项C：完全符合从正上方向下观察该几何体得到的平面图形特征，正确；
选项D：线条绘制不符合视图规则，轮廓形状错误，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 俯视图的定义
2. 简单几何体的三视图
3. 视图绘制规则
【点评】
本题是三视图的基础考查题型，重点考察学生对俯视图观察角度的掌握，以及对视图中实虚线使用规则的理解，只要熟练掌握三视图相关概念，细心观察就能正确解答。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先需要明确俯视图的定义：俯视图是从几何体的正上方向下观察得到的平面图形。解题思路如下：第一步，先确定观察角度为正上方；第二步，分析几何体的组成结构，明确从上方看能看到的轮廓和被遮挡的轮廓；第三步，结合视图绘制规则（可见轮廓用实线，不可见轮廓用虚线），逐一比对选项，排除不符合的选项，最终锁定正确答案。
【解析】
1. 明确俯视图的判断规则：从几何体正上方观察，可见的棱用实线表示，被遮挡不可见的棱用虚线表示。
2. 逐一分析选项：
选项A：轮廓形状与从上方观察到的几何体结构不符，排除；
选项B：存在多余或缺失的轮廓线条，不符合实际观察结果，排除；
选项C：完全符合从正上方向下观察该几何体得到的平面图形特征，正确；
选项D：线条绘制不符合视图规则，轮廓形状错误，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 俯视图的定义
2. 简单几何体的三视图
3. 视图绘制规则
【点评】
本题是三视图的基础考查题型，重点考察学生对俯视图观察角度的掌握，以及对视图中实虚线使用规则的理解，只要熟练掌握三视图相关概念，细心观察就能正确解答。
【难度系数】
0.85
11.用大小相同的小立方块搭成的几何体，其主视图和俯视图如图所示，则组成这样的几何体需要的小立方块（
A.最多8块，最少6块
B.最多9块，最少6块
C.最多8块，最少7块
D.最多9块，最少7块
C
）。A.最多8块，最少6块
B.最多9块，最少6块
C.最多8块，最少7块
D.最多9块，最少7块
答案
11.C
解析
【分析】
解决这类由三视图判断小立方块个数的问题，可按三步思考：第一步，俯视图的每个小正方形对应几何体最底层的一个小立方块，因此先通过俯视图确定最底层的固定数量；第二步，主视图能体现几何体每一列的最大层数，明确各列的层数限制；第三步，分别计算最多、最少个数：最多的情况是同列所有位置都取该列最大层数，最少的情况是同列只要有一个位置达到最大层数，其余同列位置取最小层数1即可。
【解析】
1. 首先观察俯视图，共有4个小正方形，因此几何体最底层固定有4个小立方块。
2. 结合主视图分析各列层数：
① 主视图左列最高为3层，对应俯视图左列只有1个位置，因此该位置只能是3层，共3个小立方块；
② 主视图右列最高为1层，对应俯视图右列只有1个位置，因此该位置只能是1层，共1个小立方块；
③ 主视图中间列最高为2层，对应俯视图中间列有2个位置：
求最多个数：两个位置都取最大层数2层，这部分共$2×2=4$个，总个数最多为$3+4+1=8$个；
求最少个数：两个位置中至少1个取2层，另一个取1层，这部分最少为$2+1=3$个，总个数最少为$3+3+1=7$个。
综上，组成该几何体最多需要8块小立方块，最少需要7块，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
几何体的三视图，由三视图判断几何体
【点评】
本题是三视图的典型应用题型，解题核心是理清俯视图定底层数量、主视定各列最大高度的规律，再通过分类讨论即可得出结果，能很好地考查空间想象能力。
【难度系数】
0.7
解决这类由三视图判断小立方块个数的问题，可按三步思考：第一步，俯视图的每个小正方形对应几何体最底层的一个小立方块，因此先通过俯视图确定最底层的固定数量；第二步，主视图能体现几何体每一列的最大层数，明确各列的层数限制；第三步，分别计算最多、最少个数：最多的情况是同列所有位置都取该列最大层数，最少的情况是同列只要有一个位置达到最大层数，其余同列位置取最小层数1即可。
【解析】
1. 首先观察俯视图，共有4个小正方形，因此几何体最底层固定有4个小立方块。
2. 结合主视图分析各列层数：
① 主视图左列最高为3层，对应俯视图左列只有1个位置，因此该位置只能是3层，共3个小立方块；
② 主视图右列最高为1层，对应俯视图右列只有1个位置，因此该位置只能是1层，共1个小立方块；
③ 主视图中间列最高为2层，对应俯视图中间列有2个位置：
求最多个数：两个位置都取最大层数2层，这部分共$2×2=4$个，总个数最多为$3+4+1=8$个；
求最少个数：两个位置中至少1个取2层，另一个取1层，这部分最少为$2+1=3$个，总个数最少为$3+3+1=7$个。
综上，组成该几何体最多需要8块小立方块，最少需要7块，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
几何体的三视图，由三视图判断几何体
【点评】
本题是三视图的典型应用题型，解题核心是理清俯视图定底层数量、主视定各列最大高度的规律，再通过分类讨论即可得出结果，能很好地考查空间想象能力。
【难度系数】
0.7
12.一个几何体是由若干个棱长为1的小正方体组成的，其三种视图如图所示，则这个几何体的表面积等于
22
。答案
12.22
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以采用“三视图面数求和法”计算几何体表面积：首先明确棱长为1的小正方体每个面的面积为1，几何体的表面积等于从上下、左右、前后六个方向看到的正方形面的总数之和。首先从主视图得到正面的面数，左视图得到左面的面数，俯视图得到上面的面数，由于相对的两个面看到的面数相等，将三个视图的面数相加后乘2即可得到总面数，进而得到表面积。
【解析】
每个小正方形的面积为：$1 × 1 = 1$
1. 从正面（主视图）观察，共有4个正方形面，因此前、后两个面的总面数为 $4 × 2 = 8$；
2. 从左面（左视图）观察，共有3个正方形面，因此左、右两个面的总面数为 $3 × 2 = 6$；
3. 从上面（俯视图）观察，共有4个正方形面，因此上、下两个面的总面数为 $4 × 2 = 8$；
总表面积为：$(8 + 6 + 8) × 1 = 22$
【答案】
22
【知识点】
三视图识别，几何体表面积计算，由三视图判断几何体
【点评】
本题考查三视图的应用和几何体表面积的计算，解题关键是掌握“六个方向面数求和”的简便计算方法，要注意确认几何体不存在凹陷的面，避免漏算或多算面积。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以采用“三视图面数求和法”计算几何体表面积：首先明确棱长为1的小正方体每个面的面积为1，几何体的表面积等于从上下、左右、前后六个方向看到的正方形面的总数之和。首先从主视图得到正面的面数，左视图得到左面的面数，俯视图得到上面的面数，由于相对的两个面看到的面数相等，将三个视图的面数相加后乘2即可得到总面数，进而得到表面积。
【解析】
每个小正方形的面积为：$1 × 1 = 1$
1. 从正面（主视图）观察，共有4个正方形面，因此前、后两个面的总面数为 $4 × 2 = 8$；
2. 从左面（左视图）观察，共有3个正方形面，因此左、右两个面的总面数为 $3 × 2 = 6$；
3. 从上面（俯视图）观察，共有4个正方形面，因此上、下两个面的总面数为 $4 × 2 = 8$；
总表面积为：$(8 + 6 + 8) × 1 = 22$
【答案】
22
【知识点】
三视图识别，几何体表面积计算，由三视图判断几何体
【点评】
本题考查三视图的应用和几何体表面积的计算，解题关键是掌握“六个方向面数求和”的简便计算方法，要注意确认几何体不存在凹陷的面，避免漏算或多算面积。
【难度系数】
0.7
13.如图，画出该几何体的三种视图。
答案
13.解:该几何体的三种视图如图所示。
解析
【分析】
要画出几何体的三视图，首先要明确三视图的观察方向：主视图从正面观察、左视图从左面观察、俯视图从上面观察，绘制时需遵循“长对正、高平齐、宽相等”的投影规则，同时注意：看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线。观察原几何体可知是正方体挖去了一个三棱柱，我们分别判断三个方向下的轮廓和棱的可见性即可画出对应视图：①正面观察时，能看到正方形轮廓和上方的V形缺口，缺口斜边可见，画实线；②左面观察时，整体是正方形，挖去部分的两条棱在内部不可见，需画虚线；③上面观察时，能看到两个并排的正方形，中间的棱可见，画实线。
【解析】
绘制三视图的步骤如下：
1. 绘制主视图：从正面观察几何体，外部轮廓为正方形，上部右侧存在V形缺口，缺口的斜边是可见棱，绘制为实线，得到对应主视图；
2. 绘制左视图：从左面观察几何体，外部轮廓为正方形，挖去部分的两条水平棱从左面视角不可见，绘制为两条平行的虚线，得到对应左视图；
3. 绘制俯视图：从上面观察几何体，呈现为两个等大的并排正方形，中间的分隔棱是可见棱，绘制为实线，得到对应俯视图。
绘制全程需符合三视图“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律。
【答案】
该几何体的三种视图如图所示。
【知识点】
三视图绘制，实虚线绘制规范，三视图投影规律
【点评】
本题考查几何体三视图的绘制，易错点是容易漏画左视图中的虚线，绘制时要明确不同观察方向下棱的可见性，牢记三视图的投影规则即可正确作答。
【难度系数】
0.7
要画出几何体的三视图，首先要明确三视图的观察方向：主视图从正面观察、左视图从左面观察、俯视图从上面观察，绘制时需遵循“长对正、高平齐、宽相等”的投影规则，同时注意：看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线。观察原几何体可知是正方体挖去了一个三棱柱，我们分别判断三个方向下的轮廓和棱的可见性即可画出对应视图：①正面观察时，能看到正方形轮廓和上方的V形缺口，缺口斜边可见，画实线；②左面观察时，整体是正方形，挖去部分的两条棱在内部不可见，需画虚线；③上面观察时，能看到两个并排的正方形，中间的棱可见，画实线。
【解析】
绘制三视图的步骤如下：
1. 绘制主视图：从正面观察几何体，外部轮廓为正方形，上部右侧存在V形缺口，缺口的斜边是可见棱，绘制为实线，得到对应主视图；
2. 绘制左视图：从左面观察几何体，外部轮廓为正方形，挖去部分的两条水平棱从左面视角不可见，绘制为两条平行的虚线，得到对应左视图；
3. 绘制俯视图：从上面观察几何体，呈现为两个等大的并排正方形，中间的分隔棱是可见棱，绘制为实线，得到对应俯视图。
绘制全程需符合三视图“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律。
【答案】
该几何体的三种视图如图所示。
【知识点】
三视图绘制，实虚线绘制规范，三视图投影规律
【点评】
本题考查几何体三视图的绘制，易错点是容易漏画左视图中的虚线，绘制时要明确不同观察方向下棱的可见性，牢记三视图的投影规则即可正确作答。
【难度系数】
0.7
14.如图所示的几何体是由两个正方体木块用胶水黏合而成的，它们的棱长分别为10 cm和20 cm。为了美观，现在要在其表面喷涂油漆(不包括黏合处)，已知喷涂100 cm²需要油漆5 g，那么喷涂这个几何体共需油漆多少克？
答案
14.解:6×(20×20)+4×(10×10)=2800(cm²)，2800÷100×5=140(g)。
∴喷涂这个几何体共需油漆140 g。
∴喷涂这个几何体共需油漆140 g。
解析
【分析】
要计算喷涂所需油漆质量，首先需要算出需要喷涂的几何体表面积。首先观察组合几何体的结构：两个正方体粘合后，粘合位置的两个面（小正方体的底面、大正方体顶面被小正方体覆盖的部分）都不需要喷涂，因此总喷涂面积可以直接用大正方体的完整表面积加上小正方体4个侧面的面积计算（小正方体的底面被遮挡，顶面刚好补全了大正方体被覆盖的部分，因此只需计算小正方体的4个侧面）。算出总面积后，再结合“喷涂100cm²需要油漆5g”的条件，即可计算出总油漆质量。
【解析】
解：第一步，计算喷涂部分的总面积：
大正方体的表面积为：$6 × 20 × 20 = 2400 \, \mathrm{cm}^2$
小正方体外露的4个侧面面积为：$4 × 10 × 10 = 400 \, \mathrm{cm}^2$
总喷涂面积为：$2400 + 400 = 2800 \, \mathrm{cm}^2$
第二步，计算所需油漆总质量：
已知喷涂$100\,\mathrm{cm}^2$需要油漆5g，因此总油漆质量为：$2800 ÷ 100 × 5 = 140 \, \mathrm{g}$
【答案】
喷涂这个几何体共需油漆140 g。
【知识点】
正方体表面积计算，组合体表面积计算，有理数混合运算
【点评】
本题属于基础的表面积应用类题目，解题的核心是准确分析组合体的外露面，避免多算或漏算粘合处的隐藏面积，熟练掌握正方体表面积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要计算喷涂所需油漆质量，首先需要算出需要喷涂的几何体表面积。首先观察组合几何体的结构：两个正方体粘合后，粘合位置的两个面（小正方体的底面、大正方体顶面被小正方体覆盖的部分）都不需要喷涂，因此总喷涂面积可以直接用大正方体的完整表面积加上小正方体4个侧面的面积计算（小正方体的底面被遮挡，顶面刚好补全了大正方体被覆盖的部分，因此只需计算小正方体的4个侧面）。算出总面积后，再结合“喷涂100cm²需要油漆5g”的条件，即可计算出总油漆质量。
【解析】
解：第一步，计算喷涂部分的总面积：
大正方体的表面积为：$6 × 20 × 20 = 2400 \, \mathrm{cm}^2$
小正方体外露的4个侧面面积为：$4 × 10 × 10 = 400 \, \mathrm{cm}^2$
总喷涂面积为：$2400 + 400 = 2800 \, \mathrm{cm}^2$
第二步，计算所需油漆总质量：
已知喷涂$100\,\mathrm{cm}^2$需要油漆5g，因此总油漆质量为：$2800 ÷ 100 × 5 = 140 \, \mathrm{g}$
【答案】
喷涂这个几何体共需油漆140 g。
【知识点】
正方体表面积计算，组合体表面积计算，有理数混合运算
【点评】
本题属于基础的表面积应用类题目，解题的核心是准确分析组合体的外露面，避免多算或漏算粘合处的隐藏面积，熟练掌握正方体表面积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
15.已知一个圆锥和一个圆柱组成的几何体如图①所示。
(1)请画出这个几何体的俯视图；
(2)图②是这个几何体的主视图，已知顶部到底面的距离$EO_1=6\ \mathrm{m}$，圆柱部分的高$OO_1=4\ \mathrm{m}$，底面圆的直径$BC=4\ \mathrm{m}$，求$∠ EAO$的度数。
(1)请画出这个几何体的俯视图；
(2)图②是这个几何体的主视图，已知顶部到底面的距离$EO_1=6\ \mathrm{m}$，圆柱部分的高$OO_1=4\ \mathrm{m}$，底面圆的直径$BC=4\ \mathrm{m}$，求$∠ EAO$的度数。
答案
15.解:(1)这个几何体的俯视图如图所示。
(2)连接EO₁。
∵EO₁=6 m，OO₁=4 m，
∴EO=EO₁-OO₁=6-4=2(m)。
∵AD=BC=4 m，
∴OA=OD=2 m。
在Rt△AOE中，
∵OA=OE=2 m，
∴∠EAO=45°。
解析
【分析】
（1）要画出该组合几何体的俯视图，需从物体上方向下观察：该几何体为圆锥和圆柱的组合体，上下底面直径相等，圆柱的俯视图是圆，圆锥的俯视图是带圆心的圆，因此最终俯视图为带圆心的圆。
（2）要求∠EAO的度数，首先观察∠EAO在Rt△AOE中，因此先求出该直角三角形直角边的长度：先通过总高与圆柱高的差求出圆锥的高EO，再根据底面直径求出OA的长度，若两条直角边相等，则△AOE是等腰直角三角形，即可得到∠EAO的度数。
【解析】
（1）该几何体的俯视图如下：
（2）连接EO₁，
∵ $EO_1=6\ \mathrm{m}$，$OO_1=4\ \mathrm{m}$，
∴ $EO = EO_1 - OO_1 = 6 - 4 = 2(\mathrm{m})$，
∵ 底面圆直径$BC=4\ \mathrm{m}$，圆柱对边相等，
∴ $AD=BC=4\ \mathrm{m}$，O是AD中点，因此$OA=OD=2\ \mathrm{m}$，
在Rt△AOE中，$OA=OE=2\ \mathrm{m}$，
∴ △AOE是等腰直角三角形，
∴ $∠ EAO=45°$。
【答案】
(1) 俯视图为；
(2) $∠ EAO=45°$
【知识点】
三视图的画法；等腰直角三角形的性质；立体图形的特征
【点评】
本题是基础综合题，结合了立体图形的视图识别与角度计算，既考查了空间想象能力，也考查了等腰直角三角形的性质应用，解题的关键是理清图中各线段的数量关系。
【难度系数】
0.7
（1）要画出该组合几何体的俯视图，需从物体上方向下观察：该几何体为圆锥和圆柱的组合体，上下底面直径相等，圆柱的俯视图是圆，圆锥的俯视图是带圆心的圆，因此最终俯视图为带圆心的圆。
（2）要求∠EAO的度数，首先观察∠EAO在Rt△AOE中，因此先求出该直角三角形直角边的长度：先通过总高与圆柱高的差求出圆锥的高EO，再根据底面直径求出OA的长度，若两条直角边相等，则△AOE是等腰直角三角形，即可得到∠EAO的度数。
【解析】
（1）该几何体的俯视图如下：
（2）连接EO₁，
∵ $EO_1=6\ \mathrm{m}$，$OO_1=4\ \mathrm{m}$，
∴ $EO = EO_1 - OO_1 = 6 - 4 = 2(\mathrm{m})$，
∵ 底面圆直径$BC=4\ \mathrm{m}$，圆柱对边相等，
∴ $AD=BC=4\ \mathrm{m}$，O是AD中点，因此$OA=OD=2\ \mathrm{m}$，
在Rt△AOE中，$OA=OE=2\ \mathrm{m}$，
∴ △AOE是等腰直角三角形，
∴ $∠ EAO=45°$。
【答案】
(1) 俯视图为
；(2) $∠ EAO=45°$
【知识点】
三视图的画法；等腰直角三角形的性质；立体图形的特征
【点评】
本题是基础综合题，结合了立体图形的视图识别与角度计算，既考查了空间想象能力，也考查了等腰直角三角形的性质应用，解题的关键是理清图中各线段的数量关系。
【难度系数】
0.7
