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1.二次函数:一般地,如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成
$y=ax^2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)$
的形式，那么称y是x的二次函数。答案
1. $y=ax^2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)$
解析
【分析】
本题考查二次函数的基本定义，解题时需抓住二次函数的两个核心特征：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（若a=0，二次项消失，表达式最高次数低于2，就不属于二次函数了），直接对应填写二次函数的一般表达形式即可。
【解析】
根据二次函数的定义，其一般形式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$均为常数，为保证表达式为二次函数，需满足二次项系数不为0，即$a≠0$，因此空内应填写该标准形式。
【答案】
$y=ax^2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)$
【知识点】
二次函数的概念
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考察对二次函数基础定义的识记能力，解题时需注意不要遗漏$a≠0$这一关键限制条件，这是该知识点的常见易错点。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数的基本定义，解题时需抓住二次函数的两个核心特征：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（若a=0，二次项消失，表达式最高次数低于2，就不属于二次函数了），直接对应填写二次函数的一般表达形式即可。
【解析】
根据二次函数的定义，其一般形式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$均为常数，为保证表达式为二次函数，需满足二次项系数不为0，即$a≠0$，因此空内应填写该标准形式。
【答案】
$y=ax^2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)$
【知识点】
二次函数的概念
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考察对二次函数基础定义的识记能力，解题时需注意不要遗漏$a≠0$这一关键限制条件，这是该知识点的常见易错点。
【难度系数】
0.9
2.对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，当a，b，c一定时，可以根据
$x$
的值求出y的值，也可以根据y的值列一元二次方程求出x的值。答案
2. x
解析
【分析】
首先明确二次函数的基本构成：在二次函数$y=ax^2+bx+c$中，$a、b、c$是常数，$x$是自变量，$y$是$x$的函数。当$a、b、c$确定时，函数的解析式就唯一确定了，此时只要知道自变量$x$的取值，代入解析式就能计算出对应的$y$值；反过来如果知道$y$的取值，原式就转化为关于$x$的一元二次方程，求解即可得到对应的$x$值，因此横线处应填自变量$x$。
【解析】
二次函数$y=ax^2+bx+c$中，$a、b、c$为常数项，$x$是自变量，$y$是随$x$变化的因变量：
1. 当$a、b、c$固定时，函数解析式确定，将给定的$x$值代入解析式，即可求出对应的$y$值；
2. 若给定$y$的值，原式变为$ax^2+bx+c=y$，整理后就是关于$x$的一元二次方程，解方程可得到对应的$x$值。
因此横线处填$x$。
【答案】
x
【知识点】
1. 二次函数的概念
2. 自变量与因变量的关系
【点评】
本题考查二次函数的基础概念，属于对基础识记和理解能力的考查，只要明确二次函数中自变量和因变量的对应关系就能快速作答。
【难度系数】
0.9
首先明确二次函数的基本构成：在二次函数$y=ax^2+bx+c$中，$a、b、c$是常数，$x$是自变量，$y$是$x$的函数。当$a、b、c$确定时，函数的解析式就唯一确定了，此时只要知道自变量$x$的取值，代入解析式就能计算出对应的$y$值；反过来如果知道$y$的取值，原式就转化为关于$x$的一元二次方程，求解即可得到对应的$x$值，因此横线处应填自变量$x$。
【解析】
二次函数$y=ax^2+bx+c$中，$a、b、c$为常数项，$x$是自变量，$y$是随$x$变化的因变量：
1. 当$a、b、c$固定时，函数解析式确定，将给定的$x$值代入解析式，即可求出对应的$y$值；
2. 若给定$y$的值，原式变为$ax^2+bx+c=y$，整理后就是关于$x$的一元二次方程，解方程可得到对应的$x$值。
因此横线处填$x$。
【答案】
x
【知识点】
1. 二次函数的概念
2. 自变量与因变量的关系
【点评】
本题考查二次函数的基础概念，属于对基础识记和理解能力的考查，只要明确二次函数中自变量和因变量的对应关系就能快速作答。
【难度系数】
0.9
1. 给出下列函数:①$y=ax^2$；②$y=3(x-1)^2+2$；③$y=(x+3)^2-2x^2$；④$y=\frac{1}{x^2}+x$。其中，二次函数的个数为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1. B
解析
【分析】
解题前先明确二次函数的判定标准：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a\ne0$）的函数叫做二次函数，判定时需同时满足三个条件：1.函数是整式；2.化简后自变量$x$的最高次数为2；3.二次项系数不为0。接下来我们将4个函数逐一对照标准判断，统计符合条件的数量即可得到答案。
【解析】
根据二次函数的定义逐个分析：
1. 对于①$y=ax^2$：题目未说明$a$是常数且$a\ne0$，若$a=0$，函数为常数函数，不符合二次函数要求，故①不是二次函数；
2. 对于②$y=3(x-1)^2+2$：展开化简得$y=3x^2-6x+5$，满足二次函数的所有判定条件，故②是二次函数；
3. 对于③$y=(x+3)^2-2x^2$：展开化简得$y=-x^2+6x+9$，满足二次函数的所有判定条件，故③是二次函数；
4. 对于④$y=\frac{1}{x^2}+x$：$\frac{1}{x^2}$属于分式，该函数不是整式函数，不符合要求，故④不是二次函数。
综上，二次函数共有2个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 整式的化简
【点评】
本题是二次函数判定的基础题，解题核心是牢记二次函数的定义，注意判断前要先将函数化简为一般形式，同时不要忽略二次项系数不为0、函数为整式这两个隐含条件，避免出现误判。
【难度系数】
0.8
解题前先明确二次函数的判定标准：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a\ne0$）的函数叫做二次函数，判定时需同时满足三个条件：1.函数是整式；2.化简后自变量$x$的最高次数为2；3.二次项系数不为0。接下来我们将4个函数逐一对照标准判断，统计符合条件的数量即可得到答案。
【解析】
根据二次函数的定义逐个分析：
1. 对于①$y=ax^2$：题目未说明$a$是常数且$a\ne0$，若$a=0$，函数为常数函数，不符合二次函数要求，故①不是二次函数；
2. 对于②$y=3(x-1)^2+2$：展开化简得$y=3x^2-6x+5$，满足二次函数的所有判定条件，故②是二次函数；
3. 对于③$y=(x+3)^2-2x^2$：展开化简得$y=-x^2+6x+9$，满足二次函数的所有判定条件，故③是二次函数；
4. 对于④$y=\frac{1}{x^2}+x$：$\frac{1}{x^2}$属于分式，该函数不是整式函数，不符合要求，故④不是二次函数。
综上，二次函数共有2个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 整式的化简
【点评】
本题是二次函数判定的基础题，解题核心是牢记二次函数的定义，注意判断前要先将函数化简为一般形式，同时不要忽略二次项系数不为0、函数为整式这两个隐含条件，避免出现误判。
【难度系数】
0.8
2.把一根长60 cm的铁丝弯成一个矩形，设这个矩形的一边长为$x$(cm)，它的面积为$y$(cm²)，则$y$与$x$之间的关系式为（
A.$y=-x^2+60x$
B.$y=x^2-60x$
C.$y=-x^2+30x$
D.$y=-2x^2+30x$
C
）。A.$y=-x^2+60x$
B.$y=x^2-60x$
C.$y=-x^2+30x$
D.$y=-2x^2+30x$
答案
2. C
解析
【分析】
拿到题目首先明确已知条件：60cm的铁丝是矩形的周长，矩形一边长为x cm，需求面积y与x的函数关系式。解题思路如下：第一步，根据矩形周长公式，先算出矩形长与宽的和；第二步，用含x的式子表示出矩形的另一边长；第三步，代入矩形面积公式，整理为整式形式后和选项对比即可得到答案。
【解析】
解：
∵ 铁丝总长为60cm，即矩形的周长为60cm，矩形一边长为$x$ cm
∴ 矩形的另一边长为：$\frac{60}{2}-x=30-x$（cm）
根据矩形面积=长×宽，可得：
$y=x·(30-x)$
整理得：$y=-x^2+30x$
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
矩形周长与面积计算、列二次函数关系式
【点评】
本题是二次函数结合几何图形的基础应用题，解题核心是先利用周长公式表示出矩形的未知边长，再代入面积公式化简即可，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
拿到题目首先明确已知条件：60cm的铁丝是矩形的周长，矩形一边长为x cm，需求面积y与x的函数关系式。解题思路如下：第一步，根据矩形周长公式，先算出矩形长与宽的和；第二步，用含x的式子表示出矩形的另一边长；第三步，代入矩形面积公式，整理为整式形式后和选项对比即可得到答案。
【解析】
解：
∵ 铁丝总长为60cm，即矩形的周长为60cm，矩形一边长为$x$ cm
∴ 矩形的另一边长为：$\frac{60}{2}-x=30-x$（cm）
根据矩形面积=长×宽，可得：
$y=x·(30-x)$
整理得：$y=-x^2+30x$
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
矩形周长与面积计算、列二次函数关系式
【点评】
本题是二次函数结合几何图形的基础应用题，解题核心是先利用周长公式表示出矩形的未知边长，再代入面积公式化简即可，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
3.二次函数$y=x^2 -2(3x-2)+(x+1)$化为一般形式是（
A.$y=x^2 -5x +5$
B.$y=x^2 +5x +5$
C.$y=x^2 +5x -5$
D.$y=x^2 +5$
A
）。A.$y=x^2 -5x +5$
B.$y=x^2 +5x +5$
C.$y=x^2 +5x -5$
D.$y=x^2 +5$
答案
3. A
解析
【分析】
要将给定的二次函数化为一般形式，首先明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），解题时先对原式去括号，再合并同类项，整理为一般形式后匹配对应选项即可。计算时需注意去括号的符号规则，合并同类项时要准确识别同次项再计算。
【解析】
对原式逐步化简：
$\begin{aligned}y&=x^2 -2(3x-2)+(x+1)\\&=x^2 -6x +4 +x +1 \quad \mathrm{（去括号：负号乘括号内各项需变号）}\\&=x^2 + (-6x+x) + (4+1) \quad \mathrm{（合并同类项：同次项系数相加）}\\&=x^2 -5x +5\end{aligned}$
结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的一般形式；整式的化简
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数一般式的化简，解题核心是熟练掌握去括号法则和合并同类项的运算规则，计算时注意符号问题即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
要将给定的二次函数化为一般形式，首先明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），解题时先对原式去括号，再合并同类项，整理为一般形式后匹配对应选项即可。计算时需注意去括号的符号规则，合并同类项时要准确识别同次项再计算。
【解析】
对原式逐步化简：
$\begin{aligned}y&=x^2 -2(3x-2)+(x+1)\\&=x^2 -6x +4 +x +1 \quad \mathrm{（去括号：负号乘括号内各项需变号）}\\&=x^2 + (-6x+x) + (4+1) \quad \mathrm{（合并同类项：同次项系数相加）}\\&=x^2 -5x +5\end{aligned}$
结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的一般形式；整式的化简
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数一般式的化简，解题核心是熟练掌握去括号法则和合并同类项的运算规则，计算时注意符号问题即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
4.二次函数$y=x^2+2x-7$的函数值是8，那么对应的x的值是（
A.5
B.3
C.3或-5
D.-3或5
C
）。A.5
B.3
C.3或-5
D.-3或5
答案
4. C
解析
【分析】
本题已知二次函数的函数值求对应的自变量x的值，解题思路为：首先根据函数值的定义，将y=8代入二次函数的解析式，把问题转化为求解一元二次方程，再按照一元二次方程的解法求出方程的根，即为所求的x的值。
【解析】
由题意可知，当二次函数的函数值为8时，y=8，将其代入解析式$y=x^2+2x-7$，可得：
$x^2+2x-7=8$
移项整理得一元二次方程：
$x^2+2x-15=0$
对该方程因式分解得：
$(x+5)(x-3)=0$
则$x+5=0$或$x-3=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-5$
因此对应的x的值为3或-5。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数函数值的意义
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数与一元二次方程的对应关系，熟练掌握代入法和一元二次方程的基本解法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
本题已知二次函数的函数值求对应的自变量x的值，解题思路为：首先根据函数值的定义，将y=8代入二次函数的解析式，把问题转化为求解一元二次方程，再按照一元二次方程的解法求出方程的根，即为所求的x的值。
【解析】
由题意可知，当二次函数的函数值为8时，y=8，将其代入解析式$y=x^2+2x-7$，可得：
$x^2+2x-7=8$
移项整理得一元二次方程：
$x^2+2x-15=0$
对该方程因式分解得：
$(x+5)(x-3)=0$
则$x+5=0$或$x-3=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-5$
因此对应的x的值为3或-5。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数函数值的意义
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数与一元二次方程的对应关系，熟练掌握代入法和一元二次方程的基本解法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
5.当m
≠2
时，函数$y=(m-2)x^2 +4x -5$（m是常数）是二次函数。答案
5. ≠2
解析
【分析】
要判断函数为二次函数，首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，$a≠0$）的函数叫做二次函数，核心要求是二次项系数不能为0，否则$x^2$项消失，函数就会退化为一次函数。因此我们只需要找到本题函数的二次项系数，令其不等于0，解出对应的不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
根据二次函数的定义，二次函数的二次项系数不能为0。
本题中函数$y=(m-2)x^2 +4x -5$的二次项系数为$m-2$，因此可得：
$m-2≠0$
解得$m≠2$
【答案】
≠2
【知识点】
二次函数的定义、解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题型，解题的易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，牢记定义即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要判断函数为二次函数，首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，$a≠0$）的函数叫做二次函数，核心要求是二次项系数不能为0，否则$x^2$项消失，函数就会退化为一次函数。因此我们只需要找到本题函数的二次项系数，令其不等于0，解出对应的不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
根据二次函数的定义，二次函数的二次项系数不能为0。
本题中函数$y=(m-2)x^2 +4x -5$的二次项系数为$m-2$，因此可得：
$m-2≠0$
解得$m≠2$
【答案】
≠2
【知识点】
二次函数的定义、解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题型，解题的易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，牢记定义即可快速求解。
【难度系数】
0.9
6.若$y=(m-1)x^{m^2 + 2m -1} + 2mx -1$是二次函数，则$m=$
-3
。答案
6. -3
解析
【分析】
要确定m的值，需紧扣二次函数的定义思考：二次函数需满足两个核心条件，一是含有自变量的项的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（若系数为0则不存在二次项，不符合二次函数要求）。我们先根据最高次数为2列方程求出m的可能值，再根据二次项系数不为0排除不符合要求的解，即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵$y=(m-1)x^{m^2 + 2m -1} + 2mx -1$是二次函数
∴需同时满足以下两个条件：
1. 最高次项的次数为2：$m^2 + 2m -1 = 2$
整理方程得：$m^2 + 2m - 3 = 0$
因式分解得：$(m + 3)(m - 1) = 0$
解得：$m_1 = -3$，$m_2 = 1$
2. 二次项系数不为0：$m - 1 ≠ 0$，即$m ≠ 1$
综上，舍去$m=1$，得$m=-3$
【答案】
-3
【知识点】
二次函数的定义；一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题，易错点是解题时忽略二次项系数不为0的限制，误将m=1作为最终解。解答这类定义类题目时，要完整梳理定义的所有限制条件，逐一验证避免漏判。
【难度系数】
0.6
要确定m的值，需紧扣二次函数的定义思考：二次函数需满足两个核心条件，一是含有自变量的项的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（若系数为0则不存在二次项，不符合二次函数要求）。我们先根据最高次数为2列方程求出m的可能值，再根据二次项系数不为0排除不符合要求的解，即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵$y=(m-1)x^{m^2 + 2m -1} + 2mx -1$是二次函数
∴需同时满足以下两个条件：
1. 最高次项的次数为2：$m^2 + 2m -1 = 2$
整理方程得：$m^2 + 2m - 3 = 0$
因式分解得：$(m + 3)(m - 1) = 0$
解得：$m_1 = -3$，$m_2 = 1$
2. 二次项系数不为0：$m - 1 ≠ 0$，即$m ≠ 1$
综上，舍去$m=1$，得$m=-3$
【答案】
-3
【知识点】
二次函数的定义；一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题，易错点是解题时忽略二次项系数不为0的限制，误将m=1作为最终解。解答这类定义类题目时，要完整梳理定义的所有限制条件，逐一验证避免漏判。
【难度系数】
0.6
7.生物兴趣小组的每名学生将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了y件。如果全组有x名学生，那么y与x之间的关系式是y=
$x(x-1)$
。答案
7. $x(x-1)$
解析
【分析】
要推导y与x的关系式，首先思考每名学生需要赠送的标本数量：每名学生不需要给自己赠送标本，因此只需给除自己外的其他组员各送1件，即可得出单名学生的赠送数量；再结合全组总人数，总互赠件数=人数×单名学生的赠送数量，因为互赠时A送给B与B送给A是两件不同的标本，不存在重复计数，直接相乘即可得到关系式。
【解析】
解：已知全组共有x名学生，
每名学生需要向除自己外的其他成员赠送标本，因此每名学生赠送的标本数量为$(x-1)$件；
全组共x名学生，因此总的互赠标本件数$y = x × (x-1)$，即$y=x(x-1)$。
【答案】
$x(x-1)$
【知识点】
根据实际问题列函数关系式；二次函数的实际应用
【点评】
本题属于生活中常见的互赠类实际问题，解题的核心是明确单名个体的赠送数量，注意区分互赠问题和握手问题的计数差异，互赠问题无需除以2，避免因混淆两类题型出错。
【难度系数】
0.7
要推导y与x的关系式，首先思考每名学生需要赠送的标本数量：每名学生不需要给自己赠送标本，因此只需给除自己外的其他组员各送1件，即可得出单名学生的赠送数量；再结合全组总人数，总互赠件数=人数×单名学生的赠送数量，因为互赠时A送给B与B送给A是两件不同的标本，不存在重复计数，直接相乘即可得到关系式。
【解析】
解：已知全组共有x名学生，
每名学生需要向除自己外的其他成员赠送标本，因此每名学生赠送的标本数量为$(x-1)$件；
全组共x名学生，因此总的互赠标本件数$y = x × (x-1)$，即$y=x(x-1)$。
【答案】
$x(x-1)$
【知识点】
根据实际问题列函数关系式；二次函数的实际应用
【点评】
本题属于生活中常见的互赠类实际问题，解题的核心是明确单名个体的赠送数量，注意区分互赠问题和握手问题的计数差异，互赠问题无需除以2，避免因混淆两类题型出错。
【难度系数】
0.7
8.如图，正方形ABCD的边长为5，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且BE=DF=x，四边形AEGF是矩形，求矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的关系式。
答案
8. 解:
∵BE=DF=x，
∴AE=5-x,AF=5+x，
∴y=AE·AF=(5-x)(5+x)=25-x²
(0＜x＜5)。
∵BE=DF=x，
∴AE=5-x,AF=5+x，
∴y=AE·AF=(5-x)(5+x)=25-x²
(0＜x＜5)。
解析
【分析】
要推导矩形AEGF的面积y与x的函数关系式，核心思路是利用矩形面积公式“面积=长×宽”求解：
1. 首先结合正方形ABCD边长为5的条件，根据BE=x表示出矩形的边AE的长度：AE等于正方形边长AB减去BE；
2. 再根据DF=x表示出矩形的边AF的长度：AF等于正方形边长AD加上DF；
3. 最后将两条邻边长度相乘得到面积表达式，同时结合E在AB上的几何实际，确定x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 正方形ABCD的边长为5，且BE=DF=x，
∴ AE = AB - BE = 5 - x，
AF = AD + DF = 5 + x，
∵ 四边形AEGF是矩形，矩形面积等于相邻两边长度的乘积，
∴ $y = AE · AF = (5 - x)(5 + x)$，
由平方差公式展开得：$y = 25 - x^2$，
又
∵ E是AB上的点，因此BE的长度满足$0 ＜ x ＜ 5$。
【答案】
$y=25-x^2（0＜x＜5）$
【知识点】
矩形面积计算；平方差公式；列函数关系式
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是结合几何图形的边长关系正确表示出矩形的两条邻边长度，计算时要注意平方差公式的正确应用，同时不要遗漏自变量x符合实际几何意义的取值范围。
【难度系数】
0.85
要推导矩形AEGF的面积y与x的函数关系式，核心思路是利用矩形面积公式“面积=长×宽”求解：
1. 首先结合正方形ABCD边长为5的条件，根据BE=x表示出矩形的边AE的长度：AE等于正方形边长AB减去BE；
2. 再根据DF=x表示出矩形的边AF的长度：AF等于正方形边长AD加上DF；
3. 最后将两条邻边长度相乘得到面积表达式，同时结合E在AB上的几何实际，确定x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 正方形ABCD的边长为5，且BE=DF=x，
∴ AE = AB - BE = 5 - x，
AF = AD + DF = 5 + x，
∵ 四边形AEGF是矩形，矩形面积等于相邻两边长度的乘积，
∴ $y = AE · AF = (5 - x)(5 + x)$，
由平方差公式展开得：$y = 25 - x^2$，
又
∵ E是AB上的点，因此BE的长度满足$0 ＜ x ＜ 5$。
【答案】
$y=25-x^2（0＜x＜5）$
【知识点】
矩形面积计算；平方差公式；列函数关系式
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是结合几何图形的边长关系正确表示出矩形的两条邻边长度，计算时要注意平方差公式的正确应用，同时不要遗漏自变量x符合实际几何意义的取值范围。
【难度系数】
0.85
