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9.在半径为5 cm的圆上，挖去一个半径为x cm的圆，剩下一个面积为y cm²的圆环，则y与x之间的关系式为(
A.$y=π x^2 -5$
B.$y=π (5-x)^2$
C.$y=-(x^2 +5)$
D.$y=-π x^2 +25π$
D
)。A.$y=π x^2 -5$
B.$y=π (5-x)^2$
C.$y=-(x^2 +5)$
D.$y=-π x^2 +25π$
答案
9. D
解析
【分析】
解题时首先明确圆环面积的计算逻辑：圆环面积等于外大圆面积减去挖去的内小圆面积。先回忆圆的面积公式为$S=π r^2$，分别计算出大圆和小圆的面积后，根据“剩余面积=大圆面积-挖去的小圆面积”的等量关系列出$y$与$x$的关系式，再对应选项匹配即可。
【解析】
1. 计算外大圆面积：已知外圆半径为5 cm，根据圆的面积公式，外圆面积为$π × 5^2=25π \ \mathrm{cm^2}$；
2. 计算挖去的小圆面积：小圆半径为$x$ cm，因此小圆面积为$π x^2 \ \mathrm{cm^2}$；
3. 列圆环面积关系式：圆环面积$y$等于大圆面积减小圆面积，即$y=25π-π x^2$，整理得$y=-π x^2+25π$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
圆的面积计算；圆环面积计算；列函数关系式
【点评】
本题是基础应用题，核心是找准实际问题中的等量关系，只要熟记圆的面积公式就能快速推导得出函数关系式，选出正确答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确圆环面积的计算逻辑：圆环面积等于外大圆面积减去挖去的内小圆面积。先回忆圆的面积公式为$S=π r^2$，分别计算出大圆和小圆的面积后，根据“剩余面积=大圆面积-挖去的小圆面积”的等量关系列出$y$与$x$的关系式，再对应选项匹配即可。
【解析】
1. 计算外大圆面积：已知外圆半径为5 cm，根据圆的面积公式，外圆面积为$π × 5^2=25π \ \mathrm{cm^2}$；
2. 计算挖去的小圆面积：小圆半径为$x$ cm，因此小圆面积为$π x^2 \ \mathrm{cm^2}$；
3. 列圆环面积关系式：圆环面积$y$等于大圆面积减小圆面积，即$y=25π-π x^2$，整理得$y=-π x^2+25π$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
圆的面积计算；圆环面积计算；列函数关系式
【点评】
本题是基础应用题，核心是找准实际问题中的等量关系，只要熟记圆的面积公式就能快速推导得出函数关系式，选出正确答案。
【难度系数】
0.9
10.已知二次函数$y=ax^2+3x$，当$x=2$时，$y=14$，则$a=$
2
。答案
10. 2
解析
【分析】
本题考查利用代入法求解二次函数中的未知参数。解题思路为：函数图象上任意一点的坐标都满足该函数的解析式，因此我们可以将已知的x、y的对应值代入二次函数表达式，得到只含参数a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
将$x=2$，$y=14$代入二次函数解析式$y=ax^2+3x$中，可得：
$\begin{aligned}14 &= a× 2^2 + 3× 2 \\14 &= 4a + 6 \\4a &= 14 - 6 \\4a &= 8 \\a &= 2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
函数图象上点的坐标特征；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查代入求值的思想，计算难度低，只要掌握函数图象上的点满足对应函数解析式这一核心性质，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查利用代入法求解二次函数中的未知参数。解题思路为：函数图象上任意一点的坐标都满足该函数的解析式，因此我们可以将已知的x、y的对应值代入二次函数表达式，得到只含参数a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
将$x=2$，$y=14$代入二次函数解析式$y=ax^2+3x$中，可得：
$\begin{aligned}14 &= a× 2^2 + 3× 2 \\14 &= 4a + 6 \\4a &= 14 - 6 \\4a &= 8 \\a &= 2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
函数图象上点的坐标特征；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查代入求值的思想，计算难度低，只要掌握函数图象上的点满足对应函数解析式这一核心性质，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
11.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到y万册，如果这两年图书数量的年平均增长率为x，那么y与x之间的关系式是
$y=5(1+x)^2$
。答案
11. $y=5(1+x)^2$
解析
【分析】
这是一道平均增长率的实际应用题，解题时先明确增长的时间跨度：从去年年底到明年年底共间隔2年，平均增长率为x。我们可以先计算出今年年底的图书数量，再以今年年底的数量为基础计算明年年底的数量，最终得到y和x的关系式。平均增长率的基本计算逻辑是：增长后的量 = 增长前的量×(1+增长率)，按照这个逻辑分两步推导即可。
【解析】
第一步：计算今年年底的图书数量
已知去年年底有图书5万册，年平均增长率为x，根据增长率公式，今年年底的图书数量为：
$5×(1+x)$（万册）
第二步：计算明年年底的图书数量
明年年底的图书数量是在今年年底数量的基础上再增长x，因此明年年底的图书数量为：
$5×(1+x)×(1+x) = 5(1+x)^2$（万册）
题目中明年年底图书数量为y万册，因此可得关系式：$y=5(1+x)^2$
【答案】
$y=5(1+x)^2$
【知识点】
平均增长率计算；列二次函数关系式
【点评】
本题考查平均增长率相关的实际应用，解题核心是准确判断增长的次数，牢记增长率的基本计算公式，注意不要误将增长次数算错。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率的实际应用题，解题时先明确增长的时间跨度：从去年年底到明年年底共间隔2年，平均增长率为x。我们可以先计算出今年年底的图书数量，再以今年年底的数量为基础计算明年年底的数量，最终得到y和x的关系式。平均增长率的基本计算逻辑是：增长后的量 = 增长前的量×(1+增长率)，按照这个逻辑分两步推导即可。
【解析】
第一步：计算今年年底的图书数量
已知去年年底有图书5万册，年平均增长率为x，根据增长率公式，今年年底的图书数量为：
$5×(1+x)$（万册）
第二步：计算明年年底的图书数量
明年年底的图书数量是在今年年底数量的基础上再增长x，因此明年年底的图书数量为：
$5×(1+x)×(1+x) = 5(1+x)^2$（万册）
题目中明年年底图书数量为y万册，因此可得关系式：$y=5(1+x)^2$
【答案】
$y=5(1+x)^2$
【知识点】
平均增长率计算；列二次函数关系式
【点评】
本题考查平均增长率相关的实际应用，解题核心是准确判断增长的次数，牢记增长率的基本计算公式，注意不要误将增长次数算错。
【难度系数】
0.8
12.如图，一块草坪是长80 m、宽60 m的矩形，计划在中间修两条互相垂直的宽为x m的小路，修缮后草坪的面积为y m²，求y与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围。
答案
12. 解:$y=x^2-140x+4\ 800(0＜x＜60)$。
解析
【分析】
我们可以通过两种思路推导草坪面积的表达式：思路1（面积差法）：先计算整块矩形的总面积，再减去两条小路的面积，注意两条小路交叉的正方形区域被重复减去1次，需要补加回来；思路2（平移拼接法）：把四块分散的草坪平移拼接为一个新矩形，新矩形的长为(80-x)m、宽为(60-x)m，直接计算新矩形面积即可。另外自变量x的取值要符合实际意义：小路宽度要大于0，且不能超过矩形的宽，否则无实际意义。
【解析】
解：我们用平移拼接法推导：
将四块草坪向中间平移，可拼接为一个长为$(80-x)\mathrm{m}$、宽为$(60-x)\mathrm{m}$的完整矩形，草坪面积等于该矩形的面积，因此：
$y=(80-x)(60-x)$
展开整理得：
$y=x^2-140x+4800$
结合实际意义，小路宽度满足：$x＞0$且$x＜60$，即自变量x的取值范围为$0＜x＜60$。
（用面积差法推导：总面积为$80×60=4800\ \mathrm{m}^2$，两条小路面积分别为$80x\ \mathrm{m}^2$和$60x\ \mathrm{m}^2$，重叠部分面积为$x^2\ \mathrm{m}^2$，因此$y=4800-80x-60x+x^2$，整理后结果一致。）
【答案】
$y=x^2-140x+4800(0＜x＜60)$
【知识点】
列二次函数解析式，矩形面积计算，自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题，解题核心是选对面积计算方法，注意不要重复扣除两条小路的重叠面积，同时要结合实际场景确定自变量的取值范围，避免出现无意义的取值。
【难度系数】
0.7
我们可以通过两种思路推导草坪面积的表达式：思路1（面积差法）：先计算整块矩形的总面积，再减去两条小路的面积，注意两条小路交叉的正方形区域被重复减去1次，需要补加回来；思路2（平移拼接法）：把四块分散的草坪平移拼接为一个新矩形，新矩形的长为(80-x)m、宽为(60-x)m，直接计算新矩形面积即可。另外自变量x的取值要符合实际意义：小路宽度要大于0，且不能超过矩形的宽，否则无实际意义。
【解析】
解：我们用平移拼接法推导：
将四块草坪向中间平移，可拼接为一个长为$(80-x)\mathrm{m}$、宽为$(60-x)\mathrm{m}$的完整矩形，草坪面积等于该矩形的面积，因此：
$y=(80-x)(60-x)$
展开整理得：
$y=x^2-140x+4800$
结合实际意义，小路宽度满足：$x＞0$且$x＜60$，即自变量x的取值范围为$0＜x＜60$。
（用面积差法推导：总面积为$80×60=4800\ \mathrm{m}^2$，两条小路面积分别为$80x\ \mathrm{m}^2$和$60x\ \mathrm{m}^2$，重叠部分面积为$x^2\ \mathrm{m}^2$，因此$y=4800-80x-60x+x^2$，整理后结果一致。）
【答案】
$y=x^2-140x+4800(0＜x＜60)$
【知识点】
列二次函数解析式，矩形面积计算，自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题，解题核心是选对面积计算方法，注意不要重复扣除两条小路的重叠面积，同时要结合实际场景确定自变量的取值范围，避免出现无意义的取值。
【难度系数】
0.7
13. 如图(单位:cm),矩形ABCD的长为5 cm,宽为4 cm,如果将它的长和宽都减去x cm,那么剩下的小矩形AB'C'D'的面积为y cm²。
(1)写出y与x之间的关系式。
(2)上述函数是什么函数?
(3)自变量x的取值范围是什么?
(1)写出y与x之间的关系式。
(2)上述函数是什么函数?
(3)自变量x的取值范围是什么?
答案
13. 解:(1)根据题意，得
$y=(5-x)·(4-x)=x^2-9x+20$。
所以y与x之间的关系式为$y=x^2-9x+20$。
(2)上述函数是二次函数。
(3)自变量x的取值范围是0＜x＜4。
$y=(5-x)·(4-x)=x^2-9x+20$。
所以y与x之间的关系式为$y=x^2-9x+20$。
(2)上述函数是二次函数。
(3)自变量x的取值范围是0＜x＜4。
解析
【分析】
(1)要推导y与x的关系式，首先确定剩余小矩形的长和宽：原矩形长为5cm，减去xcm后小矩形长为$(5-x)cm$；原矩形宽为4cm，减去xcm后小矩形宽为$(4-x)cm$，再根据矩形面积=长×宽列算式，展开化简即可得到关系式。
(2)判断函数类型时，观察化简后的整式函数的最高次项次数，最高次为2次即符合二次函数的定义。
(3)求自变量x的取值范围要结合实际意义：x是减去的长度，因此x必须大于0；同时小矩形的长、宽都必须为正数，分别列不等式求解后取公共部分即可。
【解析】
(1)根据题意，剩余小矩形$AB'C'D'$的长为$(5-x)cm$，宽为$(4-x)cm$，由矩形面积公式得：
$y=(5-x)(4-x)$
展开化简得：$y=x^2-9x+20$
(2)化简后的函数是整式，且自变量x的最高次数为2，符合二次函数的定义，因此该函数是二次函数。
(3)结合实际意义可得不等式组：
$\begin{cases}x＞0\\5-x＞0\\4-x＞0\end{cases}$
解得$0＜x＜4$，即自变量x的取值范围是$0＜x＜4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x^2-9x+20}$
(2) $\boldsymbol{二次函数}$
(3) $\boldsymbol{0＜x＜4}$
【知识点】
矩形面积计算，二次函数的定义，自变量取值范围确定
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，结合几何图形的面积计算考查了函数关系式列写、函数类型判断等基础知识点，解题的易错点是容易忽略实际意义对自变量取值的限制，需要结合图形的边长为正的隐含条件求解取值范围。
【难度系数】
0.85
(1)要推导y与x的关系式，首先确定剩余小矩形的长和宽：原矩形长为5cm，减去xcm后小矩形长为$(5-x)cm$；原矩形宽为4cm，减去xcm后小矩形宽为$(4-x)cm$，再根据矩形面积=长×宽列算式，展开化简即可得到关系式。
(2)判断函数类型时，观察化简后的整式函数的最高次项次数，最高次为2次即符合二次函数的定义。
(3)求自变量x的取值范围要结合实际意义：x是减去的长度，因此x必须大于0；同时小矩形的长、宽都必须为正数，分别列不等式求解后取公共部分即可。
【解析】
(1)根据题意，剩余小矩形$AB'C'D'$的长为$(5-x)cm$，宽为$(4-x)cm$，由矩形面积公式得：
$y=(5-x)(4-x)$
展开化简得：$y=x^2-9x+20$
(2)化简后的函数是整式，且自变量x的最高次数为2，符合二次函数的定义，因此该函数是二次函数。
(3)结合实际意义可得不等式组：
$\begin{cases}x＞0\\5-x＞0\\4-x＞0\end{cases}$
解得$0＜x＜4$，即自变量x的取值范围是$0＜x＜4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x^2-9x+20}$
(2) $\boldsymbol{二次函数}$
(3) $\boldsymbol{0＜x＜4}$
【知识点】
矩形面积计算，二次函数的定义，自变量取值范围确定
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，结合几何图形的面积计算考查了函数关系式列写、函数类型判断等基础知识点，解题的易错点是容易忽略实际意义对自变量取值的限制，需要结合图形的边长为正的隐含条件求解取值范围。
【难度系数】
0.85
