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14.某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格$x$(元/个)满足$40＜x＜80$时，其销售量$y$(万个)与$x$之间的关系式为$y=-\frac{1}{10}x+9$。同时销售过程中的其他开支为50万元。求出商场销售这种商品的净利润$z$(万元)与销售价格$x$之间的关系式。
答案
14. 解:由题意，得
$z=(x-30)(-\frac{1}{10}x+9)-50$
$=-\frac{1}{10}x^2+12x-320(40＜x＜80)$。
$z=(x-30)(-\frac{1}{10}x+9)-50$
$=-\frac{1}{10}x^2+12x-320(40＜x＜80)$。
解析
【分析】
解题时首先要明确净利润的计算等量关系：净利润=（单个商品售价-单个商品进价）×销售量 - 其他固定开支。首先找到单个商品的利润为$(x-30)$元，销售量为$y=-\frac{1}{10}x+9$万个，其他开支为50万元，将对应量代入等量关系，再通过整式运算化简，最后标注自变量$x$的取值范围即可得到所求关系式。
【解析】
根据题意，净利润的计算公式为：
$z = \mathrm{单个利润} × \mathrm{销售量} - \mathrm{其他开支}$
将单个利润$(x-30)$、销售量$y=-\frac{1}{10}x+9$、其他开支50万元代入得：
$\begin{aligned}z&=(x-30)(-\frac{1}{10}x+9)-50\\&=-\frac{1}{10}x^2 +9x +3x -270 -50\\&=-\frac{1}{10}x^2 +12x -320\end{aligned}$
结合题中给出的售价范围，最终关系式的自变量取值为$40＜x＜80$。
【答案】
$z=-\frac{1}{10}x^2+12x-320(40＜x＜80)$
【知识点】
销售利润计算；二次函数解析式列写
【点评】
本题是销售类函数应用的基础题，解题关键是找准利润相关的等量关系，代入对应代数式化简即可，需注意不要遗漏自变量的取值范围和固定开支的扣除。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确净利润的计算等量关系：净利润=（单个商品售价-单个商品进价）×销售量 - 其他固定开支。首先找到单个商品的利润为$(x-30)$元，销售量为$y=-\frac{1}{10}x+9$万个，其他开支为50万元，将对应量代入等量关系，再通过整式运算化简，最后标注自变量$x$的取值范围即可得到所求关系式。
【解析】
根据题意，净利润的计算公式为：
$z = \mathrm{单个利润} × \mathrm{销售量} - \mathrm{其他开支}$
将单个利润$(x-30)$、销售量$y=-\frac{1}{10}x+9$、其他开支50万元代入得：
$\begin{aligned}z&=(x-30)(-\frac{1}{10}x+9)-50\\&=-\frac{1}{10}x^2 +9x +3x -270 -50\\&=-\frac{1}{10}x^2 +12x -320\end{aligned}$
结合题中给出的售价范围，最终关系式的自变量取值为$40＜x＜80$。
【答案】
$z=-\frac{1}{10}x^2+12x-320(40＜x＜80)$
【知识点】
销售利润计算；二次函数解析式列写
【点评】
本题是销售类函数应用的基础题，解题关键是找准利润相关的等量关系，代入对应代数式化简即可，需注意不要遗漏自变量的取值范围和固定开支的扣除。
【难度系数】
0.8
15.小明在母亲节那天送给妈妈一个礼物，已知礼品盒是一个长方体，长比宽多2 cm，高比宽多1 cm，现在要给礼品盒包一层包装纸进行装饰(重叠的部分不计)。
(1)礼品盒的宽用x(cm)表示，请写出需要的包装纸的最小面积S(cm²)与x之间的关系式；
(2)小明量得礼品盒的宽为10 cm，如果包装纸每平方米10元，且包装手工费1元，而他只有2元钱，那么对礼品盒进行包装，他的钱够吗？
(1)礼品盒的宽用x(cm)表示，请写出需要的包装纸的最小面积S(cm²)与x之间的关系式；
(2)小明量得礼品盒的宽为10 cm，如果包装纸每平方米10元，且包装手工费1元，而他只有2元钱，那么对礼品盒进行包装，他的钱够吗？
答案
15. 解:(1)
∵礼品盒的宽是x cm，
∴长是(x+2)cm，高是(x+1)cm。
根据题意，得 $S=2[x(x+2)+(x+2)(x+1)+x(x+1)]$。
即 $S=6x^2+12x+4$。
(2)当x=10时，$S=6×10^2+12×10+4=724(cm^2)$。
$724\ cm^2=0.072\ 4\ m^2$，
$0.072\ 4×10+1=1.724$(元)。
∵1.724＜2，
∴对礼品盒进行包装，他的钱够。
∵礼品盒的宽是x cm，
∴长是(x+2)cm，高是(x+1)cm。
根据题意，得 $S=2[x(x+2)+(x+2)(x+1)+x(x+1)]$。
即 $S=6x^2+12x+4$。
(2)当x=10时，$S=6×10^2+12×10+4=724(cm^2)$。
$724\ cm^2=0.072\ 4\ m^2$，
$0.072\ 4×10+1=1.724$(元)。
∵1.724＜2，
∴对礼品盒进行包装，他的钱够。
解析
【分析】
（1）包装纸的最小面积等于长方体礼品盒的表面积，首先根据宽为$x\ \mathrm{cm}$，结合长、高与宽的数量关系，用含$x$的代数式表示出长和高，再代入长方体表面积公式，展开整理即可得到$S$与$x$的关系式；（2）将$x=10$代入第一问得到的关系式求出表面积，注意将面积单位从平方厘米换算为平方米，再根据“总费用=包装纸费用+手工费”计算总花费，最后和2元比较大小即可判断钱是否够用。
【解析】
(1) 已知礼品盒的宽是$x\ \mathrm{cm}$，由题意得长为$(x+2)\ \mathrm{cm}$，高为$(x+1)\ \mathrm{cm}$。
根据长方体表面积公式$S=2(\mathrm{长}×\mathrm{宽} + \mathrm{长}×\mathrm{高} + \mathrm{宽}×\mathrm{高})$，代入得：
$S=2[x(x+2)+(x+2)(x+1)+x(x+1)]$
展开整理得：
$S=6x^2+12x+4$
(2) 当$x=10$时，代入$S=6x^2+12x+4$得：
$S=6×10^2+12×10+4=724(\mathrm{cm}^2)$
进行单位换算：$724\ \mathrm{cm}^2=0.0724\ \mathrm{m}^2$
计算总费用：$0.0724×10 + 1 = 1.724$（元）
因为$1.724＜2$，所以小明的钱够包装礼品盒。
【答案】
(1) $S=6x^2+12x+4$；(2) 小明的钱够。
【知识点】
长方体表面积计算，二次函数的实际应用，代数式求值
【点评】
本题结合生活场景命题，既考查了基础几何公式的运用，也考查了实际问题中的单位换算和数值比较，解题时要注意公式记忆准确，统一单位后再计算费用。
【难度系数】
0.8
（1）包装纸的最小面积等于长方体礼品盒的表面积，首先根据宽为$x\ \mathrm{cm}$，结合长、高与宽的数量关系，用含$x$的代数式表示出长和高，再代入长方体表面积公式，展开整理即可得到$S$与$x$的关系式；（2）将$x=10$代入第一问得到的关系式求出表面积，注意将面积单位从平方厘米换算为平方米，再根据“总费用=包装纸费用+手工费”计算总花费，最后和2元比较大小即可判断钱是否够用。
【解析】
(1) 已知礼品盒的宽是$x\ \mathrm{cm}$，由题意得长为$(x+2)\ \mathrm{cm}$，高为$(x+1)\ \mathrm{cm}$。
根据长方体表面积公式$S=2(\mathrm{长}×\mathrm{宽} + \mathrm{长}×\mathrm{高} + \mathrm{宽}×\mathrm{高})$，代入得：
$S=2[x(x+2)+(x+2)(x+1)+x(x+1)]$
展开整理得：
$S=6x^2+12x+4$
(2) 当$x=10$时，代入$S=6x^2+12x+4$得：
$S=6×10^2+12×10+4=724(\mathrm{cm}^2)$
进行单位换算：$724\ \mathrm{cm}^2=0.0724\ \mathrm{m}^2$
计算总费用：$0.0724×10 + 1 = 1.724$（元）
因为$1.724＜2$，所以小明的钱够包装礼品盒。
【答案】
(1) $S=6x^2+12x+4$；(2) 小明的钱够。
【知识点】
长方体表面积计算，二次函数的实际应用，代数式求值
【点评】
本题结合生活场景命题，既考查了基础几何公式的运用，也考查了实际问题中的单位换算和数值比较，解题时要注意公式记忆准确，统一单位后再计算费用。
【难度系数】
0.8
